5 Martyngały całkowane z kwadratem i całka stochastyczna

Transkrypt

Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 5
5
5.1
75
Martyngały całkowane z kwadratem i całka stochastyczna
Przestrzeń M2
Określamy przestrzeń M2 jako przestrzeń wszystkich cadlag martyngałów M takich, że
sup E[Mt2 ] < +∞.
t≥0
Elementy tej przestrzeni nazywać będziemy martyngałami całkowalnymi z kwadratem.
Dodatkowo zakładamy, że elementy M2 spełniają dodatkowy warunek M0 = 0. Nie jest
to istotne ograniczenie, bo zawsze możemy rozważać N = M − M0 , ale niektóre wzory
są prostsze. Określamy przez M2loc przestrzeń wszystkich procesów dla których istnieje co
najmniej jeden ciąg lokalizacyjny {Tn }n∈N czasów zatrzymania taki, że M Tn ∈ M2 dla
każdego n ∈ IN.
Zauważamy, że ruch Browna B nie jest martyngałem całkowalnym z kwadratem, bo
sup E[Bt2 ] = +∞,
t≥0
ale B ∈ M2loc .
Lemat 5.1 Zachodzi zawieranie M2 ⊂ M oraz istnieje granica limt→∞ Mt = M∞ , P -p.w.
i w normie L2 . Ponadto Mt = E[M∞ | Ft ].
Dowód. Wynika z twierdzenia 4.8 (3) (nierówność Dooba dla całek) dla p = 2.
2
Lemat 5.2 Jeśli M ∈ M2 to dla każdego czasu zatrzymania T mamy
E[M∞ | FT ] = MT
Dowód. Wynika z lematu 5.1 i z ogólnego twierdzenia o stopowaniu.
2
Lemat 5.3 Jeśli M ∈ M2 to M 2 jest submartyngałem na [0, +∞]. Ponadto dla każdego
czasu zatrzymania T zachodzi nierówność
2
E[M∞
| FT ] ≥ MT2
Dowód. Z nierówności Jensena dostajemy, że M 2 jest submartyngałem. Z lematu 5.1 i
jeszcze raz z nierówności Jensena dostajemy
2
E[M∞
| Ft ] ≥ (E[M∞ | Ft ])2 = Mt2 .
Stosując teraz ogólne twierdzenie o stopowaniu otrzymujemy tezę.
2
76
Lemat 5.4 Każdy nieujemny cad submartyngał X = {Xt }t≥0 , który jest zbieżny w L1
należy do klasy D.
Dowód. Ze zbieżności w L1 otrzymujemy, że X jest submartyngałem na [0, +∞] Stąd i z
ogólnego twierdzenia o stopowaniu dla dowolnego czasu zatrzymania T mamy
Z
Z
Z
X∞ dP.
X∞ dP ≤
XT dP ≤
{supt∈R+ Xt >λ}
{XT >λ}
{XT >λ}
Z twierdzenia 4.8 (1) mamy
P { sup Xt > λ} ≤
t∈R+
1
EX∞ → 0,
λ
gdy
λ → ∞.
2
Twierdzenie 5.5 Jeśli M ∈ M2 to M 2 ∈ D.
Dowód. Z lematu 5.3 dla dowolnego czasu zatrzymania T mamy nierówność
2
E[M∞
| FT ] ≥ MT2 .
2 | F ]}
Ponieważ rodzina {E[M∞
T T ∈Λ jest jednostajnie całkowalna (zad. na ćw.), więc z
powyższej nierówności rodzina {MT2 }T ∈Λ też jest jednostajnie całkowalna.
2
Lemat 5.6 Jeśli M ∈ M2 to istnieje jedyny prognozowalny rosnący proces hM, M i ∈ A+
taki, że
M 2 − hM, M i ∈ M.
Dowód. Zastosujemy rozkład Dooba-Meyera do supermartyngału −M 2 ; istnieje jedyny
element A ∈ A+ taki, że −M 2 + A ∈ M więc również dostajemy M 2 − A ∈ M. Określamy
hM, M i := A.
2
Lemat 5.7 Jeśli X ∈ M2loc to istnieje jedyny prognozowalny rosnący proces hX, Xi ∈ A+
loc
taki, że
X 2 − hX, Xi ∈ Mloc .
Dowód. Niech {Tn } będzie lokalizacyjnym ciągiem czasów zatrzymania dla X tj. X Tn ∈
M2 . Z poprzedniego lematu wynika istnienie dla każdego n ∈ IN jedynego prognozowalnego
procesu hX Tn , X Tn i ∈ A+ tj.
M n := X Tn
2
− hX Tn , X Tn i ∈ M.
77
T
Niech m ≤ n. Wtedy Tm ≤ Tn , więc X Tn m = X Tm . Zatem
2
(M n )Tm = X Tm − hX Tn , X Tn iTm ∈ M.
Z drugiej strony
M m = X Tm
2
− hX Tm , X Tm i ∈ M.
Z jednoznaczności rozkładu Dooba-Meyera mamy
hX Tn , X Tn iTm = hX Tm , X Tm i oraz
(5.1)
Mn
Tm
= M m.
Ponieważ Tn → ∞ to możemy określić procesy hX, Xi i M jak następuje: Dla każdego
ω ∈ Ω i t ≥ 0 istnieje n ∈ IN takie, że t ≤ Tn (ω). Określamy
Mt (ω) := Mtn (ω),
hX, Xit (ω) := hX Tn , X Tn it (ω).
Zauważmy, że M ∈ Mloc oraz hX, Xi ∈ Aloc i hX, Xi jest procesem prognozowalnym, bo
hX, Xi =
∞
X
hX Tn , X Tn iI]]Tn−1 ,Tn ]] ,
T0 ≡ 0.
n=1
M2
M2
2
− hM, M i ∈ M. Ponieważ w definicji M2
Uwaga. Jeśli M ∈
to jak wiadomo
założyliśmy, że M0 = 0, więc dla t ≥ 0 mamy
0 = E M02 − hM, M i0 = E Mt2 − hM, M it = E Mt2 − E hM, M it ,
zatem
2
E Mt2 = E hM, M it oraz E M∞
= E hM, M i∞
2
Niech X, Y ∈
M2
określmy nawias hX, Y i jako
1
hX, Y i :=
hX + Y, X + Y i − hX − Y, X − Y i
4
Zauważmy, że hX, Y i jest prognozowalny, hX, Y i ∈ A oraz
XY − hX, Y i ∈ M
bo z definicji
(X + Y )2 − hX + Y, X + Y i ∈ M,
(X − Y )2 − hX − Y, X − Y i ∈ M,
zatem
1
hX + Y, X + Y i − hX − Y, X − Y i ∈ M
4
W analogiczny sposób możemy określić hX, Y i dla X, Y ∈ M2loc wtedy
XY −
hX, Y i ∈ Aloc
oraz XY − hX, Y i ∈ Mloc .
Podamy teraz pewne własności określonych nawiasów
78
Lemat 5.8 Niech M, N, Mi , Ni ∈ M2 , i = 1, 2.
(i) Jeśli dla każdego t ≥ 0 hM, M it = 0 to M = 0.
(ii) Jeśli M ∈ M2loc i EhM, M i∞ < ∞ to M ∈ M2 .
(iii) Z jednoznaczności rozkładu Dooba-Meyer’a dostajemy
hM1 + N1 , M2 + N2 i = hM1 , M2 i + hM1 , N2 i + hN1 , M2 i + hN1 , N2 i,
hαM, βN i = αhM, βN i = βhαM, N i = αβhM, N i,
hM, N i = hN, M i
Dowód. (i) Z uwagi po lemacie 5.7 wynika, że
E(Mt2 ) = EhM, M it = 0,
t ≥ 0.
Stąd Mt = 0, P - p.w. Ponieważ M jest cadlag, więc M jest nieodróżnialny od zera
(twierdzenie 1.19).
(ii) Niech n ≥ 1. Ponieważ M Tn+1 ∈ M2 , więc
Mt∧Tn+1 = E(MTn+1 | Ft ),
(5.2)
t ≥ 0.
Z ogólnego twierdzenia o stopowaniu (twierdzenie 4.15) dostajemy
MTn = E(MTn+1 | FTn ).
Zatem (MTn , FTn )n≥1 jest dyskretnym martyngałem. Pokażemy, że jest on martyngałem
całkowalnym z kwadratem. Z uwagi po lemacie 5.7 i z konstrukcji hM, M i (patrz dowód
lematu 5.7) mamy
Tn 2
) = sup EhM Tn , M Tn i∞ = sup sup EhM Tn , M Tn it =
sup E(MT2n ) = sup E(M∞
n≥1
n≥1
n≥1 t≥0
n≥1
sup sup EhM Tn , M Tn it = sup sup EhM, M iTt n = sup EhM, M it = EhM, M i∞ < ∞.
t≥0 n≥1
t≥0 n≥1
t≥0
Oznaczmy M∞ = limn→∞ MTn . Z lematu 5.1 granica ta istnieje P - pw.w oraz w L2 (Ω, P ).
