Marcin Skowronek - Studia Informatica

STUDIA INFORMATICA
Volume 35
2014
Number 3 (117)
Mikhail MATALYTSKI
Politechnika Częstochowska, Instytut Matematyki
Viktor NAUMENKO
Grodzieński Uniwersytet Państwowy
ZASTOSOWANIE HM-SIECI KOLEJKOWYCH DLA
WYZNACZENIA OBJĘTOŚCI PAMIĘCI SYSTEMÓW
INFORMACYJNYCH
Streszczenie. Dla rozwiązywania zagadnienia wyznaczenia objętości pamięci stochastycznych systemów informacyjnych (SI) proponowano nowy model matematyczny oparty na zastosowaniu HM (Howard-Matalytski) sieci kolejkowych z dochodami.
Wskazany model pozwala na uwzględnienie zależności czasu opracowania komunikatu od jego objętości, a także możliwość zmiany objętości komunikatu z ciągiem
czasu. Otrzymano wyrażenia dla wartości oczekiwanych objętości komunikatów w
węzłach SI.
Słowa kluczowe: HM-sieci, sieci informacyjne, objętości zgłoszeń
HM-QUEUEING NETWORK APPLICATIONS TO DETERMINE THE
MEMORY VOLUME OF INFORMATION SYSTEMS
Summary. To solve the problem of determining of memory volume of stochastic
information (IS) systems of various configurations is proposed to use a new model
based on the use of HM-queueing network, which takes into account the relationship
between the volume of messages and the time of processing nodes in the system, the
possibility of changing with time the volume of messages. It is obtained an expressions for the expected volumes of messages in the nodes IS.
Keywords: HM-networks, information networks, the volumes of messages
64
M. Matalytski, V. Naumenko
1. Wprowadzenie
Celem pracy jest pokazanie możliwości zastosowań HM-sieci do rozwiązywania zadań
projektowania SI, tj. takich systemów, w których obiektem przekształceń jest informacja
przybywająca porcjami w postaci komunikatów.
Zilustrowano wskazane możliwości na przykładzie problemu wyznaczenia objętości pamięci buforowej węzłów sieci telekomunikacyjnej, w której odbywa się przekształcenie
i transmisja komunikatów.
Zauważono, że rozpatrywane zagadnienie jest jednym z podstawowych przy projektowaniu routerów lub centrów sieci telekomunikacyjnych [1]. Nieuwzglednienie zależności
czasów opracowania komunikatów od ich objętości może doprowadzić do poważnych błędów przy wyznaczeniu objętości pamięci buforowej w SI.
Realizacja wskazanego celu w artykule w sytuacji ogólnej polega na użyciu HM-sieci kolejkowej z dochodami [2]. Zgłoszenie przy przejściu z jednego systemu obsługi masowej
(SOM) do drugiego przynosi ostatniemu SOM pewien dochód (ktory równy jest objętości
wskazanego zgłoszenia), a dochód (objętość) pierwszego SOM zmniejsza się o tę samą wartość.
Rozważono otwartą wykładniczą sieć kolejkową ze zgłoszeniami jednego typu, która
składa się z n jednoliniowych systemów obsługi: S1 , S 2 , ..., S n .
Stan sieci określa się za pomocą wektora
k (t ) = (k1 (t ), k 2 (t ),..., k n (t )) ,
gdzie ki (t ) jest liczbą zgłoszeń w systemie S i w chwili czasu t , i = 1, n . Zauważono, że objętość zgłoszeń obecnych w sieci nie jest parametrem charakteryzującym jej stan.
Wprowadzono system S 0 (otoczenie), który wysyła pojedynczy strumień zgłoszeń.
Niech p0i (t ) będzie prawdopodobieństwem przejścia zgłoszenia z systemu S 0 do systemu
n
S i w czasie t ,
∑ p0i (t ) = 1 ,
i =1
pij (t ) jest prawdopodobieństwem przejścia zgłoszenia do SOM
n
S j w czasie t po obsługiwaniu go w SOM S i ,
∑ pij (t ) = 1 , i = 1, n . Podstawowym naszym
j =0
celem jest znalezienie wartości oczekiwanych sumarycznych objętości zgłoszeń w systemach
sieci w chwili czasu t , jeżeli znane są objętości sumaryczne zgłoszeń w początkowej chwili
t = 0.
