+ . )x(fy = 3,6 x−∈ ≥− ≤+ ≥ 4xy2 5xy 0x
Transkrypt
+ . )x(fy = 3,6 x−∈ ≥− ≤+ ≥ 4xy2 5xy 0x
Tematy zadań – arkusze maturalne 6-10. 1. Zestaw 6 Arkusz1 – poziom podstawowy 1) Wyznacz wszystkie liczby x ∈ R , które spełniają nierówność x 2 < 4x , ale nie spełniają nierówności x + 2 < 3 . 2) Dany jest wykres pewnej funkcji y = f ( x) określonej dla x ∈ − 6,3 . Określ: a) zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji, b) przedziały monotoniczności, c) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne. 3) Wyznacz liczbę składników w sumie 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 449 i oblicz tę sumę. 4) Rysunek przedstawia kształt obszaru zakreślonego przez wycieraczkę szyby samochodu. Kąt AOC ma miarę 2,5 radiana oraz |OB|=20cm, a ramię BA wycieraczki ma długość 30cm. Oblicz pole obszaru, który czyści wycieraczka. 5) Spośród wszystkich ścian ostrosłupa sześciokątnego wybieramy losowo trzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych ścian znajdzie się podstawa tego wielościanu? x≥0 6) Oblicz pole figury wyznaczonej przez układ nierówności: y + x ≤ 5 2y − x ≥ 4 7) Każdą z 20 kobiet zapytano o liczbę posiadanych dzieci. Otrzymane wyniki przedstawiono na histogramie. Oblicz średnią liczbę dzieci posiadanych przez jedną kobietę oraz odchylenie standardowe liczby dzieci. 8) Przed ulokowaniem 400 000 euro masz do wyboru propozycje dwóch banków: Bank A proponuje kwartalną kapitalizację odsetek przy oprocentowaniu 8% w skali roku, natomiast Bank B proponuje roczną kapitalizację odsetek w wysokości 9%. W którym banku korzystniej jest złożyć pieniądze na rok? Ile euro zyskałeś wybierając odpowiedni bank? 9) Pewna parabola o wierzchołku W = ( 2,5) przecina oś OY w punkcie A = (0,4) . Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest ta parabola. Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji. 10) W trapezie prostokątnym dłuższa przekątna ma długość 12cm i tworzy z dłuższym ramieniem kąt o mierze 300, natomiast z krótszym ramieniem kąt o mierze 600. Oblicz pole tego trapezu. liczbę dodatnią 3− 5 do kwadratu otrzymamy: 11) Podnosząc (3 − 5 ) = 14 − 6 2 5 . Stąd otrzymujemy ciekawą równość Zaproponuj analogiczną równość dotycząca liczby zaproponowaną równość. Arkusz2 – poziom rozszerzony 12) Dane są prawdopodobieństwa warunkowe P: P( A / B ) = 14 − 6 5 = 3 − 5 . 11 + 4 7 . Uzasadnij 2 1 , P( A / B' ) = , oraz 5 2 1 . Oblicz P( A ) oraz P( A ∩ B ) . 3 13) W kulę o promieniu R = 4 wpisano sześcian. Oblicz, jaki procent objętości kuli stanowi objętość sześcianu. Podaj wynik z zaokrągleniem do 1%. 14) Dla jakich wartości parametru m równanie − x 2 + 4x = m ma dwa pierwiastki, z których każdy jest większy od 1? P( B ) = 15) Określ dziedzinę funkcji f ( x ) = log 0 ,5 ( x 2 − 5x + 4) − log 0, 5 (5x − 5) + 1 16) Dany jest ciąg określony rekurencyjnie: a1 = 2 + an + 1 = 3 ⋅ an + 2, dla n ∈ N Oblicz pięć początkowych wyrazów tego ciągu. Udowodnij metodą indukcji matematycznej, że powyższy ciąg można wyrazić wzorem ogólnym a n = 3 n − 1 dla n ∈ N + . 17) Dana jest funkcja f ( x ) = x 4 . f ( 2 + h ) − f ( 2) a. Oblicz wartość wyrażenia dla h=0,1. h f ( 2 + h ) − f ( 2) b. Do jakiej liczby dąży wartość wyrażenia , gdy wartość h h dąży do zera? 1 1 = , x ∈ − π, π . 