Macierz odwrotna

Macierz odwrotna
Niech A ∈ Matn×n(R) będzie macierzą kwadratową.
Macierz B ∈ Matn×n(R) nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli
AB = BA = In.
Oznaczenie macierzy odwrotnej: A−1.
1
Przykłady.
"
1. Macierzą odwrotną do A =
"
2. Macierz A =
#
"
#
1 a
1 −a
jest macierz
.
0 1
0 1
#
1 2
nie posiada macierzy odwrotnej.
3 6
2
3. Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej:

c
0 ...
 1
 0 c2 . . .
.
...
.
A=
.

0 0 ...

0

0

0
... 
,

0

0 . . . cn
gdzie c1, . . . , cn 6= 0, jest macierz
c−1
0 ...
 1
−1
 0
c
...

2
−1
.
...
A
=
 ..

0 ...
 0

0
0
0
0
...
0
. . . c−1
n








3
Niech A ∈ Matn×n(R), Aij – macierz otrzymana z macierzy A
przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Liczbę Dij = (−1)i+j · |Aij | nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij . Macierz dopełnień algebraicznych oznaczamy
przez AD :



D
A =


D11 D12 . . . D1n
D21 D22 . . . D2n 

.
...
...
... 

Dn1 Dn2 . . . Dnn
4
Twierdzenie. Macierz odwrotna do macierzy A istnieje dokładnie wtedy, gdy det A 6= 0, i wówczas
A−1 =
1
· (AD )T .
det A
Dowód. Jeśli macierz A jest odwracalna, to A · A−1 = I, więc
det A · det A−1 = det(A · A−1) = det I = 1,
skąd det A 6= 0.
Pozostaje wykazać, że jeśli det A 6= 0, to macierz A jest odwracalna i macierz odwrotna wyraża się podanym wzorem.
5
Rozważmy rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza:
det A = a11
...
ai1
...
aj1
...
an1
a12
...
ai2
...
aj2
...
an2
. . . a1n
...
. . . ain
...
. . . ajn
...
. . . ann
= a D + a D + ... + a D .
i1 i1
i2 i2
in in
6
Jeśli zamiast i-tego wiersza wstawimy j-ty wiersz, gdzie j 6= i,
to otrzymamy:
0 = a11
...
aj1
...
aj1
...
an1
a12
...
aj2
...
aj2
...
an2
. . . a1n
...
. . . ajn
...
. . . ajn
...
. . . ann
= a D + a D + ... + a D .
j1 i1
j2 i2
jn in
7
Dla dowolnego i mamy:
ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin = det A,
a dla dowolnych i 6= j:
aj1Di1 + aj2Di2 + . . . + ajnDin = 0.
Możemy to zapisać tak:

a11 a12 . . .
 a21 a22 . . .
 .
...
 ..
an1 an2 . . .

a1n
D11 D21 . . .
 D12 D22 . . .
a2n 

... ·
...
 ...
ann
D1n D2n . . .


Dn1
det A
0
...
 0
Dn2 
det A . . .

...  = 
.
...
..

Dnn
0
0
...

0
0 
.
...

det A
8
Mamy zatem
A · (AD )T = det A · I.
Analogicznie pokazujemy, że
(AD )T · A = det A · I.
Jeśli det A 6= 0, to otrzymujemy równości
1
1
D
T
· (A ) =
· (AD )T · A = I,
A·
det A
det A
które oznaczają, że macierz A jest odwracalna oraz
A−1 =
1
· (AD )T .
det A
9
Układy równań liniowych
10
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi









a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
można zapisać jako równanie macierzowe





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 
 
 
·
 
x1
x2
...
xn






=


b1
b2
...
bm





11
Przyjmując oznaczenia



A=

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn






, b = 


b1
b2
...
bm






, x = 


x1
x2
...
xn





możemy dany układ zapisać w postaci
Ax = b,
gdzie A ∈ Matm×n(R) i b ∈ Rm są dane, zaś x ∈ Rn jest „szukane”.
12
Macierz A nazywamy macierzą układu równań.



