Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2
Transkrypt
Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2
Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Adam Niewiadomski Instytut Informatyki, Politechnika Łódzka Warszawa, 12 maja 2012 r. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Informacja pewna Źródła informacji pewnej Dedukcja Z prawdziwych przesłanek wynikaja˛ prawdziwe wnioski, np. (p → q) ∧ p ⇒ q Indukcja matematyczna De facto jest to dedukcja Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Informacja pewna Źródła informacji pewnej Dedukcja Z prawdziwych przesłanek wynikaja˛ prawdziwe wnioski, np. (p → q) ∧ p ⇒ q Indukcja matematyczna De facto jest to dedukcja Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Informacja niepewna Źródła informacji niepewnej (uncertain, także „niedoskonała” – imperfect, vague – „niewyraźna”) Indukcja wyliczeniowa Uogólnienie na podst. przypadków, np. Case-Based Reasoning Pomiary Mam 184-186cm wzrostu, auto spala 7.0-7.4 litrów/100km Percepcje (obserwacje, opinie) Piekny ˛ dom, interesujaca ˛ dziewczyna, ciekawy film Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Informacja niepewna Źródła informacji niepewnej (uncertain, także „niedoskonała” – imperfect, vague – „niewyraźna”) Indukcja wyliczeniowa Uogólnienie na podst. przypadków, np. Case-Based Reasoning Pomiary Mam 184-186cm wzrostu, auto spala 7.0-7.4 litrów/100km Percepcje (obserwacje, opinie) Piekny ˛ dom, interesujaca ˛ dziewczyna, ciekawy film Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Informacja niepewna Źródła informacji niepewnej (uncertain, także „niedoskonała” – imperfect, vague – „niewyraźna”) Indukcja wyliczeniowa Uogólnienie na podst. przypadków, np. Case-Based Reasoning Pomiary Mam 184-186cm wzrostu, auto spala 7.0-7.4 litrów/100km Percepcje (obserwacje, opinie) Piekny ˛ dom, interesujaca ˛ dziewczyna, ciekawy film Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Reprezentacja informacji niepewnej Zapis informacji niepewnej metodami tradycyjnymi. . . . . . prowadzi do utraty jej cześci ˛ lub do jej (nieuprawnionej) nadinterpretacji Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Reprezentacja informacji niepewnej Zapis informacji niepewnej metodami tradycyjnymi. . . . . . prowadzi do utraty jej cześci ˛ lub do jej (nieuprawnionej) nadinterpretacji Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Miary niepewności informacji Informacja niepewna + miara niepewności = informacja użyteczna Prawdopodobieństwo, statystyka Próby losowe, miary zbiorów zdarzeń, testy, momenty, centyle, itp. Trzecia wartość logiczna, zbiory i logiki wielowartościowe Jutro bedzie ˛ bitwa morska – Arystoteles, Logika Dom jest dość duży – element należy do zbioru (spełnia własność) w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Miary niepewności informacji Informacja niepewna + miara niepewności = informacja użyteczna Prawdopodobieństwo, statystyka Próby losowe, miary zbiorów zdarzeń, testy, momenty, centyle, itp. Trzecia wartość logiczna, zbiory i logiki wielowartościowe Jutro bedzie ˛ bitwa morska – Arystoteles, Logika Dom jest dość duży – element należy do zbioru (spełnia własność) w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Miary niepewności informacji Informacja niepewna + miara niepewności = informacja użyteczna Prawdopodobieństwo, statystyka Próby losowe, miary zbiorów zdarzeń, testy, momenty, centyle, itp. Trzecia wartość logiczna, zbiory i logiki wielowartościowe Jutro bedzie ˛ bitwa morska – Arystoteles, Logika Dom jest dość duży – element należy do zbioru (spełnia własność) w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (1/3) Jezyk ˛ naturalny – najbardziej powszechny sposób komunikacji, także w IT, np. Jezyki ˛ programowania zmierzaja˛ w kierunku jezyka ˛ naturalnego, 3 GL, 4 GL, 5GL Nowoczesne interfejsy użytkownika rozpoznaja˛ i generuja˛ mowe˛ ludzka˛ W jezyku ˛ naturalnym można przekazać praktycznie każda˛ informacje, ˛ zarówno pewna˛ jak i niepewna˛ Informacja zakodowana w jezyku ˛ naturalnym to informacja lingwistyczna Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (1/3) Jezyk ˛ naturalny – najbardziej powszechny sposób komunikacji, także w IT, np. Jezyki ˛ programowania zmierzaja˛ w kierunku jezyka ˛ naturalnego, 3 GL, 4 GL, 5GL Nowoczesne interfejsy użytkownika rozpoznaja˛ i generuja˛ mowe˛ ludzka˛ W jezyku ˛ naturalnym można przekazać praktycznie każda˛ informacje, ˛ zarówno pewna˛ jak i niepewna˛ Informacja zakodowana w jezyku ˛ naturalnym to informacja lingwistyczna Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (1/3) Jezyk ˛ naturalny – najbardziej powszechny sposób komunikacji, także w IT, np. Jezyki ˛ programowania zmierzaja˛ w kierunku jezyka ˛ naturalnego, 3 GL, 4 GL, 5GL Nowoczesne interfejsy użytkownika rozpoznaja˛ i generuja˛ mowe˛ ludzka˛ W jezyku ˛ naturalnym można przekazać praktycznie każda˛ informacje, ˛ zarówno pewna˛ jak i niepewna˛ Informacja zakodowana w jezyku ˛ naturalnym to informacja lingwistyczna Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (1/3) Jezyk ˛ naturalny – najbardziej powszechny sposób komunikacji, także w IT, np. Jezyki ˛ programowania zmierzaja˛ w kierunku jezyka ˛ naturalnego, 3 GL, 4 GL, 5GL Nowoczesne interfejsy użytkownika rozpoznaja˛ i generuja˛ mowe˛ ludzka˛ W jezyku ˛ naturalnym można przekazać praktycznie każda˛ informacje, ˛ zarówno pewna˛ jak i niepewna˛ Informacja zakodowana w jezyku ˛ naturalnym to informacja lingwistyczna Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (2/3) Niektóre metody reprezentowania informacji lingwistycznej Logiki nieklasyczne dwuwartościowe (modalne, parakonsystentne, temporalne), np. konieczne że p to możliwe że p, p → ^p Logiki nieklasyczne wielowartościowe (Łukasiewicz 1918) Skończony zbiór n wartości logicznych: {0, n−1 1 , n−2 1 , . . . , nn−−21 , 1} Nieskończony przeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ0 Nieskończony nieprzeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (2/3) Niektóre metody reprezentowania informacji lingwistycznej Logiki nieklasyczne dwuwartościowe (modalne, parakonsystentne, temporalne), np. konieczne że p to możliwe że p, p → ^p Logiki nieklasyczne wielowartościowe (Łukasiewicz 1918) Skończony zbiór n wartości logicznych: {0, n−1 1 , n−2 1 , . . . , nn−−21 , 1} Nieskończony przeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ0 Nieskończony nieprzeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (2/3) Niektóre metody reprezentowania informacji lingwistycznej Logiki nieklasyczne dwuwartościowe (modalne, parakonsystentne, temporalne), np. konieczne że p to możliwe że p, p → ^p Logiki nieklasyczne wielowartościowe (Łukasiewicz 1918) Skończony zbiór n wartości logicznych: {0, n−1 1 , n−2 1 , . . . , nn−−21 , 1} Nieskończony przeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ0 Nieskończony nieprzeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (2/3) Niektóre metody reprezentowania informacji lingwistycznej Logiki nieklasyczne dwuwartościowe (modalne, parakonsystentne, temporalne), np. konieczne że p to możliwe że p, p → ^p Logiki nieklasyczne wielowartościowe (Łukasiewicz 1918) Skończony zbiór n wartości logicznych: {0, n−1 1 , n−2 1 , . . . , nn−−21 , 1} Nieskończony przeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ0 Nieskończony nieprzeliczalny zbiór wartości logicznych ℵ1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (3/3) Logika wielowartościowa pomaga rozwiazać ˛ np. paradoks łysego: JEŚLI ktoś ma o 1 włos mniej od osoby niełysej, TO nie jest łysy Ktoś, kto ma 60 000 nie jest łysy ————— Ktoś, kto ma 59 999 włosów nie jest łysy Rozumowanie to powtórzone 60 tys. razy prowadzi do wniosku: Ktoś kto ma 0 włosów nie jest łysy (!) W logice wielowartościowej można być łysym w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (3/3) Logika wielowartościowa pomaga rozwiazać ˛ np. paradoks łysego: JEŚLI ktoś ma o 1 włos mniej od osoby niełysej, TO nie jest łysy Ktoś, kto ma 60 000 nie jest łysy ————— Ktoś, kto ma 59 999 włosów nie jest łysy Rozumowanie to powtórzone 60 tys. razy prowadzi do wniosku: Ktoś kto ma 0 włosów nie jest łysy (!) W logice wielowartościowej