Dynamika: równania ruchu

Dynamika: równania ruchu
Równania ruchu
Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwiązywanie równań ruchu, czyli określanie ruchu ciała
ze znajomości działających na nie sił.
Siła działająca na ciało może zależeć od położenia i prędkości cząstki oraz czasu
⇒ równanie ruchu:
Ogólne rozwiązanie ma sześć stałych całkowania:
Aby ściśle określić ruch ciała musimy poza rozwiązaniem równań ruchu wyznaczyć wartości wolnych
parametrów (w ogólnym przypadku sześciu). Najczęściej dokonujemy tego określając warunki
początkowe:
gdzie
- wybrana "chwila początkowa"
Pole elektryczne
Dane jest stałe jednorodne pole elektryczne
Przyjmijmy, że w chwili
w punkcie
(prostopadłą do kierunku pola!) cząstka o masie
w pole wlatuje z prędkością
i ładunku .
Wiemy, że siła działająca na tą cząstkę dana jest wzorem:
Możemy napisać równania ruchu, odpowiednio dla ruchu wzdłuż osi X i Y:
Całkując powyższe równania po czasie i uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy
rozwiązania w postaci:
Eliminując czas uzyskujemy równanie toru lotu cząstki w postaci:
W obszarze jednorodnego pola elektrycznego cząstka porusza się po paraboli. Możemy policzyć kąt o
jaki odchyli się tor cząstki przy przechodzeniu przez obszar pola (o długości ). Jest on zadany przez
pochodną:
Pole magnetyczne
Rozważmy teraz obszar stałego jednorodnego pola magnetycznego o indukcji
W chwili
i ładunku
w punkcie
w pole wlatuje z prędkością
cząstka o masie
.
Siła działająca na cząstkę naładowaną w polu magnetycznym (siła Lorentza) dana jest wyrażeniem:
Korzystając z definicji iloczynu wektorowego (zapis macierzowy) oraz wyrażając prędkość i siłę przez
pochodne położenia otrzymujemy
Wzdłuż osi Z siła nie działa, nie ma też prędkości początkowej, ciało pozostanie więc w spoczynku:
Dla pozostałych składowych otrzymujemy układ dwóch równań:
Całkując pierwsze równanie po czasie otrzymujemy
gdzie
jest stałą całkowania.
Wstawiając otrzymane wyrażenie na
Wprowadzając parametr
do drugiego równiania otrzymujemy:
możemy zapisać otrzymane równania ruchu w postaci:
Pierwsze z tych równań jest znanym nam już równaniem oscylatora harmonicznego. Jego
rozwiącaniem jest ruch harmoniczny. Drugie równanie wiąże ze sobą ruch w kierunku X i Y. Ogólne
rozwiązanie tego układu równań jest postaci:
gdzie
nazywamy częstością cyklotronową, a
- promieniem cyklotronowym:
Ruch w polu magnetycznym
Cząstka poruszać się będzie po okręgu
Uwzględniając podane powyżej warunki początkowe (
i
) możemy wyznaczyć
stałe całkowania
i . Otrzymujemy ostateczne rozwiązanie naszego problemu w postaci:
Ruch w polu magnetycznym jest jednostajny:
.
Promień cyklotronowy często wygodnie jest wyrazić przez pęd cząstki:
(wyrażenie to pozostaje słuszne także w przypadku relatywistycznym!)
Wiązka elektronów poruszających się po orbicie kołowej w
stałym polu magnetycznym.
W fizyce cząstek pole magnetyczne powszechnie wykorzystywane jest do pomiaru pędu cząstek.
Wszystkie długożyciowe cząstki naładowane mają ładunek
...
Tory cząstek w komorze pęcherzykowej w CERN
W ogólnym przypadku prędkość cząstki nie musi być prostopadła do wektora indukcji pola
magnetycznego . Jednak siła Lorenza jest zawsze prostopadła do
⇒ na kierunku równoległym do
pola znika!
W kierunku wektora pola ruch cząstki jest zawsze ruchem jednostajnym. Ruch ten jest niezależny od
ruchu po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do pola. W ogólnym przypadku torem ruchu jest więc
spirala:
Odchylenie toru
Rozważmy cząstkę przelatującą przez wąski obszar jednorodnego pola magnetycznego
Przyjmijmy przy tym, że promień krzywizny toru jest znacznie większy od obszaru pola w związku z
czym odchylenie cząstki od toru prostoliniowego jest małe. Cząstka przebędzie znikomą część łuku
okręgu (po którym poruszałaby się, gdyby obszar pola nie był ograniczony), co można zapisać jako
warunek
.
Możemy w tej sytuacji skorzystać z przybliżonych wzorów
Otrzymane wcześniej rozwiązania równań ruchu sprowadzają sie w tym przybliżeniu do:
Eliminując czas otrzymujemy wyrażenie na tor ruchu:
Kąt odchylenia cząstki przechodzącej obszar pola o szerokości
wynosi:
Spektroskop Thomsona
(1913)
Zasada działania spektroskopu
Thomsona
Rozważmy teraz cząstki, które przelatują przez obszar jednorodnych pól
i
Obszar, w którym na cząstkę działają siły elektrostatyczna i Lorentza ograniczony jest do
.
W odległości od obszaru pola znajduje się ekran, na którym rejetrowana jest pozycja dolatujących
cząstek. Przyjmujemy, że odległość od ekranu jest znacznie większa od szerokości obszaru pola:
.
Pozycja cząstki na ekranie, czyli dla
pola elektrycznego i magnetycznego):
(korzystając z uzyskanych poprzednio wyników dla
Z pierwszej zależności możemy wyznaczyć
i podstawić do drugiego równania. Otrzymamy wzór
pozycję śladu cząstek na ekranie:
Cząstki o różnych
układają się na parabolach odpowiadających ich
⇒ separacja izotopów o różnych masach - spektroskopia masowa
Selektor prędkości
Rozważmy ponownie cząstki, które przelatują przez obszar jednorodnych pól i , tym razem
jednak pola te są prostopadłe do siebie (i prostopadłe do początkowej prędkości cząstki):
Na cząstkę działają siły elektrostatyczna i Lorentza:
Obie siły działają wzdłuż tego samego kierunku, lecz mają przeciwne zwroty (zakładając
kierunki pól jak na rysunku). Możemy zauważyć, że dla prędkości
i
siły te równoważą się, wypadkowa sił
⇒ tor cząstki będzie prostoliniowy
Zastosowanie omówionej kombinacji pól i
oraz odpowiednich przesłon pozwala na selekcję
cząstek o ustalonej prędkości niezależnie od ich ładunku i masy .
Spektrometr Bainbridge'a
Cząstki o określonej prędkości możemy skierować w obszar jednorodnego pola magnetycznego:
Mierzymy promień toru cząstki w polu magnetycznym, czyli promień cyklotronowy
Dla cząstek o ustalonej prędkości
pozwala to na pomiar stosunku masy do ładunku cząstki
Cząstki o różnych masach zaczernią kliszę w różnych odległościach od szczeliny ⇒ możliwość
separacji
Ruch po okręgu
Zasada bezwładności
Zgodnie z pierwaszą zasadą dynamiki sformułowaną przez Newtona:
"Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego,
jeśli siły przyłożone nie zmuszajż ciała do zmiany tego stanu."
Aby więc ciało pozostawało w ruchu po okręgu konieczne jest działanie siły!
⇒siła dośrodkowa
Ruch po okręgu może być wynikiem działania różnego rodzaju sił. Mogą to być
siły zewnętrzne
siła Lorenza (pole magnetyczne)
siły sprężystości
siły reakcji więzów (kulka na nitce)
wypadkowej sił reakcji i sił zewnętrznych (regulator Watta, kulka w wirującym naczyniu...)
Siła dośrodkowa
Rozważmy dla ustalenia uwagi cząstkę naładowaną poruszającą się w jednorodnym polu
magnetycznym prostopadłym do kierunku prędkości
cyklotronowy) dany jest wzorem:
Siła Lorentza działająca na cząstke
. Promień toru cząstki (promień
dla cząstki poruszającej się prostopadle do lini pola (
) ma wartość:
Przekształcając wyrażenie na siłę możemy powiązać jej wartość z promieniem toru
Ostatecznie otrzymujemy
Jet to ogólne wyrażenie na wartość siły dośrodkowej w ruch jednostajnym po okręgu.
W poniższych dwóch przykładach siła dośrodkowa jest wypadkową siły reakcji i siły ciężkości.
Regulator Watta
Przyspieszenie dośrodkowe
Kulka w wirującym naczyniu
Uzyskane wyrażenie na siłę dośrodkową odpowiada (wspomnianemu już wcześniej) przyspieszeniu
dośrodkowemu. Dla ruchu jednostajnego po okręgu:
składowe przyspieszenia (metodą dwukrotnego różniczkowania) wynoszą
Tym samym spełniona jest zależność:
Wyrażenie na wartość przyspieszenia dośrodkowego w ruchu jednostajnym po okręgu można też
wyprowadzić wiążąc zmianę wektora prędkości z przesunięciem kątowym:
W zapisie wektorowym (przyjmyjąc
gdzie
)
jest położeniem w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pola.
