docWykład 07 - Zginanie - wykresy sił wewnętrznych
download 
Reklamacja Transkrypt
Wykład 07 - Zginanie - wykresy sił wewnętrznych
Podstawy wytrzymałości materiałów IMiR - Wykład Nr 7 Zginanie prętów prostych – siły wewnętrzne siły wewnętrzne w belkach, twierdzenie Swedlera – Żurawskiego, wyznaczanie wykresów sił poprzecznych i momentów zginających. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz 7.1. Zginanie – przypadki „z życia” inżynierów – i nie tylko… w ie T www.met-tech.com http://www.telegraph.co.uk © n h c a M . z ic Galileo Galilei (1564–1642) Dialogues Concerning Two New Sciences, 1638 © T. Machniewicz WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 2 7.2. Zginanie – równowaga sił wewnętrznych i naprężeń z ic 𝑷𝟏 𝑵= A 𝑴𝒊 𝑨 n h c a M . O≡C 𝒒𝒊 y 𝑴𝒈𝒙 𝑻𝒙 dA 𝝉𝒛𝒚 𝑷𝒏 © 𝑵 𝑴𝐒 𝝈𝒛 x © T. Machniewicz 𝑻𝒙 = 𝑻𝒚 T y z≡ n 𝑻𝒚 = 𝑴𝒙 = w ie 𝝈𝒛 𝒅𝑨 𝑨 𝑨 𝑨 𝝉𝒛𝒙 𝒅𝑨 𝑴𝑺 = 𝑨 𝑨 - ścinanie 𝝉𝒛𝒚 𝒅𝑨 𝝈𝒛 𝒚 𝒅𝑨 𝑴𝒈𝒚 𝑴𝒚 = - rozciąganie/ściskanie - zginanie 𝝈𝒛 𝒙 𝒅𝑨 𝝉𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉𝒛𝒙 𝒚 𝒅𝑨 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 - skręcanie 3 7.3. Siły wewnętrzne w belkach z ic Belka – element konstrukcji o kształcie pręta, tj. o długości znacznie większej od wymiarów poprzecznych, poddany w dominującym stopniu zginaniu. 𝑷𝒊 𝑷𝟏 n h c a M . 𝑴𝒊 𝑹𝒊 𝑷𝟏 𝑷𝒊 𝑴𝒊 𝑹𝒊 𝑷𝟏 𝑴𝒊 𝑹𝒊 © T. Machniewicz © T 𝑷𝒊 𝑾 C 𝑻 C 𝑵 𝑴𝒈 𝑷𝒋 𝑷𝒏 𝑹𝒋 𝒒 𝑷𝒏 𝑴 C 𝑾 𝑴 w ie 𝒒 𝑷𝒋 𝑹𝒋 𝑷𝒋 𝒒 𝑷𝒏 𝑴𝒈 C 𝑵 𝑻 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 𝑹𝒋 4 7.3. Siły wewnętrzne w belkach 𝑷𝟏 𝑷𝒊 𝑴𝒊 C 𝑵 𝑴𝒈 𝑹𝒊 z ic 𝒒 𝑷𝒋 𝑻 𝑴𝒈 C 𝑵 𝑻 n h c a M . w ie 𝑷𝒏 𝑹𝒋 Siła poprzeczna (siła tnąca) w danym przekroju belki, jest algebraiczną sumą wszystkich