Zadanie 2

Transkrypt

Zadanie 2

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
I. Momenty bezwładności i dewiacji
1. Powierzchniowe momenty bezwładności, momenty
bezwładności względem osi, biegunowe momenty
bezwładności, momenty
dewiacji (zboczenia)
Momenty pierwszego rzędu (Jednostka [m3], mogą być >0, <0, =0)
Powierzchniowe momenty bezwładności figury płaskiej
Momentem statycznym Sl elementu pola F względem prostej L nazywa się iloczyn:
Sl=y·F.
Algebraicznie Sl   yF .
F
Dzieląc pole F na nieskończenie wiele małych elementów dF, można przejść do wyrażenia:
Sl   y dxdy   y dF
F
Moment statyczny całego pola względem danej prostej równa się sumie momentów
statycznych poszczególnych części tego pola względem tejże prostej.
Jednostka momentu statycznego to [m3].
Moment statyczny przekroju może osiągać wartości dodatnie i ujemne lub zero.Umownie
moment statyczny Si nad osią oznaczamy ze znakiem „+” a pod osią „-”. Jeżeli prosta
przechodzi przez środek ciężkości figury i można przyporządkować pola dF po obu stronach
prostej tak, że y1=-y1 to jej moment statyczny jest równy „0” (symetria).
dF
y
-y
dF
Przy przesunięciu równoległym osi l o odległość a do m można wykorzystać zależność
Sm=Sl+F·a.
Ze względu na fakt występowania odległości (tu y) w pierwszej potędze moment ten zalicza
się do momentów pierwszego rzędu. Momenty drugiego rzędu to moment dewiacji.
Środek ciężkości figury płaskiej (przekroju) to taki punkt, w którym skupione całe pole
figury daje względem obranej osi taki sam moment statyczny, jak sama figura:
Sy=xcF;Sx=ycF.
Na tej podstawie można napisać wzory na środek ciężkości powierzchni figury płaskiej:
Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00
Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39
tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26
xc 
F  x
F
i
yc 
i
i
F  y
F
i
i
i
4
Momenty drugiego rzędu (Jednostka [m ])
Moment bezwładności (geometryczny) pola względem osi(momenty bezwładności zawsze
>0)
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi x nazywa się wyrażenie:
J x   y 2dF
F
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi y nazywa się wyrażenie:
J y   x 2dF
F
Gdzie, x oznacza odległość elementu dF pola F od osi y, a y oznacza odległość dF od osi x.
Biegunowym momentem bezwładności figury płaskiejo polu F względem punktu O
nazywa się wyrażenie: (odległość ρ2=x2+y2)
J O   ρ 2dF   x 2dF   y 2dF
F
F
F
stąd
JO  J x  J y
Podsumowując, suma momentów bezwładności pola F względem dwóch osi prostopadłych do
siebie równa jest biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu O przecięcia się
tych osi.
Moment dewiacji – geometryczny – (moment zboczenia lub moment odśrodkowy) figury
płaskiejo polu F względem osi x, y nazywa się wyrażenie: (momenty dewiacji mogą być >0,
<0, =0)
D xy   xydF
F
y
x
ρ
dF
y
x
O
Momenty drugiego rzędu wykorzystywane są często w wytrzymałości materiałów, gdzie liczy
się je najczęściej względem prostych centralnych, tj. przechodzących przez środek ciężkości
figury. Momenty takie nazywa się centralnymi momentami bezwładności figury płaskiej.
W odróżnieniu od momentów statycznych, momenty bezwładności figur płaskich posiadają
