92 pkt - szkolamatematyki.info
Transkrypt
92 pkt - szkolamatematyki.info
ARKUSZ IV - Funkcje - Praca domowa 3 p.p .................................................. ... /92 pkt Imię i nazwisko ... % 5 pkt 1. Dana jest funkcja f (x) = −x2 + 6x − 5. a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności f (x) 0. 1 pkt 2. Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f (x) = (x − 2)(x + 4). 1 pkt 3. Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = −x2 + 4x − 11 A. x = −4 B. x = −2 C. x = 2 D. x = 4 1 pkt 4. Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu y = −5(x + 6)2 − 7 A. x = −7 B. x = −6 C. x = 6 D. x = 7 1 pkt 5. Wykres funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku W = (−1, 3). Wówczas prawdziwa jest równość A. f (2) = f (4) B. f (−2017) = f (2015) C. f (−98) = f (100) D. f (−20) = f (21) 1 pkt 6. Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej f . Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x = −2. Rozwiązaniem nierówności f (x) 0 jest zbiór A. < 0, −2 > B. < −2, 2 > C. < −6, 2 > D. < −4, 2 > 1 pkt 7. Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x − 14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa A. x = −8 B. x = −4 C. x = 4 D. x = 8 1 pkt 8. Pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli o równaniu y = (x − 1)(x − 9) jest A. 0 B. −5 C. 5 D. 10 1 pkt 9. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = 4(x − 5)2 + 6 jest punkt A. (−5, −6) B. (−5, 6) C. (5, 6) D. (5, −6) 2 1 pkt 10. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = 3(x + 4) jest punkt A. (−4, 3) B. (−4, 0) C. (0, 4) D. (4, 0) 1 pkt 11. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = −6x2 − 6 jest punkt A. (−6, −6) B. (0, −6) C. (−6, 0) D. (0, 6) 2 1 pkt 12. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = (x + 2) + 5c leży na prostej o równaniu y = 10. Wtedy A. c = −10 B. c = −2 C. c = 2 D. c = 10 1 pkt 13. Dana jest funkcji kwadratowa f (x) = ax2 + 6x + 2. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej o równaniu y = −13. Oblicz współrzędne tego wierzchołka. 1 pkt 14. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f (x) ma współrzędne (3, 3). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x) = f (x − 3) ma współrzędne A. (6, 3) B. (0, 3) C. (3, 0) D. (3, 6) 1 pkt 15.Wskaż fragment wykresu funkcji, której zbiorem wartości jest < −2, +∞). 1 pkt 16. Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (−∞; −3 >, może być określony wzorem A. y = (x + 2)2 − 3 B. y = −(x + 3)2 C. y = −(x − 2)2 − 3 D. y = −x2 + 3 1 pkt 17. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej y = −5(x − 3)2 + 7 jest A. (−∞; 7 > B. (−∞; −5 > C. < 3; +∞) D. < 7; +∞) 1 pkt 18. Zbiorem wartości funkcji f (x) = 3(x − 3)2 jest przedział A. < −3; +∞) B. < 0; +∞) D. < 27; +∞) C. < 3; +∞) 2 1 pkt 19. Zbiorem wartości funkcji f (x) = −x + 8x − 1 jest przedział A. (−∞; 4 > B. (−∞; 15 > C. (−∞; 22 > D. (−∞; 60 > 1 pkt 20. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f (x) = 12 x2 − 3x + c jest przedział < −4; +∞). Zatem współczynnik c jest równy A. 12 B. − 12 C. 2 D. −2 2 1 pkt 21. Funkcja f (x) = x − 4 jest malejąca w przedziale A. (−∞; 0 > B. (−2, 2) C. (−∞; 2 > D. (−∞; 4 > 1 pkt 22. Funkcja f (x) = −2(x − 3)2 + 4 jest rosnąca w przedziale A. (−∞; 3 > B. (−∞, 4 > C. < 3; +∞) D. < 4; +∞) 1 pkt y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej 23. Prosta o 1równaniu f (x) = − 4 x2 + 3x + 2. Wynika stąd, że A. a = 6 B. a = 11 C. a = 1 D. a = 2 1 pkt 24. Wykres funkcji kwadratowej g(x) = x2 − 100 ma dokładnie jedne punkt wspólny w prostą o równaniu A. y = 100 B. x = 100 C. y = 100x D. y = −100 2 1 pkt 25. Wykres funkcji kwadratowej f (x) = 2(x − 1) − 4 nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu A. y = −5 B. y = −4 C. y = 1 D. y = −1 1 pkt 26. Do wykresu funkcji y = x2 − 4x + 4 nie należy punkt A. (−12, 16) B. (−3, 25) C. (4, 4) D. (1, 1) 3 pkt 27. Podaj miejsca zerowe funkcji określonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x f (x) = x(x + 2), g(x) = (x − 5)(x + 2), h(x) = (5 − 2x)(2x + 1). 