Lista zadań z algebry liniowej I. nr 5

Lista zadań z algebry liniowej I. nr 5
Macierze przekształceń liniowych, wektory własne, wartości własne, wielomiany
charakterystyczne
Zad.1 Znaleźć macierze przekształceń liniowych w bazach standardowych dla
a) F : R3 → R4 , F (x, y, z) = (x + y, x + z, y − z, y + 2z);
b) F : R2 → R3 , F (x, y) = (4x + 3y, x − 2y, 3x + 5y);
c) F : R3 → R3 , gdzie F jest rzutem prostoka̧tnym na płaszczyznȩ o równaniu
x + 2y + 4z = 0;
d) F : R2 [x] → R2 [x], F (w) = (x2 + x)w(2) + (3x2 − x)w(1);
e) F : R3 → R3 , gdzie F jest obrotem o ka̧t π/4 wokół osi Ox;
f) F w Zad. 2 a),c),d), e) z listy nr 3.
Zad.2 Znaleźć macierze przekształceń liniowych z zad.1 w bazie w1 = (1, 1, 1, 1), w2 =
(1, 1, 1, 0), w3 = (1, 1, 0, 0), w4 = (1, 0, 0, 0) dla R4 ;w bazie v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 =
(0, 1, 1) dla R3 ; w bazie u1 = (−1, 1), u2 = (1, 2) dla R2 ; w bazie f1 = 1 + x + x2 , f2 =
1 + x, f3 = 1 dla R2 [x].
Zad.3 Podaj macierze przekształceń liniwych F + 5G, F ◦ G, F 2 ◦ G−1 w bazie
standardowej
jeślimacierzew bazach standardowych przekształceń F i G to odpowiednio

1 2 1
1 0 3



0
1
1
A=
i
B
=


0 2 0 .
0 1 2
2 0 −1
Zad.4 Macierz przekształcenia liniowego F : U −→ U w bazie u1 , u2 , u3 przestrzeni
liniowej U jest jedna̧ z macierzy z poprzedniego zadania . Oblicz F (u1 − 3u2 + 5u3 ) oraz
F (4u1 + u2 + u3 ).
Zad.5 Znaleźć wartoś ci i wektory własne podanych przekształceń liniowych:
a) F : R2 → R2 , F (x, y) = (4x + 2y, y − x);
b) F : R2 → R2 , F (x, y) = (2x + y, 4y − x);
c) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (x, 2x + 2y, −x − y − z);
d) F : R3 → R3 , F (x, y, z) = (3x − y, 6x − 2y, 2x − y + z);
e) F : R2 [x] → R2 [x], F (w) = w”;
f) F : R2 [x] → R2 [x], F (w) = 2xw + x2 w(0) + w(2)
Zad.6 Dla podanych liniowych przekształceń R3 i R3 znajdź wartości i wektory własne
wykorzystuja̧c ich własności geometryczne :
a) symetria na R2 wzglȩdem punktu (0, 0);
b) rzut prostoka̧tny w R3 na oś Oz;
c) rzut prostoka̧tny w R3 na prosta̧ x = y = z;
d) rzut prostoka̧tny w R3 na płaszczyznȩ x + y + z = 0;
e) symetria w R3 wzglȩdem płaszczyzny xOy;
f) symetria w R3 wzglȩdem prostej x + y = 0, z = 0.
Zad.7 Znaleźć wartości i wektory
własne




2 2 2
4 1 −5
−3 0 −1 


 0 0 0
0 −3 5   0 3 0 , 
3 3 3
0 0
2
8 0 3
2 2 2
podanych
macierzy:

2
0

.
3
2
1