zawsze wartości dodatnie, ponieważ w wyrażeniach na nie odległość jest w drugiej
potędze.Momenty dewiacji mogą być większe, mniejsze lub równe zero.
Promień bezwładności
Promieniem bezwładności pola F figury odpowiednio względem osi x i y oraz bieguna O
nazywa się odpowiednio wyrażenia:
J
J
J
i x  x , i y  y , iO  O ,
F
F
F
2
2
Na tej podstawie można zapisać równości: Jx=F·ix ,Jy=F·iy , JO=F·iO2, oraz iO2=ix2+iy2.
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności pola F figury względem prostej równa się momentowi
bezwładności tej figury względem prostej do niej równoległej i przechodzącej przez
środek ciężkości pola plus iloczyn pola F figury i kwadratu odległości obu prostych.
y
v
a
u
Środek
ciężkości
b
x
O
Jx=Ju+b2ForazJy=Jv+b2F
Rysunek poglądowy
Geometryczny moment bezwładności
Wskaźnik wytrzymałości
Przykład 1
Obliczyć z definicji moment statyczny pola prostokąta pokazanego na poniższym rysunku o
bokach
b i h względem prostej l, przechodzącej przez podstawę.
b
dF
dy
h
y
h½
l
Oznaczając by·dy = ydF =dS1.
Można na podstawie wcześniejszej definicji napisać:
h
h
0
0
Sl   y dF   y  bdy  b 
F
bh2
h
ydy 
F
2
2
Zad. 1.
Dla figury przedstawionej w przykładzie 1 obliczyć z definicji momenty drugiego rzędu
względem prostej osi x i y przechodzących przez jego boki.
Zad. 2
Proszę wyznaczyć dla obu przypadków pokazanych na rys. poniżej:
 momenty bezwładności figury płaskiej względem osi kartezjańskiego układu
współrzędnych, korzystając z definicji momentu bezwładności figury względem osi;
 biegunowy moment bezwładności względem początku układu współrzędnych;
 promienie bezwładności względem osi i początku kartezjańskiego układu współrzędnych;
 moment dewiacji figury względem układu xy.
y
b
b
r
y
x
r
O
b
b
x
a). O
b).
Rys. 1.1.
Zad.3.
Proszę wyznaczyć położenie środka ciężkości figury pokazanej na rys. 1.2 względem
kartezjańskiego układu współrzędnych oraz momenty bezwładności względem układu osi o
początku w środku ciężkości figury i osiach równoległych do osi układu Oxy. Do rozwiązania
należy posłużyć się twierdzeniem Steinera. Należy wyznaczyć również moment dewiacji oraz
biegunowy moment bezwładności względem nowego układu osi.
y
2a
x
O 2a
Rys. 1.2.
2. Masowe momenty bezwładności, momenty bezwładności
względem osi, biegunowe momenty bezwładności,
momenty
dewiacji (zboczenia)
Środek masy układu punktów materialnych
Środkiem masy układu nazywa się punkt geometryczny S, którego promieo-wektor rs wyznacza się
wg wzoru:
Współrzędne środka ciężkości
Istnieje pełna analogia do twierdzenia o momentach statycznych; pole powierzchni figury i figur
składowych zastępuje się masą bryły i brył składowych.
Momentem bezwładności ciała o masie m (masowy moment bezwładności) względem płaszczyzny
xy, yz, zx nazywamy granice, do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez
kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn, gdy liczba elementów rośnie nieograniczenie, zaś ich
wymiary dążą do zera.
 z dm,  x dm,  y dm
2
2
m
2
m
m
Jeżeli pod całką zamiast kwadratów odległości elementów od płaszczyzny wystąpią kwadraty
odległości elementów od osi, wówczas będziemy mówid o momencie bezwładności ciała względem
osi. Ponieważ e2=y2+z2 więc momenty bezwładności ciała względem osi x, y, z:


I x   e 2 dm   y 2  z 2 dm   y 2 dm   z 2 dm
m
m
m
m
Z powyższego wynika, że moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie
momentów bezwładności tego ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn, których krawędzią
przecięcia jest dana oś.
Moment bezwładności bryły względem osi
y
I z   r 2 dm
I z   r 2 dV    r 2 dV
dm
h
x
y
z
x
Moment bezwładności walca obrotowego względem jego osi obrotu
I z   r 2 dm
objętośd elementarnej warstwy dV  2r  dr  H
masa elementarnej warstwy dm  2r  dr  H  
moment bezwładności liczony z definicji:
I z   r 2 dm   r 2 2r  dr  H  
I z  2H  r 3 dr
r
I z  2H  r 3 dr
0
I z  2H
4
r
4
r
0

Hr
4
2

r H  r
2
2
2

mr 2
2
Momenty bezwładności względem osi przykładowych brył:
Pręt o długości L i masie m
I
ml 2
12
Pręt o długości L i masie m
I
ml 2
3
Prostopadłościan o wysokości h, długości a, szerokości b i masie m
I

m 2
a  b2
12

cylindryczna rura wykonana z cienkiego materiału; promieo r, masa m
Im
I  mr 2
Im
Walec o promieniu r i masie m:
R 2  r2
2
r2
2
Momentem odśrodkowym (dewiacyjnym) ciała względem dwóch prostopadłych do siebie płaszczyzn
nazywa się wyrażenie:
I xy   xy dm, I yz   yz dm, I zx   zx dm
m
m
kg  m 
2
m
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności
względem osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy IXC zwiększonemu o iloczyn
masy ciała i kwadratu odległości a między tymi osiami – twierdzenie Steinera.
IX=IXC+ma2
3.
Macierz bezwładności i jej transformacje
Moment bezwładności ciała sztywnego
Każdy obiekt fizyczny - ciało sztywne - to obiekt o skończonych wymiarach. Określenie
sztywne oznacza, że struktura ciała jest ,,sztywna'', tzn. pod działaniem sił ciało nie deformuje
się i odległości pomiędzy punktami ciała pozostają stałe. Z kolei, wprowadzając pojęcie
momentu pędu ciała, w ruchu obrotowym względem pewnej osi, , pierwszym wzorem z
jakim spotykamy się to
(14.13)
gdzie to prędkośd punktu materialnego o masie
, a jego odległośd od osi obrotu. Punkt
materialny to pewna abstrakcja; dla ciała sztywnego musimy powyższą definicję zmodyfikowad.
Robimy to, traktując ciało jako zbiór (sumę)
bardzo małych mas kwazi-punktowych
, z których
każda posiada pewną prędkośd
i znajduje się w pewnej odległości
od osi obrotu. Jeżeli ciało
wykonuje ruch obrotowy wokół pewnej osi, której położenie w przestrzeni jest stałe, to prędkośd
liniowa każdego ,,punktu''
(14.14)
gdzie jest prędkością kątową obrotu. (Wektor
leży na osi obrotu, a jego zwrot związany jest z
kierunkiem obrotu regułą śruby prawej).W takim razie
(14.15
)
(W wyprowadzeniu powyższego wzoru wykorzystaliśmy związek
(14.16)
dla podwójnego iloczynu wektorowego.) Wzór 14.15warto rozpisać dla współrzędnych
-i
-owej wektora
-,
:
(14.17)
(
;
Utwórzmy teraz macierz o wymiarach 3
.)
3,
(14.18)
której wyrazy to .
(14.19)
Tak zdefiniowana macierz
to macierz momentu bezwładności (tensor momentu bezwładności).
Macierz jest symetryczna, a elementy na przekątnej głównej to rzeczywiście wartości momentów
bezwładności naszego ciała, obliczanych względem osi
(
),
(
)i
(
), tak zwane
główne momenty bezwładności. Rzeczywiście, dla dowolnej osi obrotu definicja moment
bezwładności bryły sztywnej to
(14.20)
gdzie
to odległośd
-tej masy od osi obrotu. Dla - na przykład - osi
Wyrazy leżące poza przekątną główna (3 symetryczne pary):
,
i
to tak zwane
momenty dewiacji. Podobnie jak i główne momenty, momenty dewiacji opisują rozkład masy
w ciele. Można sprawdzić, że
(14.21)
Powyższe równanie formalnie to równośd wektora momentu pędu oraz wyniku działania macierzy
momentu bezwładności na wektor prędkości kątowej. Iloczyn macierzy
macierzy o wierszach to także macierz jednokolumnowa - wektor o
i jednokolumnowej