18) Rozwiąż równanie sin x sin 4x 19) Dwa krótsze boki trójkąta rozwartokątnego mają długości 5cm i 6cm. Jakie wartości może przyjmować długość trzeciego boku? 20) Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i stycznych do okręgu o środku w punkcie S = (4,0) i promieniu równym 2. 2 21) Uzasadnij, że funkcja f ( x) = x 2 + przyjmuje dla dodatnich argumentów x wartości nie mniejsze od 3. 2. Zestaw 7 Arkusz1 – poziom podstawowy 1) Średnia arytmetyczna liczb: 11,12,8,11,x,3,4,6,8,8 jest równa 8,5. a) Wyznacz x. b) Wyznacz medianę tych liczb. 2) W układzie współrzędnych zacieniowano obszar w kształcie trójkąta. a. Napisz układ nierówności liniowych opisujących ten obszar. b. Oblicz pole i obwód tego obszaru. 3) W okrąg o promieniu 6cm wpisano w sposób symetryczny cztery przystające okręgi. Oblicz ich promień. 4) Pewna planeta obiega słońce w ciągu 365 dni. Orbita tej planety, to w przybliżeniu okrąg o średnicy 3 ⋅ 108 km. Wyznacz prędkość tej planety. Wynik podaj w kilometrach na godzinę w zaokrągleniu do tysięcy kilometrów na godzinę. 5) Dany jest trójmian kwadratowy y = 3x 2 − 5x − 2 . a) Wyznacz pierwiastki tego trójmianu. b) Rozłóż trójmian na czynniki liniowe. c) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tego trójmianu. 6) Cena płaszcza kolejno malała najpierw o 20%, a następnie o 30% i wtedy kosztował on 700 złotych. Jaka była cena płaszcza przed obniżkami? 1 7) Wzór na objętość stożka ściętego ma postać V = π R 2 + Rr + r 2 H , gdzie R 3 oznacza promień dolnej podstawy stożka, r – promień górnej podstawy stożka i H – wysokość stożka ściętego. ( ) Pewne naczynie ma kształt stożka ściętego, w którym R=4, r=2 oraz H=6. Naczynie zostało wypełnione wodą do połowy wysokości. Jaki procent objętości całego naczynia stanowi objętość wody? Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1%. 8) W nieskończonym ciągu arytmetycznym czwarty wyraz jest równy 17, a suma wyrazów trzeciego i szóstego wynosi 39. a) Wyznacz różnicę i pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu. 9) Uzasadnij, że punkty: A = ( −1,1) , B = (1,5) , C = (1000,2003) należą do jednej prostej. 10) W równoległoboku mamy dane (patrz rysunek): a) Oblicz długość dłuższej wysokości równoległoboku. b) Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku. 11) Z drutu o długości 48cm wykonano szkielet ostrosłupa czworokątnego prawidłowego o wszystkich krawędziach równych. a) Oblicz pole powierzchni ostrosłupa. b) Oblicz objętość ostrosłupa. Arkusz2 – poziom rozszerzony 12) Bogdan pierwszą część drogi do szkoły szedł, a drugą biegł (patrz wykres). Oblicz, z jaką prędkością szedł, a jaką biegł i jaka była jego średnia prędkość na całej trasie. Wyniki podaj w kilometrach na godzinę. 13) Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie spełniające nierówność x 3 + 90 ≤ 2( x + 5)2 . 14) Górną podstawę kwadratu podzielono na trzy równe części i skonstruowano kwadrat, następnie górną podstawę kwadratu górnego podzielono na trzy równe części i znów skonstruowano kolejny kwadrat, (patrz rysunek) itd. a) Oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów. b) Oblicz sumę pól wszystkich kwadratów. 15) Boki trójkąta mają długości 5 , 3 2 , 13 . Wyznacz miarę kąta znajdującego się naprzeciw najkrótszego boku oraz pole trójkąta. 16) Na jednej prostej dane są 4 różne punkty, na innej prostej równoległej do niej 6 różnych punktów. Ile istnieje: a) trójkątów, b) czworokątów, których wierzchołkami są dane punkty? 