Zestaw trzeci: funkcjonały dwuliniowe
Transkrypt
Zestaw trzeci: funkcjonały dwuliniowe
Zadania z geometrii B Zestaw 3: funkcjonały dwuliniowe 1. Która z podanych przestrzeni (V, f) jest przestrzenią euklidesową? (a) V = R2 , (c) V = R3 , (d) V = R3 , 0 0 x x x x f( , 0 ) = xx0 +xy 0 +x0 y +2yy 0 , (b) V = R3 , f(y , y 0 ) = xx0 +yy 0 +3zz 0 , y y z z0 0 x x R1 f(y , y 0 ) = xx0 + 2yy 0 , (e) V = R4 [X] × R4 [X] → R, f(f, g) = 0 f (t)g(t)dt, 0 z z 0 x x f(y , y 0 ) = xx0 + 2xy 0 + 2x0 y + yz 0 + z 0 y. z z0 2. Macierz funkcjonału dwuliniowego f : R3 × R3 → R, 2 1 0 (b) (1) (2) (3) w bazie jednostkowej (~e1 , ~e2 , ~e3 ) jest równa 1 0 1 0. (a) Sprawdź, że (R3 , f) jest przestrzenią euklidesową. 0 1 Znajdź uzupełnienie ortogonalne : wektora [1, 2, 0], prostej lin ( [1, 1, 1] ), płaszczyzny X − Z = 0. 3. Znajdź bazę ortonormalną przestrzeni euklidesowej: (a) (R3 , f) z poprzedniego zadania, (b) (R4 , f), 2 2 3 gdzie q( [x, y, z, t] ) = 2x + 2xy + z , (c) (R , f), gdzie macierz f w bazie jednostkowej jest równa 1 0 1 0 1 0. 1 0 2 4. W przestrzeni euklidesowej (R4 , ◦) (ze zwykłym iloczynem skalarnym) znajdź bazę prostopadłą: (a) hiperpłaszczyzny X − Y + Z − T = 0, (b) płaszczyzny lin ( [1, 2, 0, −1], [0, 1, −1, 1] ). 5. Dana jest przestrzeń euklidesowa (R3 , f), jej podprzestrzeń W oraz wektor ~v ∈ V. Wektor ~v przedstaw jako sumę składowej równoległej i składowej prostopadłej do W, gdzie: (a) V = R3 , f([x, y, z], [x0 , y 0 , z 0 ]) = xx0 + yy 0 + zz 0 , W = lin ([1, 2, −1], [1, 0, 2]), ~v = [1, 2, 1] (b) V = R3 , f([x, y, z], [x0 , y 0 , z 0 ]) = 2xx0 + xz 0 + zx0 + zz 0 , W = lin ([1, 2, −1], [1, 0, 2]), ~v = [1, 2, 1] 1