sił poprzecznych (prostopadłych do osi belki) działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju. T Umowa dotycząca znaków sił poprzecznych: 𝑻 © T. Machniewicz © 𝑻>𝟎 𝑻 𝑻<𝟎 𝑻 𝑻 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 5 7.3. Siły wewnętrzne w belkach 𝑷𝟏 𝑷𝒊 𝑴𝒊 C 𝑵 𝑴𝒈 𝑹𝒊 z ic 𝑷𝒋 𝑻 𝑴𝒈 C 𝑵 𝑻 n h c a M . 𝒒 w ie 𝑷𝒏 𝑹𝒋 Moment zginający (Mg) w dowolnym przekroju belki poddanej działaniu płaskiego dowolnego układu sił jest algebraiczną sumą momentów pochodzących od wszystkich obciążeń działających po jednej ze stron tego przekroju, obliczanych względem jego środka ciężkości. Umowa dotycząca znaków momentów zginających: © Mg>0 Mg © T. Machniewicz T Mg Mg<0 Mg WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 Mg 6 7.4. Więzy belek z ic Charakterystyczne rodzaje więzów belek i związane z nimi siły reakcji. 𝑹 a) podpora przegubowa przesuwna reakcja prostopadła do płaszczyzny przesuwu n h c a M . b) podpora przegubowa stała siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji) c) utwierdzenie (wspornik) siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji) oraz moment utwierdzenia © T c) utwierdzenie przesuwne moment utwierdzenia oraz siła reakcji prostopadła do płaszczyzny przesuwu © T. Machniewicz 𝑷 w ie 𝑹 𝑹𝒚 𝑹 𝑹𝒙 𝑹𝒚 M 𝑹𝒙 𝑴𝑼 𝑴𝑼 𝑹 𝑷 M WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 7 7.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego 𝑹𝒊 z n h c a M . y 𝑻 𝑴𝒈 z 𝑹𝒊 𝑻 dz y z+dz 𝑹𝒊 y © T 𝑴𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻 𝒒(𝒛) z 𝑹𝒋 𝒒 = 𝒒(𝒛) 𝑹𝒋 𝑻 𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 z w ie 𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 z O 𝑴𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻 y © T. Machniewicz z ic 𝒒 = 𝒒(𝒛) dz WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 8 7.