5 2 1 pkt 28. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f (x) = 2x + 5x + c jest liczba − 2 . Wówczas A. c = 0 B. c = 1 C. c = −25 D. c = 25 1 pkt 29. Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f (x) = 2x2 − x + c. Jeśli f (2) = 1, to A. f (1) = −4 B. f (1) = 0 C. f (1) = −5 D. f (1) = 4 2 3 pkt 30. W tabelce podano wartości funkcji kwadratowych f (x) = ax + bx + c dla wybranych trzech argumentów. Rozwiąż nierówność f (x) 0. 1 pkt 31. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f . Funkcja f jest określona wzorem A. y = −(x + 1)2 + 2 B. y = −(x − 1)2 − 2 C. y = −(x − 1)2 + 2 D. y = −(x + 1)2 − 2 3 pkt 32. Funkcja kwadratowa f , której miejscem zerowym są liczby −1 i 3, dla argumentu 0 przyjmuje wartość 3. Uzasadnij, że wykres funkcji f nie ma punktów wspólnych z prostą y = 5. 3 pkt 33. Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Ox w punktach x = −5 oraz x = −1 i przechodzi przez punkt (0, −5). Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej g(x) = f (x − p). Wierzchołek funkcji g leży na osi Oy. Wyznacz wzór funkcji g. 5 pkt 34. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f . Na podstawie tego wykresu a) zapisz w postaci sumy przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności f (x) ¬ 3, b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale < 0, 3 >, c) zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej. 2 pkt 35. Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = 3x2 + bx + c jest parabola której wierzchołkiem jest punk W (2, 0). Oblicz wartości współczynników b i c. 2 pkt 36. Funkcja kwadratowa, f dla x = −2 przyjmuje wartość największą równą -3. Do wykresu funkcji f należy punkt A = (1, 3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f . 5 pkt 37. Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f (x) = ax2 + bx + c. Zbiorem rozwiązań nierówności f (x) < 0 jest przedział (0, 8). Najmniejsza wartość funkcji f jest równa -8. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f . 4 pkt 38. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział < 2; +∞), a wartość -1 osiąga dla dwóch argumentów: 3 i 7. 2 1 pkt 39. Funkcja kwadratowa y = x + bx + c jest malejąca dla x ∈ (−∞; 2 >, a zbiorem jej wartości jest < −4; ∞). Postać kanoniczna tej funkcji opisana jest wzorem. A. f (x) = (x − 2)2 − 4 B. f (x) = (x + 2)2 + 4 C. f (x) = (x + 4)2 + 2 D. f (x) = (x − 4)2 + 2 2 pkt 40. Funkcja f jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f (x) > 0 jest przedział (2, 3). Rozwiąż nierówność −f (x + 2) < 0. 1 2 2 pkt 41. Dla każdej liczby rzeczywistej b równanie f (x) = − 4 x − bx + 9 opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży pod osią Ox. 2 pkt 2 pkt 2 pkt 3 pkt 3 pkt 4 pkt 1 46. Wyznacz wartość najmniejszą funkcji f (x) = x2 −6x+3 w przedziale < 0, 4 >. wartości, jakie funkcja kwadratowa f (x) = 41 x2 − 2x − 5 przyjmuje w przedziale 47. Różnica największej i najmniejszej 2 < k, 5 > dla k < 0 jest równa 3 3 . Oblicz k. 42. Wykaż, że jeśli c < 0, to trójmian kwadratowy y = ax2 + bx + 1 ma dwa różne miejsca zerowe. 43. Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x + 1 w przedziale < 0, 1 >. 44. Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej f (x) = 2x2 − 5x + 3 w przedziale < −1, 2 > 45. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f (x) = (x − 2)2 . Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale < 0, 5 >. 2 4 pkt 48. Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f (x) = a(x + 1) + 3, gdzie a 6= 0, w przedziale domkniętym < 0, 2 > jest równa -12. Wyznacz największą wartość funkcji f w przedziale < 0, 2 >. 2 pkt 49. Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale < −1, 2 > najmniejszą wartość dla argumentów -1 i 2. Uzasadnij, że w przedziale < −3, 4 > funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentów -3 i 4. 2 pkt 50. Największą wartością, jaką funkcja kwadratowa f dana wzorem f (x) = ax2 + bx + c przyjmuje w przedziale < 0, 3 >, jest f (1). Uzasadnij, że a < 0 i b > 0.