W silniku Carnota następują cztery przemiany stałej ilości gazu:
Transkrypt
W silniku Carnota następują cztery przemiany stałej ilości gazu:
11. Termodynamika. Wybór i opracowanie zadań od 11.1 do 11.15 - Bogusław Kusz. 11.1. W zamkniętej butelce o objętości V0=500cm3 znajduje się powietrze o temperaturze t0=270C i ciśnieniu p0=1000 hPa. Po pewnym czasie słońce ogrzało butelkę do temperatury tk=570C. Oblicz liczbę cząsteczek gazu znajdującego się w butelce, końcowe ciśnienie powietrza oraz ciepło pobrane przez gaz. Narysuj wykres p(V). 11.2. Butla gazowa o objętości V1=0,3m3 wytrzymuje ciśnienie pkr=107Pa. Znajduje się w niej m=3369g azotu o temperaturze t1=270C. Obliczyć ciśnienie gazu w temperaturze t1. Jeśli w wyniku pożaru butla ogrzeje się to w jakiej temperaturze nastąpi jej rozerwanie? Masa molowa azotu: µp=28g. 11.3. W procesie izobarycznym n=2mole wodoru o temperaturze T1=300K i ciśnieniu p1=106Pa, zmniejszyło swoją objętość k=2 razy. Oblicz temperaturę końcową, pracę i ciepło występujące w tym procesie. Przedstaw pracę na wykresie p(V). 11.4. Jeden mol tlenu jest ogrzewany pod stałym ciśnieniu atmosferycznym p0=1033 hPa począwszy od temperatury t0=00C. Oblicz ile energii trzeba doprowadzić do gazu w celu potrojenia objętości jego objętości i jaką pracę wykonał gaz ? 11.5. Cienki worek foliowy zanurzony w wodzie o temperaturze t=200C zawiera powietrze o objętości V1=20 dm3 i ciśnieniu p1=1000hPa. Jaką objętość będzie miał worek po zanurzeniu go o h=10m? Oblicz ciepło oddane przez gaz oraz narysuj wykres tej przemiany przy założeniu, że temperatura gazu nie uległa zmianie. Dane: gęstość wody ρ=1g/cm3, przyspieszenie ziemskie g=10m/s2. 11.6. W procesie izotermicznym objętość n moli powietrza o temperaturze T wzrosła s razy. Ile razy zmalało ciśnienie ? Ile wynosi zmiana energii wewnętrznej ? Jaką pracę wykonał gaz ? 11.7. W wyniku szybkiego rozprężeniu n=2 moli tlenu jego objętość wzrosła s=4 razy. Obliczyć przyrost energii wewnętrznej tego gazu jeśli jego ciśnienie początkowe wynosiło p1=8,31⋅106Pa a temperatura T1=300K. 11.8. Podczas izobarycznego sprężania tlenu o masie m = 10 kg i temperaturze początkowej t = 100°C, objętość jego zmniejszyła się s = 1,25 razy. Obliczyć: a) wykonaną podczas sprężania pracę, b) ilość odprowadzonego ciepła. 11.9. Znaleźć rodzaj gazu, który został sprężony izotermicznie oraz jego objętość początkową, jeżeli ciśnienie m=2 kg gazu po jego sprężeniu zwiększyło się trzykrotnie, a praca wykonana przy sprężaniu W = -1,37⋅103 kJ. Przed sprężeniem ciśnienie gazu równało się p1= 5⋅105 Pa, a jego temperatura t= 27°C. 11.10. Masę m = 160 g tlenu ogrzewa się od t1 = 50°C do t2 = 60°C. Obliczyć ilość pobranego ciepła i zmianę energii wewnętrznej tlenu w przypadku, gdy ogrzewanie zachodziło: a) izochorycznie, b) izobarycznie. 11.11. Dwa identyczne naczynia połączone są zaworem. W jednym z nich znajduje się azot pod ciśnieniem p1=2,64⋅105 Pa i w temperaturze t1= 27°C a w drugim panuje próżnia. Znaleźć końcową temperaturę i ciśnienie gazu, jeżeli po otwarciu zaworu część gazu przeszła do pustego naczynia i ciśnienia w obu naczyniach wyrównały się. Proces przejścia azotu z jednego naczynia do drugiego jest procesem adiabatycznym. 