zadania i przykłady część II - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

zadania i przykłady część II - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego
w Łodzi
Dariusz Wardowski
Katedra Analizy Nieliniowej
Bankowość i metody statystyczne
w biznesie - zadania i przykłady
część II
Łódź 2008
Rozdział 1
Oprocentowanie lokaty
1.1
Równoważność warunków oprocentowania
Warunki oprocentowania jakie oferuje bank I są równoważne w danym okresie warunkom oprocentowania jakie oferuje bank II jeżeli przyszła wartość kapitału po tym czasie
w banku I jest równa wartości przyszłej identycznej wartości kapitału w banku II. Jeżeli
warunki oprocentowania w banku I są równoważne w każdym okresie warunkom oprocentowania w banku II, to mówimy, że warunki określone w banku I są równoważne
warunkom określonym w banku II.
1.1.1
Równoważność warunków oprocentowania dla modelu kapitalizacji prostej
Załóżmy, że w banku I i w banku II obowiązuje odpowiednio roczna stopa procentowa
r1 i roczna stopa procentowa r2 . Niech m1 , m2 oznaczają odpowiednio ilość okresów
kapitalizacji w ciągu roku w banku I i w banku II. Wówczas warunki oprocentowania są
równoważne (dla dowolnego okresu) gdy
r1 = r2 .
1.1.2
Równoważność warunków oprocentowania dla modelu kapitalizacji złożonej
Przyjmijmy oznaczenia jak w 1.1.1. Gdy w bankach I i II obowiązuje model kapitalizacji złożonej. Wówczas warunki oprocentowania w banku I są równoważne warunkom
oprocentowania w banku II, gdy zachodzi równość:
I
II
= ref
,
ref
I
II
gdzie ref
, ref
oznaczają stopy efektywne odpowiednio w banku I i w banku II.
Przykład. 1.1.1 W banku I obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy
rocznej stopie procentowej 22%, a w banku II kapitalizacja kwartalna złożona z dołu przy
rocznej stopie procentowej r. Dla jakiego r warunki oprocentowania w bankach I i II będą
równoważne?
1
Rozwiązanie: Ponieważ w obydwu bankach obowiązuje model kapitalizacji złożonej, więc
warunki będą równoważne, gdy stopy efektywne w tych bankach będą sobie równe. Obliczymy najpierw roczną stopę efektywną w banku I:
I
ref
0, 22
= 1+
2
2
− 1 = 0, 2321.
Roczna stopa efektyna w banku II wyraża się wzorem:
II
ref
r
= 1+
4
4
− 1.
Otrzymujemy zatem równanie:
r
1+
4
4
− 1 = 0, 2321.
Stąd
1+
r
4
4
1+
= 1, 2321
r q
= 4 1, 2321
4
q
r = 4 4 1, 2321 − 4 ≈ 0, 2143.
Zad. 1.1.1 W banku I obowiązuje kapitalizacja półroczna z dołu przy rocznej stopie
procentowej 20%. W banku II obowiązuje kapitalizacja kwartalna z góry przy półrocznej
stopie procentowej r. Dla jakiej wartości r warunki oprocentowania w bankach I i II
będą równoważne dla 4 lat? Czy warunki te będą równoważne dla 8 lat? (Przeprowadzić
dokładne obliczenia)
Zad. 1.1.2 W banku A obowiązuje kapitalizacja półroczna z góry przy rocznej stopie
procentowej rA , a w banku B kapitalizacja kwartalna z dołu przy rocznej stopie procentowej rB . Jaką zależność powinny spełniać stopy rA i rB , aby warunki oprocentowania w
tych bankach były równoważne dla 4 lat? Czy warunki te będą równoważne?
1.2
Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej
Rozważamy teraz sytuację gdy wartość stopy procentowej ulega zmianie. Sytuacja taka
jest możliwa zwłaszcza dla długich przedziałów czasu. Oznaczmy przez nk , k = 1, 2, . . . , p,
p ∈ N, ilość okresów, w których obowiązuje stopa procentowa o wartości rk . Zakładamy,
że okres stopy procentowej się nie zmienia i kapitalizacja jest zgodna. Oznaczmy n =
n1 + n2 + · · · + np .
W modelu kapitalizacji prostej wartość przyszła kapitału K0 wyraża się wzorem:
Pn = K0 (1 +
p
X
ni ri ).
i=1
W modelu kapitalizacji złożonej z dołu wartość przyszła kapitału K0 wyraża się wzorem:
p
Kn = K0
Y
(1 + ri )ni .
i=1
2
W modelu kapitalizacji złożonej z góry wartość przyszła kapitału K0 wyraża się wzorem:
p
Y
Wn = K0
(1 − ri )−ni .
i=1
W modelu kapitalizacji ciągłej wartość przyszła kapitału K0 wyraża się wzorem:
Wn = K0 en1 r1 +n2 r2 +···+np rp .