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego 𝑹𝒊 z n h c a M . y 𝒏 𝒒(𝒛) 𝑴𝒈 𝑻 𝒊=𝟏 𝑭𝒊𝒚 = 𝟎 𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 O y © T. Machniewicz dz © T 𝑻 + 𝒅𝑻 z ic 𝒒 = 𝒒(𝒛) z w ie 𝑹𝒋 z −𝑻 + 𝒒(𝒛)𝒅𝒛 + 𝑻 + 𝒅𝑻 = 𝟎 𝒒 𝒛 =− 𝒅𝑻 𝒅𝒛 Wniosek: W zakresie długości belki gdzie obciążona jest ona stałym co do wartości obciążeniem ciągłym ( 𝒒 𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 ≠ 𝟎 ) siła tnąca opisana jest równaniem pierwszego stopnia (zmienia się liniowo) WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 9 7.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego 𝑹𝒊 z 𝒏 𝑴𝒊𝑶 = 𝟎 n h c a M . y z ic 𝒒 = 𝒒(𝒛) 𝒊=𝟏 w ie 𝑹𝒋 z (𝒅𝒛)𝟐 −𝑴𝒈 − 𝒒 𝒛 − 𝑻 + 𝒅𝑻 𝒅𝒛 + (𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 ) = 𝟎 𝟐 𝒒(𝒛) 𝑴𝒈 𝑻 y (𝒅𝒛)𝟐 −𝑴𝒈 − 𝒒 𝒛 − 𝑻𝒅𝒛 + 𝒅𝑻𝒅𝒛 + 𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 = 𝟎 𝟐 T 𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 O © 𝑻 + 𝒅𝑻 dz © T. Machniewicz z −𝑻𝒅𝒛 + 𝒅𝑴𝒈 = 𝟎 𝒅𝑴𝒈 𝑻 𝒛 = 𝒅𝒛 Wnioski: Pochodna funkcji momentu zginającego po współrzędnej wzdłuż osi belki jest równa sile poprzecznej. Ekstremum momentu zginającego wystąpi w przekroju gdzie siła poprzeczna jest równa zero. WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 10 7.