Przechodząc w (5.2) z n → ∞ otrzymujemy Mt = E(M∞ | Ft ), t ≥ 1. Stąd i z nierówności Jensena dla warunkowych wartości oczekiwanych mamy M ∈ M2 . Dowód (iii) jest
oczywisty.
2
Lemat 5.9 Niech α, β, γ będą cad funkcjami z [0, ∞) w IR o własnościach: α(0) = β(0) =
γ(0) = 0, α ma skończone wahanie, a β i γ są niemalejące. Niech
Z
Z
1 Z
1
2
2
dα ≤
dβ
(5.3)
dγ ,
s < t.
(s, t]
(s, t]
(s, t]
79
Wtedy dla dowolnych mierzalnych (borelowskich) funkcji mamy
Z
1 Z
Z
1
2
2
|f |2 dβ
|f g|dV (α) ≤
|g|2 dγ ,
(5.4)
(s, t]
(s, t]
s < t.
(s, t]
Dowód. Z definicji wariancji V , z (5.3) i z nierówności Schwarza dla sum dostajemy
Z
1 Z
Z
1
2
2
dβ
dV (α) ≤
dγ ,
s < t.
(s, t]
(s, t]
(s, t]
Oznaczmy rodzinę
Z
n
G = A ∈ B(IR) :
Z
IA dV (α) ≤
IA dβ
1 Z
2
(s, t]
(s, t]
IA dγ
1
2
o
, s<t
(s, t]
S
Jeśli Ai ∈ G, 1 S
≤ i ≤ n, n ≥ 1 oraz Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, to ni=1 Ai ∈ G. Rzeczywiście,
oznaczmy B = ni=1 Ai . Z nierówności Schwarza otrzymujemy
Z
IB dV (α) =
(s, t]
n Z
X
IAi dV (α) ≤
n Z
X
(s, t]
i=1
Z
1 Z
2
(s, t]
2
(s, t]
i=1
IB dβ
IAi dβ
1 Z
IB dγ
1
2
,
IAi dγ
1
2
≤
(s, t]
s < t.
(s, t]
Ponieważ przedziały (s, t], (s ∞) ∈ G i G jest zamknięta na skończone rozłączne sumy,
to G zawiera algebrę generowaną przez przedziały (s, t], (s ∞) (jej elementy to skończone
rozłączne sumy takich przedziałów). Łatwo sprawdzić, że G jest klasą monotoniczną. Zatem G zawiera σ-algebrę generowaną przez tą algebrę. Z drugiej strony wiadomo, że tą
σ - algebrą jest σ - algebra zbiorów borelowskich na prostej. Zatem nierówność (5.4) jest
prawdziwa dla indykatorów zbiorow borelowskich. Zatem nierówność
Pn ta zachodzi również
dla nieujemnych borelowskich funkcji prostych, bo gdy f =
i=1 ai IAi , gdzie ai ≥ 0,
i = 1, . . . , n oraz {Ai }1≤i≤n jest mierzalnym rozbiciem IR i B ∈ B(IR), to dla s < t mamy
Z
f IB dV (α) =
(s, t]
≤
n
X
Z
IAi IB dV (α) ≤
ai
(s, t]
i=1
n
X
Z
a2i IAi IB dβ
Z
(s, t]
ai
n
X
2
IAi IB dγ
1
2
≤
(s, t] i=1
n
X
i=1
ai IAi
2
dβ
Z
IAi IB dβ
1 Z
2
n
X
Z
a2i IAi dβ
1 Z
2
(s, t] i=1
1 Z
2
(s, t]
IB dγ
1
2
=
Z
(s, t]
IAi IB dγ
1
2
(s, t]
(s, t]
i=1
1 Z
(s, t] i=1
=
n
X
f 2 dβ
IB dγ
(s, t]
1 Z
2
(s, t]
IB dγ
1
2
.
1
2
80
Jesli teraz f jest funkcja borelowską to |f | możemy przybliżać niemalejącym ciągiem nieujemnych funkcji prostych. Korzystając teraz z twierdzenia Beppo-Levi dostajemy dla
dowolnego B ∈ B(IR) i dla s < t
Z
1 Z
1
Z
2
2
|f |2 dβ
IB dγ .
|f |IB dV (α) ≤
(s, t]
(s, t]
(s, t]
Pm
Jesli teraz f jest ustaloną funkcją borelowska oraz g =
j=1 bj IBj , gdzie bj ≥ 0, i =
1, . . . , m, {Bj }1≤j≤m jest mierzalnym rozbiciem IR, to powtarzając przeprowadzone powyżej rozumowanie otrzymujemy
Z
1 Z
Z
1
2
2
2
|f | dβ
|f | g dV (α) ≤
g 2 dγ ,
s < t.
(s, t]
(s, t]
(s, t]
Stąd jeśli teraz g jest funkcją borelowską, to przybliżając |g| niemalejącym ciągiem nieujemnych funkcji prostych i stosując znowu twierdzenie Beppo-Levi dostajemy tezę.
2
Twierdzenie 5.10 (Nierówność Kunity-Watanabe) Niech H i G będą procesami mierzalnymi i niech M, N ∈ M2loc . Zachodzą następujące nierówności
1
1
Vt hM, N i ≤ hM, M it 2 hN, N it 2 ,
∞
Z
|Gs ||Hs | dVs hM, N i ≤
0
Z
∞
G2s dhM, M is
0
t ≥ 0,
1 Z
2
∞
Hs2 dhN, N is
1
2
0
Dowód. Zauważmy, że pierwsza nierówność jest szczególnym przypadkiem drugiej nierówności, którą udowodnimy korzystając z lematu 5.9. Mamy dla u ∈ IR
Z
0≤
dhM + uN, M + uN i = hM + uN, M + uN it − hM + uN, M + uN is =
(s, t]
u2 (hN, N it − hN, N is ) + 2u (hM, N it − hM, N is ) + (hM, M it − hM, M is ).
Z własności trójmianu kwadratowego
Z
2
dhM, N i = (hM, N it − hM, N is )2 ≤ (hN, N it − hN, N is )(hM, M it − hM, M is )
(s, t]
=
Z
(s, t]
dhN, N i
Z
dhM, M i .
(s, t]
Zatem założenia lematu 5.9 są spełnione. Stosując go dostajemy tezę.
2
81
Lemat 5.11 Niech M, N ∈ M2 i niech T będzie czasem zatrzymania to
hM, M iT = hM T , M T i
hM, N iT = hM T , N T i = hM, N T i = hM T , N i.
Dowód. Mamy M 2 − hM, M i ∈ M i ponieważ gdy X ∈ M to X T ∈ M, więc
M2
T
− hM, M iT = M T
2
− hM, M iT ∈ M
Z drugiej strony z rozkładu Dooba-Meyer’a dla M T
MT
2
2
dostajemy
− hM T , M T i ∈ M
Z jednoznaczności rozkładu dostajemy
hM, M iT = hM T , M T i.
Z tych samych powodów i z definicji hM, N i mamy hM, N iT = hM T , N T i. Pokażemy, że
hM T , N i = hM T , N T i
tzn.
hM T , N − N T i = 0,
co jest równoważne M T (N − N T ) ∈ M. Dla dowolnego czasu zatrzymania S mamy
i h
h
i h
i 12
T
T 2
T
2
<∞
E MS (N − N )S ≤ E sup |Mt | E sup |N − N |t
t≥0
t≥0
z twierdznie 4.8(3) oraz z tego, że M T , N − N T ∈ M2 . Z GST mamy
h
i
h
i
E MT ∧S (NS − NT ∧S ) = E MT ∧S E NS − NT ∧S |FT ∧S = 0.
Zatem teza wynika z wniosku 4.21.
2
Rozważmy odwzorowanie
Φ : M2 −→ L2 (Ω, F, P ),
X 7−→ Φ(X) = X∞ .
Odwzorowanie Φ jest bijekcją. Dla Y ∈ L2 (Ω, F, P ) określamy
Φ−1 (Y ) = {Yt }t≥0
tak, że {Yt }t≥0 jest cadlag wersją E[Y |Ft ]. Tak więc możemy określić iloczyn skalarny w
M2 wzorem
(M, N ) := E[M∞ N∞ ].
82
Przetrzeń M2 z tak określonym wyżej iloczynem skalarnym jest przestrzenią Hilberta.
Ortogonalność w powyższym iloczynie skalarnym nazywamy słabą ortogonalnością. Dla
każdego M ∈ M2 określamy M ∗ jako
Mt∗ = sup |Ms |.
s≤t
Z nierówności Dooba dostajemy od razu
h
i
∗ 2
∗ 2
2
(5.5)
kM∞
kL2 = E (M∞
) ≤ 4 sup E[Mt2 ] = 4E[M∞
] = 4kM k2M2
t≥0
Nierówność ta daje
Lemat 5.12 Niech {M n } ⊂ M2 i niech M n → M w sensie zbieżności w M2 , to istnieje
podciąg {nk }, nk % ∞ taki, że
∗
−→ 0
P −p.w. k → ∞.
M nk − M
∞
Stąd
Mtnk
→ Mt jednostajnie po t.
2
Powyższy lemat implikuje następujące własności regularności
• Jeśli M n są ciagłe to granica limn→∞ M n = M w M2 też jest ciągła.