Zastosowanie HM-sieci kolejkowych dla wyznaczenia objętości pamięci systemów…
65
2. Analiza oczekiwanych objętości zgłoszeń w systemach sieci
Objętość sumaryczną zgłoszeń w i -tym SOM w czasie t + Δt można zapisać w postaci:
Vi (t + Δt ) = Vi (t ) + ΔVi (t , Δt ) ,
(1)
gdzie ΔVi (t , Δt ) jest zmianą objętości zgłoszeń systemu S i w przedziale czasu [t , t + Δt ) .
W celu wyznaczenia charakterystyk rozkładu tej zmiennej losowej (ZL) zapisano prawdopodobieństwa warunkowe zdarzeń, których zachodzenie jest możliwe w czasie Δt , i zmiany
sumarycznych objętości zgłoszeń związane z tymi zdarzeniami:
− z prawdopodobieństwem λ (r0i (t ) ) p0i (t )Δt + o(Δt ) system S i w ciągu czasu Δt
otrzyma zgłoszenie z systemu S 0 o objętości r0i (t ) , gdzie λ (r0i (t ) ) – intensywność
wchodzącego do SOM S i strumienia zgłoszeń o objętości r0i (t ) , r0i (t ) jest ZL
o skończonej wartości oczekiwanej a0i (t ) , tj. E{r0i (t )} = a0i (t ) , i skończonym drugim momencie E{r02i (t )} = a20i (t ) , i = 1, n ;
− jeżeli w czasie t w SOM S i znajduje się zgłoszenie o objętości Ri 0 (t ) , to z prawdopodobieństwem μ i (Ri 0 (t ) )u (ki (t ) ) pi 0 (t )Δt + o(Δt ) ten system przesyła wskazane zgłoszenie do otoczenia, i tym samym redukuje objętość sumaryczną w S i o wielkość
⎧1, x > 0,
Ri 0 (t ) ), gdzie E{Ri 0 (t )} = bi 0 (t ) , E{Ri20 (t )} = b2i 0 (t ) , i = 1, n , u (x ) = ⎨
⎩0, x ≤ 0;
− jeżeli w chwili czasu t w SOM S i znajduje się zgłoszenie o objętości rij (t ) , to
z prawdopodobieństwem
μ i (rij (t ) )u (ki (t ) ) pij (t )Δt + o(Δt ) zgłoszenie przechodzi
z systemu S i do systemu S j (w ten sposób wzrasta objętość sumaryczna SOM S j
o wielkość rij (t ) i maleje objętość sumaryczna SOM S j o tę samą wielkość), gdzie
E{rij (t )} = aij (t ) < ∞ , E{rij2 (t )} = a2ij (t ) < ∞ , i, j = 1, n, i ≠ j ;
− z prawdopodobieństwem
⎡
⎤
n
⎢
⎥
1 − ⎢λ (r0i (t ) ) p0i (t ) + μ i (Ri 0 (t ) )u (ki (t ) ) + ∑ μ j r ji (t ) u k j (t ) p ji (t )⎥ Δt + o(Δt )
j =1
⎢
⎥
j ≠i
⎣
⎦
(
)(
)
stan systemu S i nie zmieni się w przedziale czasowym [t , t + Δt ) , w tym przypadku
objętość sumaryczna SOM Si wzrasta (lub zmniejsza się) o ri (t )Δt , gdzie
E{ri (t )} = ci (t ) , i = 1, n .
Założono także, że ZL r0i (t ) , Ri 0 (t ) , rji (t ) są niezależne od ZL ri (t ) .
66
M. Matalytski, V. Naumenko
Założono, że intensywność wchodzącego strumienia zgłoszeń i intensywności obsługi-
wania zgłoszeń w systemach liniowo zależą od ich objętości, tj.
λ (r0i (t ) ) = λ (t )r0i (t ) , μi (Ri 0 (t ) ) = μi Ri 0 (t ) , μ j (r ji (t ) ) = μ j r ji (t ) , i, j = 1, n .
