Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 13
Przestrzenie produktowe
Jedną z podstawowych operacji w matematyce jest produkt kartezjański. Dlaczego jest
taki ważny? Matematyk mógłby odpowiedzieć, że to jedno z podstawowych narzędzi do
konstrukcji nowych przestrzeni. A po co więcej przestrzeni? Mogą się przydać do konstrukcji przykładów. Jeśli chcemy zaprezentować przestrzeń, która posiada jednocześnie pewne
dwie własności P1 i P2 (zwykle nie związane ze sobą), możemy osobno skonstruować przestrzeń X posiadającą P1, osobno przestrzeń Y posiadającą P2, a potem połączyć je za
pomocą produktu kartezjańskiego. Jeśli P1 i P2 zostają zachowane przy braniu produktu
kartezjańskiego, to X × Y jest dobrym przykładem.
Niematematyk pomyśli inaczej. Myślmy o opisie jednego zjawiska. Może to być drganie
ciężarka na sprężynie (oscylatora). To zjawisko jest jednowymiarowe – stan układu opisuje
jedna współrzędna, konkretnie wychylenie sprężyny ze stanu równowagi. Ale jeśli ciężarkowi
nadać dodatkowo ruch wahadłowy, potrzebujemy drugiej współrzędnej. Ponieważ drganie i
ruch wahadłowy odbywają się jednocześnie, pełny opis stanu układu daje para współrzędnych, czyli element produktu kartezjańskiego. Teraz pomyślmy nie o deterministycznym
układzie, ale o losowym. Przypuśćmy, że modelujemy dwa zjawiska przy uzyciu zmiennej
losowej o jakimś rozkładzie. Na przykład, mogą to być ceny akcji na giełdzie. Przypuśćmy, że tworzymy portfel złożony z pewnej ilości akcji rozważanych dwóch typów. Jesteśmy
wtedy zainteresowani, zmianami cen i jednego, i drugiego papieru, czyli chcemy kontrolować sytuację dwuwymiarową, w której każdemu wymiarowi jest przyporządkowana pewna
gęstość rozkładu, czyli jak wiemy z poprzedniego wykładu, pewna miara. Dobry opis tej
sytuacji powinien być oparty na pojęciu produktu przestrzeni z miarą. Potrzebujemy pojęć
produktu σ-algebr i miar.
Definicja 1 Produkt zbiorów X i Y to zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y), gdzie
x ∈ X i y ∈ Y . Oznaczenie: X × Y .
Uwaga
1. Termin „para uporządkowana” oznacza, że kolejność jest ważna: (x, y) i (y, x) to różne
pary. Jedna jest elementem X × Y , a druga Y × X.
2. „Produktowanie” można powtarzać. Np. utworzyć produkty (X × Y ) × Z lub X ×
(Y × Z). Ponieważ elementy tych przestrzeni są w relacji 1-1, elementowi ((x, y), z) ∈
(X × Y ) × Z odpowiada ((x, y), z) ∈ X × (Y × Z), możemy po prostu mówić o
produkcie X ×Y ×Z i interpretować go jako zbiór trójek (x, y, z). Indukcyjnie możemy
zdefiniować produkt dowolnej liczby zbiorów: X1 × X2 × ... × Xn .
Niech A będzie σ-algebrą podzbiorów X, a B będzie σ-algebrą podzbiorów Y . Zdefiniujmy
A B = {A × B : A ∈ A, B ∈ B}
oraz
A ⊗ B = σ(A B).
Twierdzenie 1 Niech C będzie taką rodziną podzbiorów X, że X ∈ C, a D taką rodziną
podzbiorów Y , że Y ∈ D. Wtedy σ(C) ⊗ σ(D) = σ(C D).
1
Dowód Oczywiście,
σ(C D) ⊂ σ σ(C) σ(D) = σ(C) ⊗ σ(D).
Pozostaje pokazać odwrotną inkluzję.
Niech C ∈ C będzie ustalonym zbiorem. Zdefiniujmy
ξC = {U ∈ σ(D) : C × U ∈ σ(C D)} .
Łatwo sprawdzić, że ξC jest σ-algebrą. Istotnie:
1. φ ∈ ξC
× Y} ).
2. jeśli U ∈ ξC , to C × U c = (C × U )c ∩ ( |C {z
|
{z
}
∈σ(CD)
∈σ(CD)
3. jeśli U1 , U2 , ... ∈ ξC , to
C×
∞
[
Ui =
i=1
∞
[
C × Ui ∈ σ(C D).
i=1
Zatem ξC jest σ-algebrą zawierającą D i zawartą w σ(D). Stąd ξC = σ(D), a więc dla
każdego D ∈ σ(D) i każdego C ∈ C mamy C × D ∈ σ(C D).
Ustalmy teraz D ∈ σ(D) i niech
FD = {V ∈ σ(C) : V × D ∈ σ(C D)} .
Tak jak dla ξC pokazujemy, że FD jest σ-algebrą i w kosekwencji, ponieważ C ⊂ FD ,
dostajemy FD = σ(C). Stąd V × D ∈ σ(C D) dla każdego V ∈ σ(C) i każdego D ∈ σ(D),
czyli
σ(C) σ(D) ⊂ σ(C D).