Gdy stopa procentowa jest zmienna, wówczas wprowadza się pojęcie przeciętnej stopy procentowej, czyli takiej dla której przyszła wartość kapitału jest taka sama jak przy
zastosowaniu zmieniających się stóp procentowych.
W modelu kapitalizacji prostej przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem:
rprz =
p
1X
ni ri .
n i=1
W modelu kapitalizacji złożonej z dołu przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem:
rprz =
v
u p
uY
n
t
(1 + r )ni
− 1.
i
i=1
W modelu kapitalizacji złożonej z góry przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem:
rprz = 1 −
v
u p
uY
n
t
(1 − r )−ni .
i
i=1
W modelu kapitalizacji ciągłej:
rprz =
p
1X
ni ri .
n i=1
Przykład. 1.2.1 Przez kolejne 4 kwartały kwartalna stopa procentowa przyjmowała
wartości: 14%, 10%, 8%, 11%. Obliczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeżeli
bank stosuje kapitalizację kwartalną z góry.
Rozwiązanie. Mamy r1 = 14%, r2 = 10%, r3 = 8%, r4 = 11%. Okresem każdej stopy
jest kwartał. Zatem
rprz = 1 −
q
4
(1 − 0, 14)(1 − 0, 1)(1 − 0, 8)(1 − 0, 11) ≈ 0, 391.
Zad. 1.2.1 Przez kolejne cztery lata roczna stopa procentowa miała nastepujace wartosci: 10%, 12%, 11%, 8%, a przez nastepne dwa lata wynosiła 7%. Wiedzac, ze bank
stosował roczna kapitalizacje złozona z dołu, wyznaczyc przecietna roczna stope procentowa i obliczyc wartosc kapitału 100 jp po tych szesciu latach.
Zad. 1.2.2 W kolejnych kwartałach roku kwartalna stopa procentowa przyjmowała nastepujace wartosci: 3%, 5%, 7%, 2%. Wyznaczyc przecietną kwartalną stopę procentową,
jesli bank stosował kwartalną kapitalizację
1. prostą,
3
2. złozona z góry,
3. złozona z dołu,
4. ciągłą.
Zad. 1.2.3 Kwote 200 jp wpłacono do banku na 3 lata. Bank stosuje kapitalizacje złozona
roczna przy rocznej stopie procentowej 15%. Wyznaczyc wartosc przyszłą po 3 latach i
10 dniach, przyjmując rózne warianty oprocentowania w czasie przewyższajacym 3 lata:
1. w czasie przekroczonym odsetki nie będą doliczane,
2. za czas przekroczony zostaną dopisane odsetki proste od wartości początkowej według niższej stopy procentowej,
3. bank dolicza odsetki proste od końcowej wartości kapitału według niższej stopy
procentowej,
4. bank dolicza odestki proste od końcowej wartości kapitału, ale według innej stopy
procentowej jest oprocentowany kapitał początkowy, a według innej zgromadzone
odsetki,
5. bank dolicza część odsetek przypadających na 1 okres kapitalizacji, proporcjonalna
do liczby przekroczonych dni,
6. bank dolicza odsetki złozone za cały czas trwania lokaty.
1.3
Oprocenotwanie lokaty z uwzględnieniem inflacji
Jeżeli rozważamy wzrost kapitału w danym modelu kapitalizacji bez uwzględnienia stopy inflacji, wówczas mówimy o wzroście kapitału w ujęciu nominalnym. Jeśli natomiast
uwzględnimy stopę inflacji wówczas rzeczywisty wzrost wartości pieniądza nazwiemy realną stopę procentową. Oznaczmy stopę inflacji przez i, rre niech oznacza realną stopę
procentową. Zakładamy tutaj, że okres stopy procentowej pokrywa się z okresem stopy
inflacji. Jeżeli oznaczymy przez K1 nominalny wzrost kapitału K0 po jednym okresie kapitalizacji, a przez K1re rzeczywisty wzrost wartości tego kapitału, wówczas wzrost realny
jest mniejszy niż nominalny. Związek między K1 a K1re możemy zapisać w postaci:
K1re (1 + i) = K0 (1 + r).
Stąd otrzymujemy:
K0 (1 + rre )(1 + i) = K0 (1 + r)
1+r
1 + rre =
1+i
1+r
r−i
rre =
−1=
.
1+i
1+i
Z powyższego wzoru otrzymujemy natychmiast informację, że gdy stopa inflacji jest równa
nominalnej stopie procentowej wówczas rzeczywsity wzrost kapitału jest równy wartości
4
kapitału początkowego. Realna wartość pieniądza rośnie gdy stopa nominalna jest większa
od stopy procentowej. Gdy stopa nominalna jest mniejsza od stopy inflacji wówczas realna
wartość kapitału maleje.