• Jeśli M n ma skoki to ∆M nk (ω) → ∆M (ω).
5.2
Przestrzeń M2,c i jej własności
Określamy przestrzeń M2,c jako przestrzeń wszystkich całkowalnych z kwadratem ciągłych
martyngałów M z M0 = 0.
Lemat 5.13 Przestrzeń M2,c jest domknięta w M2 .
Dowód. Dowód wynika od razu 5.13.
2
Niech M2,d będzie przestrzenią ortogonalną do M2,c w sensie słabej ortogonalności. Stąd
każdy element M ∈ M2 można jednoznacznie przedstawić w postaci
M = M c + M d,
M c ∈ M2,c ,
M d ∈ M2,d .
Mówimy, że dwa całkowalne z kwadratem martyngały N i M są silnie ortogonalne jeśli
N M ∈ M.
Żeby (wniosek 4.21) sprawdzić silną ortogonalność wystarczy pokazać, że dla dowolnego
czasu zatrzymania T zachodzi
h
i
h
i
E |M N |T < +∞ oraz E (M N )T = 0
83
Lemat 5.14 Przestrzenie M2,c i M2,d są silnie ortogonalne.
Dowód. Niech M ∈ M2,c i N ∈ M2,d . Jak już wiemy (z nierówności (5.5)) wtedy
h
i
h
i
∗ 2
∗ 2
E (M∞
) < +∞ oraz E (N∞
) < +∞.
Stąd i z nierówności Schwarza mamy
i
h
∗ ∗
N∞ < +∞,
E M∞
h
i
więc dla dowolnego czasu zatrzymania T mamy E |M N |T < +∞. Ponieważ M T ∈ M2,c ,
T N ] = 0. Zatem
więc ze słabej ortogonalności M2,c i M2,d mamy E[M∞
∞
T
0 = E[M∞
N∞ ] = E[MT N∞ ] = E[E[MT N∞ | FT ]] = E[MT NT ].
2
Uwaga. Zauważmy, że jeśli dla M ∈ M2,c lub M ∈ M2 opuścimy założenie M0 = 0 to
dla M ∈ M2,c i N ∈ M2,d otrzymamy warunek
M0 N0 = 0 P − p.w.
Faktycznie niech A ∈ F0 to IA M ∈ M2,c . Podobnie jak w dowodzie lamatu 5.14 otrzymujemy
h
i
E (IA MT )NT = 0
dla każdego czasu zatrzymania T . Jeśli weźniemy T ≡ 0 to E[IA M0 N0 ] = 0 dla każdego
A ∈ F0 i stąd M0 N0 = 0 P -p.w.
Lemat 5.15 Jeśli M ∈ M2 to proces M jest jednoznacznie określony przez swoją ciagłą
część M c i przez swoje skoki ∆M , gdzie ∆M0 = 0, ∆Mt = Mt − Mt− dla t > 0.
Dowód. Jeśli dwa całkowane z kwadratem martyngały M i M 0 maja tą samą ciągłą część
i te same skoki to
M − M d = M c = M 0c = M 0 − M 0d
czyli M − M 0 = M d − M 0d ∈ M2,d .
Ponieważ ∆(M − M 0 ) = 0, zatem M − M 0 ∈ M2,c . Stąd M − M 0 jest silnie ortogonalne
do M − M 0 , bo należy do M2,c i do M2,d . Zatem M = M 0 (patrz wniosek 3.15).
2
Lemat 5.16 Każdy ograniczony lokalny martyngał jest ograniczonym martyngałem.
84
Dowód. Niech {Tn }n≥1 będzie ciągiem lokalizacyjnym. Dla 0 ≤ s < t i dla n ≥ 1 mamy
E[MTn ∧t | Fs ] = MTn ∧s .
Ponieważ MTn ∧t → Mt punktowo i w L1 (Ω, F, P ) (M ograniczony). Stąd E[Mt | Fs ] = Ms .
2
Oznaczmy przez Mcloc (M0 = 0) przestrzeń ciągłych lokalnych martyngałów.
2,c
c
Lemat 5.17 Zachodzi zawieranie Mcloc ⊂ M2,c
loc (tzn. Mloc = Mloc ) .
Dowód. Niech M ∈ Mcloc . Określmy ciąg czasów zatrzymania
Tn = inf{t > 0 : |Mt | > n},
n ∈ IN.
Ponieważ M jest ciągły więc dla każdego t ≤ Tn mamy |Mt | ≤ n. Stąd dla każdego
n ∈ IN proces M Tn jest ograniczony. Ponadto M Tn ∈ Mcloc , bo jeśli {Sk } jest ciągiem
lokalizacyjnym dla M to M Sk ∈ M dla k ≥ 1. Zatem M Tn ∧Sk ∈ M, k ≥ 1. Stąd {Sk }k≥1
jest ciągiem lokalizacyjnym dla M Tn tzn. M Tn ∈ Mcloc . Ponieważ M Tn jest ograniczony,
więc z lematu 5.16 M Tn jest ograniczonym martyngałem, a stąd całkowalnym z kwadratem,
bo
h
i
sup E (MtTn )2 ≤ n2 < +∞.
t≥0
Ale Tn % +∞ więc jest ciągiem lokalizacynym dla M , więc M ∈ M2,c
loc .
2
Powyższy lemat wyjaśnia plan konstrukcji całki stochastycznej względem ciągłych lokalnych martyngałów. Najpierw konstruuje się całkę względem M ∈ M2,c , a następnie rozszerza się ją stosując technikę lokalizacyjną. Zanim jednak podamy definicję całki stochastycznej zbadajmy własności nawiasu hM, M i dla M ∈ M2,c lub M ∈ Mcloc .
Twierdzenie 5.18 Niech M ∈ M2,c i niech będzie dany skończony podział δt = {0 = t0 <
t1 < . . . < tn = t} przedziału [0, t]. Oznaczmy
|δt | = sup |ti − ti−1 |
1≤i≤n
(2)
Sδt (M ) =
n
X
2
Mti − Mti−1 .
i=1
(2)
(i) Sδt (M ) jest zbieżny do hM, M it w L1 (Ω, F, P ), gdy |δt | → 0.
(ii) M (M 6= 0) nie ma skończonej wariacji.
(2)
(iii) Jeśli M ∈ Mcloc (M ∈ M2,c
loc ) to Sδt (M ) jest zbieżny do hM, M it według prawdopodobieństwa.
85
Dowód. (i) Załóżmy najpierw, że istnieje stała K > 0 taka, że
|Ms | + hM, M is ≤ K
(5.6)
dla każdego s ≤ t.
Mamy
n
n
hX
(2)
2 i X
2 E Sδt (M ) = E
Mti − Mti−1
=
E E Mti − Mti−1 Fti−1
i=1
=E
n
hX
i=1
Mt2i − Mt2i−1
i
= E(Mt2 ) ≤ K 2 .
i=1
Stąd
(2)
E Sδt (M ) = E(Mt2 ) = E(hM, M it ),
t ≥ 0.
Określmy
hM, M ittii−1 := hM, M iti − hM, M iti−1 ≥ 0.
Ponieważ M 2 − hM, M i ∈ M, więc dla i < j otrzymujemy
E
t
(Mti − Mti−1 )2 − hM, M ittii−1 (Mtj − Mtj−1 )2 − hM, M itjj−1 =
t
(Mti − Mti−1 )2 − hM, M ittii−1 E (Mtj − Mtj−1 )2 − hM, M itjj−1 Ftj−1 =
E (Mti − Mti−1 )2 − hM, M ittii−1 E(Mt2j − hM, M itj |Ftj−1 ) − Mt2j−1 + hM, M itj−1 = 0.
E
Stąd otrzymujemy
n
nh X
(2)
2 i 2 o
E Sδt (M ) − hM, M it
=E
=
(Mti − Mti−1 )2 − hM, M ittii−1
i=1
E
n
n
n
nX
2 o X
X
2 (Mti − Mti−1 )2 − hM, M ittii−1
≤
E (Mti − Mti−1 )4 +
E hM, M ittii−1
i=1
i=1
≤E
h
1≤i≤n
E
h
i=1
n
X
i
(Mti − Mti−1 )2 +
sup |Mti − Mti−1 |2
sup hM, M ittii−1
1≤i≤n
i=1
n
X
i
hM, M ittii−1 ≤ 4K 4 + 2K 2 .
i=1
Z przeprowadzonych powyżej oszacowań dostajemy
(2)
(2)
2 2
+ 2E hM, M i2t ≤
E Sδt (M ) ≤ 2E Sδt (M ) − hM, M it
2(4K 4 + 2K 2 ) + 2K 2 = 8K 4 + 6K 2 < ∞.
86
Stąd
(2)
2
sup E Sδt (M ) < ∞.
(5.7)
δt
Pokażemy zbieżność
(2)
2 E Sδt (M ) − hM, M it
→ 0 gdy |δt | → 0.