11.12. W silniku Carnota następują cztery przemiany stałej ilości gazu: - izotermiczne rozprężanie gazu z objętości V1 do V2 w temperaturze T1, adiabatyczne rozprężanie z objętości V2 do V3, - izotermiczne sprężanie gazu z objętości V3 do V4 w temperaturze T2, adiabatyczne rozprężanie z objętości V4 do V1. Oblicz sprawność takiego silnika gdy : a/ T1=373K i T2=273K b/ T1=773K i T2=273K c/ T1=373K i T2=3K. 11.13.* W silniku wykorzystano n=5 moli azotu w cyklu: 1-2 sprężono izochorycznie gaz o temperaturze T1=300K w objętości V1 do ciśnienia p2 =3p1 2-3 rozprężono adiabatycznie do ciśnienia początkowego p1 i objętości V3, 3-1 następnie przy stałym ciśnieniu osiągnięto stan pierwotny. Narysu wykres p(V) tego cyklu oraz oblicz wydajność silnika. 11.14. Oblicz wydajność silnika pracującego w cyklu pokazanym na rysunku. Dane: T1=600K, T2=900K, T3=600K, gaz jednoatomowy - κ=1,67. 11.15. Dlaczego podczas pompowania dętki roweru rozgrzewa się pompka? 11. Rozwiązania: 11.1.R. Jest to przemiana izochoryczna stałej ilości gazu doskonałego dla, której: p0V0 pkV0 p0 pk V0 = const. ⇒ = = nR i = (1) T0 Tk . T0 Tk . Liczba moli i cząsteczek gazu wynosi odpowiednio: pV n = 0 0 i N = N An (2) . T0 R pT Ciśnienie końcowe gazu wynosi: pk = 0 k (3) . T0 Ciepło pobrane przez gaz: Q0 − k = ∆U + W = ∆U + Vk ∫ p dV = ∆U = C n(T v k − T0 ) ponieważ W = 0 (4) V0 i R gdzie i = 5 . 2 Wstawiając dane: V0=5⋅10-4m3, T0= 300K, Tk= 330K, R=8,31 J/(mol⋅K), NA=6,023⋅1023, do wzorów (2), (3) i (4) otrzymujemy: liczbę moli n=0,02, liczbę cząsteczek N=0,12⋅1023, ciśnienie końcowe pk=1,1⋅105 Pa oraz ciepło Q=12,47J. przy czym CV = 11.2.R. p1 = p T1mR = 106 Pa, Tkr = T1 kr = 3000 K . p1 V1µ 11.3.R. W procesie izobarycznym mamy: p1V1 nRT1 = nR ⇒ V1 = T1 p1 (1) oraz p1 = const. ⇒ V1 V2 = T1 T2 ⇒ T2 = T1 1 V2 = T1 V1 k (2) . Ponieważ pojedyncza cząsteczka wodoru zawiera dwa atomy więc jej liczba stopni wynosi i 5 i+2 7 R = R (3) . i=5 a ciepło molowe jest równe: CV = R = R oraz C p = 2 2 2 2 Ciepło oddane przez gaz: Q1− 2 = ∆U + W = ∆U + V2 ∫p 1 V1 V2 dV = Cv n(T2 − T1 ) + p1 ∫ dV = Cv n(T2 − T1 ) + p1 (V2 − V1 ) V1 1 1 (4) Q1− 2 = C p n(T2 − T1 ) oraz W = p1 (V2 − V1 ) = p1V1 ( − 1) = nRT1 ( − 1) k k Wynik obliczeń: T2 = 150 K , W = −1246 J , Q1− 2 = −9146 J . Ujemna wartość W i Q oznacza, że ciepło zostało oddane przez gaz i praca została wykonana nad sprężeniem gazu. 11.4.R. Q = 15880 J , W = 4537 J . 11.5.R. Jest to przemiana izotermiczna gazu doskonałego, więc: pV pV T = const. ⇒ 1 1 = nR czyli n = 1 1 oraz T TR p1V1 = p2V2 (1) . Na głębokości h ciśnienie hydrostatyczne wynosi: ph = ρgh czyli p2 = p1 + ρgh (2) . Z równań (1) i (2) wynika: pV p1V1 V V2 = 1 1 = = 1 = 10dm3 (3) . p2 p1 + ρgh 2 Ciepło tej przemiany obliczamy: V2 Q1− 2 V2 V 2 nRT V 1 dV = nRT ∫ dV = nRT (ln V2 − ln V1 ) = p1V1 ln 2 = ∆U + W = W = ∫ p dV = ∫ V V V1 V1 V1 V1 (4) Q1− 2 = p1V1 ln 2 = −2000 ln 2 J = − 1386 J . Wynik ujemny świadczy, że w tej przemianie praca została wykonana nad gazem i gaz oddał otoczeniu nadmiar ciepła. 