Rozważy teraz model kapitalizacji niezgodnej. Załóżmy, że w jednym okresie stopy
procentowej r dokonujemy m razy kapitalizacji odsetek. Wówczas realną efektywną stopę
procentową obliczamy wg wzoru:
rre,ef =
ref − i
,
1+i
gdzie ref jest stopą efektywną dostasowaną do okresu stopy procentowej r.
Gdy nasz rozważanie rozszerzymy na kilka okresów stopy procentowej i przyjmiemy
za ik stopę inflacji, która obowiązywała przez nk okresów, gdzie k = 1, 2, . . . , p, p ∈ N.
Wówczas po n okresach, gdzie n = n1 + n2 + · · · + np stopę inflacji możemy obliczyć ze
wzoru:
p
i=
Y
(1 + ik )nk − 1.
k=1
Przeciętna stopa inflacji iprz , przy której realna wartość pieniądza jest taka sama jak przy
zastosowaniu zmieniających się stóp inflacji jest postaci:
iprz =
v
u p
uY
n
t
(1 + i )nk
k
− 1.
k=1
Przykład. 1.3.1 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co pół roku i przyjmowała
odpowiednio wartości: 3%, 5%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz przeciętną półroczną stopę inflacji.
Rozwiązanie. Roczną stopę inflacji obliczamy ze wzoru:
i = (1 + 0, 03)(1 + 0, 05) − 1 ≈ 0, 082 = 8, 2%.
Przeciętną półroczną stopę inflacji obliczymy ze wzoru:
iprz =
q
(1 + 0, 03)(1 + 0, 05) − 1 ≈ 0, 038 = 3, 8%.
Zad. 1.3.1 Stopy inflacji w poszczególnych kwartałach były równe: 6%, 5%, 5%, 2%.
Roczna stopa procentowa wynosi 16% i bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z
dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa?
Zad. 1.3.2 Oprocentowanie roczne lokaty wynosi 13%, a roczna stopa inflacji wynosi
10%. Ile wynosi realna roczna stopa procentowa?
Zad. 1.3.3 Bank stosuje miesięczną kapitalizację złożoną z dołu i półroczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20%. Jaka jest realna półroczna stopa procentowa, jeżeli stopa
inflacji w poszczególnych miesiącach była równa odpowiednio: 3%, 5%, 1%, 3%, 7%.
Zad. 1.3.4 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wyniosła 700 jp miesięcznie i
była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji była równa odpowiednio:
5%, 7%, 6%, 4%. Wyznaczyć
5
1. płacę pracownika w I kwartale następnego roku,
2. roczną stopę inflacji,
3. przeciętną kwartalną stopę inflacji,
4. realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku.
Zad. 1.3.5 W pewnym roku stopa inflancji wynosiła 6%, zaś roczna stopa procentowa
8%. Jaką kwotę wpłacono na poczatku tego roku, jeśli jej skapitalizowana po tym roku
rzeczywista wartośś wynosi 450 jp?
Zad. 1.3.6 Pensja pracownika w pierwszym półroczu pewnego roku wynosiła 1000 jp i
była indeksowana co pół roku ze wskaznikiem wzrostu równym 0,8 stopy inflacji z poprzedniego półrocza. W ciagu roku półroczne stopy inflacji były równe odpowiednio: 3%
i 2%. Obliczyc pensję pracownika w pierwszym półroczu nastepnego roku i realną stopę
wzrostu płacy w ciagu roku.
Zad. 1.3.7 Nominalny wzrost wartosci kapitału K0 = 100 jp po jednym roku wyniósł
120 jp. Jaki jest rzeczywisty wzrost wartosci K0 po jednym roku, jezeli okresem stopy
procentowej i stopy inflacji i = 5% jest jednen rok?
Zad. 1.3.8 Wartosc kwoty K0 po dokonaniu waloryzacji o wskaznik inflacji i = 4% wynosi 500 jp. Rzeczywista roczna stopa procentowa wynosi 10%. Jaka jest nominalna wartosc
kwoty K0 (wyrazona w starych cenach) po jednym roku?
Zad. 1.3.9 Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20% i bank stosuje kwartalną
kapitalizację złozoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji
w poszczególnych kwartałach była równa: 7%, 5%, 4%, 5%.
1.4
Dyskonto matematyczne i handlowe
Potrącone z góry odsetki od zaciągniętego kredytu nazywamy dyskontem. Również dyskontem nazywamy potrącenie odsetek od papierów wartościowych, sprzedawanych przed
terminem płatności. Zatem dyskonto możemy traktować jako zapłatę poniesioną z góry za udzielenie kredytu lub za wcześniejszy wykup weksla. Dyskontowaniem będziemy
nazywali pomniejszanie wartości (kredytu bądź wartości weksla) o dane dyskonto.