4 17) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f ( x) = x + 2 . x 2 18) Dane jest równanie 2x − 13x + m = 0 . Wyznacz te wartości parametru m, dla których jeden z pierwiastków jest dwa razy większy od drugiego. 19) Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = 2 log 0 ,5 x + 8 . a) Określ dziedzinę tej funkcji. b) Rozwiąż równanie 2 log 0, 5 x + 8 = log 0 ,5 x . 20) Oblicz pole przekroju sześcianu o krawędzi a płaszczyzną zawierająca przekątna jednej ściany i środki dwóch krawędzi przeciwległej ściany. 21) Uzasadnij, że jeśli liczby x,y,z tworzą ciąg arytmetyczny rosnący, to liczby 2 3 − 5 x , 23 − 5 y , 2 3 − 5 z tworzą ciąg geometryczny malejący. 3. Zestaw 8 Arkusz1 – poziom podstawowy 15 1) Dana jest liczba a = . 12 a) Sprawdź, czy liczba a dzieli się przez 5. b) Sprawdź, czy liczba 2 jest dzielnikiem liczby a. c) Wyznacz liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby a. 2) Dana jest funkcja f o wzorze f ( x) = −3x + 3 . a) Wyznacz wzór funkcji g, wiedząc, że jej wykres jest równoległy do wykresu funkcji f oraz przechodzi przez punkt A = (1,3) . b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f i g. c) W jednym układzie współrzędnych narysuj wykresy funkcji f i g. d) Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji f i g oraz osiami układu współrzędnych. 3) Podczas skoku z samolotu spadochroniarz przez pewien czas spadał swobodnie, a dopiero potem otworzył spadochron. Pomiar dostarczył następujących danych o tym spadaniu: Czas t spadania [s] Wysokość h [m] 0 0 0,5 0,75 1 3 1,5 6,75 2 12 2,5 18,75 3 27 3,5 31 4 35 4,5 39 5 43 a) Po ilu sekundach spadochroniarz otworzył spadochron? b) Oblicz średnią prędkość spadania skoczka między pierwszą, a trzecią sekundą. c) Wyraź wzorem zależność między czasem spadania, a wysokością w początkowych sekundach, jeżeli wiadomo, że jest ona funkcją kwadratową. ax + b 4) Asymptotą pionową wykresu funkcji f o wzorze f ( x) = , jest prosta o x+d równaniu x=2, a asymptotą poziomą – prosta o równaniu y=1. Wyznacz wzór funkcji f. 5) Niech α będzie kątem ostrym, różnym od 450. Uzasadnij, że zachodzi tożsamość: tgα + 1 1 + ctgα = . tgα − 1 1 − ctgα 6) Według prostej zasady utworzono z zapałek pewien ciąg figur. a) Ile zapałek potrzeba do utworzenia pięćdziesiątej figury w tym ciągu? b) Ile początkowych figur tego ciągu można ułożyć ze 147 zapałek? 7) Dane są cztery okręgi parami styczne (jak na poniższym rysunku). Promień największego okręgu o środku O jest równy 2. a) Oblicz długość promienia najmniejszego okręgu. b) Oblicz pole zacieniowanego obszaru. 8) W klasie jest trzynaście dziewcząt i trzynastu chłopców. Wychowawca przydzielił uczniom losowo miejsca w trzynastu ławkach dwuosobowych tak, że w każdej ławce siedział po prawej stronie chłopak, a po lewej dziewczyna. Zuzia chciała koniecznie siedzieć z Jackiem. Oblicz prawdopodobieństwo, że marzenie Zuzi się spełni. 9) Objętość prostopadłościanu jest równa 30 cm2. O ile zmieni się jego objętość, jeżeli długość prostopadłościanu zwiększymy czterokrotnie, szerokość zmniejszymy dwukrotnie, a wysokość zmniejszymy trzykrotnie? 10) Punkty A = ( −1,3) , B = ( 2,−1) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków, wiedząc, że przekątne tego równoległoboku są równoległe do osi układu współrzędnych. 11) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole podstawy jest równe 81 cm2, a kąt między przekątną ściany bocznej i krawędzią podstawy ma miarę 600. Arkusz2 – poziom rozszerzony 5−2 5 2− 5 12) Dane są liczby: 6 − 5 , 6 + 5 , , . Zbadaj, czy wśród tych 5 5 liczb jest para liczb przeciwnych i czy jest wśród nich para liczb odwrotnych. x−1 1− x 13) Rozwiąż równanie: = 4− 2 1+ x 14) Dane są funkcje: f ( x ) = 9 − 8x − x 2 oraz g( x ) = 3x − 3 . a) Wyznacz dziedzinę funkcji f. b) Rozwiąż równanie f ( x) = g( x) . c) Rozwiąż nierówność g( x ) ⋅ f ( x ) ≥ 0 . 15) Uzasadnij, że prostokąt o polu 2500 ma obwód co najmniej równy 200. 16) Pole figury ograniczonej okręgiem opisanym na sześciokącie foremnym i brzegiem sześciokąta jest równe 4π − 6 3 (patrz rysunek). Wyznacz: a) Długość boku tego sześciokąta foremnego. b) Długość tego okręgu. 17) Na podstawie wykresu funkcji y = log c x : a) Wyznacz wartość c podstawy logarytmu. b) Wyznacz zbiór argumentów funkcji, dla których przyjmuje ona wartości dodatnie. przedsiębiorstwo ma trzy miejskie numery telefoniczne. 18) Pewne 3 Prawdopodobieństwo, iż w danej chwili korzysta się z danego numeru wynosi . 5 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że: a) co najmniej jeden numer jest wolny, b) dokładnie dwa numery są wolne. 19) Punkty A = ( −2,3) , B = (1,2) i C = ( 2,−1) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. a) Wyznacz współrzędne wierzchołka D. b) Wyznacz równanie prostej zawierającej jego przekątną BD. c) Oblicz jego obwód i pole. 20) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym a1 = log 3 x i iloraz q = log 3 x . Oznaczmy przez f(x) sumę tego ciągu. a) Wyznacz dziedzinę funkcji f. b) Rozwiąż nierówność f ( x) > 1 . 21) Dana jest funkcja f o wzorze f ( x ) = cos 2x + 4 cos x + 3 . a) Oblicz wartość f ( π ) . b) Wyznacz zbiór miejsc zerowych funkcji f. 22) Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek jest równe polu jego podstawy. Oblicz: a) stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni bocznej stożka, b) jaką częścią objętości stożka jest objętość kuli? 4. Zestaw 9 Arkusz1 – poziom podstawowy 1) Zbiór A jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają nierówność x + 24 ≤ 96 , a zbiór B jest przedstawiony na osi liczbowej. a) Przedstaw zbiór A w postaci przedziału liczbowego. b) Opisz zbiór B za pomocą nierówności z wartością bezwzględną. c) Wykaż, że liczba 72 należy do zbioru A \ B . 2) Dwie siostry mają razem 41 lat, a ich mama jest dwa razy starsza od starszej z sióstr. Za pięć lat wszystkie razem będą miały 100 lat. Ile lat mają siostry, a ile ich mama? 3) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej z przedziału (0,100) sumę jej cyfr pomniejszoną o 10. a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f. b) Podaj miejsca zerowe funkcji f. c) Ile razy funkcja przyjmuje wartość 1? d) Narysuj wykres funkcji f dla liczb naturalnych z przedziału 45,60 . 4) Opisz za pomocą układu nierówności zbiór punktów trójkąta PAM przedstawionego na rysunku. Uzasadnij, że trójkąt PAM jest prostokątny. 5) Rozwiąż nierówność: − x 3 + 2005x 2 + 2x − 4010 ≥ 0 i uzasadnij, że ma ona w zbiorze liczb naturalnych mniej niż 2005 rozwiązań. 1 1 6) Wykresy funkcji f ( x) = i g( x ) = x przecinają się w punkcie, którego x k −1 1 rzędna równa się . 3 a) Oblicz odciętą punktu przecięcia wykresów. b) Oblicz k. 1 c) Dla obliczonego k rozwiąż równanie f ( x) = g( x) . 4 7) Zbocze ma w przybliżeniu kształt przedstawiony na rysunku. Oblicz długość drogi z punktu S do punktu M. α 250 400 sinα 0,42 0,64 cosα 0,90 0,77 8) Klient złożył w banku A 5000 zł na okres 2 lat z oprocentowaniem rocznym 5% i roczną kapitalizacją odsetek. Okazało się później, że gdyby tę sama kwotę złożył w banku B, to po dwóch latach miałby o 343 zł więcej. Oblicz jakie oprocentowanie oferował bank B, jeśli kapitalizacja wkładów odbywała się w nim co pół roku. 9) Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a trójkąt prostokątny ABC wpisany jest w większy okrąg. Średnica małego okręgu ma długość równą połowie przeciwprostokątnej trójkąta ABC. a) Wyjaśnij, dlaczego trójkąty ABC i DBE są podobne i podaj skalę podobieństwa. b) Oblicz stosunek pól tych trójkątów. 10) W wyniku obrotu trójkąta o bokach długości 6 , 6 , 6 3 wokół wysokości poprowadzonej do najdłuższego boku, otrzymujemy bryłę F. Oblicz objętość tej bryły i wyznacz kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy. 11) Dziecko bawi się klockami w trzech kolorach. Klocków czerwonych jest osiem razy więcej, niż białych i cztery razy więcej, niż niebieskich. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany przez dziecko klocek będzie koloru niebieskiego. Arkusz2 – poziom rozszerzony 12) Liczby 0,(1) i 0,0(5) są pierwszym i drugim wyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu i zapisz go w postaci ułamka okresowego. 3 2 ≤ x−2 x+3 14) Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu x 2 + y 2 − 14x + 2y + 41 = 0 względem prostej y=2x. 15) Dane są punkty A=(5,2), B=(-2,4), C=(9,4) i D=(-2,1). Wyznacz współrzędne i 1 długość wektora u = AB + AC − 3BD 2 16) Czworokąt jest wpisany w okrąg. Udowodnij, że dla kątów α i β pokazanych na rysunku zachodzi związek 2 sin 2 β − ctgα sin 2β = 1 13) Rozwiąż nierówność: x −3 dla x < 4 17) Narysuj wykres funkcji f ( x) = . Na podstawie wykresu x dla x ≥ 4 określ własności tej funkcji: monotoniczność, parzystość, różnowartościowość, i ciągłość. 3 18) Funkcja f ( x ) = x 3 + x 2 − 6x − 2 przyjmuje dla argumentu p wartość 8, a jej 2 pochodna ma dla argumentu p wartość 0. a) Oblicz p. b) Wyznacz ekstrema funkcji f. c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji f. 19) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole podstawy równa się 12 3 , a pole narysowanego przekroju 20 3 . Oblicz sinus kąta nachylenia płaszczyzny tego przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. 20) Udowodnij indukcyjnie, że pochodna funkcji f ( x ) = x n dla n ∈ N + , jest równa n ⋅ x n−1 , czyli ( x n )' = n ⋅ x n−1 . 5. Zestaw 10 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Arkusz1 – poziom podstawowy R1 ⋅ R 2 Wzór R = jest używany w teorii elektryczności do wyznaczania R1 + R 2 wypadkowego oporu R obwodu elektrycznego, gdy oporniki o oporach R1 i R2 są połączone równolegle. Opór wypadkowy pewnego obwodu elektrycznego, w którym połączono równolegle dwa oporniki jest równy R = 4Ω , a opór jednego z nich jest równy 6Ω . Jaki opór musi mieć drugi opornik? Dwa statki wypływają z portu w tym samym momencie. Jeden z nich płynie na zachód z prędkością 17 mil na godzinę, a drugi na południe z prędkością 12 mil na godzinę. Jeśli t oznacza czas w godzinach od momentu wypłynięcia statków z portu, to wyraź odległość d między statkami w dowolnym momencie jako funkcję czasu