współrzędnych. Stojąca z
lewej strony iloczynu macierz jest operatorem w przestrzeni wektorowej, która działając na wektor
(element tej przestrzeni) tworzy z niego inny wektor. W ogólnym przypadku, stary i nowy wektor są
,,zupełnie'' różne - tzn., różnią się długościami i kierunkami. Ale macierz jest symetryczna, a więc
istnieje taki układ współrzędnych, układ osi głównych ciała sztywnego, w którym macierz 14.18ma
postad diagonalną, a skomplikowane nieco równanie 14.21przybiera postad znacznie prostszą
(14.22)
albo
(14.23)
W takim właśnie, wyróżnionym układzie współrzędnych mamy
Dla ciał wykazujących symetrie kształtu, osie główne pokrywają się z osiami symetrii ciała.
Łatwo to zrozumieć. Jeżeli ciało jest symetryczne względem, na przykład, osi
, to znaczy
że ,,po jednej i po drugiej stronie'' tej osi znajduje się jednakowa ilość takich samych
punktowych mas. W wyrażeniu typu
dodatnie i ujemne współrzędne wektora xi i yi- odległości od osi
- występują więc z taka
samą ,,częstością'' (jest tyle samo xiwiększych od zera, jak i mniejszych od zera) i taką samą
wagą
(masą
mi).
Jeżeli tak, to powyższe wyrażenie musi być równe zeru - zgodnie z 14.22. Dla ciał o wysokim
stopniu symetrii (kula, sześcian) momenty bezwładności liczone względem trzech głównych
osi są takie same:
( wzór na moment bezwładności kuli, względem
dowolnej osi, przechodzącej przez jej środek:
Gdzie M to masa kuli, a R-jej promień.) W takich przypadkach równanie 14.22znakomicie się
upraszcza:
(14.24)
albo L= Iω.
(14.25)
Moment pędu jest proporcjonalny do prędkości kątowej, a współczynnikiem tej proporcjonalności
jest miara bezwładności ciała, bezwładności którą musimy pokonad wprowadzając ciało w ruch
obrotowy. Dopiero w takim prostym przypadku możemy interpretowad ten wzór jako analogiczny do
związku z mechaniki ruchu postępowego
p= mv,
(14.26)
w którym analogon momentu pędu - pęd p- jest przedstawiony jako iloczyn masy (miary
bezwładności w ruchu postępowym) i jej prędkości liniowej v. W przypadku ogólnym obowiązuje
równanie 14.21.
II.
1.
Zastosowanie zasad dynamiki. Prawa zachowania:
Pierwsze i drugie zadanie dynamiki
Pierwsze (proste) zadanie dynamiki – znane są skutki, nie znamy przyczyn ruchu tj. znane
jest równanie ruchu (w czasie) a poszukiwana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten
ruch.Przy prostym zadaniu dynamiki całkujemy równanie ruchu.
Dane:
Szukane:
x  x(t)
y  y(t)
z  z(t)
•
P
•
•
kinematyczne równania ruchu punktu
masa punktu m
wypadkowa sił działających na ciało
Drugie (odwrotne) zadanie dynamiki – znane są przyczyny wywołujące ruch, nie znamy
skutków tj. znana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten ruch ale nie znamy równania
ruchu (w czasie).Przy odwrotnym zadaniu dynamiki różniczkujemy równanie równowagi
dynamicznej ruchu.
Dane:
•
•
•
•
wypadkowa sił działających na punkt
masa punktu
położenie początkowe punktu
prędkość początkowa punktu
Szukane:
•
kinematyczne równania ruchu punktu
P
m
x0  x(t0 )
y0  y (t0 )
v x 0  x (t0 )
v y 0  y (t0 )
z0  z (t0 )
v z 0  z (t0 )
P
P
P
x  x(t )
y  y (t )
z  z (t )
oo
X
 mx
Y
 m y
Z
 m z
oo
oo
Zad. 1.
Nowoczesna winda zawieszona na linie przemieszcza się w szybie ze znanym
przyspieszeniem a [m/s2+. Siły oporu są również znane i wynoszą R=0,2·P=const *N+. Określid,
ile wynosi siła napięcia liny N, na której zawieszono windę. Ciężar windy wynosi P *N+.
Dane:
P [N] – siła ciężkości klatki;
x
R=0,2·P=const *N+ – siła oporu ruchu;
R
oo
a= x [m/s2+=0,4·g *m/s2] – przyspieszenie windy;
N=[N] szukane - siła napięcia liny;
Rozwiązanie:
N
Równanie różniczkowe ma postad:
oo
y
a
oo
m· x =P-N-R stąd N=P-R-m· x
oo
podstawiając za masę m=P/goraz wiedząc, że x =a=0,4·g
P

