Zestaw9

Rachunek Prawdopodobieńtwa 1. Zestaw 9. Zmienne losowe i ich rozkłady.
1. Niech F będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Punkt x ∈ R nazwiemy puktem skokowym
dystrybuanty F gdy P (X < x) < FX (x). Pokaż, że:
a) x jest punktem skokowym dystrybuanty F wtedy i tylko wtedy P (X = x) > 0 wtedy i tylko
wtedy F nie jest ciągła w punkcie x,
b) dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów skokowych.
2. Dla jakich liczb rzeczywistych a oraz b zachodzi: jeśli F1 oraz F2 to dystrybuanty, wtedy aF1 + bF2
jest dystrybuantą.
3. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F i niech 0 < b. Znaleźć i naszkicować dystrybuantę
zmiennej losowej Z danej wzorem
(
X
Z=
0
gdy |X| ¬ b,
gdy |X| > b.
4. Rozstrzygnij: Czy jeśli rozkłady wektorów (X1 , X2 , . . . , Xn ) oraz (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) są równe, czy ich
rozkłady brzegowe PXi oraz PYi muszą być sobie równe?
5. Znaleźć zmienne losowe X oraz Y takie, że ich rozkłady są asbolutnie ciągłe względem miary
Lebesgue’a na R (równoważnie: ich rozkłady mają gęstości) ale rozkład łączny wektora (X, Y ) nie
jest absolutnie ciągły (tzn. nie istnieje (dwuwymiarowa) gęstość rozkładu łącznego).
6. W urnie znajduja sie jedna zolta kula, dwie czerwone oraz trzy niebieskie kule. Losujemy dwie kule.
Niech X oznacza liczbe wylosowanych kul czerwonych oraz Y niech oznacze liczbe wylosowanych
kul niebieskich. Znalezc rozklad laczny oraz rozklady brzegowe wektora (X, Y )
7. Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1] oraz niech F będzie ściśle rosnącą dystrybuatną
pewnego rozkładu. Jaki rozkład (jaką dystrybuantę) ma zmienna losowa Y = F −1 (X).
8. Uogólnić poprzednie zadanie na przypadek gdy F jest dowolną dystrybuantą.
9. Mówimy że zmienna losowa X ma rozkład wykladniczy z parametrem λ > 0 gdy posiada ona
gęstość fX zadaną wzorem:
(
fX (x) =
λ · e−λ·x
0
gdy x ­ 0,
gdy x < 0.
a) Wyznacz dystrybuantę rozkładu wykładniczego
b)Wyznacz rozkłady zmiennych losowych Y = 3X − 5, Z = −2X + 1.
10. Zmienna losowa X ma dystrybuantę FX .
a) Pokaż, że jeśli rozkład X posiada gestosc fX ktora jest funkcją parzystą to dystrybuanta FX
spelnia FX (t) + FX (−t) = 1, t ∈ R
b) Pokaż, że jeśli rozkład PX jest symetryczny względem zera (tzn. P (X ∈ A) = P (X ∈ −A)) oraz
nie ma punktów skokowych, to dystrybuanta FX spelnia FX (t) + FX (−t) = 1, t ∈ R.
c)Uogólnij poprzedni podpunkt na przypadek gdy rozkład PX jest symetryczny względem m ∈ R
oraz nie ma punktów skokowych.
11. Powiemy że zmienna losowa X ma rozkład Poissona o parametrze λ > 0 gdy zachodzi
λk −λ
· e , k = 0, 1, 2, . . .
k!
Czy suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Poissona z parametrami λ1 oraz λ2 ma
rozkład Poissona? Z jakim parametrem?
P (X = k) =