można być łysym w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (3/3) Logika wielowartościowa pomaga rozwiazać ˛ np. paradoks łysego: JEŚLI ktoś ma o 1 włos mniej od osoby niełysej, TO nie jest łysy Ktoś, kto ma 60 000 nie jest łysy ————— Ktoś, kto ma 59 999 włosów nie jest łysy Rozumowanie to powtórzone 60 tys. razy prowadzi do wniosku: Ktoś kto ma 0 włosów nie jest łysy (!) W logice wielowartościowej można być łysym w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (3/3) Logika wielowartościowa pomaga rozwiazać ˛ np. paradoks łysego: JEŚLI ktoś ma o 1 włos mniej od osoby niełysej, TO nie jest łysy Ktoś, kto ma 60 000 nie jest łysy ————— Ktoś, kto ma 59 999 włosów nie jest łysy Rozumowanie to powtórzone 60 tys. razy prowadzi do wniosku: Ktoś kto ma 0 włosów nie jest łysy (!) W logice wielowartościowej można być łysym w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (3/3) Logika wielowartościowa pomaga rozwiazać ˛ np. paradoks łysego: JEŚLI ktoś ma o 1 włos mniej od osoby niełysej, TO nie jest łysy Ktoś, kto ma 60 000 nie jest łysy ————— Ktoś, kto ma 59 999 włosów nie jest łysy Rozumowanie to powtórzone 60 tys. razy prowadzi do wniosku: Ktoś kto ma 0 włosów nie jest łysy (!) W logice wielowartościowej można być łysym w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna (3/3) Logika wielowartościowa pomaga rozwiazać ˛ np. paradoks łysego: JEŚLI ktoś ma o 1 włos mniej od osoby niełysej, TO nie jest łysy Ktoś, kto ma 60 000 nie jest łysy ————— Ktoś, kto ma 59 999 włosów nie jest łysy Rozumowanie to powtórzone 60 tys. razy prowadzi do wniosku: Ktoś kto ma 0 włosów nie jest łysy (!) W logice wielowartościowej można być łysym w pewnym stopniu Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Zbiór rozmyty jako reprezentacja informacji lingwistycznej Zbiór rozmyty, fuzzy set [1] A = {hx , µA (x )i : x ∈ X} µA : X → [0, 1] – funkcja przynależności Własność ≡ (rozmyty) zbiór posiadajacych ˛ ja˛ obiektów Miara˛ niepewności jest compatibility level Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Informacja pewna Informacja niepewna Reprezentacja informacji niepewnej Miary niepewności informacji Jezyk ˛ naturalny, informacja lingwistyczna Zbiór rozmyty jako reprezentacja informacji lingwistycznej Zbiór rozmyty, fuzzy set [1] A = {hx , µA (x )i : x ∈ X} µA : X → [0, 1] – funkcja przynależności Własność ≡ (rozmyty) zbiór posiadajacych ˛ ja˛ obiektów Miara˛ niepewności jest compatibility level Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności Funkcje przynależności maja˛ wartości rzeczywiste w [0, 1]. Niekonsekwencja (pozorna) – zjawiska nieprecyzyjne opisujemy precyzyjnymi wartościami Wartość funkcji przynależności Element kraty zupełnej – L -fuzzy sets [2] Para przynależność-nieprzynależność – I-fuzzy sets [3] Przedział – interval-valued fuzzy sets [4] Zbiór rozmyty w [0, 1] – type-2 fuzzy sets ————— Interval-valued interval – interval-valued type-2 fuzzy sets [5] Para przedziałów – interval-valued intuitionistic fuzzy sets [3] Zbiór rozmyty typu 2 – type-3 fuzzy sets (???) Zbiór przybliżony Pawlaka – rough-fuzzy sets, fuzzy rough sets, L -Fuzzy Rough Sets (?) [6, 7, 8, 9] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności Funkcje przynależności maja˛ wartości rzeczywiste w [0, 1]. Niekonsekwencja (pozorna) – zjawiska nieprecyzyjne opisujemy precyzyjnymi wartościami Wartość funkcji przynależności Element kraty zupełnej – L -fuzzy sets [2] Para przynależność-nieprzynależność – I-fuzzy sets [3] Przedział – interval-valued fuzzy sets [4] Zbiór rozmyty w [0, 1] – type-2 fuzzy sets ————— Interval-valued interval – interval-valued type-2 fuzzy sets [5] Para przedziałów – interval-valued intuitionistic fuzzy sets [3] Zbiór rozmyty typu 2 – type-3 fuzzy sets (???) Zbiór przybliżony Pawlaka – rough-fuzzy sets, fuzzy rough sets, L -Fuzzy Rough Sets (?) [6, 7, 8, 9] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności Funkcje przynależności maja˛ wartości rzeczywiste w [0, 1]. Niekonsekwencja (pozorna) – zjawiska nieprecyzyjne opisujemy precyzyjnymi wartościami Wartość funkcji przynależności Element kraty zupełnej – L -fuzzy sets [2] Para przynależność-nieprzynależność – I-fuzzy sets [3] Przedział – interval-valued fuzzy sets [4] Zbiór rozmyty w [0, 1] – type-2 fuzzy sets ————— Interval-valued interval – interval-valued type-2 fuzzy sets [5] Para przedziałów – interval-valued intuitionistic fuzzy sets [3] Zbiór rozmyty typu 2 – type-3 fuzzy sets (???) Zbiór przybliżony Pawlaka – rough-fuzzy sets, fuzzy rough sets, L -Fuzzy Rough Sets (?) [6, 7, 8, 9] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności Funkcje przynależności maja˛ wartości rzeczywiste w [0, 1]. Niekonsekwencja (pozorna) – zjawiska nieprecyzyjne opisujemy precyzyjnymi wartościami Wartość funkcji przynależności Element kraty zupełnej – L -fuzzy sets [2] Para przynależność-nieprzynależność – I-fuzzy sets [3] Przedział – interval-valued fuzzy sets [4] Zbiór rozmyty w [0, 1] – type-2 fuzzy sets ————— Interval-valued interval – interval-valued type-2 fuzzy sets [5] Para przedziałów – interval-valued intuitionistic fuzzy sets [3] Zbiór rozmyty typu 2 – type-3 fuzzy sets (???) Zbiór przybliżony Pawlaka – rough-fuzzy sets, fuzzy rough sets, L -Fuzzy Rough Sets (?) [6, 7, 8, 9] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności Funkcje przynależności maja˛ wartości rzeczywiste w [0, 1]. Niekonsekwencja (pozorna) – zjawiska nieprecyzyjne opisujemy precyzyjnymi wartościami Wartość funkcji przynależności Element kraty zupełnej – L -fuzzy sets [2] Para przynależność-nieprzynależność – I-fuzzy sets [3] Przedział – interval-valued fuzzy sets [4] Zbiór rozmyty w [0, 1] – type-2 fuzzy sets ————— Interval-valued interval – interval-valued type-2 fuzzy sets [5] Para przedziałów – interval-valued intuitionistic fuzzy sets [3] Zbiór rozmyty typu 2 – type-3 fuzzy sets (???) Zbiór przybliżony Pawlaka – rough-fuzzy sets, fuzzy rough sets, L -Fuzzy Rough Sets (?) [6, 7, 8, 9] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności Funkcje przynależności maja˛ wartości rzeczywiste w [0, 1]. Niekonsekwencja (pozorna) – zjawiska nieprecyzyjne opisujemy precyzyjnymi wartościami Wartość funkcji przynależności Element kraty zupełnej – L -fuzzy sets [2] Para przynależność-nieprzynależność – I-fuzzy sets [3] Przedział – interval-valued fuzzy sets [4] Zbiór rozmyty w [0, 1] – type-2 fuzzy sets ————— Interval-valued interval – interval-valued type-2 fuzzy sets [5] Para przedziałów – interval-valued intuitionistic fuzzy sets [3] Zbiór rozmyty typu 2 – type-3 fuzzy sets (???) Zbiór przybliżony Pawlaka – rough-fuzzy sets, fuzzy rough sets, L -Fuzzy Rough Sets (?) [6, 7, 8, 9] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets 1967 Goguen [2] (1/3) Niech „5” – relacja binarna o własnościach cześciowego ˛ porzadku ˛ cz.-up., tj. 1) zwrotna, 2) przechodnia i 3) antysymetryczna, tj. ∀x ,y x 5 y ∧ y 5 x → x = y. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets 1967 Goguen [2] (1/3) Niech „5” – relacja binarna o własnościach cześciowego ˛ porzadku ˛ cz.-up., tj. 1) zwrotna, 2) przechodnia i 3) antysymetryczna, tj. ∀x ,y x 5 y ∧ y 5 x → x = y. ˛ ... Zbiór L ⊆ X nazywamy cze˛ściowo uporzadkowanym . . . wtw. na jego elementach istnieje relacja cz.-up. Ozn. hL , 5i. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets 1967 Goguen [2] (1/3) Niech „5” – relacja binarna o własnościach cześciowego ˛ porzadku ˛ cz.-up., tj. 1) zwrotna, 2) przechodnia i 3) antysymetryczna, tj. ∀x ,y x 5 y ∧ y 5 x → x = y. ˛ ... Zbiór L ⊆ X nazywamy cze˛ściowo uporzadkowanym . . . wtw. na jego elementach istnieje relacja cz.-up. Ozn. hL , 5i. Zbiór cz.-up. hL , 5i jest łańcuchem. . . . . . wtw. każde dwa jego elementy sa˛ porównywalne, tj. ∀x1 ,x2 ∈X x1 5 x2 ∨ x2 5 x1 Np. 0000 5 1000 5 1100 5 1110 5 1111 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets (2/3) Krata˛ zupełna˛ . . . 0 . . . nazywamy zbiór cz.-up., w którym dla każdego podzbioru L ⊆L istnieja˛ kresy dolny i górny: ∀L 0 ⊆L L , ∅ → ∃inf L 0 ∧ ∃sup L 0 L -fuzzy set – zbiór L -rozmyty Niech hL , 5i – krata zupełna. Zbiór L -rozmyty A w pewnej X A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} gdzie µA : X → L – funkcja przynależności A . Zauważmy, że przedział [0, 1] i relacja 5 także stanowia˛ krate˛ zupełna. ˛ Zbiory rozmyte sa˛ szczególnym przypadkiem L -fuzzy sets. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 (1) Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets (2/3) Krata˛ zupełna˛ . . . 0 . . . nazywamy zbiór cz.-up., w którym dla każdego podzbioru L ⊆L istnieja˛ kresy dolny i górny: ∀L 0 ⊆L L , ∅ → ∃inf L 0 ∧ ∃sup L 0 L -fuzzy set – zbiór L -rozmyty Niech hL , 5i – krata zupełna. Zbiór L -rozmyty A w pewnej X A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} gdzie µA : X → L – funkcja przynależności A . Zauważmy, że przedział [0, 1] i relacja 5 także stanowia˛ krate˛ zupełna. ˛ Zbiory rozmyte sa˛ szczególnym przypadkiem L -fuzzy sets. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 (1) Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets (2/3) Krata˛ zupełna˛ . . . 0 . . . nazywamy zbiór cz.-up., w którym dla każdego podzbioru L ⊆L istnieja˛ kresy dolny i górny: ∀L 0 ⊆L L , ∅ → ∃inf L 0 ∧ ∃sup L 0 L -fuzzy set – zbiór L -rozmyty Niech hL , 5i – krata zupełna. Zbiór L -rozmyty A w pewnej X A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} gdzie µA : X → L – funkcja przynależności A . Zauważmy, że przedział [0, 1] i relacja 5 także stanowia˛ krate˛ zupełna. ˛ Zbiory rozmyte sa˛ szczególnym przypadkiem L -fuzzy sets. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 (1) Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets (3/3) – operacje teoriomnogościowe Niech A , B – zbiory L -rozmyte w pewnej X, hL , 5i – krata zupełna. Oczywiście µA , µB : X → L Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami L -rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = inf{µA (x ), µB (x )} ∧ µA ∪B (x ) = sup{µA (x ), µB (x )} Niech N – jednoargumentowy operator odwracajacy ˛ relacje˛ 5 na L . Dopełnienie A c zbioru L -rozmytego A . . . . . . jest zbiorem L -rozmytym takim, że: µA c (x ) = NµA (x ) Dla zbiorów rozmytych: inf ≡ min, sup ≡ max, N ≡ 1 − (·) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets (3/3) – operacje teoriomnogościowe Niech A , B – zbiory L -rozmyte w pewnej X, hL , 5i – krata zupełna. Oczywiście µA , µB : X → L Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami L -rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = inf{µA (x ), µB (x )} ∧ µA ∪B (x ) = sup{µA (x ), µB (x )} Niech N – jednoargumentowy operator odwracajacy ˛ relacje˛ 5 na L . Dopełnienie A c zbioru L -rozmytego A . . . . . . jest zbiorem L -rozmytym takim, że: µA c (x ) = NµA (x ) Dla zbiorów rozmytych: inf ≡ min, sup ≡ max, N ≡ 1 − (·) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 L -fuzzy sets (3/3) – operacje teoriomnogościowe Niech A , B – zbiory L -rozmyte w pewnej X, hL , 5i – krata zupełna. Oczywiście µA , µB : X → L Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami L -rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = inf{µA (x ), µB (x )} ∧ µA ∪B (x ) = sup{µA (x ), µB (x )} Niech N – jednoargumentowy operator odwracajacy ˛ relacje˛ 5 na L . Dopełnienie A c zbioru L -rozmytego A . . . . . . jest zbiorem L -rozmytym takim, że: µA c (x ) = NµA (x ) Dla zbiorów rozmytych: inf ≡ min, sup ≡ max, N ≡ 1 − (·) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Intuicjonistyczne (?) zbiory rozmyte Atanassova [10, 3] Wbrew nazwie zbiory te nie maja˛ wiele wspólnego z intuicjonizmem w matematyce i logice. Dziś: I-fuzzy sets albo intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Intuicjonistyczny zbiór rozmyty Atanassova A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X} gdzie µA (x ) : X → [0, 1] – funkcja przynależności, zaś νA (x ) : X → [0, 1] – funkcja nieprzynależności, przy czym ∀x ∈X 0 5 µA (x ) + νA (x ) 5 1 Rozmyty indeks intuicjonistyczny πA (x ) πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x ) Oczywiście: ∀x ∈X 0 5 πA (x ) 5 1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Intuicjonistyczne (?) zbiory rozmyte Atanassova [10, 3] Wbrew nazwie zbiory te nie maja˛ wiele wspólnego z intuicjonizmem w matematyce i logice. Dziś: I-fuzzy sets albo intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Intuicjonistyczny zbiór rozmyty Atanassova A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X} gdzie µA (x ) : X → [0, 1] – funkcja przynależności, zaś νA (x ) : X → [0, 1] – funkcja nieprzynależności, przy czym ∀x ∈X 0 5 µA (x ) + νA (x ) 5 1 Rozmyty indeks intuicjonistyczny πA (x ) πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x ) Oczywiście: ∀x ∈X 0 5 πA (x ) 5 1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Intuicjonistyczne (?) zbiory rozmyte Atanassova [10, 3] Wbrew nazwie zbiory te nie maja˛ wiele wspólnego z intuicjonizmem w matematyce i logice. Dziś: I-fuzzy sets albo intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Intuicjonistyczny zbiór rozmyty Atanassova A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X} gdzie µA (x ) : X → [0, 1] – funkcja przynależności, zaś νA (x ) : X → [0, 1] – funkcja nieprzynależności, przy czym ∀x ∈X 0 5 µA (x ) + νA (x ) 5 1 Rozmyty indeks intuicjonistyczny πA (x ) πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x ) Oczywiście: ∀x ∈X 0 5 πA (x ) 5 1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Intuicjonistyczne (?) zbiory rozmyte Atanassova [10, 3] Wbrew nazwie zbiory te nie maja˛ wiele wspólnego z intuicjonizmem w matematyce i logice. Dziś: I-fuzzy sets albo intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Intuicjonistyczny zbiór rozmyty Atanassova A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X} gdzie µA (x ) : X → [0, 1] – funkcja przynależności, zaś νA (x ) : X → [0, 1] – funkcja nieprzynależności, przy czym ∀x ∈X 0 5 µA (x ) + νA (x ) 5 1 Rozmyty indeks intuicjonistyczny πA (x ) πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x ) Oczywiście: ∀x ∈X 0 5 πA (x ) 5 1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Intuicjonistyczne (?) zbiory rozmyte Atanassova [10, 3] Wbrew nazwie zbiory te nie maja˛ wiele wspólnego z intuicjonizmem w matematyce i logice. Dziś: I-fuzzy sets albo intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Intuicjonistyczny zbiór rozmyty Atanassova A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X} gdzie µA (x ) : X → [0, 1] – funkcja przynależności, zaś νA (x ) : X → [0, 1] – funkcja nieprzynależności, przy czym ∀x ∈X 0 5 µA (x ) + νA (x ) 5 1 Rozmyty indeks intuicjonistyczny πA (x ) πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x ) Oczywiście: ∀x ∈X 0 5 πA (x ) 5 1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Intuicjonistyczne (?) zbiory rozmyte Atanassova [10, 3] Wbrew nazwie zbiory te nie maja˛ wiele wspólnego z intuicjonizmem w matematyce i logice. Dziś: I-fuzzy sets albo intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Intuicjonistyczny zbiór rozmyty Atanassova A =df {hx , µA (x ), νA (x )i : x ∈ X} gdzie µA (x ) : X → [0, 1] – funkcja przynależności, zaś νA (x ) : X → [0, 1] – funkcja nieprzynależności, przy czym ∀x ∈X 0 5 µA (x ) + νA (x ) 5 1 Rozmyty indeks intuicjonistyczny πA (x ) πA (x ) = 1 − µA (x ) − νA (x ) Oczywiście: ∀x ∈X 0 5 πA (x ) 5 1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Reprezentacje graficzne dla I-fuzzy sets Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Reprezentacje graficzne dla I-fuzzy sets Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Reprezentacje graficzne dla I-fuzzy sets Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Niepewność w I-fuzzy sets. Liczby kardynalne [12] Niech A – zbiór I-rozmyty w X. Operator „Box” (necessity) Moc konieczna i możliwa A A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} cardnec (A ) = card(A ) = Operator „Diamond” (possibility) ^A =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X} A , ^A sa˛ zbiorami rozmytymi. , ^ : IF S(X) → F (X) Zwiazki ˛ z logikami modalnymi [11] Adam Niewiadomski µA (x ) P cardpos (A ) = card(^A ) = 1 −νA (x ) P x ∈X x ∈X Entropia – suma rozmytych indeksów intuicjonistycznych E (A ) = X πA (x ) x ∈X Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Niepewność w I-fuzzy sets. Liczby kardynalne [12] Niech A – zbiór