PS3

Rozważmy następujący model duopolu. Mamy dwie firmy, produkujace identyczne
dobro. Każda z firm podejmuje decyzję dotyczącą wielkości swojej własnej produkcji
(odpowiednio x1 i x2), która może być dowolną liczbą rzeczywistą nieujemną.
Rynkowa cena dobra produkowanego przez obie firmy zależy od decyzji podjętych
przez obu graczy i kształtowana jest zgodnie z odwrotną funkcją popytu daną przez
p(x1, x2) = 20 – 2x1 –2x2 (lub 0 jeśli suma produkcji przekracza 10). Obaj gracze mają
taką samą funkcję kosztów daną przez ci(xi) = 8xi dla i = 1, 2. Obaj gracze dążą do
maksymalizacji swojego zysku, czyli użyteczność gracza i-tego jest dana przez
różnicę między przychodem a kosztem, czyli ui(x1, x2) = (20 – 2x1 –2x2)xi – 8xi (lub,
odpowiednio, przez sam koszt równy –8xi jeśli cena jest równa 0) .
i)
(duopol Cournota) Przyjmijmy, że gracze dokonują wyboru x1 i x2
równocześnie. Proszę wyznaczyć równowagi Nasha takiej gry.
ii)
(duopol Stackelberga) Przyjmijmy, że gra przebiega w ten sposób, że najpierw
decyzję podejmuje gracz 1, a następnie – zaobserwowawszy decyzję gracza 1
– decyzję podejmuje gracz 2, przy czym struktura gry jest wspólna wiedzą obu
graczy.
a) Proszę wyznaczyć równowagę doskonałą powyższej gry;
b) Rozważmy następującą parę strategii:
-
gracz 1 wybiera x1 = 4;
-
gracz 2 wybiera x2 = 2 jeśli zaobserwował x1 < 4; x2 = 1 jeśli
zaobserwował x1 = 4 oraz x2 = 1,5 jeśli zaobserwował x1 > 4.
Czy podana para strategii tworzy (niedoskonałą) równowagę Nasha?
Proszę uzasadnić. Proszę wyznaczyć wszystkie najlepsze odpowiedzi (w
straegiach czystych) gracza 1na podaną strategię gracza 2.
c) Proszę pokazać, że para strategii (gracz 1 wybiera x1 = 3; gracz 2 wybiera
x2 = 1,5 niezależnie od zaobserwowanego x1) nie stanowi w tej grze
równowagi Nasha.