Powyżej pokazaliśmy, że
n
h
X
i
(2)
2 E Sδt (M ) − hM, M it
≤E
sup |Mti − Mti−1 |2
(Mti − Mti−1 )2 +
1≤i≤n
E
h
sup hM, M ittii−1
1≤i≤n
i=1
n
X
i
hM, M ittii−1 .
i=1
Stosując do powyższych składników nierówność Schwarza otrzymujemy
s q 2
(2)
2 (2)
E Sδt (M ) +
E Sδt (M ) − hM, M it
≤ E sup |Mti − Mti−1 |4
1≤i≤n
(5.8)
s q
ti
2
E sup |hM, M iti−1 |
E(hM, M i2t ).
1≤i≤n
Ponieważ M ma ciągłe trajektorie (jednostajnie ciagłe na przedziale [0, t]), więc
sup |Mti − Mti−1 |4 → 0,
gdy |δt | → 0.
1≤i≤n
Na mocy (5.6) ciąg ten jest ograniczony, więc
E sup |Mti − Mti−1 |4 → 0,
gdy |δt | → 0.
1≤i≤n
Korzystając teraz z (5.7) dostajemy zbieżność do zera pierwszego składnika po prawej
stronie (5.8). Zbieżność drugiego składnia uzasadnia się analogicznie korzystając z ciągłości
trajektorji wariacji kwadratowej hM, M i oraz jej ograniczoności (patrz (5.6)). Dowód
(i) przy założeniu (5.6) został zakończony. Przejdźmy teraz do dowodu (i) w ogólnym
przypadku. Określmy ciąg {Tm }m≥1 czasów zatrzymania
Tm = inf{t > 0 : |Mt | + hM, M it > m},
Ponieważ M i hM, M i mają ciągłe trajektorie, więc
(5.9)
|Mt | + hM, M it ≤ m dla t ≤ Tm .
m ≥ 1.
87
Oznaczmy:
M m = M Tm ,
fm = M − M m .
M
Zauważmy, że z lematu 5.11 i własności wariacji kwadratowej mamy
fm , M
fm i = hM − M m , M − M m i = hM − M Tm , M − M Tm i =
hM
hM, M i − 2 hM, M Tm i + hM Tm , M Tm i = hM, M i − hM m , M m i.
Możemy napisać nierówność
(2)
(2)
(2)
E |Sδt (M ) − hM, M it | ≤ E Sδt (M ) − Sδt (M m ) +
(2)
E Sδt (M m ) − hM m , M m it + E |hM m , M m it − hM, M it |
(5.10)
Pokażemy, że wszystkie składniki prawej strony (5.10) zmierzają do zera, gdy m → ∞ i
|δt | → 0. Ponieważ hM m , M m it = hM, M iTm ∧t % hM, M it , więc z twierdzenia Beppo-Levi
mamy
(5.11) E |hM m , M m it − hM, M it | = EhM, M it − EhM m , M m it → 0, gdy m → ∞.
Zbieżność
(2)
E hM m , M m it − Sδt (M m ) → 0 gdy |δt | → 0
(5.12)
wynika z tego, że |Mtm | + hM m , M m it ≤ m na mocy (5.9) oraz z pierwszej części dowodu.
fm ,
W celu wykazania zbieżności pierwszego składnika w (5.10) zauważmy, że M = M m + M
więc
(2)
(2)
(2)
fm ) + 2
Sδt (M ) = Sδt (M m ) + Sδt (M
n
X
Mtm
− Mtm
i
i−1
fm − M
fm .
M
ti
ti−1
i=1
Stąd i nierowności Schwarza dla sum i dla całek mamy
(5.13)
q
hq
i
(2)
(2)
(2)
(2)
(2) fm
fm ) + 2E
E Sδt (M m ) − Sδt (M ) ≤ E Sδt (M
Sδt (M m ) Sδt (M
) ≤
q (2)
q (2)
(2)
m
m
f
fm ) .
E Sδt (M ) + 2 E Sδt (M ) E Sδt (M
(2)
Z (5.11) i (5.12) wyrażenie E Sδt (M m ) jest ograniczone oraz
(2)
m
fm ) = E M
fm 2 = E hM
f ,M
fm it = E hM, M it −hM m , M m it → 0,
E Sδt (M
t
m → ∞.
Zatem wyrażenie po lewej stronie (5.13) dąży do zera. Pokazaliśmy więc, że pierwszy
składnik (5.10) dąży do zera co kończy dowód (i). Przejdziemy teraz do dowodu (ii).
Niech M ∈ M2,c . Przypomnijmy oznaczenia
Sδt (M ) =
n
X
i=1
|Mti − Mti−1 |
oraz
(2)
Sδt (M )
=
n
X
i=1
2
Mti − Mti−1 ,
88
gdzie δt = {0 = t0 < t1 < . . . < tn = t} jest skończonym podziałem przedziału [0, t].
Mamy
(2)
Sδt (M ) ≤
n
X
sup |Mti − Mti−1 |
|Mti − Mti−1 | = sup |Mti − Mti−1 | Sδt (M )
1≤i≤n
1≤i≤n
i=1
Z ciągłości trajektorji M mamy
sup |Mti − Mti−1 | → 0,
gdy |δt | → 0.
1≤i≤n
(2)
Z punktu (i) wiemy, że Sδt (M ) → hM, M it w L1 (Ω, F, P ). Zatem istnieje ciag podziałów
(2)
{δk } przedziału [0, t] taki, że |δk | → 0 oraz Sδk (M ) → hM, M it , P - p.w., gdy k → ∞.
Zatem Sδk (M ) → ∞, P -p.w., gdy k → ∞, czyli M nie ma skończonego wahania (wariacji).
Dowód (ii) został zakończony. Do udowodnienia został punkt (iii). Niech M ∈ Mcloc .
Określmy
Tm = inf{t > 0 : |Mt | + hM, M it > m},
m ≥ 1.
Z lematu 5.17 mamy M ∈ M2,c
loc . Niech {Sm }m≥1 będzie ciagiem lokalizacyjnym dla M .
Oznaczmy Rm = Tm ∧ Sm , m ≥ 1. Wtedy M Rm ∈ M2 oraz jest ograniczony dla każdego
m ≥ 1. Zastosujemy do M Rm , m ≥ 1 udowodnioną juz część (i) twierdzenia. Mamy
(2)
Sδt (M Rm )
=
n
X
m 2
,
MtRi m − MtRi−1
i=1
gdzie δt = {0 = t0 < t1 < . . . < tn = t} jest skończonym podziałem przedziału [0, t].
Ponieważ Rm → ∞, gdy m → ∞, więc dla każdego ε > 0 istnieje m ≥ 1 takie, że
P {Rm < t} < ε (zauważmy, że {Rm+1 < t} ⊂ {Rm < t}) i dla η > 0 mamy
(2)
P Sδt (M ) − hM, M it > η ≤
(2)
P {Rm < t} ∩ Sδt (M ) − hM, M it > η +
(2)
P {Rm ≥ t} ∩ Sδt (M ) − hM , M it > η ≤
(2)
P {Rm < t} + P Sδt (M Rm ) − hM Rm , M Rm it > η .
Ale
(2)
1 (2)
P Sδt (M Rm ) − hM Rm , M Rm it > η ≤ E Sδt (M Rm ) − hM Rm , M Rm it .
η
Możemy tak dobrać podział δt , aby prawa strona powyższej nierówności była dowolnie
mała. Dowód twierdzenia został zakończony.
2
89
5.3
Całka stochastyczna
Zaczniem od przykładu pokazującego, że definicja całki stochastycznej „po trajektoriach”
wymaga od procesu względem którego całkujemy posiadania skończonego wahania na skończonych przedziałach. Tymczasem jak już wiemy, znane nam procesy jak ruch Browna,
czy martyngały całkowalne z kwadratem nie mają tej własności.
Przykład. Niech g będzie funkcją cadlag na [0, 1]. Dla skończonego podziału π = {0 =
t0 < t1 < . . . < tn = 1} przedziału [0, 1] i funkcji h ∈ C[0, 1] określmy „sumę całkową”
Sπ (h) =
n
X
h(tk ) g(tk ) − g(tk−1 ) .
i=1
Zachodzi
Twierdzenie 5.19 Jeśli dla dowolnego ciągu podziałów {πn }n≥1 takiego, że |πn | → 0, gdy
n → ∞ oraz dla dowolnej funkcji h ∈ C[0, 1] ciag sum całkowych
{Sπn (h)}n≥1
jest zbieżny, to g ma skończone wahanie na przedziale [0, 1].
Dowód. W dowodzie tego twierdzenia skorzystamy ze znanego z analizy funkcjonalnej
twierdzenia Banacha-Steinhausa.
Twierdzenie 5.20 Niech X będzie przestrzenią Banacha, a Y przestrzenią unormowaną.
Rozważmy rodzinę {Tα }α∈A liniowych ograniczonych operatorów Tα : X → Y . Wtedy
^
ciąg {Tα (x)} jest ograniczony ⇐⇒ ciąg {kTα k} jest ograniczony
x∈X
2
Niech X = C[0, 1] z normą khk∞ = supt∈[0, 1] |h(t)| oraz niech Y = IR. Niech {πn }n≥1 ,
gdzie πn = {0 = tn,0 < tn,1 < . . . < tn,mn = 1} będzie ciągiem podziałów przedziału [0, 1]
takim, że
(i) |πn | → 0, gdy n → ∞;
Pmn
1
(ii)
i=1 |g(tn,i ) − g(tn,i−1 )| −−−→ V0 (g).
n→∞
Określmy operatory (funkcjonały)
Tn : C[0, 1] → IR
wzorem
Tn (h) = Sπn (h),
h ∈ C[0, 1].