A=

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn





13
Macierz [A|b] nazywamy macierzą rozszerzoną układu równań.



[A|b] = 

a11 a12 . . .
a21 a22 . . .
...
...
am1 am2 . . .

a1n b1
a2n b2 

... ... 

amn bm
14
Przekształceniami elementarnymi wierszy macierzy nazywamy:
– pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,
– zamianę dwóch wierszy,
– dodanie do wiersza innego pomnożonego przez liczbę.
15
Metoda eliminacji Gaussa.
Za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy macierz
rozszerzoną [A|b] do zredukowanej postaci górnoschodkowej.
Przy przekształceniach elementarnych tej macierzy nie zmienia
się zbiór rozwiązań układu równań Ax = b.
16
Postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej



















0
0
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
0
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
0
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
∗
∗
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
∗
∗
...
0
0
0
...
0
∗
∗
∗
∗
...
∗
0
0
...
0
... ∗
... ∗
... ∗
... ∗
. . . ...
... ∗
... 0
... 0
. . . ...
... 0
Elementy ∗ są różne od zera.
17
∗
∗
∗
∗
...
∗
?
0
...
0



















Zredukowana postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej














0
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
...
0
0
0
...
0
1
0
0
...
0
0
0
...
0
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
0
0
...
0
0
0
...
0
0
1
0
...
0
0
0
...
0
∗
∗
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
0
...
0
0
0
...
0
0
0
1
...
0
0
0
...
0
∗
∗
∗
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
∗
∗
...
0
0
0
...
0
0
0
0
...
1
0
0
...
0
∗
∗
∗
...
∗
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
18
∗
∗
∗
...
∗
0
0
...
0
∗
∗
∗
...
∗
?
0
...
0














Minorem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy wyznacznik jej
podmacierzy kwadratowej:
ai1j1 ai1j2 . . .
ai j ai j . . .
2 1
2 2
...
...
aik j1 aik j2 . . .
ai1jk ai2jk ... ,
aik jk gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.
Rzędem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy największy stopień
jej niezerowego minora.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
19
Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja krótka)
Układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(A) = rank[A|b].
Uwaga: "posiada rozwiązanie" oznacza "posiada co najmniej jedno rozwiązanie".
20
Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja długa)
Rozważmy układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm,
x ∈ Rn .
a) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = n, to układ równań ma dokładnie
jedno rozwiązanie.
b) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = r < n, to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie zależy od n − r parametrów.
c) Jeśli rank(A) 6= rank[A|b], to układ równań nie ma rozwiązań.
21
Co to znaczy, że rozwiązanie zależy od n − r parametrów?
Wszystkie rozwiązania układu Ax = b są postaci
x = x0 + c1v 1 + . . . + cn−r v n−r
dla dowolnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r ∈ R,
gdzie x0, v 1, . . . , v n−r ∈ Rn.
Dla różnych wartości parametrów c1, . . . , cn−r otrzymujemy różne
rozwiązania x.
22
Rozwiązania układu jednorodnego Ax = 0 są wówczas postaci
x = c1v 1 + . . . + cn−r v n−r
dla c1, . . . , cn−r ∈ R.
23
Niech x0 będzie pewnym rozwiązaniem układu równań Ax = b.
Wówczas wszystkie rozwiązania tego układu są postaci
x = x0 + v,
gdzie v jest dowolnym rozwiązaniem układu Ax = 0.
Dowód. Jeśli Ax0 = b i Av = 0, to
A(x0 + v) = Ax0 + Av = b + 0 = b.
Jeśli Ax0 = b i Ax = b, to dla v = x − x0 mamy
Av = Ax − Ax0 = b − b = 0.
24
Twierdzenie. Dla macierzy kwadratowej A ∈ Matn×n(R) następujące warunki są równoważne:
– macierz A jest odwracalna,
– det(A) 6= 0,
– rank(A) = n.
25
Niech A ∈ Matn×n(R), det(A) 6= 0, b ∈ Rn.
Układ równań
Ax = b
ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem
x = A−1b.
26
Wzory Cramera:
x1 =
W1
Wn
, . . . , xn =
,
W
W
gdzie W = det A 6= 0,
Wi - wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez zamianę i-tej kolumny na kolumnę b:
a
11 . . .
a
...
Wi = 21
...
a
n1 . . .
b1 . . .
b2 . . .
...
bn . . .
a1n a2n ... .
ann 27