I-rozmyty w X. Operator „Box” (necessity) Moc konieczna i możliwa A A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} cardnec (A ) = card(A ) = Operator „Diamond” (possibility) ^A =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X} A , ^A sa˛ zbiorami rozmytymi. , ^ : IF S(X) → F (X) Zwiazki ˛ z logikami modalnymi [11] Adam Niewiadomski µA (x ) P cardpos (A ) = card(^A ) = 1 −νA (x ) P x ∈X x ∈X Entropia – suma rozmytych indeksów intuicjonistycznych E (A ) = X πA (x ) x ∈X Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Niepewność w I-fuzzy sets. Liczby kardynalne [12] Niech A – zbiór I-rozmyty w X. Operator „Box” (necessity) Moc konieczna i możliwa A A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} cardnec (A ) = card(A ) = Operator „Diamond” (possibility) ^A =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X} A , ^A sa˛ zbiorami rozmytymi. , ^ : IF S(X) → F (X) Zwiazki ˛ z logikami modalnymi [11] Adam Niewiadomski µA (x ) P cardpos (A ) = card(^A ) = 1 −νA (x ) P x ∈X x ∈X Entropia – suma rozmytych indeksów intuicjonistycznych E (A ) = X πA (x ) x ∈X Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Niepewność w I-fuzzy sets. Liczby kardynalne [12] Niech A – zbiór I-rozmyty w X. Operator „Box” (necessity) Moc konieczna i możliwa A A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} cardnec (A ) = card(A ) = Operator „Diamond” (possibility) ^A =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X} A , ^A sa˛ zbiorami rozmytymi. , ^ : IF S(X) → F (X) Zwiazki ˛ z logikami modalnymi [11] Adam Niewiadomski µA (x ) P cardpos (A ) = card(^A ) = 1 −νA (x ) P x ∈X x ∈X Entropia – suma rozmytych indeksów intuicjonistycznych E (A ) = X πA (x ) x ∈X Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Niepewność w I-fuzzy sets. Liczby kardynalne [12] Niech A – zbiór I-rozmyty w X. Operator „Box” (necessity) Moc konieczna i możliwa A A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} cardnec (A ) = card(A ) = Operator „Diamond” (possibility) ^A =df {hx , 1 − νA (x )i : x ∈ X} A , ^A sa˛ zbiorami rozmytymi. , ^ : IF S(X) → F (X) Zwiazki ˛ z logikami modalnymi [11] Adam Niewiadomski µA (x ) P cardpos (A ) = card(^A ) = 1 −νA (x ) P x ∈X x ∈X Entropia – suma rozmytych indeksów intuicjonistycznych E (A ) = X πA (x ) x ∈X Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje teoriomnogościowe dla I-fuzzy sets Niech A , B – Zbiory I-rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami I-rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∩B (x ) = max{νA (x ), νB (x )} µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∪B (x ) = min{νA (x ), νB (x )} Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje teoriomnogościowe dla I-fuzzy sets Niech A , B – Zbiory I-rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami I-rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∩B (x ) = max{νA (x ), νB (x )} µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∪B (x ) = min{νA (x ), νB (x )} Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje teoriomnogościowe dla I-fuzzy sets Niech A , B – Zbiory I-rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami I-rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∩B (x ) = max{νA (x ), νB (x )} µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∪B (x ) = min{νA (x ), νB (x )} Dopełnienie A c . . . . . . jest zbiorem I-rozmytym, takim że A c =df {hx , νA (x ), µA (x )i : x ∈ X} Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje teoriomnogościowe dla I-fuzzy sets Niech A , B – Zbiory I-rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami I-rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∩B (x ) = max{νA (x ), νB (x )} µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∪B (x ) = min{νA (x ), νB (x )} Dopełnienie A c . . . . . . jest zbiorem I-rozmytym, takim że A c =df {hx , νA (x ), µA (x )i : x ∈ X} Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje teoriomnogościowe dla I-fuzzy sets Niech A , B – Zbiory I-rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami I-rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∩B (x ) = max{νA (x ), νB (x )} µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∪B (x ) = min{νA (x ), νB (x )} Dopełnienie A c . . . . . . jest zbiorem I-rozmytym, takim że A c =df {hx , νA (x ), µA (x )i : x ∈ X} Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje teoriomnogościowe dla I-fuzzy sets Niech A , B – Zbiory I-rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ zbiorami I-rozmytymi, takimi że µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∩B (x ) = max{νA (x ), νB (x )} µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} ∧ νA ∪B (x ) = min{νA (x ), νB (x )} Dopełnienie A c . . . . . . jest zbiorem I-rozmytym, takim że A c =df {hx , νA (x ), µA (x )i : x ∈ X} Dla zbiorów rozmytych: ∀x ∈X νA (x ) = 1 − µA (x ) ∧ πA (x ) = 0. Zbiory rozmyte sa˛ szczególnym przypadkiem I-fuzzy sets. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przynależność a nieprzynależność w I-fuzzy sets 1 Czy µ i ν mierzyć wg tego samego kryterium? TAK: np. 100 osób głosuje; 60 – ZA, 25 – PRZECIW, 15 – wstrzymało sie˛ (lub nie głosowało). Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przynależność a nieprzynależność w I-fuzzy sets 1 Czy µ i ν mierzyć wg tego samego kryterium? TAK: np. 100 osób głosuje; 60 – ZA, 25 – PRZECIW, 15 – wstrzymało sie˛ (lub nie głosowało). Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przynależność a nieprzynależność w I-fuzzy sets 1 Czy µ i ν mierzyć wg tego samego kryterium? TAK: np. 100 osób głosuje; 60 – ZA, 25 – PRZECIW, 15 – wstrzymało sie˛ (lub nie głosowało). Stad ˛ µ = 0.6, ν = 0.25, a rozmyty indeks intuicjonistyczny π = 0.15. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przynależność a nieprzynależność w I-fuzzy sets 1 Czy µ i ν mierzyć wg tego samego kryterium? TAK: np. 100 osób głosuje; 60 – ZA, 25 – PRZECIW, 15 – wstrzymało sie˛ (lub nie głosowało). Stad ˛ µ = 0.6, ν = 0.25, a rozmyty indeks intuicjonistyczny π = 0.15. NIE: John Kovalsky JEST Polakiem w 1/2 (po ojcu). NIE JEST Polakiem w stopniu 0.99, bo prawie nie zna polskiego. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przynależność a nieprzynależność w I-fuzzy sets 1 Czy µ i ν mierzyć wg tego samego kryterium? TAK: np. 100 osób głosuje; 60 – ZA, 25 – PRZECIW, 15 – wstrzymało sie˛ (lub nie głosowało). Stad ˛ µ = 0.6, ν = 0.25, a rozmyty indeks intuicjonistyczny π = 0.15. NIE: John Kovalsky JEST Polakiem w 1/2 (po ojcu). NIE JEST Polakiem w stopniu 0.99, bo prawie nie zna polskiego. 2 Czy nierówność π = 1 − µ − ν musi zachodzić? Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przynależność a nieprzynależność w I-fuzzy sets 1 Czy µ i ν mierzyć wg tego samego kryterium? TAK: np. 100 osób głosuje; 60 – ZA, 25 – PRZECIW, 15 – wstrzymało sie˛ (lub nie głosowało). Stad ˛ µ = 0.6, ν = 0.25, a rozmyty indeks intuicjonistyczny π = 0.15. NIE: John Kovalsky JEST Polakiem w 1/2 (po ojcu). NIE JEST Polakiem w stopniu 0.99, bo prawie nie zna polskiego. 2 Czy nierówność π = 1 − µ − ν musi zachodzić? Niekoniecznie, bo µ i ν mierzone sa˛ wzdłuż różnych osi. Problem cześciowo ˛ rozwiazuj ˛ a˛ tzw. bi-lattices L ∗ [13]. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przedziałowe zbiory rozmyte Idea: dwie funkcje przynależności: dolna i górna (zamiast jednej) Stopień przynależności jest przedziałem w [0, 1] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przedziałowe zbiory rozmyte Idea: dwie funkcje przynależności: dolna i górna (zamiast jednej) Stopień przynależności jest przedziałem w [0, 1] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przedziałowe zbiory rozmyte Idea: dwie funkcje przynależności: dolna i górna (zamiast jednej) Stopień przynależności jest przedziałem w [0, 1] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przedziałowe zbiory rozmyte Idea: dwie funkcje przynależności: dolna i górna (zamiast jednej) Stopień przynależności jest przedziałem w [0, 1] Fonction φ-flous (fr.) [4] Interval-Valued Fuzzy Sets (IVFSs) [14, 15, 16] Interval Type-2 Fuzzy Sets (IT2FSs) [17] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Przedziałowe zbiory rozmyte Idea: dwie funkcje przynależności: dolna i górna (zamiast jednej) Stopień przynależności jest przedziałem w [0, 1] Fonction φ-flous (fr.) [4] Interval-Valued Fuzzy Sets (IVFSs) [14, 15, 16] Interval Type-2 Fuzzy Sets (IT2FSs) [17] Zbiory rozmyte typu 1,5 (żartobliwie) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Arytmetyka przedziałów Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19]. Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ . Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Arytmetyka przedziałów Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19]. Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ . Arytmetyka przedziałów Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Arytmetyka przedziałów Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19]. Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ . Arytmetyka przedziałów [a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Arytmetyka przedziałów Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19]. Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ . Arytmetyka przedziałów [a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ] [a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Arytmetyka przedziałów Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19]. Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ . Arytmetyka przedziałów [a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ] [a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ] h i [a , a ] · [b , b ] = min{a b , ab , ab , ab }, max{a b , ab , ab , ab } Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Arytmetyka przedziałów Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19]. Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ . Arytmetyka przedziałów [a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ] [a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ] h i [a , a ] · [b , b ] = min{a b , ab , ab , ab }, max{a b , ab , ab , ab } [a , a ] : [b , b ] = [a , a ] · b1 , b1 , jeśli tylko b , 0 oraz b , 0 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Arytmetyka przedziałów Moore and Lodwick [18], Sengupta, Pal, Chakraborty [19]. Niech a = [a , a ], b = [b , b ] – przedziały w R, zaś r ∈ R+ . Arytmetyka przedziałów [a , a ] + [b , b ] = [a + b , a + b ] [a , a ] − [b , b ] = [a − b , a − b ] h i [a , a ] · [b , b ] = min{a b , ab , ab , ab }, max{a b , ab , ab , ab } [a , a ] : [b , b ] = [a , a ] · b1 , b1 , jeśli tylko b , 0 oraz b , 0 [a , a ]r = [a r , a r ] dla nieujemnych a , a Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte powiazane ˛ z IVFS, liczby kardynalne Niech A – przedziałowy zbiór rozmyty w X. Moc dolna i górna A card(A ) = card(A ) = Zbiory rozmyte A i A P x ∈X card(A ) = card(A ) = A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X} P x ∈X A µ (x ) A µA (x ) A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} Moc przedziałowa A (·), (·) : IVF S(X) → F (X) card(A ) = [card(A ), card(A )] Dla zbiorów rozmytych card(A ) = card(A ) = card(A ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte powiazane ˛ z IVFS, liczby kardynalne Niech A – przedziałowy zbiór rozmyty w X. Moc dolna i górna A card(A ) = card(A ) = Zbiory rozmyte A i A P x ∈X card(A ) = card(A ) = A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X} P x ∈X A µ (x ) A µA (x ) A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} Moc przedziałowa A (·), (·) : IVF S(X) → F (X) card(A ) = [card(A ), card(A )] Dla zbiorów rozmytych card(A ) = card(A ) = card(A ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte powiazane ˛ z IVFS, liczby kardynalne Niech A – przedziałowy zbiór rozmyty w X. Moc dolna i górna A card(A ) = card(A ) = Zbiory rozmyte A i A P x ∈X card(A ) = card(A ) = A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X} P x ∈X A µ (x ) A µA (x ) A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} Moc przedziałowa A (·), (·) : IVF S(X) → F (X) card(A ) = [card(A ), card(A )] Dla zbiorów rozmytych card(A ) = card(A ) = card(A ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte powiazane ˛ z IVFS, liczby kardynalne Niech A – przedziałowy zbiór rozmyty w X. Moc dolna i górna A card(A ) = card(A ) = Zbiory rozmyte A i A P x ∈X card(A ) = card(A ) = A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X} P x ∈X A µ (x ) A µA (x ) A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} Moc przedziałowa A (·), (·) : IVF S(X) → F (X) card(A ) = [card(A ), card(A )] Dla zbiorów rozmytych card(A ) = card(A ) = card(A ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte powiazane ˛ z IVFS, liczby kardynalne Niech A – przedziałowy zbiór rozmyty w X. Moc dolna i górna A card(A ) = card(A ) = Zbiory rozmyte A i A P x ∈X card(A ) = card(A ) = A =df {hx , µ (x )i : x ∈ X} P x ∈X A µ (x ) A µA (x ) A =df {hx , µA (x )i : x ∈ X} Moc przedziałowa A (·), (·) : IVF S(X) → F (X) card(A ) = [card(A ), card(A )] Dla zbiorów rozmytych card(A ) = card(A ) = card(A ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje t.-mn. dla przedziałowych zbiorów rozmytych Niech A , B – przedziałowe zbiory rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ przedziałowymi zbiorami rozmytymi, takimi że µ µ A ∩B A ∪B (x ) = min{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} A B (x ) = max{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} A B Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje t.-mn. dla przedziałowych zbiorów rozmytych Niech A , B – przedziałowe zbiory rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ przedziałowymi zbiorami rozmytymi, takimi że µ µ A ∩B A ∪B (x ) = min{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} A B (x ) = max{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} A B Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje t.-mn. dla przedziałowych zbiorów rozmytych Niech A , B – przedziałowe zbiory rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ przedziałowymi zbiorami rozmytymi, takimi że µ µ A ∩B A ∪B (x ) = min{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} A B (x ) = max{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} A B Dopełnienie A c . . . . . . jest przedziałowym zbiorem rozmytym, takim że A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X} A Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje t.-mn. dla przedziałowych zbiorów rozmytych Niech A , B – przedziałowe zbiory rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ przedziałowymi zbiorami rozmytymi, takimi że µ µ A ∩B A ∪B (x ) = min{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} A B (x ) = max{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} A B Dopełnienie A c . . . . . . jest przedziałowym zbiorem rozmytym, takim że A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X} A Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje t.-mn. dla przedziałowych zbiorów rozmytych Niech A , B – przedziałowe zbiory rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ przedziałowymi zbiorami rozmytymi, takimi że µ µ A ∩B A ∪B (x ) = min{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} A B (x ) = max{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} A B Dopełnienie A c . . . . . . jest przedziałowym zbiorem rozmytym, takim że A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X} A Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Operacje t.-mn. dla przedziałowych zbiorów rozmytych Niech A , B – przedziałowe zbiory rozmyte w X Iloczyn A ∩ B i suma A ∪ B . . . . . . sa˛ przedziałowymi zbiorami rozmytymi, takimi że µ µ A ∩B A ∪B (x ) = min{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∩B (x ) = min{µA (x ), µB (x )} A B (x ) = max{µ (x ), µ (x )} ∧ µA ∪B (x ) = max{µA (x ), µB (x )} A B Dopełnienie A c . . . . . . jest przedziałowym zbiorem rozmytym, takim że A c =df {hx , 1 − µA (x ), 1 − µ (x )i : x ∈ X} A Dla zbiorów rozmytych: ∀x ∈X µ (x ) = µA (x ). Zbiory rozmyte sa˛ A szczególnym przypadkiem przedziałowych zbiorów rozmytych. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Podobieństwa IVFS i IFS Porównanie rozszerzeń zbiorów rozmytych: Deschrijver i Kerre [20]. Podobieństwa sa˛ głównie natury syntaktycznej: Cornelis [13]. 