Przykład
Rozważmy ponownie kulkę w wirującym naczyniu. Pozostaje ona w ruchu po okręgu pod wpływam
działania siły ciężkości oraz siły reakcji
Siła dośrodkowa musi być skierowana poziomo (prostopadle do osi obrotu), zatem ze składania sił na
kierunku pionowym mamy:
i możemy siłę dośrodkową powiązać z kątem wychylenia kulki:
Z równania ruchu:
Przyrównując obie zależności otrzymujemy zależność kąta wychylenia od prędkości wirowania
naczynia:
To proste wyrażenie ma głęboki sens fizyczny. Wiemy, że
. Dla małych prędkości wirowania
naczynia kulka będzie spoczywała na jego dnie, dokładnie na osi obrotu! Odchyli się dopiero dla
gdzie
odpowiada częstość drgań wahadła matematycznego o długości
Siła sprężysta
W wielu zagadnieniach spotykamy się z siłami będącymi wynikiem odkształcenia ciał. Wyróżniamy
wsród nich ciala sprężyste, dla których spełnione jest
Prawo Hooke'a
Prawo Hooke'a jest prawem empirycznym - opartym o wyniki doświadczeń. Opisuje ono zależność
siły sprężystej
gdzie parametr
od odkształcenia
ciała (patrz rysunek):
jest nazywany modułem Younga (wymiar [
])
Moduł Younga formalnie odpowiada naprężeniu, które powodowałoby dwukrotnemu wydłużenie
ciała. Jednak prawo Hooka słuszne tylko dla małych naprężeń, nie większych niż około
Dla przykładu, dla miedzi moduł Younga wynosi
zaś zakres stosowalności prawa Hooka ograniczony jest do naprężeń poniżej (granica
proporcjonalności)
Powyżej granicy proporcjonalności dochodzi do trwałego odkształcenia ciał. Przyłożenie dużej siły,
nawet na krótki czas może powodować, że ciało nie wróci (po ustaniu działania siły) do
początkowych rozmiarów lub kształtu. Potrzebne w tym celu przyłożenie przeciwnie skierowanej siły.
Rozmiary lub kształt ciała zaczynaja zależeć nie tylko od aktualnie przyłożonej siły, ale także od
"historii" ich działania (zjawisko histerezy).
Należy też pamiętać, że prawo Hooke'a odnosi się do sytuacji statycznej. Od momentu przyłożenia
siły do osiągnięcia odpowiedniego odkształcenie mija skończony czas - czas relaksacji, podobnie gdy
siła przestanie działać. Mogą to być czasy makroskopowe (rzędu minut).
Przy dalszym zwiąkszaniu naprężenia powyżej granicy proporcjonalności może nastąpić rozerwanie
materiału (tzw. granica wytrzymałości).
Tarcie
Tarcie kinetyczne
Tarcie kinetyczne jest to siła pojawiająca się między dwoma powierzchniami poruszającymi się
względem siebie, dociskanymi siłą N.
Ścisły opis sił tarcia jest bardzo skomplikowany. Jednak w większości zagadnień, w których mamy z
nimi do czynienia możemy stosować prawo empiryczne:
gdzie
jest tzw. współczynnikiem tarcia kinetycznego a
zgodnym z kierunkiem ruchu ciała.
jest wektorem jednostkowym
Ze związku tego wynika, że siła tarcia kinetycznego:
jest proporcjonalna do siły dociskającej (składowej prostopadłej do powierzchni)
nie zależy od powierzchni zetknięcia
nie zależy od prędkości
Należy jednak pamiętać, że jest to prawo empiryczne, a więc przybliżone !!!
Obraz mikroskopowy
Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie elektromagnetyczne cząstek stykających się ciał.
Powierzchnie ciał nigdy nie są idealnie równe: na poziomie mikroskopowym cząstki jednego ciała
"blokują drogę" cząstkom drugiego ciała ⇒ muszą zostać "odepchnięte". Wymaga to przyłożenia siły.
Zależność od nacisku wynika z faktu, że powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego) styku dwóch
ciał jest w normalnych warunkach wiele rzędów wielkości mniejsza niż ich powierzchnia
geometryczna. Ilustruje to poniższa tabela (przykładowo dla dwóch wypolerowanych płyt stalowych):
siła dociskająca ułamek powierzchni
1 N/cm
0.00001
2.5 N/cm
0.000025
50 N/cm
0.0005
250 N/cm
0.0025
Efektywna powierzchnia styku dwóch ciał jest w szerokim zakresie proporcjonalna do nacisku.
