Lista zadań z matematyki nr 3 NE FiR
Transkrypt
Lista zadań z matematyki nr 3 NE FiR
Lista zadań nr 3 do zajęć z matematyki – LS NE FiR Równania macierzowe, wektory i wartości własne macierzy A1. Rozwiązać układy równań z zadania A1. z listy 1 metodą macierzy odwrotnej. A2. Obliczyć macierze odwrotne dla macierzy z zadania A1. z listy 2 (o ile, oczywiście, istnieją). A3. Znaleźć macierz X spełniającą równanie AXB = C dla: 1 2 , B = 3 5 a) A = 1 2 3 0 2 1 , C = 1 1 1 3 ; 3 8 1 1 2 1 1 2 , B = 3 6 b) A = 1 3 9 2 1 , C = 1 1 1 3 ; 3 8 8 c) A = 0 1 2 3 , B = 0 1 2 2 , C = 0 1 4 10 ; 2 1 1 d) A = 0 2 1 0 2 0 1 0 1 0 0 2 3 0 1 1 2 3 , B = 0 2 0 1 0 1 0 0 2 4 8 8 1 2 4 3 7 3 −2 1 2 , C = 6 0 − 12 . 1 2 7 6 10 0 2 3 3 6 0 1 1 0 0 2 A4. Niech f (a, b, c, d) = (a + b + c, a + b + d, a + c + d, b + c + d). Wyznaczyć f –1. A5. Niech f :R3 → R3 przekształcenie liniowe, takie, iż f (1, 1, 1) = (2, 0, 1), f (1, 1, 0) = (1,-1, 0), f (2, 0, 0) = (0, 1, 1). Wyznaczyć f (2, 2, 1), f (0, 2, 1) i f (1,-3, 4). A6. Wektor x nazywamy wektorem własnym, a liczbę λ wartością własną macierzy A, jeśli x jest różny od wektora zerowego i x oraz λ spełniają równanie macierzowe Ax = λx. Znaleźć wektory i wartości własne dla macierzy: 1 1 2 4 , , 1 1 4 2 1 2 4 0 1 4 2 0 , 0 0 2 0 0 1 0 0 3 2 0 3 1 1 0 0 2 2 2 , , −2 0 2 4 0 2 1 0 0 4 2 1 2 − 1 2 0 1 , 1 3 1 0 1 2 1 . 0 1 1 B7. a) Udowodnić, że jeśli macierz A jest nieosobliwa, to macierze A oraz A-1 mają te same wektory własne. Jaki jest związek między wartościami własnymi tych macierzy? b) Czy każdy wektor własny macierzy A jest wektorem własnym macierzy A2. Jaki jest związek między wartościami własnymi tych macierzy? B8. Wyznaczyć macierz odwrotną dla macierzy określonej w zadaniu B8. z listy 2. B9. Niech X ={x1, …, xn} będzie zbiorem n wektorów m-elementowych (n punktów xi ∈ R m ), przy czym n > m; d(p, q) = ( p − q ) T ( p − q ) – odległość (euklidesowa) pomiędzy punktami p i q; f (p) = ∑ n i =1 d ( x i , p) 2 – suma kwadratów odległości pomiędzy ustalonym punktem p a punktami ze zbioru X. Wykazać, że minimum funkcji f realizuje x = 1 n n ∑ i =1 xi – średnia arytmetyczna zbioru X. B10. Przy założeniach z poprzedniego zadania, Σ = 1 n n ∑ i =1 ( x i − x )( x i − x )T – to macierz kowariancji (lub inaczej macierz kształtu) zbioru X. Wykazać, że a) macierz ta jest macierzą słabo dodatnio określoną o wymiarach m × m ; b) można ją zapisać równoważnie w postaci Σ= 1 n n ∑ i =1 x i x i − xx T lub Σ = 1n XX T − xx T . T ●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○ Procedura szukania wartości i wektorów własnych macierzy (poprzez znajdowanie miejsc zerowych wielomianu charakterystycznego macierzy): Równanie Bx = 0 ma rozwiązanie różne od wektora zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy detB = 0. Aby znaleźć wartości własne macierzy A konstruujemy macierz A - λI (gdzie I jest macierzą jednostkową) i szukamy takich λ, dla których det(A - λI) = 0. Następnie, dla każdego z takich λ osobno, rozwiązujemy równanie Bx = 0, gdzie B = A - λI. x jest wtedy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Uwaga: wektor własny jest wyznaczony z dokładnością do stałej, to jest jeśli x jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ, to cx też (gdzie c = const, dowolna, różna od zera, stała). Ad. A3. Jeśli macierze A i B są nieosobliwe, to mnożymy równanie AXB = C przez macierz A-1 lewostronnie i przez B-1 prawostronnie. Wtedy X = A-1CB-1. Ad. A6. e) 2 0 3 − λ = (3 - λ)(2 - λ)(1 - λ) - 4(3 - λ + 1 - λ) =(λ - 5)( λ + 1)(2 - λ). det 2 2−λ 2 0 2 1 − λ − 12 4 2 0 0 0 0 0 0 → → x = x2 ; itd. Dla λ = -1 1 2 3 2 0 2 1 0 0 − 1 0 2 2 0 0 1 1 0 ∑ d ( x , x ) ≤ ∑ d ( x , p) . ∑ x − 2 x ∑ x + nx ≤ ≤ n Ad. B9. Wystarczy pokazać, że dla dowolnego wektora p zachodzi Dla n ∑ i =1 d(x, p)2 = (x - p)2 = x2 - 2px + p2. m=1 Czyli n i =1 n 2 i =1 2 i 2 i =1 i n i =1 i 2 i 2 xi − 2 p∑i =1 xi + np 2 . Po przeniesieniu na jedną stronę i po podzieleniu przez n dostajemy n 0 ≤ x 2 − 2 px + p 2 = ( x − p ) 2 , co jest zawsze spełnione. Analogicznie można przeprowadzić rozumowanie dla dowolnego m. Wtedy d ( x , p) 2 = ( x − p) T ( x − p) = x T x − p T x − x T p + p T p .