Zauważmy, że Tn , n ≥ 1 są ciągłe, bo
mn
X
kTn k = sup |Tn (h)| ≤ sup h(tn,i−1 )[g(tn,i ) − g(tn,i−1 )] ≤
khk∞ ≤1
khk∞ ≤1
i=1
90
sup khk∞
khk∞ ≤1
mn
X
|g(tn,i ) − g(tn,i−1 )| ≤
i=1
mn
X
|g(tn,i ) − g(tn,i−1 )|.
i=1
Niech hn,0 ∈ C[0, 1] będzie taka, że
hn,0 (tn,i−1 ) = sign(g(tn,i ) − g(tn,i−1 )),
Wtedy
Tn (hn,0 ) =
i = 1, 2, . . . , n oraz khn,0 k∞ = 1.
mn
X
g(tn,i ) − g(tn,i−1 ).
i=1
Mamy więc
kTn k =
(5.14)
mn
X
g(tn,i ) − g(tn,i−1 ).
i=1
Z założenia supn≥1 |Tn (h)| = supn≥1 |Sπn (h)| < ∞ dla każdego h ∈ C[0, 1] (bo Sπn (h) jest
zbieżny, gdy n → ∞). Teraz z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że supn≥1 kTn k <
∞. Stąd i z (5.14) mamy
mn
X
g(tn,i ) − g(tn,i−1 ) dla każdego n ≥ 1.
∞ > sup kTn k ≥
n≥1
i=1
Przechodząc z n → ∞ otrzymujemy
∞ > sup kTn k ≥ V01 (g).
n≥1
Widzimy wiec, że g musi być funkcją o skończonym wahaniu na przedziale [0, 1].
2
Przejdziemy teraz do definicji całki względem martyngału całkowalnego z kwadratem o
ciągłych trajektoriach. Oznaczmy przez H zbiór wszystkich procesów, które dadzą się
przedstawić w postaci
m
X
Xt (ω) =
Xi−1 (ω)I[[Ti−1 ,Ti [[ (t, ω),
i=1
gdzie
{Ti }m
i=0
jest skończonym ciągiem czasów zatrzymania takim, że
0 ≤ T0 ≤ T1 ≤ T2 ≤ · · · ≤ Tm
oraz zmienne losowe Xi są FTi -mierzalne i ograniczone dla i = 0, 1, . . . , m − 1.
Niech M ∈ M2,c . Określmy przestrzeń Λ2 (M ) jako zbiór wszystkich mierzalnych
adaptowanych procesów X dla których istnieje ciąg {X n }n∈N elementów w H taki, że
hZ ∞
i
2
E
Xsn − Xs dhM, M is −→ 0, kiedy n → +∞.
0
91
Twierdzenie 5.21 Przestrzeń Λ2 (M ) zawiera wszystkie opcjonalne procesy X = {Xt }t≥0
takie, że
i
hZ ∞
Xs2 dhM, M is < +∞.
E
0
Dowód. Określmy na przestrzeni mierzalnej ([0, ∞)×Ω, B([0, ∞))⊗F) miarę Q wzorem
Z hZ ∞
i
Q(B) =
IB (t, ω) dhM, M it (ω) dP (ω),
B ∈ B([0, ∞)) ⊗ F.
Ω
0
Oznaczmy
C = { ([0, ∞) × A) ∩ [[S, T [[ : S ≤ T, gdzie S, T czasy zatrzymania, A ∈ FS }.
Wykażemy, że indykatory zbiorów z C są liniowo gęste w L2 (Q) = L2 ([0, ∞) × Ω, O, Q).
Niech więc Y ∈ L2 (Q) będzie taki, że
Z
Z hZ ∞
i
Y IB dQ =
Y IB (t, ω) dhM, M it (ω) dP (ω) = 0,
B∈C
[0, ∞)×Ω
Ω
0
Rozważmy klasę
Z
n
D = X ∈ L2 (Q) :
o
Y X dQ = 0 .
[0, ∞)×Ω
Zauważmy, że C jest π - układem oraz z założenia IB ∈ D, gdy B ∈ C. Łatwo sprawdzić, że
D spełnia założenia twierdzenia o klasach monotonicznych (twierdzenie 3.8). Rzeczywiście,
pierwsze założenie jest spelnione automatycznie, drugie wynika z
sZ
sZ
Z
12 dQ
|Y | dQ ≤
[0, ∞)×Ω
[0, ∞)×Ω
p
EhM, M i∞
Y 2 dQ =
[0, ∞)×Ω
sZ
Y 2 dQ < ∞
[0, ∞)×Ω
i z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżnosci majoryzowanej (ograniczonej). Zatem z tego twierdzenia przestrzeń wektorowa D zawiera wszystkie ograniczone opcjonalne procesy. W
szczególności
Z
Z
Y 2 dQ.
Y · Y I{|Y |≤n} dQ −−−→
0=
[0, ∞)×Ω
n→∞
[0, ∞)×Ω
Zatem Y = 0, Q - p.w. tzn. wykazaliśmy, że indykatory zbiorów z C są gęste w L2 (Q). Teraz dowolny opcjonalny proces może być aproksymowany w L2 (Q) przez skończone liniowe
kombinacje indykatorów zbiorów z C tj. przez elementy rodziny H.
2
Lemat 5.22 Niech Q będzie miarą określoną tak jak powyżej
92
(i) Jeśli Q << λ × P (gdzie λ oznacza miarę Lebesgue’a) to Λ2 (M ) zawiera wszystkie
progresywnie mierzalne procesy X takie, że
i
hZ ∞
Xs2 dhM, M is < +∞.
E
0
(ii) Jeśli Q = λ × P to Λ2 (M ) zawiera wszystkie mierzalne, adaptowane procesy takie, że
i
hZ ∞
Xs2 ds < +∞.
E
0
Dowód. (i) Niech X będzie progresywnie mierzalnym procesem. Wtedy dla N ∈ IN
proces Y N = XI{|X|≤N |} I[0,N ] jest procesem progresywnie mierzalnym, ograniczonym i o
zerujących się trajektoriach poza przedziałem [0, N ]. Ponadto
Z ∞
(Xt − YtN )2 dhM, M it =
E
0
N
Z
(Xt − Xt I{|X|≤N |} )2 dhM, M it + E
E
0
N
E
Xt2 I{|X|>N |} dhM, M it + E
0
E
Xt2 dhM, M it =
(N,∞)
Z
Z
Z
Z
Xt2 dhM, M it ≤
(N,∞)
∞
Xt2 I{|X|>N |} dhM, M it + E
0
Z
Xt2 dhM, M it −−−−→ 0
N →∞
(N,∞)
z absolutnej ciągłości całki (względem miary Q). Zatem dla dowodu wystarczy rozważać
procesy progresywnie mierzalne ograniczone i o zerujących się trajektoriach poza przedziałem postaci [0, N ], gdzie N ∈ IN. Dla m ∈ IN określmy proces
Xtm
Z
t
Xs ds,
=m
t≥0
t−1/m
(przyjmujemy Xs = 0 dla s < 0). Jak widać proces X m jest adaptowany i ma ciągłe
trajektorie i jest oczywiście ograniczony. Określmy
Z t
Ft =
Xs ds, t ≥ 0.
0
Dla każdego ω ∈ Ω funkcja Ft (ω) (względem t) jest jest funkcją absolutnie ciągłą, zatem
różniczkowalną λ - p.w. Wersją jej pochodnej jest Xt (ω). Stąd
Ft0 (ω) = lim
m→∞
Z
t
m
t−1/m
Xs (ω) ds = lim Xtm (ω) dla λ − p.w. t ≥ 0.
m→∞
93
Z powyższego wynika, że
X m −−−−→ X,
λ × P − p.w.
m→∞
Ponieważ Q << λ × P , zatem
X m −−−−→ X,
m→∞
Q − p.w.
Stąd i z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej mamy
Z ∞
Z
m
2
(Xtm − Xt )2 dhM, M it = 0.
(Xt − Xt ) dQ = lim E
lim
m→∞
m→∞ [0,∞)×Ω
0
Dla każdego m ∈ IN proces X m jest procesem opcjonalnym. Stosując teraz twierdzenie
5.21 dostajemy tezę (i) i dowod pierwszej części lematu jest zakończony.
(ii) Podobnie jak w pierwszej części dowodu możemy przyjąć, że X jest procesem ograniczonym o zerujących się trajektoriach poza przedziałem postaci [0, N ], gdzie N ∈ IN. Dla
η > 0 określmy podobnie jak w pierwszej części dowodu proces
Z
1 t
Xtη =
xs ds, t ≥ 0.
