Kierunek: BUDOWNICTWO

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne drugiego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: ANALIZA ZESPOLONA
Rok studiów:
Semestr:
II
3
ECTS: 7
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Znajomość materiału wykładu analizy matematycznej, teorii mnogości, topologii i algebry w zakresie
studiów pierwszego stopnia
Założenia i cele przedmiotu
Zaznajomienie studentów z podstawami teorii funkcji analitycznych, szeregów potęgowych
zespolonych, szeregów Laurenta, punktów osobliwych funkcji analitycznych, własności grupowych i
analitycznych odwzorowań konforemnych
Metody dydaktyczne
Realizacja programu w formie wykładów i ćwiczeń audytoryjnych; w ramach ćwiczeń audytoryjnych
przeprowadzone będą sprawdziany kontrolne
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Zaliczenie z ćwiczeń na podstawie odpowiedzi ustnych i wyników kolokwiów.
Egzamin ustny
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej, krzywe, całka krzywoliniowa. Pierwotna w dziedzinie
zespolonej. Indeks punktu względem krzywej; cykle. Twierdzenie Cauchy'ego dla trójkąta; wzór
całkowy Cauchy'ego.
2. Warunki równoważne na analityczność funkcji; twierdzenie Morery.
3. Twierdzenie Liouville'a; zasada maksimum; lemat Schwarza. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych.
4. Rodziny normalne funkcji. Twierdzenie Vitaliego.
5. Szeregi Laurenta.
6. Zachowanie się funkcji analitycznej w nieskończoności.
7. Klasyfikacja punktów osobliwych funkcji analitycznej.
Punkty osobliwe izolowane; rozwinięcie w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu, funkcje
meromorficzne; twierdzenie Casoratiego - Weierstrassa. Twierdzenie o identyczności.
8. Residuum funkcji analitycznej. Twierdzenie o residuach. Zastosowanie residuów do obliczania
całek.
9. Funkcje meromorficzne.
10. Twierdzenie Rouchego i Hurwitza
11. Odwzorowania konforemne. Grupy automorfizmów konforemnych. Twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu konforemnym.
12. Twierdzenie Mittag – Lefflera.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Obliczanie całek krzywoliniowych. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. Wyznaczanie
indeksu punktu względem krzywej.
2. Zadania na zastosowanie twierdzenia Liouville'a; zasady maksimum; lematu Schwarza i twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych.
3. Zadania na sprawdzanie normalności rodzin funkcji analitycznych. Zadania na zastosowanie
twierdzenia Weierstrassa o niemal jednostajnie zbieżnych ciągach funkcji analitycznych.
4. Badanie charakteru punktów osobliwych izolowanych funkcji analitycznej. Rozwijanie funkcji
w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu osobliwego.
5. Badanie zachowania się funkcji analitycznej w nieskończoności.
6. Zadania na obliczanie całek przy pomocy residuów.
7. Zadania na wyznaczanie funkcji meromorficznych o z góry zadanych własnościach
8. Zadania na zastosowanie twierdzeń Rouchego i Hurwitza.
9. Znajdowanie konkretnych odwzorowań konforemnych obszarów w płaszczyźnie zespolonej na
koło. Zastosowanie twierdzenia Reimanna o odwzorowaniu konforemnym.
Laboratorium:
Wykaz literatury podstawowej:
[1] J. Krzyż, J. Ławrynowicz, Elementy analizy zespolonej, WNT, Warszawa, 1984
[2] F. Leja, Funkcje zespolone, PZWS, Warszawa, 1973
[3] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PZWS, Warszawa, 1986
[4] W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PZWS, Warszawa, 1974
Wykaz literatury uzupełniającej:
Zaleca się studentom korzystanie z najnowszych opracowań dostępnych na stronach internetowych
Instytutu Matematyki UJ:
[1] Z. Błocki, Funkcje analityczne, http://gamma.im.uj.edu.pl/~blocki/publ/ln/index.html
[2] M. Jarnicki, Wykłady z funkcji analitycznych, http://www.im.uj.edu.pl/MarekJarnicki/
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
doc. dr hab. Piotr JAKÓBCZAK
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK