Zapisz jako PDF

Regresja liniowa jako filtr
Poniższy przykład ma nam uświadomić możliwość wykorzystania regresji do filtrowania sygnałów.
Przy okazji nauczymy się pracy z ciągiem uczącym.
Proszę uzupełnić brakujace fragmenty kodu (w razie wątpliwości pytać prowadzącego):
# -*- coding: utf-8 -*from sklearn import linear_model
from scipy.signal import firwin, lfilter
import numpy as np
import pylab as py
def spectrum(x,Fs):
N = len(x)
P = np.abs(np.fft.fft(x))**2/len(x)
f = np.fft.fftfreq(len(x),1.0/Fs)
P = P[:N/2]
P[1:-1] *=2
f = f[:N/2]
return f,P
sampling = 128.0
rzad = 30
N_wej = rzad # rozmiar bufora wejściowego
# po początkowej obserwacji budowy ciągu uczącego warto przełżczyć wartość
demo na False
demo = True # czy rysować tworzenie przykładów
T = 1 # ile skund sygnału
t = np.arange(,T,1/sampling)
#Losowy sygnał wejściowy
x = np.random.randn(len(t))
# przygotowujemy dane tak aby nauczyć filtrowania dolnoprzepustowego
b= firwin(rzad,20.0/sampling)
y = lfilter(b,[1],x)
# tworzymy ciąg uczący
N_przykladow = len(x)-N_wej-1
X = np.zeros((N_przykladow,N_wej))
Y = np.zeros((N_przykladow,1))
for i in range(N_przykladow):
X[i,:] = x[i:i+N_wej]
Y[i] = y[i+N_wej-1]
if demo: # poniższy fragment kodu ilustruje tworzenie ciągu uczącego
py.clf()
py.plot(t,x,'r')
py.plot(t,y,'b')
py.plot(t[i:i+N_wej],X[i,:],'ro')
py.plot(t[i+N_wej-1],Y[i],'bo')
py.pause(1)
# tworzmy instancję obiektu do regersji liniowej
model = ... # tu wywołaj odpowiednią funkcję z modułu
# dopasowujemy parametry modelu
model.fit(...) # uzupełnij argumenty
linear_model
# test na zbiorze uczącym: dla kolejnych buforów wejściowych obliczamy
wartości wyjściowe
y_est = np.zeros(x.shape)
for i in range(len(x)-N_wej-1):
bufor_wejsciowy = x[i:i+N_wej]
y_est[i+N_wej-1] = model.predict(bufor_wejsciowy)
# ilustracja dopasowania modelu:
# - górny panel sygnał wejściowy
# - dolny panel sygnał otrzymany jako predykcje modelu (czerwony) na tle
filtrowanego sygnału (zielony)
# uzupełnij argumenty zgodnie z powyższym opisem
py.figure(1)
py.subplot(2,1,1)
py.plot(t,...)
py.title('wejscie')
py.subplot(2,1,2)
py.plot(t,...,'g')
py.plot(t,...,'r')
py.title('wyjscie')
# test na innym zbiorze - dajemy zestaw sinusów o losowej fazie i
czestosciach 0-64Hz
x_test = np.zeros(len(t))
faza = np.zeros(len(range(1,64,2)))
for i,f in enumerate(range(1,64,2)):
faza[i] = np.random.rand(1)*2*np.pi
x_test += np.sin(2*np.pi*f*t + faza[i])
y_test = lfilter(b,[1],x_test)
# test na zbiorze testowym: dla kolejnych buforów wejściowych obliczamy
wartości wyjściowe
y_est = np.zeros(x.shape)
for i in range(len(x)-N_wej-1):
bufor_wejsciowy = x_test[i:i+N_wej]
y_est[i+N_wej-1] = model.predict(...) #uzupełnij
#ilustracja działania dopasowanego modelu na sygnał testowy
py.figure(2)
py.subplot(2,2,1)
py.plot(t,x_test)
py.title(u'wejście')
py.subplot(2,2,3)
py.plot(t,y_est,'r')
py.plot(t,y_test,'g')
py.title(u'wyjście')
py.subplot(2,2,2)
f,P = spectrum(x_test[-sampling:],sampling)
py.stem(f,P)
py.title(u'widmo wejścia')
py.subplot(2,2,4)
f,P = spectrum(y_est[-sampling:],sampling)
py.stem(f,P)
py.title(u'widmo wyjścia')
py.show()
np.set_printoptions(precision =3, suppress = True)
print "Porównanie współczynników"
print "filtr:"
print b
print "model"
print model..... # uzupełnij
Modelowanie i predykcja szeregu czasowego
Załóżmy, że mamy pewien szereg czasowy. Dalej zakładamy, że jest on wynikiem pewnego procesu
autoregresyjnego, tzn. że jego kolejna próbka jest pewną kombinacją liniową poprzednich próbek z
dodanym szumem:
Czy dałoby się zastosować regresję liniową do oszacowania współczynników
?
Proszę uzupełnić poniższy kod, a następnie:
1. porównać wariancje procesu wygenerowanego i wyestymowanego.
2. do jakiego stopnia kolejna próbka w procesie AR jest przewidywalna?
# -*- coding: utf-8 -*from sklearn import linear_model
import numpy as np
import pylab as py
N = 20000
a = [0.1, -0.1, 0.5, 0.4,0.1]
parametrów do sprawdzenia
rzad = len(a)
epsilon =0.1
#np.array([ -0.5, 0.2]) # inny zestaw
# tworzymy ciąg uczący
N_przykladow = N-rzad-1
x = np.zeros(N)
X = np.zeros((N,rzad))
Y = np.zeros((N,1))
for i in range(rzad+1, N):
for p in range(len(a)):
x[i] += a[p]*x[i-(p+1)]
x[i] += epsilon*np.random.randn()
X[i,:] = x[i-1:i-rzad-1:-1]
Y[i] = x[i] # chcemy wykonywać predykcję tej właśnie próbki
# wytwarzamy pusty model
model = ...
# dopasowujemy parametry modelu
model...
# test na zbiorze uczącym
y_est = np.zeros(x.shape)
for i in range(rzad+1,len(x)-1):
bufor_wejsciowy = x[i:i-rzad:-1]
y_est[i+1] = model....
py.subplot(2,1,1)
py.plot(x,'b')
py.plot(...,'r')
py.title('procesy wygenerowany i estymowany')
py.subplot(2,1,2)
py.plot(x-y_est,'g')
py.title('residuum')
print 'wariancja
print 'wariancja
print 'parametry
print 'parametry
py.show()
reziduum, ', ...
procesu AR, ', epsilon**2
procesu: ', str(a)
wyestymowane: ', ...