η t−η
Proces X η jest ograniczony o ciągłych trajektoriach (nie musi być adaptowany) oraz dla
ω∈Ω
X η (ω) −−−→ X(ω), λ − p.w.
η→0
Dla ε > 0 i h ∈ IR mamy
Z ∞
1/2 Z
2
E
(Xs+h − Xs ) ds
≤ E
0
∞
0
Z
E
0
∞
η
(Xs+h
−
1/2
Xsη )2 ds
Z
+ E
η
)2 ds
(Xs+h − Xs+h
∞
(Xsη − Xs )2 ds
1/2
1/2
+
≤
0
Z
E
0
∞
η
(Xs+h
− Xsη )2 ds
1/2
+ 2ε
dla wystarczająco małego η > 0. Stąd i z ciągłości trajektorii X η dostajemy
Z ∞
lim E
(Xs+h − Xs )2 ds = 0.
h→0
0
Rozważmy teraz podział diadyczny [0, N ] oraz funkcję
αn (t) =
h 2n t i N
N
2n
,
n ≥ 1, t ≥ 0.
94
Z granicy powyżej wynika, że
Z
∞
lim E
n→∞
−∞
(Xs+αn (t) − Xs+t )2 ds = 0
(przyjmujemy jak zawsze Xu = 0 dla u < 0). Z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności
ograniczonej dostajemy
Z ∞Z ∞
(Xs+αn (t) − Xs+t )2 ds dt = 0.
lim E
n→∞
−∞
−∞
Stąd istnieje podciąg {ni }i≥1 i s ≥ 0 takie, że
Z ∞
(Xs+αni (t) − Xs+t )2 dt −−−−→ 0,
E
ni →∞
−∞
a stąd
Z
∞
E
−∞
(Xs+αni (u−s) − Xu )2 du −−−−→ 0.
ni →∞
Ale proces Y ni określony wzorem Yuni = Xαni (u−s)+s jest ograniczonym, adaptowanym
procesem schodkowym, więc należy do przestrzeni H i dowód lematu jest zakończony.
2
2,c
Niech M ∈ M i X ∈ H jest postaci
Xt (ω) =
m
X
Xi (ω)I[[Ti ,Ti+1 [[ (t, ω),
t ≥ 0,
ω ∈ Ω.
i=0
Określmy całkę stochastyczną z procesu X (wzg. M ) jako proces
Z
Z t
m
X
(5.15)
Xs dMs =
Xs dMs :=
Xi MTi+1 ∧t − MTi ∧t ,
t
0
i=0
Twierdzenie 5.23 Niech M ∈ M2,c , X ∈ H.
(i) Proces
t
Z
Yt =
jest martyngałem należącym do
Xs dMs ,
0
2,c
M
t≥0
( Y0 = 0).
(ii) Dla każdego N ∈ M2,c zachodzi równość
Z t
hN, Y it =
Xs dhN, M is ,
t ≥ 0,
0
w szczególności
Z
hY, Y it =
0
t
Xs2 dhM, M is ,
t ≥ 0.
t ≥ 0.
95
Dowód. (i) Rozważmy proces X = X0 I[[S, T [[ , gdzie S ≤ T są czasami zatrzymania oraz
X0 jest ograniczoną zmienną losową FS - mierzalną. Z (5.15) całka z X względem M dana
jest wzorem
Yt = X0 (MT ∧t − MS∧t ),
t ≥ 0.
Ponieważ M ma ciagłe trajektorie, więc również proces Y = {Yt }t≥0 . Jest on również
adaptowany, bo
Yt = X0 I{S≤t} (MT ∧t − MS∧t ),
t ≥ 0.
Pokażemy teraz, że Y jest martyngałem (korzystając z wniosku 4.21). Niech R będzie
dowolnym czasem zatrzymania. Mamy
2
E(|YR |) ≤ E(YR2 ) = E X02 (MRT − MRS )2 ≤
(5.16)
2
2
2 sup X02 (ω) E(MT2 ∧R ) + E(MS∧R
) ≤ 4 sup X02 (ω)E(M∞
) < ∞.
ω∈Ω
ω∈Ω
Ponadto
E(YR ) = E X0 I{S≤R} (MT ∧R − MS∧R ) + E X0 I{S>R} (MT ∧R − MS∧R ) = 0,
bo
X0 I{S>R} (MT ∧R − MS∧R ) = X0 I{S>R} (MR − MR ) = 0
oraz X0 I{S≤R} jest FS∧R - mierzalna, więc
E X0 I{S≤R} (MT ∧R − MS∧R ) = E E X0 I{S≤R} (MT ∧R − MS∧R ) | FS∧R =
E X0 I{S≤R} E(MT ∧R | FS∧R ) − MS∧R = 0.
Na mocy wniosku 4.21 Y jest jednostajnie całkowalnym martyngałem. Z (5.16) ponadto
wynika, że Y jest martyngałem całkowalnym z kwadratem. Korzystając teraz z liniowości
definicji całki (patrz (5.15)) otrzymujemy tezę (i). Przejdziemy teraz do dowodu (ii). Tak
jak poprzednio niech X = X0 I[[S, T [[ . Wtedy z (5.15) mamy Y = X0 (M T − M S ). Mamy
Z
t
Z
Xs dhM, N is =
0
t
X0 I[[S, T [[ dhM, N is = X0 (hM, N iT ∧t − hM, N iS∧t ),
0
bo hM, N i ma ciągłe trajektorie. Z drugiej strony zauważmy najpierw, że
(5.17)
hN, Y i = hN, X0 (M T − M S )i = X0 hN, (M T − M S )i.
Rzeczywiście, X0 (M T − M S ) ∈ M2,c (z punktu (i)), zatem
N X0 (M T − M S ) − hN, X0 (M T − M S )i ∈ M.
Ponadto (M T − M S ∈ M2,c )
(5.18)
N (M T − M S ) − hN, M T − M S i ∈ M.
96
Rozważmy proces
Z = N X0 (M T −M S )−X0 hN, M T −M S i = N X0 (M T −M S )−X0 (hN, M T i−hN, M S i).
Korzystając z wniosku 4.21 pokażemy, że jest on jednostajnie całkowalnym martyngałem.
Ma ciągłe trajektorie, a z przedstawienia
N X0 (M T − M S ) − X0 hN, M T − M S i =
N X0 I{S≤t} (M T − M S ) − X0 I{S≤t} (hN, M T i − hN, M S i)
i z tego, że X0 I{S≤t} jest FS∧t mierzalny wynika, że jest adaptowany. Łatwo zauważyć, że
dla dowolnego czasu zatrzymania R mamy E|ZR | < ∞. Ponadto
E(ZR ) = E NR X0 I{S≤R} (MT ∧R − MS∧R ) − X0 I{S≤R} (hN, M iT ∧R − hN, M i)S∧R =
E E NR X0 I{S≤R} (MT ∧R − MS∧R ) − X0 I{S≤R} (hN, M iT ∧R − hN, M i)S∧R | FS∧R =
E X0 I{S≤R} E NR (MT ∧R − MS∧R ) − (hN, M iT ∧R − hN, M i)S∧R | FS∧R = 0.
na mocy (5.18). Tak więc Z ∈ M. Zauważmy również, że X0 hN, M T − M S i jest prognozowalny (bo jest adaptowany i ma ciągłe trajektorie) oraz należy do A. Z jednoznaczności
rozkładu Dooba-Meyera dostajemy (5.17). Stosując ten udowodniony wzór dostajemy
hN, Y it = hN, X0 (M T − M S )it = X0 (hN, M T it − hN, M S it ) =
X0 (hN, M iTt − hN, M iSt ) = X0 (hN, M it∧T − hN, M it∧S ).
Zatem
Z
t
hN, Y it = X0 (hN, M it∧T − hN, M it∧S ) =
Xs dhM, N is .
0
Korzystając z liniowości definicji całki stochastycznej dostajemy powyższą równość dla
X ∈ H. W szczególności
Z
Z t
Z
Z t
DZ
E
D
E
hY, Y it =
Xs dMs , Xs dMs =
Xs d M, Xs dMs =
Xs2 dhM, M is .
t
s
0
0
2
Przejdziemy teraz do określenia całki stochastycznej dla dowolnego elementu z Λ2 (M ).
Twierdzenie 5.24 Niech M ∈ M2,c . Dla każdego X ∈ Λ2 (M ) istnieje jedyny element
Y ∈ M2,c taki, że
Z t
hN, Y it =
Xs dhN, M is , t ≥ 0
dla N ∈ M2,c .
0
Ten jedyny proces będziemy oznaczać przez
Z t
Yt =
Xs dMs ,
t≥0
0
Z
lub
Y =
Xs dMs .
97
Dowód. Jednoznaczność. Jeśli istnieją dwa takie procesy Y, Y 0 ∈ M2,c , że
Z t
Z t
Xs dhN, M is
Xs dhN, M is ,
hN, Y 0 it =
hN, Y it =
0
0
dla dowolnego N ∈ M2,c to
hN, Y it − hN, Y 0 it = hN, Y − Y 0 it = 0.
W szczególności (dla N = Y − Y 0 ) mamy hY − Y 0 , Y − Y 0 it = 0, ale
h
i
h
i
E hY − Y 0 , Y − Y 0 it = E (Y − Y 0 )2t = 0.