1 µ(x ) w IVFS jest równoważna µ(x ) w IFS Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Podobieństwa IVFS i IFS Porównanie rozszerzeń zbiorów rozmytych: Deschrijver i Kerre [20]. Podobieństwa sa˛ głównie natury syntaktycznej: Cornelis [13]. 1 µ(x ) w IVFS jest równoważna µ(x ) w IFS Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Podobieństwa IVFS i IFS Porównanie rozszerzeń zbiorów rozmytych: Deschrijver i Kerre [20]. Podobieństwa sa˛ głównie natury syntaktycznej: Cornelis [13]. 1 µ(x ) w IVFS jest równoważna µ(x ) w IFS 2 µ(x ) w IVFS jest równoważna 1 − ν(x ) w IFS Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Podobieństwa IVFS i IFS Porównanie rozszerzeń zbiorów rozmytych: Deschrijver i Kerre [20]. Podobieństwa sa˛ głównie natury syntaktycznej: Cornelis [13]. 1 µ(x ) w IVFS jest równoważna µ(x ) w IFS 2 µ(x ) w IVFS jest równoważna 1 − ν(x ) w IFS 3 konkluzja z 1. i 2.: µ(x ) − µ(x ), czyli szerokość przedziału [µ(x ), µ(x )] jest równoważna π(x ) = 1 − ν(x ) − µ(x ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Różnice IVFS i IFS 1 W IFS µ i ν niekoniecznie mierzone sa˛ wzdłuż tej samej osi kryteria moga˛ być różne; w IVFS µ i µ dotycza˛ tego samego kryterium Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Różnice IVFS i IFS 1 W IFS µ i ν niekoniecznie mierzone sa˛ wzdłuż tej samej osi kryteria moga˛ być różne; w IVFS µ i µ dotycza˛ tego samego kryterium Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Różnice IVFS i IFS 1 2 W IFS µ i ν niekoniecznie mierzone sa˛ wzdłuż tej samej osi kryteria moga˛ być różne; w IVFS µ i µ dotycza˛ tego samego kryterium konkluzja z 1.: w IFS w-k 0 5 µ + ν 5 1 nie musi być sensowny – czasem wymusza sie˛ jego spełnienie przez nienaturalne badź ˛ nieintuicyjne ograniczenia; w IVFS naturalne jest, że: µ 5 µ Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Różnice IVFS i IFS 1 2 W IFS µ i ν niekoniecznie mierzone sa˛ wzdłuż tej samej osi kryteria moga˛ być różne; w IVFS µ i µ dotycza˛ tego samego kryterium konkluzja z 1.: w IFS w-k 0 5 µ + ν 5 1 nie musi być sensowny – czasem wymusza sie˛ jego spełnienie przez nienaturalne badź ˛ nieintuicyjne ograniczenia; w IVFS naturalne jest, że: µ 5 µ Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Różnice IVFS i IFS 1 2 W IFS µ i ν niekoniecznie mierzone sa˛ wzdłuż tej samej osi kryteria moga˛ być różne; w IVFS µ i µ dotycza˛ tego samego kryterium konkluzja z 1.: w IFS w-k 0 5 µ + ν 5 1 nie musi być sensowny – czasem wymusza sie˛ jego spełnienie przez nienaturalne badź ˛ nieintuicyjne ograniczenia; w IVFS naturalne jest, że: µ 5 µ 3 ... 4 ... Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rozmyte stopnie niepewności Wyrażenia niepewne reprezentowane przez fuzzy sets [21]: Typu 1 (type-1) – łatwo je uzależnić od jednego parametru, np. wysoki człowiek (cm), duża suma pieniedzy ˛ (mln $) Typu 2 (type-2) – zależne od cech niemierzalnych, nominalnych, bardzo subiektywne itp., np. piekny ˛ dom, ciekawy film Mendel: different words (numbers, descriptions, linguistic quantities) can mean different things to different people [22] Postulat: do opisu wiedzy lingwistycznej potrzebne sa˛ „niepewne miary niepewności”, np. niepewne stopnie przynależności Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rozmyte stopnie niepewności Wyrażenia niepewne reprezentowane przez fuzzy sets [21]: Typu 1 (type-1) – łatwo je uzależnić od jednego parametru, np. wysoki człowiek (cm), duża suma pieniedzy ˛ (mln $) Typu 2 (type-2) – zależne od cech niemierzalnych, nominalnych, bardzo subiektywne itp., np. piekny ˛ dom, ciekawy film Mendel: different words (numbers, descriptions, linguistic quantities) can mean different things to different people [22] Postulat: do opisu wiedzy lingwistycznej potrzebne sa˛ „niepewne miary niepewności”, np. niepewne stopnie przynależności Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rozmyte stopnie niepewności Wyrażenia niepewne reprezentowane przez fuzzy sets [21]: Typu 1 (type-1) – łatwo je uzależnić od jednego parametru, np. wysoki człowiek (cm), duża suma pieniedzy ˛ (mln $) Typu 2 (type-2) – zależne od cech niemierzalnych, nominalnych, bardzo subiektywne itp., np. piekny ˛ dom, ciekawy film Mendel: different words (numbers, descriptions, linguistic quantities) can mean different things to different people [22] Postulat: do opisu wiedzy lingwistycznej potrzebne sa˛ „niepewne miary niepewności”, np. niepewne stopnie przynależności Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Rozmyte stopnie niepewności Wyrażenia niepewne reprezentowane przez fuzzy sets [21]: Typu 1 (type-1) – łatwo je uzależnić od jednego parametru, np. wysoki człowiek (cm), duża suma pieniedzy ˛ (mln $) Typu 2 (type-2) – zależne od cech niemierzalnych, nominalnych, bardzo subiektywne itp., np. piekny ˛ dom, ciekawy film Mendel: different words (numbers, descriptions, linguistic quantities) can mean different things to different people [22] Postulat: do opisu wiedzy lingwistycznej potrzebne sa˛ „niepewne miary niepewności”, np. niepewne stopnie przynależności Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2 Zbiór rozmyty typu 1, tradycyjny zbiór rozmyty A = {hx , µA (x )i : x ∈ X} Zbiór rozmyty typu 2, type-2 fuzzy set, T2FS à = {hx , µÃ (x )i : x ∈ X} µÃ : X → F ([0, 1]) – funkcja przynależności typu 2; przypisuje x’om zbiory rozmyte w [0, 1] W jakim stopniu x należy do à ? W stopniu bliskim 1 albo w stopniu ok. 0.25 analogia do średniej i mediany – drugi moment opisuje dodatkowo pierwszy Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2 Zbiór rozmyty typu 1, tradycyjny zbiór rozmyty A = {hx , µA (x )i : x ∈ X} Zbiór rozmyty typu 2, type-2 fuzzy set, T2FS à = {hx , µÃ (x )i : x ∈ X} µÃ : X → F ([0, 1]) – funkcja przynależności typu 2; przypisuje x’om zbiory rozmyte w [0, 1] W jakim stopniu x należy do à ? W stopniu bliskim 1 albo w stopniu ok. 0.25 analogia do średniej i mediany – drugi moment opisuje dodatkowo pierwszy Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2 Zbiór rozmyty typu 1, tradycyjny zbiór rozmyty A = {hx , µA (x )i : x ∈ X} Zbiór rozmyty typu 2, type-2 fuzzy set, T2FS à = {hx , µÃ (x )i : x ∈ X} µÃ : X → F ([0, 1]) – funkcja przynależności typu 2; przypisuje x’om zbiory rozmyte w [0, 1] W jakim stopniu x należy do à ? W stopniu bliskim 1 albo w stopniu ok. 0.25 analogia do średniej i mediany – drugi moment opisuje dodatkowo pierwszy Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2: interpretacja graficzna (1/2) µÃ (x ) = Z µx (u)/u u ∈J x Pierwszo- i drugorzedne ˛ funkcje i stopnie przynależności Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2: interpretacja graficzna (1/2) Triangular Type-2 Fuzzy Set – 4T2FS µÃ (x ) = Z µx (u)/u u ∈J x Pierwszo- i drugorzedne ˛ funkcje i stopnie przynależności Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2: interpretacja graficzna (2/2) Interval Type-2 Fuzzy Set – IT2FS ( µx 0 ( u ) = 1, 0, jeśli u ∈ [ax 0 , bx 0 ] w przeciwnym przyp. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2: interpretacja graficzna (2/2) Interval Type-2 Fuzzy Set – IT2FS ( µx 0 ( u ) = 1, 0, jeśli u ∈ [ax 0 , bx 0 ] w przeciwnym przyp. De facto: przedziałowy zbiór rozmyty (IVFS). Podobieństwa, różnice: Niewiadomski [23] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte typu 2: interpretacja graficzna (2/2) Interval Type-2 Fuzzy Set – IT2FS ( µx 0 ( u ) = 1, 0, jeśli u ∈ [ax 0 , bx 0 ] w przeciwnym przyp. De facto: przedziałowy zbiór rozmyty (IVFS). Podobieństwa, różnice: Niewiadomski [23] Adam Niewiadomski FOU – footprint of uncertainty {hx , ui : x ∈ X, u ∈ Jx , µx (u) > 0} Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte jako zbiory rozmyte typu 2 à = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx } Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte jako zbiory rozmyte typu 2 à = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx } Przedstawmy A jako à : ( µx 0 (u) = 1, 0, jeśli u = µA (x 0 ) w pozostałych przyp. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte jako zbiory rozmyte typu 2 à = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx } Przedstawmy A jako à : ( µx 0 (u) = 1, 0, jeśli u = µA (x 0 ) w pozostałych przyp. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte jako zbiory rozmyte typu 2 à = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx } Przedstawmy A jako à : ( µx 0 (u) = 1, 0, jeśli u = µA (x 0 ) w pozostałych przyp. à = {hx , µA (x ), 1i : x ∈ X} Jx 0 = {µA (x 0 )} Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Rzeczywiste i inne stopnie przynależności L -fuzzy sets Intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Przedziałowe zbiory rozmyte Przedziałowe a intuicjonistyczne zbiory rozmyte Atanassova Zbiory rozmyte typu 2 Zbiory rozmyte jako zbiory rozmyte typu 2 à = {hx , u, µx (u)i : x ∈ X, u ∈ Jx } Przedstawmy A jako à : ( µx 0 (u) = 1, 0, jeśli u = µA (x 0 ) w pozostałych przyp. à = {hx , µA (x ), 1i : x ∈ X} Zbiory rozmyte typu 2 zawieraja˛ w sobie zbiory rozmyte, przedziałowe zbiory rozmyte i (?) intuicjonistyczne zbiory rozmyte jako szczególne przypadki 0 J = {µA (x )} x0 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Suma, iloczyn i dopełnienie zbiorów rozmytych typu 2 Zmienna lingwistyczna typu 2 rozszerza definicje˛ Zadeha [24] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Suma, iloczyn i dopełnienie zbiorów rozmytych typu 2 Zmienna lingwistyczna typu 2 rozszerza definicje˛ Zadeha [24] Spójniki i, lub, nie reprezentuje sie˛ jak dla zbiorów rozmytych typu 1. µÃ ∩B̃ (x ) = µÃ (x ) u µB̃ (x ) iloczyn (meet) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Suma, iloczyn i dopełnienie zbiorów rozmytych typu 2 Zmienna lingwistyczna typu 2 rozszerza definicje˛ Zadeha [24] Spójniki i, lub, nie reprezentuje sie˛ jak dla zbiorów rozmytych typu 1. iloczyn (meet) µÃ ∩B̃ (x ) = µÃ (x ) u µB̃ (x ) suma (join) µÃ ∪B̃ (x ) = µÃ (x ) t µB̃ (x ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Suma, iloczyn i dopełnienie zbiorów rozmytych typu 2 Zmienna lingwistyczna typu 2 rozszerza definicje˛ Zadeha [24] Spójniki i, lub, nie reprezentuje sie˛ jak dla zbiorów rozmytych typu 1. µÃ ∩B̃ (x ) = µÃ (x ) u µB̃ (x ) iloczyn (meet) µÃ ∪B̃ (x ) = µÃ (x )t µB̃ (x ) R µÃ c (x ) = u ∈J µx (uà ) (1 − uà ) suma (join) dopełnienie à Adam Niewiadomski x Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Liczby kardynalne zbiorów rozmytych typu 2 [25] e| = |A P sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1} x ∈X Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Liczby kardynalne zbiorów rozmytych typu 2 [25] e| = |A P sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1} x ∈X Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Liczby kardynalne zbiorów rozmytych typu 2 [25] e| = |A P sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1} x ∈X e| = |A Adam Niewiadomski 1 2 P LMFAe (x ) + UMFAe (x ) x ∈X Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Liczby kardynalne zbiorów rozmytych typu 2 [25] e| = |A P sup{u ∈ Jx : µx (u) = 1} x ∈X e |α = |A e| = |A 1 2 P 1 2 P LMFAe (x ) + UMFAe (x ) x ∈X inf{u ∈ Jx : µx (u) > α} + sup{u ∈ Jx : µx (u) > α} x ∈X Definicje obejmuja˛ zbiory rozmyte (typu 1) jako przypadki szczególne Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Własności zbiorów rozmytych typu 2 Opisanie własności zbiorów rozmytych typu 2 jest niezbedne ˛ do reprezentowania wyrażeń lingwistycznych [24, 25, 23, 26] Liczby kardynalne Miary zbiorów rozmytych typu 2 w przestrzeniach continuous Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Własności zbiorów rozmytych typu 2 Opisanie własności zbiorów rozmytych typu 2 jest niezbedne ˛ do reprezentowania wyrażeń lingwistycznych [24, 25, 23, 26] Liczby kardynalne Miary zbiorów rozmytych typu 2 w przestrzeniach continuous Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Własności zbiorów rozmytych typu 2 Opisanie własności zbiorów rozmytych typu 2 jest niezbedne ˛ do reprezentowania wyrażeń lingwistycznych [24, 25, 23, 26] Liczby kardynalne Miary zbiorów rozmytych typu 2 w przestrzeniach continuous Nośnik (support) Skończoność i przeliczalność zbioru rozmytego typu 2 Stopnie rozmycia in(·), rc(·) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Własności zbiorów rozmytych typu 2 Opisanie własności zbiorów rozmytych typu 2 jest niezbedne ˛ do reprezentowania wyrażeń lingwistycznych [24, 25, 23, 26] Liczby kardynalne Miary zbiorów rozmytych typu 2 w przestrzeniach continuous Nośnik (support) Skończoność i przeliczalność zbioru rozmytego typu 2 Stopnie rozmycia in(·), rc(·) Wypukłość i normalność zbioru rozmytego typu 2 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Własności zbiorów rozmytych typu 2 Opisanie własności zbiorów rozmytych typu 2 jest niezbedne ˛ do reprezentowania wyrażeń lingwistycznych [24, 25, 23, 26] Liczby kardynalne Miary zbiorów rozmytych typu 2 w przestrzeniach continuous Nośnik (support) Skończoność i przeliczalność zbioru rozmytego typu 2 Stopnie rozmycia in(·), rc(·) Wypukłość i normalność zbioru rozmytego typu 2 TODO: α-planes – alfa płaszczyzny, opis własności w nowych terminach, koszty obliczeniowe, rozmyte i rozmyte typu 2 liczby kardynalne, modyfikatory Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Modyfikatory Potega ˛ zbioru rozmytego A (wyrażenia bardzo, nieco itp.) r ∀x ∈X µA r (x ) = µA (x ) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Modyfikatory Potega ˛ zbioru rozmytego A (wyrażenia bardzo, nieco itp.) r ∀x ∈X µA r (x ) = µA (x ) Koncentracja przedziałowego zbioru rozmytego: µAcon (x ) = [µ Acon (x ), µAcon (x )] = [µ2 (x ), µ2A (x )] Adam Niewiadomski A Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Modyfikatory Potega ˛ zbioru rozmytego A (wyrażenia bardzo, nieco itp.) r ∀x ∈X µA r (x ) = µA (x ) Koncentracja przedziałowego zbioru rozmytego: µAcon (x ) = [µ Acon (x ), µAcon (x )] = [µ2 (x ), µ2A (x )] A TODO: Modyfikatory dla zbiorów rozmytych typu 2, potegi ˛ funkcji przynależności typu 2, itp. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (1/3) e I ) i w drugiej Wyrażenie kwantyfikowane lingwistycznie w pierwszej (Q II e ) formie (Q e x’ów jest S f1 Q e x’ów które sa˛ S f2 jest S f1 Q Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (1/3) e I ) i w drugiej Wyrażenie kwantyfikowane lingwistycznie w pierwszej (Q II e ) formie (Q e x’ów jest S f1 Q e x’ów które sa˛ S f2 jest S f1 Q TODO: Inne formy wyrażeń – wg TGQ ok. 30 rodzajów wyrażeń kwantyfikowanych lingwistycznie, np. wiecej ˛ A niż B jest C, wiekszość ˛ A i B jest C lub D Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (1/3) e I ) i w drugiej Wyrażenie kwantyfikowane lingwistycznie w pierwszej (Q II e ) formie (Q e x’ów jest S f1 Q e x’ów które sa˛ S f2 jest S f1 Q TODO: Inne formy wyrażeń – wg TGQ ok. 30 rodzajów wyrażeń kwantyfikowanych lingwistycznie, np. wiecej ˛ A niż B jest C, wiekszość ˛ A i B jest C lub D e (normalny, wypukły i w R+ ∪ {0}) Zbiór rozmyty typu 2 Q Z Q̃ = x ∈R+ ∪{0} µQe (x )/x może być kwantyfikatorem rozmytym typu 2. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (2/3) Kwantyfikator absolutny – zbiór rozmyty typu 2 w R+ ∪ {0} (także w N), reprezentuje określenia około 1000, prawie 50, itp. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (2/3) Kwantyfikator absolutny – zbiór rozmyty typu 2 w R+ ∪ {0} (także w N), reprezentuje określenia około 1000, prawie 50, itp. Kwantyfikator wzgledny ˛ – zbiór rozmyty typu 2 w [0, 1] reprezentuje określenia około połowy, mniej niż 1/3, wiekszość ˛ z. . . (wzgledem ˛ pewnej całości). Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (3/3) eI i Q e II : Stopnie prawdziwości wyrażeń Q f1 | |S f T Q x’ów jest S1 = µQ M f1 | jest liczba˛ kardynalna˛ S f1 , M = |X| jeśli Q jest wzgledny, gdzie |S ˛ lub M = 1 jeśli Q jest absolutny, oraz f1 ∩ S f2 | |S f f T Q x’ów które sa˛ S2 jest S1 = µQ f2 | |S (tylko kwantyfikacja wzgledna). ˛ Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie (3/3) eI i Q e II : Stopnie prawdziwości wyrażeń Q f1 | |S f T Q x’ów jest S1 = µQ M f1 | jest liczba˛ kardynalna˛ S f1 , M = |X| jeśli Q jest wzgledny, gdzie |S ˛ lub M = 1 jeśli Q jest absolutny, oraz f1 ∩ S f2 | |S f f T Q x’ów które sa˛ S2 jest S1 = µQ f2 | |S (tylko kwantyfikacja wzgledna). ˛ Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (1/4) V1 (y1 ) V2 (y1 ) . . . V (y ) V (y ) . . . 