Oprócz tego założono, że wszystkie SOM funkcjonują w umowach dużego obciążenia, tj.
w każdej chwili czasu mamy ki (t ) > 0 , w przypadku tym u (ki (t ) ) = 1 , i = 1, n . W monografji
[3] zaznaczono, że w takich umowach często funkcjonują bezprzewodowe sieci lokalne, w
których kolejki pakietów do wszystkich stacji zawsze są niepuste. W zaznaczonych warunkach otrzymujemy:
⎧r0i (t ) + ri (t )Δt
⎪− R (t ) + r (t )Δt
i
⎪ i0
⎪r ji (t ) + ri (t )Δt
⎪
⎪− r (t ) + ri (t )Δt
ΔVi (t , Δt ) = ⎨ ij
⎪ri (t )Δt
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
z prawdopodob. λ (t ) p 0i (t )Δt + o(Δt ),
z prawdopodob. μ i Ri 0 (t ) p i 0 (t )Δt + o(Δt ),
z prawdopodob. μ j r ji (t ) p ji (t )Δt + o(Δt ),
z prawdopodob. μ i rij (t ) p ij (t )Δt + o(Δt ),
z prawdopodob.
1 − [λ (t ) p 0i (t ) + μ i rij (t ) +
(2)
n
+ ∑ μ j r ji (t ) p ji (t )]Δt + o(Δt ) .
j =1
j ≠i
W praktyce zwykle zachodzi taka sytuacja, że wszystkie realizacje procesów ri (t ) ,
r0i (t ) , Ri 0 (t ) , rji (t ) są ograniczone, i, j = 1, n , dlatego E{ΔVi (t , Δt )} = f i (t )Δt + o(Δt ) , gdzie
n
n
j =1
j ≠i
j =1
f i (t ) = λ (t )a20i (t ) p0i (t ) + ci (t ) − μ i a 2i 0 (t ) pi 0 (t ) + ∑ μ j a2 ji (t ) p ji (t ) − μ i ∑ a2ij (t ) pij (t ) .
Niech
vi (t ) = E{Vi (t )},
i = 1, n .
vi (t + Δt ) = vi (t ) + E{ΔVi (t , Δt )} , z kolei
Wtedy
ze
wzoru
(1)
wynika,
że
dvi (t )
= f i (t ) , i = 1, n , skąd ostatecznie otrzymano:
dt
t
vi (t ) = vi 0 (0) + ∫ f i (τ )dτ .
(3)
0
Przyklad 1. Rozpatrzono system jednoliniowy ( n = 1 ), dla którego λ (r01 (t )) = λ ,
μ1 ( R10 (t )) = μ , tj. parametry wchodzącego strumienia i parametry czasu obsługi, jak również
i parametry objętości zgłoszeń nie zależą od czasu i r1 (t ) = 0 . W tym przypadku otrzymano:
⎧r
ΔV1 (t , Δt ) = ⎨ 01
⎩-R10
z prawdopodob. λΔt + o(Δt ),
z prawdopodob. μΔt + o(Δt ),
dv1 (t )
= (λ − μ )r10 i v1 (t ) = v1 (0) + (λ − μ )r10t .
dt
Zastosowanie HM-sieci kolejkowych dla wyznaczenia objętości pamięci systemów…
67
Przyklad 2. Przeanalizowano zachowanie sieci kolejkowej otwartej, składającej się z n = 3
SMO (rys. 1) na odcinku czasu [0, T ] , gdzie T = 10.
S1
S2
S3
Rys. 1. Struktura sieci
Fig. 1. The network structure
Niech proces stochastyczny r0i (t ) będzie zbiorem, składającym się z trzech realizacji
{ξ1i (t ),ξ 2i (t ),ξ 3i (t )} określonych w sposób następujący [4]:
ξ ki (t ) = ki t , P{r0i (t ) = ξ ki (t )} =
ki
, ki = 1,3 .