Stąd Y = Y 0 .
Istnienie. Rozważmy odwzorowanie
Φ : H −→ M2,c
Z t
Xs dMs = Yt ,
Φ(X)t =
t ≥ 0.
0
Przestrzeń Λ2 (M ) jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym
hZ ∞
i
X, Y Λ2 (M ) = E
Xs Ys dhM, M is
0
2
oraz z definicji H jest gęsta
R w Λ (M ). Odwzorowanie Φ jest izometrią, bo z twierdzenia
5.23 dla X ∈ H i dla Y = X dM mamy
hZ ∞
i
2
2
kXkΛ2 (M ) = E
Xs dhM, M is
0Z
Z
hD
E i
= E
Xs dMs , Xs dMs
= E (Y∞ )2 = kY k2M2,c
∞
Tak więc odwzorowanie Φ może być jednoznacznie rozszerzone do odwzorowania
Φ : Λ2 (M ) −→ M2,c ,
ΦH = Φ.
Zatem mamy określony proces
Z
Yt =
t
Xs dMs ∈ M2,c ,
t≥0
0
taki, że
E hY, Y i∞ = E
hZ
0
∞
Xs2 dhM, M is
i
98
Wykażemy teraz, że dla dowolnego N ∈ M2,c mamy
Z t
hN, Y it =
Xs dhN, M is ,
t ≥ 0.
0
Rozważmy ciąg {X n } ⊂ H zbieżny do X ∈ Λ (M ) w Λ (M ). Dla każdego n ∈ IN mamy
n
Z
hN, Y it =
t
Xsn dhN, M is ,
gdzie
Ytn
Z
=
t
Xsn dMs ,
t ≥ 0.
0
0
Z nierówności Kunity-Watanabe i z nierówności Schwarza otrzymujemy
h Z ∞
hZ ∞
i
i
Xs − Xsn dV (hM, N i)|
E (Xs − Xsn ) dhM, N is ≤ E
0
0
1
h Z ∞
1 i
2
hN, N i∞ 2
(Xs − Xsn )2 dhM, M is
≤E
0
hZ ∞
i 1 1
2
n 2
E hN, N i∞ 2 .
≤ E
(Xs − Xs ) dhM, M is
0
Ponieważ X n → X w Λ (M ) stąd prawa strona powyższych nierówności zmierza do zera
gdy n → ∞. Zatem dla każdego t ≥ 0
Z t
Z t
n
n
hY , N it =
Xs dhM, N is −→
Xs dhM, N is ,
0
0
kiedy n → ∞ w L1 i według prawdopodobieństwa. Z drugiej strony stosując nierówności
Kunity-Watanabe i Schwarza otrzymujemy
h
h
i
i
E hN, Y n i∞ − hN, Y i∞ = E hN, Y − Y n i∞ h
1
1 i
≤ E hN, N i∞ 2 hY − Y n , Y − Y n i∞ 2
12 21
≤ E hN, N i∞
E hY − Y n , Y − Y n i∞
.
Prawa strona zmierza do zera gdy n → ∞, tak więc dla każdego t ≥ 0 mamy
hN, Y n it −→ hN, Y it
w L1 oraz według prawdopodobieństwa. Zatem
Z t
hN, Y it =
Xs dhN, M is
0
2
99
Lemat 5.25 Niech T będzie czasem zatrzymania, M ∈ M2,c , X ∈ Λ2 (M ),
Z t
Yt =
Xs dMs ,
t≥0
0
to proces I[[0,T ]] X ∈ Λ2 (M ) oraz
Z t
Z t
Xs dMsT ,
I[[0,T ]] Xs dMs =
YtT =
t ≥ 0.
0
0
Dowód. Bezpośrednio z definicji Λ2 (M ) wynika, że I[[0,T ]] X ∈ Λ2 (M ), bo niech {X m }m≥1 ⊂
H będzie taki, że X m → X w Λ2 (M ). Jeśli
Xtm (ω)
=
nm
X
m
m ,
Xi−1
(ω)I[[Ti−1
t ≥ 0,
Tim [[ (t, ω)
ω ∈ Ω,
i=1
to
X m I[[0,T ]] =
nm
X
m
m ∧T,
Xi−1
I[[Ti−1
Tim ∧T [[
i=1
=
nm
X
m
m <T } I[[T m ∧T,
Xi−1
I{Ti−1
i−1
Tim ∧T [[
∈ H,
i=1
bo Xi−1 I{Ti−1 <T } jest FTi−1 ∧T - mierzalna. Łatwo zauważyć, że X m I[[0,T ]] → XI[[0,T ]] w
Λ2 (M ). Niech teraz N ∈ M2,c . Mamy dla t ≥ 0
Z t
Z t
T
T
T
(5.19)
hY , N it = hY, N it =
Xs dhM, N i =
Xs dhM T , N T i.
0
0
Z drugiej strony
DZ
(5.20)
Z t
E
I[[0,T ]] Xs dMs , N =
I[[0,T ]] Xs dhM, N is =
t
0
Z t
Z t
Xs dhM, N iT ∧s =
Xs dhM T , N T is .
0
0
Ponadto
(5.21)
DZ
Xs dMsT , N
E
t
Z
t
T
Z
Xs dhM , N is =
=
t
Xs dhM T , N T is .
0
0
Korzystając teraz z jednoznaczności całki stochastycznej (twierdzenie 5.24) oraz porównując (5.19), (5.20) i (5.21) dostajemy tezę.
2
Uwaga. Z powyższego lematu wynika, że dla dowolnego czasu zatrzymania T mamy
Z T ∧t
Z t
Xs dMs =
I[[0,T ]] Xs dMs ,
t ≥ 0.
0
0
2
100
Lemat 5.26 Niech M ∈ M2,c , X ∈ Λ2 (M ) i Y będzie całką stochastyczną
Z
t
t ≥ 0.
Xs dMs ,
Yt =
0
Jeśli H ∈ Λ2 (Y ) to HX ∈ Λ2 (M ) oraz
Z
t
Z
t
t ≥ 0.
Hs Xs dMs ,
Hs dYs =
(5.22)
0
0
Dowód. Załóżmy, że H jest ograniczony. Ponieważ X ∈ Λ2 (M ), więc istnieje ciąg
{X n }n≥1 ⊂ H taki, że
hZ ∞
i
2
Xsn − Xs dhM, M is −→ 0, kiedy n → +∞.
E
0
Podobnie; ponieważ H ∈ Λ2 (Y ), więc istnieje ciąg {H n }n≥1 ⊂ H taki, że
hZ ∞
i
2
E
Hsn − Hs dhY, Y is −→ 0, kiedy n → +∞.
0
Ponadto
E
(5.23)
hZ
∞
i
h
2
Hsn − Hs dhY, Y is = E
∞
Z
0
i
2
Hsn − Hs Xs2 dhM, M is
0
Ponieważ H jest ograniczony, więc istnieje stała C > 0 taka, że |H| ≤ C. Zauważmy, że
ciąg {H n }n≥1 ⊂ H możemy tak wybrać, aby |H n | ≤ C dla n ≥ 1. Rzeczywiście, określmy
funkcję rzeczywistą

 x, gdy |x| ≤ C,
C, gdy x > C,
gC (x) =
, x ∈ IR.

−C, gdy x < −C,
Zauważmy, że
|gC (x) − gC (y)| ≤ |x − y|,
x, y ∈ IR
oraz jeśli H n ∈ H ma postać
n
H =
mn
X
n
n , T n [[ ,
Xi−1
I[[Ti−1
i
to
n
gC (H ) =
i=1
n
n ,
gC Xi−1
I[[Ti−1
Tin [[
∈ H.
i=1
Jest oczywiste, że |gC (H n )| ≤ C, n ≥ 1 oraz
hZ ∞
i
hZ
2
n
gC (Hs ) − Hs dhY, Y is = E
E
0
mn
X
0
∞
i
2
gC (Hsn ) − gC (Hs ) dhY, Y is ≤
101
E
Możemy, więc założyć, że
warunek
hZ
E
∞
hZ
0
n
|H |
i
2
Hsn − Hs dhY, Y is −−−→ 0.
n→∞
≤ C dla n ≥ 1. Wykażamy, że {H n X n }n≥1 ⊂ H spełnia
∞
Hsn Xsn − Hs Xs
2
i
dhM, M is −−−→ 0.
n→∞
0
Stosując nierówność
Hsn Xsn − Hs Xs
2
≤ 2(Hsn )2 (Xsn − Xs )2 + 2(Xs )2 (Hsn − Hs )2
dostajemy
∞
i
dhM, M is ≤
0
i
i
hZ ∞
hZ ∞
2
2
n 2
n
(Xs )2 Hsn − Hs dhM, M is .
(Hs ) Xs − Xs dhM, M is + 2E
2E
E
(5.24)
hZ
Hsn Xsn − Hs Xs
2
0
0
Zbieżność drugiego składnika w (5.24) wynika z (5.23) i z definicji {H n }n≥1 ⊂ H. Natomiast zbieżność pierwszego składnika wynika z oszacowania
hZ ∞
i
hZ ∞
i
2
2
n 2
n
2
E
(Hs ) Xs − Xs dhM, M is ≤ C E
Xsn − Xs dhM, M is −−−→ 0.