2 2 1 2 D = .. .. .. . . . V1 (ym ) V2 (ym ) . . . Vn (y1 ) Vn (y2 ) .. . Vn (ym ) = d1 d2 .. . dm gdzie di = hV1 (yi ), V2 (yi ), . . . , Vn (yi )i, i = 1, 2, . . . , m, to krotki opisujace ˛ obiekty y1 ,. . . , ym oraz di ∈ X1 × X2 ×. . . ×Xn ; podmioty podsumowań P Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (1/4) V1 (y1 ) V2 (y1 ) . . . V (y ) V (y ) . . . 2 2 1 2 D = .. .. .. . . . V1 (ym ) V2 (ym ) . . . Vn (y1 ) Vn (y2 ) .. . Vn (ym ) = d1 d2 .. . dm gdzie di = hV1 (yi ), V2 (yi ), . . . , Vn (yi )i, i = 1, 2, . . . , m, to krotki opisujace ˛ obiekty y1 ,. . . , ym oraz di ∈ X1 × X2 ×. . . ×Xn ; podmioty podsumowań P Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (2/4) Podsumowania lingwistyczne typu 2 oparte sa˛ o wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie e P jest/ma S e [T ] Q e=S e1 i S e2 i . . . i S en gdzieS Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (2/4) Podsumowania lingwistyczne typu 2 oparte sa˛ o wyrażenia kwantyfikowane lingwistycznie e P jest/ma S e [T ] Q e=S e1 i S e2 i . . . i S en oraz gdzieS e jest/ma S e Q P które sa/maj ˛ a˛ W e jw. W e =W e g1 i . . . i W e gx oraz g1 , . . . , gx ∈ {1, . . . , n} gdzie S Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (3/4) Podstawowe miary jakości podsumowań lingwistycznych, tzw. degrees of truth, oznaczane T1 oparte sa˛ o stopnie prawdziwości wyrażeń kwantyfikowanych lingwistycznie. Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (3/4) Podstawowe miary jakości podsumowań lingwistycznych, tzw. degrees of truth, oznaczane T1 oparte sa˛ o stopnie prawdziwości wyrażeń kwantyfikowanych lingwistycznie. Istnieje kilkanaście innych miar jakości podsumowań, np. Yn T2 = 1 − j =1 Adam Niewiadomski ej )| 1/n |supp(S |Xj | Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (3/4) Podstawowe miary jakości podsumowań lingwistycznych, tzw. degrees of truth, oznaczane T1 oparte sa˛ o stopnie prawdziwości wyrażeń kwantyfikowanych lingwistycznie. Istnieje kilkanaście innych miar jakości podsumowań, np. Yn T2 = 1 − j =1 ej )| 1/n |supp(S |Xj | Podsumowanie optymalne: T = T (T1 , . . . , Tn ; w1 , . . . , wn ) = Xn i =1 w i · Ti gdzie w1 + . . . + wn = 1 Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (4/4) Podsumowania atrybutów o wartościach rozmytych 200 recenzji artykułów nadesłanych na AWIC 2005 6 atrybutów np. relevance, originality, technical soundness itp., Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (4/4) Podsumowania atrybutów o wartościach rozmytych 200 recenzji artykułów nadesłanych na AWIC 2005 6 atrybutów np. relevance, originality, technical soundness itp., których wartości lingwistyczne bad, weak, fair, good, excellent, reprezentowane sa˛ przez (tradycyjne!) zbiory rozmyte w [0, 1], np.: −10x + 1, µbad (x ) = 0, Adam Niewiadomski jeśli x ∈ [0, 0.1] w pozostałych przypadkach Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 (4/4) Podsumowania atrybutów o wartościach rozmytych 200 recenzji artykułów nadesłanych na AWIC 2005 6 atrybutów np. relevance, originality, technical soundness itp., których wartości lingwistyczne bad, weak, fair, good, excellent, reprezentowane sa˛ przez (tradycyjne!) zbiory rozmyte w [0, 1], np.: −10x + 1, µbad (x ) = 0, jeśli x ∈ [0, 0.1] w pozostałych przypadkach about_half of papers are of the excellent relevance [0.81] few of papers are of the weak presentation [0.93] almost_none of papers of fair relevance are of bad originality [1.0] about_half of papers of good techn. soundness have weak references [0.87] Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Nadal olbrzymi i niewykorzystany potencjał aplikacyjny Barwise’a i Coopera teoria uogólnionej kwantyfikacji (TGQ) – ponad 30 rodzajów kwantyfikatorów lingwistycznych (!) [27] np. wiecej ˛ A niż B jest C, wiekszość ˛ A i B jest C lub D α-planes – alfa płaszczyzny, opis własności w nowych terminach, koszty obliczeniowe, rozmyte i rozmyte typu 2 liczby kardynalne itp. Modyfikatory dla zbiorów rozmytych typu 2, potegi ˛ funkcji przynależności typu 2, itp. Metody generowania podsumowań lingwistycznych typu 2 pełny przeglad, ˛ podsumowania interaktywne, miary jakości podsumowań lingwistycznych typu 2 (nowe miary, zależności funkcyjne pomiedzy ˛ miarami istniejacymi, ˛ adekwatność, itp.) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Nadal olbrzymi i niewykorzystany potencjał aplikacyjny Barwise’a i Coopera teoria uogólnionej kwantyfikacji (TGQ) – ponad 30 rodzajów kwantyfikatorów lingwistycznych (!) [27] np. wiecej ˛ A niż B jest C, wiekszość ˛ A i B jest C lub D α-planes – alfa płaszczyzny, opis własności w nowych terminach, koszty obliczeniowe, rozmyte i rozmyte typu 2 liczby kardynalne itp. Modyfikatory dla zbiorów rozmytych typu 2, potegi ˛ funkcji przynależności typu 2, itp. Metody generowania podsumowań lingwistycznych typu 2 pełny przeglad, ˛ podsumowania interaktywne, miary jakości podsumowań lingwistycznych typu 2 (nowe miary, zależności funkcyjne pomiedzy ˛ miarami istniejacymi, ˛ adekwatność, itp.) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Nadal olbrzymi i niewykorzystany potencjał aplikacyjny Barwise’a i Coopera teoria uogólnionej kwantyfikacji (TGQ) – ponad 30 rodzajów kwantyfikatorów lingwistycznych (!) [27] np. wiecej ˛ A niż B jest C, wiekszość ˛ A i B jest C lub D α-planes – alfa płaszczyzny, opis własności w nowych terminach, koszty obliczeniowe, rozmyte i rozmyte typu 2 liczby kardynalne itp. Modyfikatory dla zbiorów rozmytych typu 2, potegi ˛ funkcji przynależności typu 2, itp. Metody generowania podsumowań lingwistycznych typu 2 pełny przeglad, ˛ podsumowania interaktywne, miary jakości podsumowań lingwistycznych typu 2 (nowe miary, zależności funkcyjne pomiedzy ˛ miarami istniejacymi, ˛ adekwatność, itp.) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Nadal olbrzymi i niewykorzystany potencjał aplikacyjny Barwise’a i Coopera teoria uogólnionej kwantyfikacji (TGQ) – ponad 30 rodzajów kwantyfikatorów lingwistycznych (!) [27] np. wiecej ˛ A niż B jest C, wiekszość ˛ A i B jest C lub D α-planes – alfa płaszczyzny, opis własności w nowych terminach, koszty obliczeniowe, rozmyte i rozmyte typu 2 liczby kardynalne itp. Modyfikatory dla zbiorów rozmytych typu 2, potegi ˛ funkcji przynależności typu 2, itp. Metody generowania podsumowań lingwistycznych typu 2 pełny przeglad, ˛ podsumowania interaktywne, miary jakości podsumowań lingwistycznych typu 2 (nowe miary, zależności funkcyjne pomiedzy ˛ miarami istniejacymi, ˛ adekwatność, itp.) Adam Niewiadomski Rozszerzenia zbiorów rozmytych. Logika rozmyta typu 2 Informacja niepewna, miary niepewności. Wstep ˛ Informacja niepewna, miary niepewności Rozszerzenia zbiorów rozmytych Logika rozmyta typu 2 Operacje teoriomnogościowe, własności zbiorów rozmytych typu 2 Rachunek kwantyfikatorów rozmytych typu 2 Podsumowania lingwistyczne typu 2 Możliwości dalszych prac w logice rozmytej typu 2 Bibliografia Zadeh, L. A., Fuzzy sets, Information and Control, Vol. 8, 1965, pp. 338–353. Goguen, J., L -fuzzy sets, J. Math. Anal. Appl., Vol. 18, 1967, pp. 145–174. Atanassov, K. T., Intuitionistic fuzzy sets. Theory and Applications, Springer Verlag, 1999. Sambuc, R., Fonctions Φ-floues. Application à l‘aide au diagnostic en pathologie thyroidienne, Ph.D. thesis, Univ. Marseille, France, 1975, (in French). Wu, X., Fuzzy interpretation of discretized intervals, IEEE Transactions On Fuzzy Systems, Vol. 7, No. 6, 1999, pp. 753–759. Pawlak, Z., Rough Sets, International Journal of Information and Computer Sciences, Vol. 11(5), 1982, pp. 341–356. Pal, S. K. and Skowron, A., editors, Rough Fuzzy Hybridization: A New Trend in Decision Making, Springer-Verlag, 1999. Nanda, S. and Majumdar, S., Fuzzy rough sets, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 45, 1992, pp. 157–160. Radzikowska, A. M. and Kerre, E. E., On L-Fuzzy Rough Sets, Lecture Notes in Artificial Intelligence, Vol. 3070, 2004, pp. 526–531. Atanassov, K. T., Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 20, 1986, pp. 87–96. Niewiadomski, A. and Szmidt, E.,Niewiadomski Handling Uncertainty in Natural via rozmyta Intuitionistic Adam Rozszerzenia zbiorów Sentences rozmytych. Logika typu 2