Lab1. Równania różniczkowe rzędu 1 1. Zapoznać się z procedurą
Transkrypt
Lab1. Równania różniczkowe rzędu 1 1. Zapoznać się z procedurą
Lab1. Równania różniczkowe rzędu 1 1. Zapoznać się z procedurą ode45: ode45(‘nazwa_funkcji’, [t0 tk], [x0]) Przykładowa funkcja rozwiązująca rr: y’+y^2=t Skrypt fun.m function yprim=fun(t,y) yprim=t-y*y; W oknie Matlaba: tp=[0 2]; x0=1; [t,y]=ode45(‘fun’, tp, x0); plot(t,y); 2. Wykorzystując procedurę ode45 przeanalizować równania nieograniczonego wzrostu x’(t)= x(t), x(0)=x0, Rozwiązanie: x(t)=x0exp(t). - dla >0 model wzrostu populacji - dla <0 model rozpadu radioaktywnego - dla =0 model systemu bez zmian Sprawdzić zachowanie systemu dla różnych . Wykonać wykresy. Porównać rozwiązanie z procedury ode z rozwiązaniem analitycznym. 3. Równanie ograniczonego wzrostu x’(t)= x(t)(M-x(t))/M. M – maksymalna populacja, która może przeżyć w danym środowisku. Rozwiązanie: x(t)=x0M/(x0+(M-x0)exp(-t)). Sprawdzić zachowanie systemu dla różnych x0, M (x0>M, x0=M, x0<M).Wykonać wykresy. 4. Rozwiązać zadania z listy zadań. Zadania 4. Populacja pewnego kraju w 1990r. liczyła P milionów. Współczynnik wzrostu wynosi . Jaka była liczebność kraju w roku 2000 a jaka obecnie? Znaleźć czas podwojenia, czyli za ile lat populacja się podwoi? Czy jest on zależny od wartości początkowej x0? Kiedy populacja osiągnie wielkość 80 milionów? Dane P i na tablicy. 5. Rozpad węgla C-14 (datowanie kości zwierząt i szczątków organicznych). Popularną metodą datowania skamieniałych szczątków organicznych (zwięrzat i roslin) jest porównanie w nich zawartości węgla C-14 w stosunku do węgla C-12. Kości żyjących zwierząt (części roślin) zawierają równą ilość obu izotopów węgla. Z chwilą, gdy roślina, zwierzę, człowiek przestaje żyć, ubywa izotopu C-14 a ilość C-12 pozostaje bez zmian. Znaleźć czas połowicznego rozpadu C-14 wiedząc, że wartość współczynnika rozpadu = -0.0001209. 6. Zbadano, że znalezione w wykopalisku kości mają x% oryginalnej ilości węgla C-14. Ile lat mają te szczątki? Dana x na tablicy. 7. Współczynnik wzrostu dla populacji USA wynosi =0.027. Przyjmując, że maksymalna populacja USA wynosi M=360.6 mil oszacuj jaka była liczebność populacji USA w kolejnych latach. Porównaj dane z modelem nieograniczonego wzrostu. Dane na tablicy. 5*. Dla węgla C-14 opracować procentową tabelę pozostałości w latach. 6*. Model Verhulst'a Na podstawie danych demograficznych populacji USA w latach 1790-1840 (tabela) oraz danych Verhulst'a: M=197.3 miliona, =0.0001589, narysuj krzywą wzrostu w latach 1790-2010. Określ liczebność populacji USA w roku 1940. Jaka byłaby wielkość populacji USA dzisiaj wg. tego modelu? 1790 1800 1810 1820 1830 1840 3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.07