MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2010/2011)

MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2010/2011)

(Aktualizacja z dnia 10 marca 2011)
MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2010/2011)
Zadania do omówienia na ćwiczeniach w dniu 12 marca
Grafy 1: Sąsiedztwo i incydencja
ZESTAW NR 1/7
Zad 1 – 7 opracował Joachim Domsta
Zad 8 - 21 opracował Jarosław Grytczuk (UZ - Matematyka Dyskretna)
http://www.szuvarpl.republika.pl/pliki/mdc.pdf
Zad 1. Naszkicować graf G = < V, E, φ >, gdzie V = { 1, 2, 3, 4 }, E = {a, b , c, d, e, f, g }, a
funkcję φ podaje tabela (φ(a) = {2} oznacza, że krawędź a jest pętlą w wierzchołku 2, φ(b) =
{3,1} oznacza, że krawędź b łączy wierzchołek 1 z wierzchołkiem 3 , itp.) :
1.1. φ(a) = {2}, φ(b) = {3,1}, φ(c) = {1,4}, φ(d) = {1,2}, φ(e) = {4,1}, φ(f) = {2,3}, φ(g) =
{2,4}
1.2. φ(a) = (2,2), φ(b) = (3,1), φ(c) = (1,4), φ(d) = (1,2), φ(e) = (4,1), φ(f) = (2,3), φ(g) =
(2,4)
Dla każdego z otrzymanych grafów określić, czy jest prosty, spójny, skierowany, dwudzielny oraz
czy ma pętle, cykle Eulera, cykle Hamiltona i czy ma krawędzie wielokrotne.
Zad 2. Na podstawie danego (samodzielnie utworzonego) szkicu grafu zbudować funkcję
wskazującą wierzchołki łączone przez poszczególne krawędzie.
Zad 3. Opisać słownie (podając przykłady elementów i ich ilość) - (zadanie na 26 marca 2011?)
C_V^2 – tj. wszystkich kombinacji dwuelementowych ze zbioru V,
2
(symbol C_V^2 zbliżony do: CV , ale dwójka powinna być nad V)
C_V^1 – tj. wszystkich kombinacji jednoelementowych ze zbioru V,
W_V^2 – tj. wszystkich wariacji dwuelementowych ze zbioru V,
V_V^3 – tj. wszystkich wariacji trójelementowych ze zbioru V,
P_V – tj. wszystkich permutacji elementowych zbioru V .
Które z tych rodzin mają te same liczby obiektów? Przyjąć, że V = {1, 2, 3, . . , n -1, n} (można
przyjąć np. n = (N mod 7) + 5, zaś N oznacza numer pierwszej litery nazwiska osoby
rozwiązującej) .
Zad 4. Utworzyć macierz sąsiedztwa i macierz incydencji dla (samodzielnie utworzonego) spójnego
grafu nieskierowanego o pięciu wierzchołkach.
4.1. bez pętli 4.2. z pętlami.
Zad 5. Dla grafu z zadania 4. obliczyć ilość tras, ścieżek i dróg trójkrawędziowych łączących
poszczególne pary wierzchołków. Czy przydaje się do tego macierz sąsiedztwa? A czy przydatna
jest macierz incydencji?
Zad 6. Podać deficję stopnia wierzchołka grafu z pętlami tak, aby zachodziło twierdzenie o
parzystości sumy stopni wszystkich wierzchołków. Czy tak określony stopień można odczytać z
macierzy sąsiedztwa, z macierzy incydencji?
Zad 7. W danym (samodzielnie utworzonym) dostatecznie rozwiniętym drzewie wyróżnić pień tak,
aby wierzchołki podgrafów gałęzi i korzeni były przynajmniej dwupoziomowe.
Zestaw 7/1, strona 1/2
Zad 8. Wyznaczyć wszystkie grafy na 2, 3, 4 wierzchołkach.
Zad 9. Czy istnieje graf na 6 wierzchołkach o stopniach 2, 3, 3, 3, 3, 3?
Zad 10. Czy istnieje graf na 6 wierzchołkach o stopniach 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Zad 11. Ile jest grafów na 2k wierzchołkach o stopniach 1, 1, ..., 1?
Zad 12. Jaka jest największa liczba krawędzi w grafie o 10 wierzchołkach?
Zad 13. Ile jest różnych (z dokładnością do izomorfizmu) grafów na 20 wierzchołkach?
Zad 14. Narysować graf G = <V,E>, gdzie V = {1, 2, ..., 10} i {a,b} ∈ E wtedy i tylko wtedy,
gdy a | b (tzn. gdy a jest dzielnikiem b) lub gdy b | a.
Zad 15. Narysować graf G = <V,E> gdzie V = {1, 2, ..., 10} i {a,b} ∈ E wtedy i tylko wtedy,
gdy NWD(a, b) = 1. ( NWD= Największy Wspólny Dzielnik)
Zad 16. Dla grafów z zadania 14 i 15 sprawdzić lemat o uściskach dłoni (suma stopni = 2 * liczba
krawędzi (modyfikacja dla pętli ! ).
Zad 17. Skonstruować graf o 5 wierzchołkach i 6 krawędziach nie zawierający trójkąta.
Zad 18. Uzasadnić, że grafy na rysunku poniżej nie są izomorficzne.
Zad 19. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5}. Narysować graf G = (V,E), gdzie V to kombinacje (czyli:
podzbiory) dwuelementowe zbioru X zaś para podzbiorów {A,B} tworzy krawędź, czyli element
zbioru E, wtedy i tylko wtedy, gdy A∩B = . Pokazać, że G jest izomorficzny z grafem Petersena.
Zad 20. Narysować graf G = (V,E), gdzie V = B3 := {0,1}3 (bajty trójbitowe) i para słów {a,b}
tworzy krawędź (element E ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi a i b różnią się na dokładnie jednej
pozycji. Pokazać, że G jest izomorficzny z grafem utworzonym przez wierzchołki i krawędzie
zwykłego sześcianu.
Zad 21. Odbywa się przyjęcie u państwa Szaradków, w którym oprócz Pana Szaradka i Pani
Szaradkowej biorą udział cztery inne pary. Ludzie wymieniają uściski dłoni między sobą, przy czym
żadne dwie osoby nie robią tego dwa razy i nikt nie wita się ze swoim partnerem/partnerką.
Zarówno Pan jak i Pani domu wymienili z kimś z gości co najmniej po jednym uścisku. Pod koniec
przyjęcia Pan Szaradek zapytał każdego (wyłączając siebie) o liczbę dokonanych uścisków. W
odpowiedzi każda z osób podała inną liczbę. Ile uścisków dokonała Pani Szaradkowa?
Zestaw 7/1, strona 2/2