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego 𝑹𝒊 z n h c a M . y 𝒒(𝒛) 𝑻 y 𝒅𝑻 𝒒 𝒛 =− 𝒅𝒛 𝑴𝒈 + 𝒅𝑴𝒈 O w ie 𝑹𝒋 z Tw . Schwedlera – Żurawskiego 𝑴𝒈 z ic 𝒒 = 𝒒(𝒛) T 𝑻 + 𝒅𝑻 dz © T. Machniewicz © z 𝒅𝑴𝒈 𝑻 𝒛 = 𝒅𝒛 𝒅 𝟐 𝑴𝒈 𝒒 𝒛 =− 𝒅𝒛𝟐 Wniosek: W zakresie długości belki gdzie obciążona jest ona stałym co do wartości obciążeniem ciągłym (𝒒 𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 ≠ 𝟎) moment zginający jest opisany równaniem drugiego stopnia (zmienia się według paraboli). WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 11 7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.1 Dane: a, b, P 𝑷 𝑹A B y z z a T n h c a M . 𝑷𝒂/(𝒂 + 𝒃) 𝑷𝒂𝒃 𝒂+𝒃 Spostrzeżenia: 𝑻 © T 𝑹B z M <0 M >0 𝑻 𝑴𝒈(𝒛) 𝑷𝒂 𝑹𝐁 = 𝒂+𝒃 −𝑹𝐀 𝐚 + 𝐛 + 𝑷𝒃 = 𝟎 𝟎≤𝒛≤𝒂 z 𝑻>𝟎 1) W miejscu 𝑻g poprzecznej 𝑷 działania skupionejg siły 𝑹A występuje skokowa zmiana wartości siły tnącej. z ic −𝑷𝒂 + 𝑹𝐁(𝐚 + 𝐛) = 𝟎 w ie 𝑴𝒊𝑩 = 𝟎 𝒊=𝟏 𝑷 Mg 𝑴𝒊𝑨 = 𝟎 𝒊=𝟏 z 𝒏 b 𝑷𝒃/(𝒂 + 𝒃) 𝑹A 𝒏 𝑹B A Szukane: Wykresy T(z), Mg(z) 𝑷𝒃 𝑹𝐀 = 𝒂+𝒃 𝑷𝒃 ∙𝒛 𝑴𝒈(𝒛) = 𝑹𝑨 ∙ 𝒛 = 𝒂+𝒃 𝑷𝒂𝒃 𝑴 = 𝑴𝒈(𝒛=𝟎) = 𝟎; 𝒈(𝒛=𝒂) 𝒂+𝒃 𝒂≤ 𝒛≤𝒂+𝒃 𝑷𝒃 = 𝑹𝑨 ∙ 𝒛 − 𝑷(𝒛 − 𝒂) = ∙ 𝒛 − 𝑷(𝒛 − 𝒂) 𝒂+𝒃 𝑴𝒈(𝒛=𝒂) 𝑷𝒂𝒃 = 𝒂+𝒃 𝑴𝒈(𝒛=𝒂+𝒃) = 𝟎 2) Na końcach belki, o ile nie działa tam moment zz 𝑻 < 𝟎 jest równy zeru. skupiony, moment zginający 𝑻 © T. Machniewicz WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 12 7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.2 Dane: l, q 𝒒 𝑹A A z y 𝒏 𝑹B B Q(z)=qz z z0=l/2 −𝒒𝒍/𝟐 𝑹B z z Spostrzeżenia: 𝑻 © T Mg>0 z 𝑻> 3) W zakresie działania niezerowego obciążenia 𝟎 𝑻 ciągłego siła tnąca zmienia się liniowo, zaś M <0 moment zginający według paraboli. 𝑻 g 𝒒 4) W miejscu gdzie siła𝑻poprzeczna osiąga wartość <𝟎 zero występuje 𝑻 ekstremum momentu zginającego. z © T. Machniewicz z ic 𝒍 + 𝑹𝐁𝒍 = 𝟎 𝟐 𝒍 𝒒𝒍 ∙ − 𝑹𝐀𝒍 = 𝟎 𝟐 −𝒒𝒍 ∙ w ie 𝒒𝒍 𝑹𝐀 = 𝑹𝐁 = 𝟐 𝟎≤𝒛≤𝒍 𝒒𝒍 𝑻(𝒛) = 𝑹𝑨 − 𝒒𝒛 = − 𝒒𝒛 𝟐 𝒒𝒍 𝒒𝒍 𝑻(𝒛=𝟎) = 𝑻(𝒛=𝒍) = − 𝟐 𝟐 𝒒𝒍 𝒍 𝑻(𝒛=𝒛𝟎) = − 𝒒𝒛𝟎 = 𝟎 𝒛𝟎 = 𝟐 𝟐 𝒛 𝒒𝒍 𝒛𝟐 𝑴𝒈(𝒛) = 𝑹𝑨 ∙ 𝒛 −𝒒 ∙ 𝒛 ∙ = 𝒛−𝒒∙ 𝟐 𝟐 𝟐 𝑴𝒈(𝒛=𝒍) = 𝟎 𝑴𝒈(𝒛=𝟎) = 𝟎 n h c a M . 