1.4.1
Dyskonto matematyczne
Odsetki wytworzone przez kapitał w danym okresie czasu nazywamy dyskontem matematycznym. Ten typ dyskonta ma głównie zastosowanie przy kredytach bankowych. W
zależności od rodzaju kapitalizacji otrzymujemy wzory na dyskonto matematyczne:
1. W modelu kapitalizacji prostej dyskonto matematyczne nazywamy dyskontem
prostym. Jeżeli rozważymy n okresów stopy procentowej r to dyskonto proste obliczamy przy pomocy wzoru:
DM = K0 rn.
6
2. W modelu kapitalizacji złożonej z dołu zgodnej dyskonto matematyczne jest postaci:
DM = K0 [(1 + r)n − 1],
3. w modelu kapitalizacji złożonej z góry zgodnej dyskonto matematyczne jest postaci:
DM = K0 [(1 − r)−n − 1],
4. w modelu kapitalizacji złożonej z dołu niezgodnej dyskonto matematyczne jest postaci:
DM = K0 [(1 + ref )n − 1],
5. w modelu kapitalizacji złożonej z góry niezgodnej dyskonto matematyczne jest postaci:
DM = K0 [(1 − r̄ef )−n − 1],
6. w modelu kapitalizacji ciągłej:
DM = K0 (enr − 1).
Zad. 1.4.1 Bank przy rocznej stopie procentowej r = 12% stosuje kapitalizację:
1. prostą,
2. roczną złożoną z dołu,
3. roczną złożoną z góry,
4. półroczną złożoną z dołu,
5. miesięczną złożoną z góry,
6. ciągłą.
Wyznaczyć wartość dyskonta matematycznego dla 10 lat dla wartości początkowej K0 = 100jp.
Zad. 1.4.2 Bank udziela kredytu, pobierając zapłatę z góry w postaci dyskonta matematycznego wg rocznej stopy procentowej 24% i kapitalizacji półrocznej złożonej z dołu.
Jaką kwotę otrzyma do ręki kredytobiorca, jeżeli zaciągnął kredyt w wysokości 300jp na
rok?
1.4.2
Dyskonto handlowe
Dyskonto handlowe to odsetki potrącane z góry od wartości nominalnej papieru wartościowego (np. weksla), który został sprzedany przed terminem jego płatności.
Dyskonto handlowe DH opisuje wzór:
DH = Wnom dn,
gdzie Wnom oznacza wartość nominlana weksla, d wartość stopy dyskontowej, n liczba
okresów stopy dyskontowej. Jeżeli weksel zostanie wykupiony przed terminem jego płatności wówczas jego wartość nominalna zostaje pomniejszona o dane dyskonto handlowe,
7
w wyniku czego otrzymujemy wartość aktualną weksla (lub innego papieru wartościowego). Mamy zatem
Wakt = Wnom − DH .
Dwa weksle nazwiemy równoważnymi w danym dniu jeżeli ich wartości aktualne
w tym dniu są takie same. Stopa procentowa r jest równoważna stopie dyskontowej d
jeżeli dyskonto matematyczne (obliczone wg stopy r) jest równe dyskontowi handlowemu.
Zad. 1.4.3 Klient nabył towar w hurtowni za kwotę 100jp przy czym uiści zapłatę za 5
miesięcy powiększoną o odsetki proste wg rocznej stopy 28%. Hurtownia wystawiła odpowiedni weksel kupiecki. Jaką kwotę otrzyma hurtownia jeżeli natychmiast zdyskontuje
weksel w banku. Roczna stopa dyskontowa wynosi 30%.
Zad. 1.4.4 Weksel o wartości nominalnej 70jp i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa
dyskontowa wynosi 15%.
Zad. 1.4.5 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości
nominalnej 100jp zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2jp.
Zad. 1.4.6 Wartość K0 została oprocentowana na 5 lat według rocznej stopy procentowej
r = 10% i kapitalizacji prostej. Wyznaczyć roczną stopę dyskontową równoważną stopie
r. Czy stopy te będą równoważne dla 10 lat?
Zad. 1.4.7 Pozyczke 5000 jp spłacono po trzech miesiacach kwotą 5250 zł. Przyjmując,
że opłatą za pożyczkę były odsetki
1. płatne z dołu, obliczyć roczną stopę procentową,
2. płatne z góry, obliczyć roczna stopę dyskontową.
8
Bibliografia
[1] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków
2000.
[2] A. Kaźmierczak, Polityka pieniądza w gospodarce rynkowej, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 2003.
[3] M. Belka, A.Bogus Elementarne zagadnienia ekonomii, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1994.
9