0
n→∞
0
Niech teraz N ∈ M2,c . Wtedy z własności całki stochastycznej otrzymujemy
Z t
Z t
DZ
E
Hs dYs , N =
Hs dhY, N it =
Hs Xs dhM, N it ,
t ≥ 0.
t
0
0
Z drugiej strony
DZ
Hs Xs dMs , N
Z
E
t
t
Hs Xs dhM, N it ,
=
t ≥ 0.
0
Zatem z jednoznaczności całki stochastycznej dostajemy wzór (5.22). Dowód w przypadku
H ograniczonego został zakończony. W przypadku H nieograniczonego zauważmy, że dla
każdego C > 0 mamy gC (Hs ) ∈ Λ2 (Y ). Rzeczywiście, jeśli H n → H, gdy n → ∞ w
przestrzeni Λ2 (Y ) to mamy H 3 gC (H n ) → gC (H), gdy n → ∞ w Λ2 (Y ), co wynika z
nierówności
|gC (Htn ) − gC (Ht )| ≤ |Htn − Ht |,
t ≥ 0.
Teraz gC (H) → H punktowo, gdy C → ∞ oraz |gC (H)| ≤ |H| (H ∈ Λ2 (Y )). Zatem z
twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności majoryzowanej gC (H) → H, gdy C → ∞ w Λ2 (Y ). Z
definicji całki stochastycznej mamy
Z
Z
(5.25)
gC (H) dYs −−−−→ Hs dYs
C→∞
102
w przestrzeni M2,c . Z drugiej strony z pierwszej części dowodu dla dowolnego C > 0 mamy
gC (H) X ∈ Λ2 (M ) oraz
t
Z
t
Z
gC (H) Xs dMs ,
gC (H) dYs =
(5.26)
Ponadto
Z
E
t ≥ 0.
0
0
∞
2
(gC (H) − Hs )
Xs2 dhM,
∞
Z
(gC (H) − Hs )2 dhY, Y is −−−−→ 0
M is = E
0
C→∞
0
tzn. gC (H) X → HX, gdy C → ∞ w Λ2 (M ). Stąd i z definicji całki stochastycznej
Z
Z
(5.27)
gC (H) Xs dMs −−−−→ Hs Xs dMs
C→∞
w przestrzeni M2,c . W końcu z (5.25), (5.26) i (5.27) dostajemy tezę.
2
Lemat 5.27 Niech M, N ∈ M2,c . Istnieje proces H ∈ Λ2 (N ) taki, że
Z
M = Y + L,
Yt =
t
Hs dNs ,
t ≥ 0,
0
gdzie L ∈ M2,c oraz L i Y są silnie ortogonalne. Ponadto zachodzi równość
Z t
(5.28)
hM, M it =
Hs2 dhN, N is + hL, Lit ,
t ≥ 0.
0
Dowód. Niech N ∈ M2,c . Oznaczmy I(N ) = Φ(Λ2 (N )) ⊂ M2,c , gdzie Φ określone jest
w dowodzie twierdzenia 5.24. Ponieważ Φ jest izometrią z Λ2 (N ) w M2,c . Zatem I(N )
jest zbiorem domkniętym. Z twierdzenia o rozkładzie ortogonalnym w przestrzeni Hilberta
mamy rozkład
M2,c = I(N ) ⊕ I(N )⊥ ,
gdzie I(N )⊥ jest dopełnieniem ortogonalnym I(N ). Jeśli teraz M ∈ M2,c to
Z
M = Hs dNs + L,
R
gdzie H ∈ Λ2 (N ), L ∈ M2,c oraz Y = Hs dNs i L są słabo ortogonalne tj. E(Y∞ L∞ ) = 0.
Aby wykazać mocną ortogonalność wystarczy pokazać, że
E(YT LT ) = E
h Z
0
T
i
Hs dNs LT = 0
103
dla dowolnego czasu zatrzymania T . Zauważmy, że
E|YT LT | < ∞
co wynika z nierówności Schwarza oraz z tego, że
2
E(YT2 ) ≤ E(Y∞
)
E(L2T ) ≤ E(L2∞ ).
i
Ponadto Y T ∈ I(N ), bo
YtT
Z
T ∧t
=
t
Z
Hs dNs =
I[[0,T ]] Hs dNs
0
0
na mocy lematu 5.25. Zatem ze słabej ortogonalności Y T i L mamy
T
0 = E(Y∞
L∞ ) = E(YT L∞ ) = E YT E(L∞ | FT ) = E(YT LT ).
Co kończy dowód silnej ortogonalności. Wzór (5.28) wynika z własności kowariacji, twierdzenia 5.24 oraz z tego, że silna ortogonalność Y i L implikuje (z rozkładu Dooba-Meyera)
hY, Li = 0.
2
5.4
Całka stochastyczna względem martyngału lokalnego o ciągłych trajektoriach
Dla każdego M ∈ Mcloc rozważmy przestrzeń
Λ0 (M ) = {X : X jest opcjonalny i
Z
t
Xs2 dhM, M is < +∞, t ≥ 0}
0
Twierdzenie 5.28 Niech M ∈ Mcloc . Dla każdego X ∈ Λ0 (M ) istnieje jedyny proces
Y ∈ Mcloc taki, że dla każdego N ∈ Mcloc
t
Z
hY, N it =
Xs dhM, N is
t ≥ 0.
0
Dowód. Jedyność. Jeśli Y 0 ∈ Mcloc jest taki, że
0
Z
hY , N it =
t
Xs dhM, N is
t ≥ 0.
0
to
hY, N i = hY 0 , N i
dla każdego N ∈ Mcloc . Zatem hY − Y 0 , Y − Y 0 i = 0, a stąd Y = Y 0 .
104
Istnienie. Niech {Rn }n∈N będzie danym ciągiem lokalizacyjnym takim, że M Rn ∈ M2,c
dla każdego n ≥ 1 i niech dla ustalonego X ∈ Λ0 (M ). Niech {Sn }n≥1 będzie ciągiem
czasów zatrzymania określonym wzorem
Z t
Sn := inf{t :
Xs2 dhM, M is > n}
0
Ciąg {Sn }n∈N jest rosnący do nieskończoności gdy n → +∞. Dla czasu zatrzymania
Tn := Rn ∧ Sn dla każdego n ≥ 1 i t ≥ 0 mamy
Z t
Z t
Z t∧Tn
2
Tn
Tn
2
Tn
Xs2 dhM, M is ≤ n,
Xs dhM , M is =
Xs dhM, M is =
0
0
0
więc X ∈ Λ2 (M Tn ). Niech
Yn =
t
Z
Xs dMsTn ,
t ≥ 0,
n ≥ 1,
0
wtedy Y n ∈ M2,c oraz
t
Z
n
Xs dhM Tn , N is ,
hY , N it =
t ≥ 0,
n ≥ 1.
0
dla każdego N ∈ M2,c . Ponadto dla m ≤ n mamy
Z t
Z t
Tm
n Tm
n
Tn
Tm
h(Y ) , N it = hY , N it =
Xs dhM , N is =
Xs dhM Tm , N is = hY m , N it ,
0
0
więc
Y m = (Y n )Tm
z jednoznaczności określenia całki stochastycznej. Określmy teraz Y jak następuje: Ponieważ Tn → ∞ gdy n → ∞, więc dla każdego ω ∈ Ω i t ≥ 0 istnieje n ≥ 1 takie, że
Tn (ω) ≥ t. Określamy więc
Yt (ω) := Ytn (ω).
Proces Y jest jednoznacznie określony (własność Y m = (Y n )Tm ), jest ciągły i należy do
c
Tn = Y n ∈ M2,c .
M2,c
loc a więc do Mloc , bo Y
Niech teraz N ∈ Mcloc i niech {Un }n≥1 będzie danym ciągiem lokalizacyjnym takim, że
U
n
N ∈ M2,c dla każdego n ≥ 1. Określmy Vn = Un ∧ Tn . Otrzymujemy dla t ≥ 0
Z t
Vn
Vn
Vn
Vn
Tn
Un Vn
hY, N it = hY , N it = hY , N it =
Xs dhN Un , M Tn is
0
Z t
Z t
Z Vn ∧t
Vn
Z
=
Xs dhN Vn , M Vn is =
Xs dhN, M iVs n =
Xs dhN, M is =
Xs dhN, M is
,
0
0
t
0
co kończy dowód twierdzenia.
2
Lematy 5.25 - 5.27 mogą być teraz uogólnione dla M ∈
Mcloc
⊂
M2,c
(zad. dom.)

5 Martyngały całkowane z kwadratem i całka stochastyczna

Transkrypt

Podobne dokumenty

tutaj

Dzisiaj krótko - Inwentarz Wyborczy

7 matematyka ii ects 2) 4,0 - Wydział Budownictwa i Inżynierii

Generuj PDF - KPP Kościan

Generuj PDF - Dolnośląski Urząd Wojewódzki