11.6.R. Ciśnienie zmalało s razy, ∆U = 0 , natomiast W = Q = nRT ln V2 = nRT ln s . V1 11.7.R. Jeśli proces rozprężania jest szybki to można założyć, że w czasie przemiany nie nastąpiła wymiana ciepła z otoczeniem. Jest to przypadek przemiany adiabatycznej dla której charakterystyczne są zależności: p1V1 p2V2 nRT1 (1) oraz = = nR ⇒ V1 = T1 T2 p1 κ κ κ p1V1 = pV = p2V2 ⇒ p1V1κ p = κ (2). V V2 Wiemy, że w tej przemianie gazu Q1− 2 = ∆U + W = 0 czyli ∆U = −W = − ∫ pdV (3) . V1 Z równań (2) i (3) otrzymujemy: V2 V 2 p1V1κ 1 1 κ ∆U = −W = − ∫ κ dV = − p1V1 ∫ κ dV = p1V1κ (V21−κ − V11−κ ) (4) . κ −1 V V V1 V1 Dla gazu doskonałego o dwuatomowej cząsteczce liczba stopni swobody i=5 a współczynnik κ wynosi: C i+2 7 κ= p = = = 1,4 . Cv i 5 1 pV V11−κ ( s1−κ − 1) = 1 1 ( s1−κ − 1) . Ponieważ V2 = sV1 ⇒ ∆U = p1V1κ κ −1 κ −1 −4 3 Wynik obliczeń: V1 = 6 ⋅ 10 m , ∆U = −5306 J wskazuje, że gaz wykonał pracę kosztem swojej energii wewnętrznej. Uwaga: dla porównania, na wykresie pokazano wykres izotermicznej przemiany tego gazu. 11.8.R. 5 R oraz µ = 32 g . 2 Korzystając z zależności w zadaniu 11.3 otrzymujemy : Dla tlenu mamy: i = 5 ⇒ C p = 7 a/ W = T1 mµ R( 1s − 1) = −193727 J , b/ Q1− 2 = T1 mµ C p ( 1s − 1) = W1− 2 = −678044 J . 2 11.9.R. W procesie izotermicznym mamy: Q1−2 = ∆U + W = W = V2 ∫ p dV = V1 V2 V 2 nRT V 1 dV nRT = ∫V V ∫V V dV = nRT (ln V2 − ln V1 ) = nRT ln V12 1 1 V1 p2 = = 3 (2) . V2 p1 V m 1 m 1 Z obu równań wynika: W = nRT ln 2 = RT ln dlatego µ = RT ln = 4 g . V1 µ 3 W 3 Jest to hel. oraz p1V1 = p2V2 czyli 11.10.R. 5 m R (T2 − T1 ) = 125 J , 2 µ 7 m b/ p = const. ⇒ Q1− 2 = ∆U + W = C p n(T2 − T1 ) = R (T2 − T1 ) = 175 J 2 µ 5 m oraz ∆U = Cv n(T2 − T1 ) = R (T2 − T1 ) = 125 J . 2 µ a/ V = const. ⇒ Q1− 2 = ∆U = CV n(T2 − T1 ) = 11.11.R. (1) Wskazówka: Warunki początkowe: p1, T1, V1. V1T1p1 Warunki końcowe: p2, T2, 2V1. V1T2p2 V1T2p2 p2=105Pa, T2=227K. 11.12.R. Przemiana 1-2 jest izotermiczna dlatego: T1=const. p1V1 = p2V2 (1) i ∆U = 0 oraz Q1− 2 = ∆U + W = W = V2 ∫ p dV = V1 V2 V 2 1 V nRT1 = dV nRT dV =nRT1 (ln V2 − ln V1 ) = nRT1 ln 2 ( 2) 1∫ ∫V V V1 V V1 1 Przemiana 2-3 jest adiabatyczna dlatego: p2V2χ = p3V3χ (3) oraz Q2 − 3 = ∆U + W = 0 (4) Przemiana 3-4 jest izotermiczna dlatego (T2=const.): p3V3 = p4V4 (5) i ∆U = 0 oraz Q3− 4 = ∆U + W = W = V4 ∫ p dV = V3 V4 V 4 1 nRT2 V = dV nRT dV =nRT2 (ln V4 − ln V3 ) = nRT2 ln 4 (6) 2 ∫ ∫V V V V3 V3 3 Przemiana 4-1 jest adiabatyczna dlatego: p1V1χ = p4V4χ (7) oraz Q4 −1 = ∆U + W = 0. (8) Na podstawie równań (1,3,5,7) można udowodnić, że: V2 V3 = V1 V 4 (9) Ponieważ: V1 < V2 to Q1− 2 > 0 co oznacza, że ciepło jest dostarczone do silnika, V4 < V3 to Q4 −1 < 0 co oznacza, że ciepło jest oddawane przez silnik do chłodnicy. Pracę wykonaną przez silnik można obliczyć ze wzoru: W = Q1− 2 + Q2 − 3 + Q3− 4 + Q4 −1 (10) − Qoddane Q W η= = pobrane Wydajność silnika wynosi: Q pobrane Q pobrane Na podstawie wzorów (2,4,6,8,9,10) wydajność silnika pracującego w cyklu Carnota wynosi: Q + Q3− 4 T1 − T2 T η = 1− 2 = = 1− 2 . Q1− 2 T1 T1 Obliczenia: a/ T1=373K i T2=273K to η=26,8%, b/ T1=773K i T2=273K to η=64,7%, c/ T1=373K i T2=2,7 K to η=99,3%. 11.13.R. η=16,6%. 11.14.R. Wskazówka: rozpoznać rodzaj przemian, napisać równania charakterystyczne dla tych przemian, obliczyć T4, obliczyć ciepło tych przemian, określić podczas której przemiany gaz pobiera ciepło i obliczyć wydajność. W κ (T2 − T1 ) + (T3 − T2 ) + κ (T4 − T3 ) + (T1 − T4 ) = = 0,096 T4 = 400 K , η = (T1 − T4 ) + κ (T2 − T1 ) Q1− 2 + Q4 −1 11.15.R. W czasie sprężania powietrza następuje jego ogrzanie. Część tego ciepła przejmuje materiał pompki.