Rachunek zdań - Maciej Bendkowski
Transkrypt
Rachunek zdań - Maciej Bendkowski
MFI Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1 Semestr zimowy 2016/2017 Kraków 6 października 2016 Rachunek zdań Zadanie 1. Oceń, który z poniższych napisów jest formułą logiczną: (i) p → p, (ii) p →→ p, (iii) ¬¬¬p, (iv) ¬p → ¬q, (v) formuła, (vi) p ∨ q → r, (vii) ∨∧. Zadanie 2. Określ wartościowanie poniższych formuł znając wartościowanie zmiennych zdaniowych: v(p) = 0, v(q) = 1, v(r) = 0: (i) q → p, (ii) r → (q → p), (iii) ¬p → r, (iv) p → (q → r), (v) p → (p → q) (vi) ¬¬q → p, (vii) (¬q → q) → (q → ¬q). Zadanie 3. Sprawdź, które z poniższych formuł są tautologiami: (i) p → (q → p ∨ q), (ii) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)), (iii) p ↔ ¬¬p, (iv) ¬(p ∧ ¬p), (v) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q), (vi) p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), (vii) ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q, (viii) (p → q) ↔ (¬q → ¬p), (ix) p → ((¬q ∧ q) → r), (x) ((p → q) → p) → p. Zadanie 4. Sprawdź, na ile sposobów można wstawić nawiasy w poniższych ciągach, aby otrzymać formuły: Strona 1/4 Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1 Semestr zimowy 2016/2017 MFI Kraków 6 października 2016 (i) p → ¬q ∨ r ∧ p, (ii) p → q → r → ¬p → ¬q. Zadanie 5. Zdefiniujmy długość formuły jako liczbę wystąpień spójników w tej formule. Ile jest różnych formuł nad jedną zmienną p o długościach 0, 1, 2 i 3 zbudowanych nad: (i) {→}, (ii) {→, ¬}, (iii) {→, ↔, ∨, ∧, ¬}, (iv) k spójnikami unarnymi i ` spójnikami binarnymi. Zadanie 6. Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji ani dyzjunkcji (NAND). Zadanie 7. (Shannon’s expansion formula) Niech f : Bn+1 → B będzie funkcją zdaniową. Wykaż, że f (x, y1 , . . . , yn ) = (x ∧ f (1, y1 , . . . , yn )) ∨ (¬x ∧ f (0, y1 , . . . , yn )). Zadanie 8. Wykaż, że następujące zbiory tworzą systemy funkcjonalnie pełne: (i) {¬, ∨, ∧}, (ii) {¬, ∨}, (iii) {¬, ∧}, (iv) {NAND}, (v) {NOR}. Zadanie 9. Zdefiniujmy funkcje boolowskie f : {0, 1}3 → {0, 1}, g : {0, 1}2 → {0, 1}, h : {0, 1}2 → {0, 1} w następujący sposób: f (x, y, z) = 1 − xyz, g(x, y) = 1 − (1 − y)x, h(x, y) = (1 − x)y. Sprawdź, czy zbiory {f } i {g, h} są funkcjonalnie pełne. Zadanie 10. W pewnej kampanii wyborczej Ewa, Ryszard, Jarosław i Paweł oceniają wzajemnie swoją prawdomówność: Ewa: Jarosław zawsze kłamie. Jarosław: Paweł czasem mówi prawdę. Paweł: Ryszard czasem kłamie. Ryszard: Ewa zawsze mówi prawdę. Ile osób powiedziało prawdę? Strona 2/4 MFI Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1 Semestr zimowy 2016/2017 Kraków 6 października 2016 Zadanie 11. Pokaż, że jeśli Ψ jest tautologią, to jest nią również (i) Φ1 → (Φ2 → (. . . → (Φn → Ψ) . . .)), (ii) ¬Ψ → (Φ1 → (Φ2 → . . . → (Φn−1 → Φn ) . . .)). Zadanie 12. Dla jakich n ∈ N+ formuła (. . . ((p → p) → p) → . . .) → p | {z n wystąpień zmiennej p } jest tautologią? Zadanie 13. Zbuduj formułę z trzema zmiennymi, która: (i) przyjmuje taką wartość jak większość jej zmiennych. (ii) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie dwie jej zmienne przyjmują wartość 