𝑹A 𝒒𝒍𝟐 /𝟖 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 T 𝒒𝒍/𝟐 𝑹A 𝑴𝒊𝑨 = 𝟎 𝑴𝒊𝑩 = 𝟎 l Mg Szukane: Wykresy T(z), Mg(z) 𝑴𝒈(𝒛=𝒛𝟎=𝒍/𝟐) 𝒒𝒍 𝒍 𝒍𝟐 𝒒𝒍𝟐 = ∙ −𝒒∙ = 𝟐 𝟐 𝟖 𝟖 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 13 7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.3 Dane: a, b, M 𝒏 𝑴 𝑹A B A z z a b 𝒏 𝒊=𝟏 𝑹B 𝑹A 𝑴 𝑴𝒂 𝒂+𝒃 Mg 𝑻 Spostrzeżenie: 𝑴 © T Mg<0 𝑻 > 𝟎 Mg>0 𝑻 𝑹 5) WA miejscu działania skupionego momentu 𝑻 momentu występuje skokowa zmiana wartości zz zginającego. 𝑻<𝟎 𝑻 © T. Machniewicz z 𝑴𝒈(𝒛) 𝑴 𝑹𝐁 = 𝒂+𝒃 𝑴 − 𝑹𝐀(𝐚 + 𝐛) = 𝟎 𝟎≤𝒛<𝒂 z 𝑴𝒃 − 𝒂+𝒃 z ic 𝑴 − 𝑹𝐁(𝐚 + 𝐛) = 𝟎 w ie 𝑴𝒊𝑩 = 𝟎 n h c a M . 𝑴/(𝒂 + 𝒃) T 𝑴𝒊𝑨 = 𝟎 𝒊=𝟏 𝑹B z y Szukane: Wykresy T(z), Mg(z) 𝑹𝐀 = 𝑴 𝒂+𝒃 𝑴 ∙𝒛 𝑴𝒈(𝒛) = 𝑹𝑨 ∙ 𝒛 = 𝒂+𝒃 𝑴𝒂 𝑴 = 𝑴𝒈(𝒛=𝟎) = 𝟎; 𝒈(𝒛=𝒂) 𝒂+𝒃 𝒂≤ 𝒛≤𝒂+𝒃 𝑴 𝑴𝒈(𝒛) = ∙𝒛−𝑴 = 𝑹𝑨 ∙ 𝒛 − 𝑴 𝒂+𝒃 𝑴𝒈(𝒛=𝒂) 𝑴𝒂 𝒂 𝑴𝒃 = −𝑴=𝑴 −𝟏 =− 𝒂+𝒃 𝒂+𝒃 𝒂+𝒃 𝑴𝒈(𝒛=𝒂+𝒃) = 𝟎 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 14 7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.4 𝑴𝑼 𝑴 = 𝒒𝒂𝟐 𝒒 𝑹A A z Dane: a, q 𝑷 = 𝟒𝒒𝒂 z Q(z)=qz z 2a a 𝑹A 𝑴U 𝒒𝒂𝟐 𝑻 © Mg>0 𝑻 © T. Machniewicz y 𝑻(𝒛=𝟎) = 𝟎 𝑴𝒈(𝒛) w ie 𝑻(𝒛=𝟐𝒂) = 𝟐𝒒𝒂 𝟐 𝒛 𝒛 = 𝑴 − 𝒒𝒛 ∙ = 𝒒𝒂𝟐 − 𝒒 𝟐 𝟐 n h c a M . 𝑴𝒈(𝒛=𝟐𝒂) = −𝒒𝒂𝟐 𝟐𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝟑𝒂 −𝒒𝒂𝟐 z 𝑻(𝒛) = 𝒒𝒛 𝑴𝒈(𝒛=𝟎) = 𝒒𝒂𝟐 −𝟐𝒒𝒂 z ic 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐𝒂 B T 𝟐𝒒𝒂 𝑷 z Szukane: Wykresy T(z), Mg(z) T 𝑻>𝟎 𝑻<𝟎 𝑻 Mg<0𝑻 𝑻(𝒛) = 𝒒 ∙ 𝟐𝒂 − 𝑷 = 𝟐𝒒𝒂 − 𝟒𝒒𝒂 = −𝟐𝒒𝒂 Mg 𝑴 𝒒𝒂𝟐 𝑴𝒈(𝒛) = 𝑴 −𝒒 ∙ 𝟐𝒂 ∙ (𝒛 − 𝒂) +𝑷(𝒛 − 𝟐𝒂) 𝑴𝒈(𝒛) = 𝒒𝒂𝟐 + 𝟐𝒒𝒂𝟐 − 𝟐𝒒𝒂𝒛 + 𝟒𝒒𝒂𝒛 − 𝟖𝒒𝒂𝟐 𝑴𝒈(𝒛) = 𝟐𝒒𝒂𝒛 − 𝟓𝒒𝒂𝟐 𝑴𝒈(𝒛=𝟐𝒂) = −𝒒𝒂𝟐 𝑴𝒈(𝒛=𝟑𝒂) = 𝒒𝒂𝟐 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 15 7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.5 a Dane: a, q 𝑴 = 𝒒𝒂𝟐 𝑴𝒊𝑩 = 𝟎 a 𝒊=𝟏 y 𝒒 n h c a M . 