Oznacza to, że liczba oddziaływań na poziomie atomowym, które są źródłem siły tarcia, też jest
proporcjonalna do nacisku.
Odstępstwa od praw empirycznych
Na poziomie mikroskopowym tarcie prowadzi trwałych zmian w stykających się powierzchniach. W
szczególności może następować ich ścieranie.
Przy dużych siłach dociskających mogą się pojawić odstępstwa od zależnosci liniowej wynikające np.
ze zmiany struktury powierzchni (np. zniszczenie warstwy tlenków na powierzchni miedzi).
Odstępstwa mogą się też pojawić przy dużych prędkościach, np. związane ze zwiększaniem
temperatury ciał w miejscu styku.
Smarowanie
Tarcie zmniejszamy wprowadzając smar
między poruszające się powierzchnie.
Smar bardzo dobrze "zwilża" (pokrywa) powierzchnie ciał, tak że na poziomie mikroskopowym nie
stykają się. W ten sposób możemy praktycznie wyeliminować tarcie, pojawia się jednak nowa siła
oporu związana z lepkością...
Tarcie statyczne
Ciało na które działają siły zwnętrzne (np. siła ciężkości w przypadku klocka leżącego na równi
pochyłej) może pozostawać w równowadze dzięki działaniu tarcia statycznego.
Tarcie statyczne jest to siła działająca między dwoma powierzchniami nieruchomymi względem
siebie, dociskanymi siłą N.
Wartość siły tarcia statycznego jest każdorazowo określona przez warunek równowagi sił!
Od siły dociskającej oraz rodzaju powierzchni zależy jednak maksymalna siła tarcia statycznego
. Jest ona równa najmniejszej sile
jaką należy przyłożyć do ciała, aby ruszyć je z miejsca.
Prawo empiryczne mówi nam, że:
gdzie wektor jednostkowy
określa kierunek działania wypadkowej siły zewnętrznej
(równoległy do powierzchni styku).
Póki przyłożona siła
jest mała, tarcie statyczne utrzymuje ciało w spoczynku:
⇒ siła tarcia rośnie proporcjonalnie do przyłożonej siły.
Gdy przyłożona siła przekroczy wartość
statycznego pojawia się tarcie kinetyczne.
Tarcie kinetyczne naogół słabsze od spoczynkowego:
ciało zaczyna się poruszać i w miejsce tarcia
Przykładowe współczynniki dla wybranych materiałów:
materiały
stal o stal
0,15
0,03-0,09
stal o lód
0.027 0.014
drewno o drewno
0,65
0,2-0,4
guma o beton suchy 1,0
0,7
guma o beton mokry 0,7
0,5
Dlatego właśnie (tarcie gumy o beton) w przypadku hamowanie samochodu ważne jest aby koła nie
zaczęły się ślizgać:
poślizg ⇒
dobry kierowca lub ABS ⇒
Brak poślizgu może oznaczać "zysk"
40% na drodze hamowania...
Tarcie toczne
Tarcie toczne
Toczące się ciało odkształca zawsze powierzchnię po której się toczy (nawet jeśli są to tylko
odkształcenia na poziomie mikroskopowym).
Dlatego poza tarciem statycznym i kinetycznym (poślizgowym) wyróżniamy też tarcie toczne. W tym
przypadku empiryczna formuła na siłę tarcia zależy dodatkowo od promienia toczącego się ciała :
Współczynnik tarcia tocznego
jest zwykle bardzo mały. Przykładowo:
drewno + drewno ⇒ = 0,0005 m
stal hartowana + stal ⇒ = 0,00001 m
Współczynnik tarcia tocznego ma wymiar długości! Odpowiada formalnie promieniowi kulki przy
toczeniu której siła tarcia byłaby równa sile nacisku.
Lepkość
Jak już zostało wspomniane powyżej, jeśli pomiędzy dwoma ciałami znajduje się ciecz (np. smar) to
mamy do czynienia z siłami lepkości.
Z analogiczną sytuacją mamy do czynienia, gdy ciało poruszające się po powierzchni cieczy (np.
łódka na jeziorze). Drugim ciałem jest wtedy dno (ew. ścianki) zbiornika lub naczynia.
Warstwa cieczy bezpośrednio przylegająca do ciała porusza się wraz z nim. Z kolei warstwa cieczy
przylegająca do dna spoczywa. Zmiany prędkości poruszania się cieczy nie mogą następować
skokowo, pomiędzy dnem a poruszającym się ciałem kolejne warstwy cieczy poruszają się z różnymi
prędkościami ⇒ powoduje to powstanie "tarcia wewnętrznego" pomiędzy warstwami cieczy.
