ANALIZA MATEMATYCZNA 2, AiR oraz ELEKTROTECHNIKA Lista 4

ANALIZA MATEMATYCZNA 2, AiR oraz ELEKTROTECHNIKA
Lista 4: Ekstrema funkcji, pola wektorowe.
1. Obliczyć pochodną funkcji złożonej F (t) = f (x(t), y(t)) w punkcie t0 jeśli:
p
√
(i) f (x, y) = x2 − y 2 , x = t, y = t, t0 = 2,
p
(ii) f (x, y) = x2 − y 2 , x = t2 , y = e−t , t0 = 1.
2. Korzystając z reguł różniczkowania funkcji obliczyć pochodne F 0 (t) i F 00 (t) podanych
funkcji złożonych:
(i) F = f (x, y),
x = sin t,
(ii) F = g(x, y, z),
x = t,
y = cos t,
y = t2 ,
z = t3 .
3. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji:
(i) z = x2 − xy + y 2 + 9x − 6y + 20,
(ii) z = (x + y 2 ) exp x2 .
4. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
(i) f (x, y) = x2 + y 2 , |x| + |y| ≤ 2;
(ii) f (x, y) = xy 2 + 4xy − 4x, −3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ y ≤ 0.
5. Jakie powinny być wymiary prostopadłościennej wanny o zadanej pojemności V tak
aby ilość blachy zużytej do jej wytworzenia była jak najmniejsza?
6. Naszkicować pola wektorowe: a) F~ (x) = x2 na R; b) F~ (x, y) = (x2 , 1) na R2 ; c)
F~ (x, y, z) = √ 2 x 2 2 , √ 2 y 2 2 , √ 2 z 2 2 w R3 .
x +y +z
x +y +z
x +y +z
7. Wyznaczyć gradienty podanych funkcji: a) f (x, y) = arctan xy ; b) f (x, y, z) =
p
1
; c) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
x2 +y 2 +z 2
8. Wyznaczyć potencjały podanych pól wektorowych: a) F~ (x, y) = (3x2 sin y, x3 cos y)
na R2 ; b) F~ (x, y, z) = (z(1 + xy)exy , x2 zexy , xexy ) na R3 .
9. Wyznaczyć rotacje podanych pól wektorowych: a) F~ (x, y, z) = (x3 y, 2yz 2 , xz); b)
F~ (x, y, z) = (ex+y , ey+z , ez+x ).
10. Narysować wykresy wszystkich uwikłanych funkcji ciągłych postaci y = y(x), które
określone są przez warunki: a) x3 − y 3 = 0; b) x2 − y 2 = 0; c) sin x = sin y. Które z
równań można ‘rozwikłać’ ?
11. Wyznaczyć y 0 dla funkcji uwikłanej y = y(x) zadanej równaniem x2 +y 2 −4x+6y = 0.
12. Obliczyć y 0 (x0 ) i y 00 (x0 ) funkcji uwikłanej określonej w otoczeniu wskazanego punktu
(x0 , y0 ) przez podane równania:
(i) x2 y + xy 2 = 2, (x0 , y0 ) = (1, 1);
√
(ii) 2 y = x − y, (x0 , y0 ) = ( 54 , 41 ).
1