t. Huśtawkę dziecięca najpierw odciągnięto do punktu P, a następnie puszczono. W pierwszym wahnięciu huśtawka pokonała drogę długości 2 m do punktu Q, a w każdym następnym wahnięciu poruszała się po łuku, którego długość za każdym 4 długości łuku z poprzedniego wahnięcia. Jaką długość łuku razem malała do 5 zatoczyła huśtawka w piątym wahnięciu, a jaką długość drogi pokonała ona do tego czasu od momentu puszczenia? W pewnej firmie zakupiono dwie drukarki. Pierwsza kosztowała 1000 zł, a druga 1200 zł. Okazało się, że jeden wydruk uzyskany z pierwszej drukarki kosztuje 5 gr, a z drugiej 4 gr. Dla jakich x całkowity koszt (łącznie z ceną zakupu) wykonania x wydruków na pierwszej drukarce będzie bardziej opłacalny, niż całkowity koszt wykonania x wydruków na drugiej z nich? Chcemy wyprodukować 10000 kurtek młodzieżowych o numerach od 1 do 6. Wyniki ankiety przeprowadzonej w pewnej grupie młodzieży na pytanie „Jaki numer kurtki nosisz?”, w przeliczeniu na procenty, przedstawia poniższa tabela: numer kurtki 1 2 3 4 5 6 częstość w % 5% 10% 50% 20% 10% 5% Oblicz, ile kurtek w każdym rozmiarze należy uszyć? Przemieszczenie s (w metrach) pewnego ciała jest funkcją czasu t (w sekundach) opisaną wzorem: s(t ) = t 2 + 6t + 10 . Oblicz średnią prędkość tego ciała w czasie t ∈ 4,7 . Wysokość szklanego akwarium otwartego od góry, ma długość 30 cm (jak na rysunku), a jego objętość jest równa 54 dm3. Oblicz powierzchnię szkła (grubość szkła pomijamy) potrzebną na wykonanie tego akwarium, jeśli wiadomo, że stosunek długości do szerokości jego dna wynosi 2:1. 8) Aby wyznaczyć wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniających równanie: xy = x − y + 3 , można postąpić następująco: Krok 1. Najpierw przekształcamy to równanie do postaci: ( xy − x) + y = 3 . Krok 2. Następnie z pierwszego składnika sumy po lewej stronie tego równania, czyli z nawiasu, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, a drugi składnik sumy uzupełniamy do wyrażenia, które występuje w nawiasie, tak, by równania pozostały równoważne: x( y − 1) + ( y − 1) = 3 − 1 . Krok 3. Lewą stronę otrzymanego równania zapisujemy w postaci iloczynowej przez wyłączenie wspólnego czynnika (y-1) przed nawias: ( y − 1)( x + 1) = 2 . Krok 4. Ponieważ lewa strona tego równania jest iloczynem dwóch czynników całkowitych, więc jego prawą stronę, czyli liczbę 2 również przedstawiamy w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych: ( y − 1)( x + 1) = 2 = 1 ⋅ 2 = 2 ⋅ 1 = −1 ⋅ ( −2) = −2 ⋅ ( −1) . Krok 5. Porównujemy obie strony równania i zapisujemy je w postaci alternatywy czterech układów równań (bo tyle otrzymaliśmy rozkładów liczby 2 w postaci iloczynu liczb całkowitych): x+1=1 x + 1 = 2 x + 1 = −1 x + 1 = −2 [( x + 1)(y − 1) = 2] ⇔ ∨ ∨ ∨ y − 1 = 1 y − 1 = −2 y − 1 = −1 y − 1 = 2 Krok 6. Rozwiązujemy powyższe układy równań: x = 0 x = 1 x = −2 x = −3 ∨ ∨ ∨ y = 3 y = 2 y = −1 y = 0 Krok 7. Na koniec wyciągamy wniosek, że jedynymi parami liczb całkowitych spełniającymi wyjściowe równanie są pary liczb: (0,3), (1,2), (-2,-1), (-3,0). Postępując analogicznie, wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie: xy = 2x − y + 5 . 9) Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o promieniu długości 2 cm jest równy 20 cm. Oblicz długości boków i pole trapezu. 