Formuła empiryczna:
gdzie:
- prędkość ciała
- powierzchnia styku z cieczą
- głębokość naczynia
- współczynnik lepkości
Pojęcie lepkości możemy stosować także w przypadku gazów (w przypadku cienkich warstw).
Typowe wartości współczynnika lepkości:
gaz/ciecz
wodór
0,000009
powietrze 0,000018
tlen
0,000021
eter
0,0002
woda
0,001
gliceryna
1,5
miód
500
Lepkość cieczy maleje z temperaturą, zaś lepkość gazów rośnie z temperaturą.
Ruch w ośrodku
Siły jakie działają na ciało poruszające się w ośrodku możemy ogólnie podzielić na:
siłę oporu czołowego
siłę nośną
Obie te siły zależą od kształtu (także orientacji) i rozmiarów ciała, jego prędkości względem ośrodka,
oraz parametrów tego ośrodka.
Opór czołowy
W przypadku oporu czołowego możemy posłużyć się analizą wymiarową. Siła oporu musi wyrażać się
wzorem (wzór Newtona):
gdzie:
- prędkość ciała
- powierzchnia poprzeczna
- gęstość cieczy
Oprócz tych trzech wielkości siła może zależeć jedynie od bezwymiarowego współczynnika .
Współczynnik ten zależy od kształtu ciała, jego orientacji w ośrodku (względem kierunku ) oraz
bezwymiarowej kombinacji innych parametrów, zwanej liczba Reynoldsa:
gdzie: - wymiar poprzeczny ciała
Dla ciała kulistego i
(G.Stokes 1851):
(granica małych prędkości) istnieje ścisłe rozwiązanie problemu
Dla odpowiednio małych prędkości (także w przypadku innych ciał) siła oporu czołowego będąca
wynikiem działania sił lepkości jest proporcjonalna do prędkości ciała .
Z kolei w obszarze dużych wartości
,
(w przypadku kuli począwszy od
uzyskane
wyniki doświadczalne wskazują na stałą wartość parametr ,
. Oznacza to, że w granicy
dużych prędkości siła oporu czołowego rośnie z kwadratem prędkości
Prędkość graniczna
Rozważmy kulę spadającej swobodnie w cieczy. Działa na nią siła ciężkości, siła wyporu oraz siła
oporu czołowego. Równanie ruchu kuli, w granicy małych prędkości (
) można zapisać jako:
Rozwiązanie jest postaci (ruch w pionie):
gdzie:
- prędkość graniczna
Zależnie od tego, czy na początku prędkość kuli była mniejsza (np. spadek swobodny) czy większa
(np. strzał z karabinu) od prędkości granicznej, prędkość ciała będzie rosła lub malała dążąc
(formalnie dla
) do wartości
.
Dla kuli spadającej w cieczy (w granicy małych prędkości
)
Prawo Bernouliego
Lepkość nie jest jedynym źródłem sił działających na ciało w ośrodku.
Prawo Bernouliego wiąże wysokość
ciśnieniem cieczy :
(w polu grawitacyjnym Ziemi) i prędkość
przepływu cieczy z
Ciśnienie (nacisk na jednostkę powierzchni) jakie ciecz wywiera na ciało jest mniejsze w obszarze
wiekszych prędkości opływania. Różnica ciśnień działających na różne powierzchnie ciała (np.
skrzydła samolotu) powoduje powstanie siły nośnej, prostopadłej do kierunku przepływu. Kierunek
działania siły jest taki jakby ciało było "wciągane" w obszar wiekszych prędkości.
Ale można na to spojrzeć też z punktu widzenia praw Newtona! Obecność "skrzydła" wymusza
zmianę kierunku ruch cząsteczek ośrodka, pcha je "w dół". Z III zasady dynamiki ośrodek musi
działać na skrzydło siłą skierowaną ku górze. Siła nośna jest siłą reakcji!
Zjawisko Magnusa
Obserwujemy je w przypadku walca wirującego szybko w przepływającej poprzecznie do osi obrotu
cieczy lub gazie.
Rozważny ruch i ciśnienie ośrodka powyżej i poniżej walca.
poniżej walca: zgodne kierunki prędkości ośrodka i walca
⇒ prędkość przepływu wzrasta
⇒ przyspieszenie dośrodkowe rośnie
⇒ ciśnienie maleje
powyżej walca: przeciwne kierunki prędkości
⇒ prędkość przepływu maleje
⇒ przyspieszenie dośrodkowe maleje
⇒ ciśnienie wzrasta
W wyniku różnicy prędkości opływania walca przez ośrodek powstaje wypadkowa siła nośna