6
1 2
3
7
5
Wtedy E{r0i (t )} = t + ⋅ 2t + ⋅ 3t = t , Var r0i (t ) = t , i = 1,3 . Analogicznie wyznaczono
6 6
6
3
9
procesy
Ri 0 (t ) ,
r ji (t ) ,
i, j = 1,3 , i niech
bi 0 (t ) = bi 0 t ,
b2i 0 (t ) = b2i 0t ,
ai 0 (t ) = ai 0 t ,
a2i 0 (t ) = a2i 0t , a ji (t ) = a ji t , a2 ji (t ) = a2 ji t , i, j = 1,3 . Oprócz tego ci (t ) = at + b , gdzie a i b
są
pewne
nieujemne
liczby
rzeczywiste,
μ1 = 3 ,
μ 2 = μ3 = 1,
bi 0 = a ji =
7
t,
3
5
b2i 0 = a2i 0 = a2 ji = t , vi 0 (0) = 10 , i, j = 1,3 . Wyznaczono prawdopodobieństwa przejść zgło9
szeń w postaci
p02 (t ) = p03 (t ) = p21 (t ) = p31 (t ) = 1 , p12 (t ) = p13 (t ) = 0,1(sin t + 1) , p10 (t ) = 1 − p12 (t ) − p13 (t ) .
Niech λ (t ) = a(sin ω t + 2) , gdzie a = 2 , b = 3 , ω = 5 . Otrzymano wówczas ci (t ) = 2t + 3 ,
i = 1,3 . W tym przypadku ze wzoru (3) otrzymano:
v1 (t ) = 10 + 3t + 0,44t 2 + 5,55 ⋅10 −17 (t cos t − sin t ) ,
v2 (t ) = 10 + 3t + 1,91t 2 − 0,17(t cos t − sin t ) − 0,22t cos 5t + 0,04 sin 5t ,
v3 (t ) = 10 + 3t + 2,19t 2 − 0,17(t cos t − sin t ) − 0,22t cos 5t + 0,04 sin 5t .
Jako jednostkę wymiaru wybrano jedną godzinę. Wykresy objętości oczekiwanych SOM są
przedstawione na rys. 2.
68
M. Matalytski, V. Naumenko
i=3
vi (t )
i=2
i =1
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2
Rys. 2.
Fig. 2.
4
6
8
10
t
Oczekiwane objętości systemów sieci
The expected volumes of network systems
3. Wnioski
Dalsze badania w tym kierunku mogą być związane z analizą dowolnych (niemarkowowskich) sieci ze zgłoszeniami o losowej objętości i sieci z różnymi osobliwościami: z niepewnymi SOM, z ograniczonym czasem oczekiwania zgłoszeń w kolejkach itd.
BIBLIOGRAFIA
1. Tikhonenko O.: Metody probabilityczne analizy systemow informacyjnyh. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2006.
2. Matalytski M.: On some results in analysis and optimization of Markov networks with incomes and their application. Automation and Remote Control, Vol. 70, №10, 2009,
s. 1683 ÷ 1697.
3. Wiszniewski W.: Zagadnienia teoretyczne projektowania systemów komputerowych. Technosfera, Moskwa 2003 (w jęz. ros.).
4. Matalytski M., Khackevich G.: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna
i procesy stochastyczne. Wyższa Szkola, Minsk 2012 (w jęz. ros.).
Wpłynęło do Redakcji 5 kwietnia 2014 r.
Zastosowanie HM-sieci kolejkowych dla wyznaczenia objętości pamięci systemów…
69
Abstract
HM-queueing network applications to determine the memory volume of information
systems. In this article proposed to solve the problem of determining of memory volume of
stochastic information (IS) systems of various configurations is proposed to use a new model
based on the use of HM-queueing network, which takes into account the relationship between
the volume of messages and the time of processing nodes in the system, the possibility of
changing with time the volume of messages. In work it is obtained an expressions for the
expected volumes of messages in the nodes and volumes variances. It is calculated an example on the computer. Further researching in this area will involve the development of arbitrary networks with messages taking into account their volumes and many-line queueing
networks, as well as with different features: with unreliable QS with limited time waiting in
the queues, etc.
Adresy
Mikhail MATALYTSKI: Politechnika Częstochowska, Instytut Matematyki,
ul. Dąbrowskiego 73, 42-200 Częstochowa, Polska, [email protected]
Viktor NAUMENKO: Grodzieński Uniwersytet Państwowy,
ul. E. Orzeszkowej 22, 230023 Grodno, Białoruś, [email protected]