10) Ze zbioru cyfr {1,2,3,5,7} układamy wszystkie możliwe liczby 3-cyfrowe o różnych cyfrach. Z liczb tych wybieramy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie ona wielokrotnością liczby 65? Arkusz2 – poziom rozszerzony 11) Chemicy używają wielkości pH do mierzenia stężenia wodoru w roztworze. Woda ma pH równe 7, kwas ma pH mniejsze od 7, natomiast pH zasady jest większe od 7. Wielkość pH roztworu można opisać formułą: pH = − log H + , gdzie H+ oznacza liczbę jonów wodoru w roztworze w molach na litr. Oblicz pH próbki pewnej gleby, w której liczba jonów wodoru H+ jest równa 2,3 ⋅ 10 −7 moli na litr i na podstawie otrzymanego wyniku zdecyduj, jakie pH ma ta gleba. Wyniki podaj w zaokrągleniu do 0,1. Przyjmij, że log 2,3 ≈ 0,4 . 12) Z punktu A widać słup telefoniczny pod kątem o mierze 640. Słup jest odchylony od pionu o kąt miary 90 w kierunku drogi na powierzchni ziemi, na którą słońce rzuca cień (jak na rysunku). Długość cienia słupa jest równa 6,4 m. Oblicz w zaokrągleniu do 1 m długość tego słupa. 13) Udowodnij, że jeśli B jest takim zdarzeniem w pewnej przestrzeni Ω zdarzeń elementarnych, że P(B)>0, to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω prawdziwa jest P( A ) + P( B ) − 1 P( A ) podwójna nierówność: ≤ P( A / B ) ≤ P( B ) P( B ) 14) Dwa ciała poruszają się ruchem jednostajnym po dwóch prostych przecinających się pod kątem ostrym o mierze α = 600 ku punktowi P ich przecięcia (jak na rysunku). W pewnym momencie zmierzono odległości tych ciał od punktu P i okazało się, że jedno z nich było oddalone o 10 m od punktu P, a drugie o 6 m. m Pierwsze z nich porusza się z prędkością v1 = 4 , a drugie z prędkością s m v 2 = 2 . Oblicz dokładnie odległość tych ciał od siebie w chwili dokonania s pomiaru i odległość tych ciał po dwóch sekundach ich ruchu od momentu wykonania pierwszego pomiaru. 15) Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f i g opisane wzorami: f ( x ) = 2 x − 1 i g( x) = 2x + 1 , oraz na podstawie ich wykresów odczytaj liczbę rozwiązań równania f(x)=g(x). 16) Z ciągu liczb naturalnych (1,2,3,4,5,...) wybrano sto kolejnych takich liczb, z których każda ma tę własność, że jeżeli podzielimy ją przez 3, to otrzymamy resztę 1. Wyznacz najmniejszą z nich, wiedząc, że suma wszystkich tych liczb jest równa 17950. 17) W pewnym zakładzie stosuje się dwa warianty technologii produkcji. W pierwszym wariancie koszt wyprodukowania jednej jednostki produktu jest równy 2 zł, a koszty stałe całej produkcji wynoszą 25 000 zł. W drugim wariancie koszt produkcji jednostki produktu jest równy 3 zł, a koszty stałe całej produkcji wynoszą 18 000 zł. Zbadaj monotoniczność funkcji, która jest ilorazem funkcji całkowitego kosztu produkcji t jednostek produktu w pierwszym wariancie do funkcji całkowitego kosztu produkcji t jednostek produktu w drugim wariancie. 18) Sprawdź, czy przekształcenie P płaszczyzny opisane wzorem P(( x, y )) = ( y + 2, x − 1) , gdzie (x,y) jest dowolnym punktem płaszczyzny, jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu hiperboli x ⋅ y = 2 w przekształceniu P. 19) Dla jakich wartości parametru m ∈ C , pierwiastki funkcji kwadratowej zadanej x 2 + x 22 wzorem f ( x ) = x 2 − 3x + m + 1 spełniają nierówność 1 > 1? x1 x 2 20) W stożek, którego wysokość ma długość H=12 dm, a promień jego podstawy ma długość R=4 dm, wpisano walec (jak na rysunku). Jakie powinny być wymiary walca, aby jego objętość była największa?