Stąd σ(C) ⊗ σ(D) = σ σ(C) σ(D) ⊂ σ(C D). Niech B(Rn ) oznacza σ-algebrę zbiorów borelowskich w Rn , tzn. σ-algebrę generowaną
przez rodzinę wszystkich „prostokątów” (a1 , b1 ) × ... × (an , bn ), gdzie an , bn ∈ R.
Wniosek 2 B(Rm+n ) = B(Rm ) ⊗ B(Rn )
Definicja 2 Cięciem zbioru C ⊂ X × Y w punkcie x ∈ X nazywamy podzbiór Y zdefiniowany wzorem
Cx = {y ∈ Y : (x, y) ∈ C} .
Analogicznie, cięciem zbioru C ⊂ X × Y w punkcie y ∈ Y nazywamy podzbiór X zdefiniowany wzorem
C y = {x ∈ X : (x, y) ∈ C} .
Twierdzenie 3 Jeśli A jest σ-algebrą podzbiorów X, a B σ-algebrą podzbiorów Y , to dla
każdego C ∈ A ⊗ B i dla dowolnych x ∈ X, y ∈ Y mamy Cx ∈ B oraz C y ∈ A.
2
Dowód Niech
S = {C ∈ A ⊗ B : ∀(x, y) ∈ X × Y Cx ∈ B, C y ∈ A} .
Tezę otrzymujemy wykazując, że S jest σ-algebrą zawierającą A B. Uwaga Odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe, tzn. może być tak, że zbiór ma wszystkie
cięcia mierzalne, ale sam nie jest mierzalny.
No to mamy już przestrzeń mierzalną. Definicja miary nie jest taka prosta. Poprzestaniem na twierdzeniu bez dowodu.
Twierdzenie 4 Jeśli (X, A, µ) i (Y, B, ν) są przestrzeniami miarowymi, to istnieje dokładnie jedna miara µ × ν określona na przestrzeni mierzalnej (X × Y, A ⊗ B) spełniająca
warunek
µ × ν(A × B) = µ(A) · ν(B)
dla każdego A ∈ A,B ∈ B.
Definicja 3 Miarę µ × ν nazywamy miarą produktową lub produktem miar µ i ν.
Przejdziemy teraz do dwóch ważnych twierdzeń dotyczących całkowania względem miary produktowej.
Definicja 4 Cięciem funkcji f : ⊂ X × Y → R w punkcie x ∈ X nazywamy funkcję
fx : Y → R zdefiniowaną wzorem
fx (y) = f (x, y),
a cięciem f : ⊂ X × Y → R w punkcie y ∈ Y nazywamy funkcję fy : X → R zdefiniowaną
wzorem
f y (x) = f (x, y).
Twierdzenie 5 (Fubini) Jeśli (X, A, µ), (Y, B, ν) są dwiema przestrzeniami miarowymi,
a f : X ×Y → R jest całkowalna względem miary produktowej µ×ν, to dla µ-prawie
każdego
R
y są mierzalne i całkowalne, funkcje x 7→ f (y) dν(y)
x i ν-prawie
każdego
y
funkcje
f
,
f
x
x
R
i y 7→ f y (x) dµ(x) są mierzalne i całkowalne oraz zachodzi wzór
Z
f (x, y) dµ × ν =
Z Z
fx dν(y)
Z Z
dµ(x) =
y
f dµ(x)
dν(y).
Twierdzenie 6 (Tonelli) Jeśli (X, A, µ), (Y, B, ν) są dwiema σ-skończonymi przestrzeniami miarowymi, a f : X × Y → R jest nieujemna i mierzalna względem σ-algebry produktowej A ⊗ B, to dla µ-prawie
każdego x i ν-prawie
każdego y funkcje fx , f y są mierzalne i
R
R y
nieujemne, funkcje x 7→ fx (y) dν(y) i y 7→ f (x) dµ(x) są mierzalne i nieujemne oraz
zachodzi wzór
Z
f (x, y) dµ × ν =
Z Z
fx dν(y)
3
Z Z
dµ(x) =
f y dµ(x)
dν(y).
Twierdzenia wyglądaja podobnie, główna teza jest właściwie taka sama – mówi o zamianie całki podwójnej na całki iterowane, ale twierdzenie Tonellego pełni często funkcję
służebną wobec twierdzenia Fubiniego. Aby bowiem sprawdzić całkowalność funkcji f musimy scałkować (miarą µ×ν) wartość bezwzględną funkcji, czyli nieujemna mierzalną funkcję
|f |.
Uwaga W szczególności z twierdzenia Tonellego mamy twierdzenie o zamianie kolejności
sumowania dla szeregów o wyrazach nieujemnych: jeśli am,n ­ 0, to
∞ X
∞
X
am,n =
m=1 n=1
∞ X
∞
X
am,n
n=1 m=1
Wystarczy bowiem wziąć X = Y = N z miarą liczącą i funkcję f (m, n) = am,n . Przestrzeń
jest σ-skończona, a całkowanie to po prostu szereg.
4