𝒏 x 𝒊=𝟏 A B 𝑹A © T. Machniewicz 𝑭𝒊𝒚 = 𝟎 𝑴 = 𝒒𝒂𝟐 𝒂 −𝒒𝒂 − 𝒒𝒂𝟐 + 𝑹𝐁𝐲𝒂 = 𝟎 𝟐 𝟑 𝑹𝑩𝒚 = 𝒒𝒂 𝟐 w ie −𝑹𝐀 + 𝑹𝐁𝐲𝒂 = 𝟎 𝑹𝑨 = 𝑹Bx 𝑹By © z ic 1. Wyznaczanie reakcji: 𝒏 D C Szukane: Wykresy T(z), Mg(z) T 𝒏 𝑭𝒊𝒙 = 𝟎 𝒊=𝟏 𝟑 𝒒𝒂 𝟐 𝒒𝒂 − 𝑹𝐁𝐱 = 𝟎 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 𝑹𝑩𝒙 = 𝒒𝒂 16 7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.5 a Szukane: Wykresy T(z), Mg(z) 𝑴 = 𝒒𝒂𝟐 D 2 𝑹𝑨 = 𝑹𝑩𝒙 = 𝒒𝒂 𝑻(𝒛𝟏) = −𝒒𝒛𝟏 z1 z2 WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 𝑻 𝑻 𝑻<𝟎 𝑻<𝟎 𝑻 𝑻 𝑻 𝑻 𝑻>𝟎 𝑻>𝟎 𝑻 𝑻 𝑻 T(z) © T. Machniewicz 𝑻(𝒛𝟑=𝟎) = 𝑻(𝒛𝟑=𝒂) = 𝒒𝒂 𝑻(𝒛𝟑) = 𝑹𝑩𝒙 = 𝒒𝒂 𝑻 𝑻(𝒛𝟏=𝒂) = −𝒒𝒂 z3 © T 𝟎 ≤ 𝒛𝟑 ≤ 𝒂 𝑻 𝑻 𝑹Bx 𝑹By 𝒒𝒂 𝟑 − 𝒒𝒂 𝟐 𝟑 𝒒𝒂 𝟐 𝟑 𝑻(𝒛𝟐=𝟎) = 𝑻(𝒛𝟐=𝒂) = − 𝒒𝒂 𝟐 𝑻(𝒛𝟐) = −𝑹𝑨 = − 𝟐 𝒒𝒂 𝑻>𝟎 z1 z3 𝑹A −𝒒𝒂 𝟑 𝑻(𝒛𝟏=𝟎) = 𝟎 𝑻<𝟎 n h c a M . 𝟎 ≤ 𝒛𝟐 ≤ 𝒂 B w ie 𝑹𝑩𝒚 = 2. Wyznaczanie sił poprzecznych: 𝒒 A z ic 𝟑 𝒒𝒂 𝟐 𝟎 ≤ 𝒛𝟏 ≤ 𝒂 qz1 a Cz Dane: a, q 17 7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.5 a 𝑴 = 𝒒𝒂𝟐 2 𝒒 z1 B 𝑹A 𝑹𝑨 = 𝑹Bx 𝑹By © 𝟑 − 𝒒𝒂 𝟐 z ic 𝑹𝑩𝒙 = 𝒒𝒂 𝑹𝑩𝒚 = T 𝟑 𝒒𝒂 𝟐 w ie 𝒛𝟐𝟏 𝒛𝟏 𝟎 ≤ 𝒛𝟏 ≤ 𝒂: 𝑴𝒈(𝒛𝟏) = −𝒒𝒛𝟏 = −𝒒 𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝑴𝒈(𝒛𝟏=𝒂) = −𝒒 𝑴𝒈(𝒛𝟏=𝟎) = 𝟎 𝟐 𝒂𝟐 𝒂𝟐 𝟑 𝟎 ≤ 𝒛𝟐 ≤ 𝒂: 𝑴𝒈(𝒛𝟐) = −𝒒 − 𝑹𝑨𝒛𝟐 = −𝒒 − 𝒒𝒂𝒛𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒂 𝑴𝒈(𝒛𝟐=𝒂) = −𝟐𝒒𝒂𝟐 𝑴𝒈(𝒛𝟐=𝟎) = −𝒒 𝟐 𝟎 ≤ 𝒛𝟑 ≤ 𝒂: 𝑴𝒈(𝒛𝟑) = −𝑹𝑩𝒙 𝒛𝟑 = −𝒒𝒂𝒛𝟑 𝒒𝒂𝟐 𝒒𝒂 − 𝟐 −𝒒𝒂 𝟑 𝒒𝒂 𝟐 n h c a M . z3 A Szukane: Wykresy T(z), Mg(z) 3. Wyznaczanie momentów zginających: D qz1 a Cz Dane: a, q −𝟐𝒒𝒂𝟐 −𝒒𝒂𝟐 𝑴𝒈(𝒛𝟑=𝟎) = 𝟎 𝑴𝒈(𝒛𝟑=𝒂) = −𝒒𝒂𝟐 𝑴 Mg(z) T(z) © T. Machniewicz WIMiR, Podstawy wytrzymałości materiałów, Wykład nr 7 18