0. Zadanie 14. Dobierz formułę ϕ tak, aby poniższa formuła była tautologią: (i) ((ϕ ∧ q) → ¬p) → ((p → ¬q) → ϕ), (ii) ((r → (¬q ∧ p)) → ϕ) → (ϕ ∧ (p → q) ∧ r). Zadanie 15. Dla poniższych formuł podaj liczbę spełniających je wartościowań: (i) ((p ∧ q) → r) → (p → ((p → q) → r)), (ii) ((p ∧ q) → r) → (p → ((p → r) → q)). Zadanie 16. Pokaż, że formuła zbudowana ze zmiennych zdaniowych za pomocą ↔ jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej zmienna występuje w niej parzystą liczbę razy. Czy jest to również prawdą dla →? Zadanie 17. Podaj wszystkie spójniki binarne ◦ takie, że formuła (p ◦ p) ◦ (q ◦ q) jest tautologią. Zadanie 18. Wyznacz wszystkie binarne spójniki logiczne, które można zdefiniować za pomocą samej implikacji. Zadanie 19. Zdefiniujmy p0 := p oraz p1 := ¬p. Niech εi ∈ {0, 1} dla i = 1, . . . , n. Dla jakich ciągów (ε1 , . . . , εn ) formuła (. . . ((pε1 → pε2 ) → pε3 ) → . . .) → pεn jest tautologią? Zadanie 20. Niech S będzie pewnym nieskończonym zbiorem formuł zbudowanych nad zmiennymi p1 , . . . , pn . Wykaż, że istnieje nieskończony podzbiór X zbioru S taki, że wszystkie formuły X są parami równoważne. Zadanie 21. Niech dana będzie funkcja boolowska p : {0, 1}3 → {0, 1} zadana wzorem p(x, y, z) = (x + y + z) mod 2. Czy zbiór funkcji dających się wydefiniować przy użyciu funkcji p jest równy zbiorowi funkcji spełniających równocześnie f (0, . . . , 0) = 0 i f (1, . . . , 1) = 1? Strona 3/4 MFI Metody Formalne Informatyki: Zestaw 1 Semestr zimowy 2016/2017 Kraków 6 października 2016 Zadania dodatkowe Zadanie 22. Spójnik binarny ◦ : {0, 1}2 → {0, 1} nazywamy przemiennym, gdy dla dowolnych zmiennych p i q formuły p ◦ q oraz q ◦ p są równoważne. Ile jest przemiennych spójników binarnych? Zadanie 23. Znajdź najkrótsze formuły w koniunkcyjnej postaci normalnej równoważne formułom: (i) p ∨ ((q ∧ p) → (q ↔ ¬p)), (ii) (p → (q → r)) → ((p → ¬r) → (p → ¬q)). Zadanie 24. Ile jest spójników binarnych ◦ takich, że formuła (p◦q)◦(p◦q) jest tautologią? Zadanie 25. Rozważmy formuły postaci p → (p → (p → . . . (p → p) . . .)) składające się z dokładnie 2016 implikacji. Niech ϕn będzie formułą z n-tą strzałką obróconą (zamiast n-tej → występuje ←). Na przykład, ϕ2 = p → (p ← (p → . . . (p → p) . . .)). Dla jakich liczb naturalnych n formuła ϕn nie jest tautologią? Zadanie 26. Zdefiniujmy następujące spójniki ternarne: 000 001 010 011 100 101 110 111 f 1 1 1 0 1 0 0 0 g 0 1 1 0 0 1 0 0 h 1 0 1 0 1 1 0 0 Czy za pomocą któregoś z nich można zdefiniować wszystkie spójniki logiczne? Zadanie 27. Funkcję boolowską f : {0, 1}n → {0, 1} nazywamy samodualną, gdy dla dowolnego ciągu (x1 , . . . , xn ) ∈ {0, 1}n zachodzi f (x1 , . . . , xn ) = 1 − f (1 − x1 , . . . , 1 − xn ). Pokaż, że dowolne złożenie funkcji samodualnych jest funkcją samodualną. Zadanie 28. Dana jest funkcja ◦ : {0, 1}n → {0, 1} dla pewnego n ∈ N+ . Pokaż, że jeżeli zbiór {◦} jest funkcjonalnie pełny, to zachodzą wszystkie trzy warunki: (i) ◦(0, . . . , 0) = 1, (ii) ◦(1, . . . , 1) = 0, (iii) istnieje ciąg (x1 , . . . , xn ) ∈ {0, 1}n taki, że ◦(x1 , . . . , xn ) = ◦(1 − x1 , . . . , 1 − xn ). Strona 4/4