21 listopad 2010 Zadanie 1 (1 pkt). Niech {An}n∈N b

Rachunek prawdopodobieństwa
17 listopad 2010
Kolokwium
wersja poprawiona: 21 listopad 2010
Zadanie 1 (1 pkt). Niech {AT
n }n∈N będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń i niech P(An ) = 1
∞
dla każdego n. Dowiedź, że P( n=1 An ) = 1.
Zadanie 2. Czy istnieje przestrzeń probabilistyczna
(i) (1 pkt) z nieskończenie wiele atomami?
(ii) (1 pkt) z nieprzeliczalnie wiele atomami?
Uzasadnij odpowiedź.
Zadanie 3 (1 pkt). W wyborach startuje 4 kandydatów, a wyborców jest 100. Każdy wyborca
oddaje głos na tylko jednego kandydata. Zakładamy, że głosowanie jest jawne, to znaczy ważne
jest dla nas, kto na kogo głosuje. Niech N oznacza liczbę takich wyników głosowania, w których
na przynajmniej jednego kandydata nikt nie głosował. Wykaż błędność poniższego rozumowania:
Od wszystkich możliwych wyników (4100 ) odejmujemy te, w których każdy kandydat dostał jakiś
głos. Wybieramy 4 wyborców ( 100
sposobów), ich głosy przydzielamy kandydatom (4! możliwości),
4
96
pozostałych 96 wyborców głosuje dowolnie (496 sposobów). Zatem N = 4100 − 100
4 4!4 .
Zadanie 4. Mamy pięć monet z których dwie mają dwa orły, jedna dwie reszki i dwie są
normalne. Zamykamy oczy, losujemy jedną z nich i rzucamy.
(i) (0,25 pkt) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadł orzeł?
(ii) (0,25 pkt) Otwieramy oczy i widzimy orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na spodzie
jest orzeł?
(iii) (0,50 pkt) Znów zamykamy oczy i znów rzucamy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadł orzeł?
(iv) (0,50 pkt) Otwieramy oczy i znów widzimy orła. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na
spodzie jest orzeł?
(v) (0,50 pkt) Chowamy dotychczas używaną monetę, losujemy z pozostałych nową, a następnie nią rzucamy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł?
Zadanie 5 (1 pkt). Niech Ω = {1, 2, . . . , p} i P(X) = |X|
p dla pewnej liczby pierwszej p. Pokaż,
że jeżeli A i B są niezależne, to przynajmniej jeden ze zbiorów A i B jest równy ∅, lub Ω.
Zadanie 6 (1 pkt). Rzucamy n razy sprawiedliwą kostką. Niech Ai,j będzie zdarzeniem, że za
i-tym i za j-tym razem wypadło to samo. Pokaż, że {Ai,j }i<j są zależne mimo, że są parami
niezależne.
Zadanie 7 (2 pkt). Rzucamy n razy monetą. Niech X będzie liczbą orłów, a Y liczbą reszek.
Pokaż, że zmienne X i Y są zależne.
Rzucamy N razy monetą, gdzie N jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem
λ. Niech X będzie liczbą orłów, a Y liczbą reszek. Pokaż, że zmienne X i Y są niezależne.
Zadanie 8. Zmienna losowa X ma następujący rozkład:
n
3
dla n = 1, 2, . . .
P(X = n) = c
4
Znajdź:
(i) (0,25 pkt) stałą c,
(ii) (0,25 pkt) dystrybuantę X,
(iii) (0,50 pkt) wartość oczekiwaną X.
Zadanie 9 (1 pkt). Czy dla dowolnych zmiennych losowych X, Y zachodzi
var(X + Y ) = var(X) + var(Y ) + 2 cov(X, Y )?
Uzasadnij odpowiedź.
Zadanie 10 (1 pkt). Myśliwy ma trzy naboje i strzela do tarczy do pierwszego trafienia lub
do skończenia amunicji. Prawdopodobieństwo trafienia przy każdej próbie jest równe 31 . Liczba
strzałów jest zmienną losową. Podaj jej rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie 11. X i Y to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie f (x) = 2−x dla
x = 1, 2, . . . Określ:
(i) (0,25 pkt) P(min(X, Y ) ¬ x),
(ii) (0,25 pkt) P(Y > X),
1
2
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(0,25
(0,25
(0,50
(0,50
pkt)
pkt)
pkt)
pkt)
P(X
P(X
P(X
P(X
= Y ),
­ kY ), dla ustalonej liczby naturalnej k,
dzieli Y ),
= qY ), dla ustalonej liczby wymiernej q.
Zadanie 12. Okres życia maszyny (liczony w dniach) jest zmienną losową X o rozkładzie f .
Jeżeli wiemy, że minęło już t dni, jaki będzie oczekiwany czas dalszego działania gdy
(i) (1 pkt) f (x) = (N + 1)−1 dla x ∈ {0, 1, . . . , N },
(ii) (1 pkt) f (x) = 2−x dla x = 1, 2, . . .
Zadanie 13 (2 pkt). Niech X będzie zmienną losową wyznaczającą liczbę punktów stałych
n-elementowej permutacji. Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie 14 (2 pkt). 25 mrówek rozłożonych jest z prawdopodobieństwem jednostajnym na
odcinku [0, 1]. Każda mrówka ma dodatkowo wylosowany zwrot (w prawo lub w lewo). Wszystkie
losowania są niezależne. Na umówiony sygnał mrówki rozpoczynają marsz; każda w kierunku w
którym jest zwrócona. Wszystkie mrówki poruszają się z tą samą prędkością. Jeśli dwie mrówki
się zderzają to się od siebie odbijają, czyli zmieniają zwroty na przeciwne. Jeśli mrówka dochodzi
do punktu 0 lub 1 to znika w przepaści. Jaka jest oczekiwana liczba kolizji (zderzeń)?
Zadanie 15 (2 pkt). Rozważ spacer losowy rozpoczynający się w k (to jest S0 = k; 0 < k < N )
z barierą absorbującą w N i odbijającą w 0. To znaczy jeśli spacer osiąga wartość 0 to w
następnym kroku idzie na pewno do góry. Jeśli zaś w danym kroku spacer jest na poziomie
różnym od 0 to z prawdopodobieństwem 0 < p < 21 idzie do góry, a z prawdopodobieństwem
1 − p idzie w dół. Z jakim prawdopodobieństwem spacer dojdze do bariery N ?
Zadanie 16 (2 pkt). Jaka jest oczekiwana liczba odwiedzin poziomu b przez symetryczny spacer
losowy (S0 = 0) pomiędzy startem, a pierwszym powrotem do 0?
Powodzenia.