N  P - 0,2  P -   0,4g 
g

N=0,4·P [N]
lina
P
2.
Prawa Newtona
 I - Prawo pierwsze (zasada dynamiki – zasada bezwładności)
Punkt materialny, na który nie działa żadna siła, lub siły działające równoważą się,
pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.
Jest to zasada bezwładności, tzn., że bez użycia siły nie można punktowi materialnemu nadać
przyspieszenia ani go zatrzymać. Układ odniesienia, w którym słuszna jest ta zasada
nazywamy układem inercjalnym.
 Prawo drugie (zasada dynamiki)
W układzie inercjalnym przyspieszenie punktu materialnego (lub bryły materialnej) jest
proporcjonalne do siły działającej na dany punkt (lub bryłę materialną) a odwrotnie
proporcjonalne do masy ciała i ma kierunek i zwrot działania siły. (F=m·a)
d (mv )
F
dt
Jeżeli masa punktu jest wielkością stałą
dm
0
to równanie przyjmuje postać
d (v )
dt
m
 mr  ma  F
gdzie: r- promień wektor opisujący położenie
punktu
materialnego
dt
a - przyspieszenie punktu.
 Prawo trzecie (zasada dynamiki – zasada akcji i reakcji)
Jeśli jedno ciało działa z określoną siłą na drugie ciało, to i wzajemnie drugie ciało działa
na pierwsze ciało siłą taka samą, co do wartości, lecz przeciwnie zwróconą.
N
Kierunek ruchu
3.
Zasada zachowania pędu
Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem układu sił
m  a   Fi
Zakładają, że m  const
a
dv
dt
m
dv
  Fi
dt
d
m  v    Fi
dt
Pęd (ilość ruchu) ciała (punktu materialnego) jest to iloczyn wektora prędkości punktu i jego
masy.
p  m v
Pęd jest to wektor o module m razy większym od modułu wektora prędkości, mający
kierunek i zwrot wektora prędkości punktu.
Zasada zachowania pędu mówi, że w układzie odosobnionym wektor p pozostaje stały bez
względu na to jak poruszają się ciała wewnątrz układu. Inaczej: Pęd punktu materialnego
jest wektorem stałym, jeżeli suma geometryczna sił działających na dany punkt
materialny jest równa zeru.
R
m
A
v
r
v
Jeżeli
 F  0 to
i
dp
 0 p  const.
dt
Zasada ta wynika bezpośrednio z drugiej zasady Newtona.
4.
Zasada zachowania krętu
Krętem punktu materialnego względem dowolnego bieguna O nazywamy wektor równy
iloczynowi wektorowemu wektora promienia wodzącego punktu i wektora pędu
poruszającego się punktu.
Kręt to moment pędu.
O
mr A
KO  r  p
Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi sumy wszystkich sił
działających na punkt materialny.
Zasada zachowania krętu:jeżeli moment główny układu sił działających na punkt
materialny względem dowolnego bieguna jest równy zeru, to kręt punktu poruszającego
się względem tego samego bieguna jest wielkością stałą.
dK O
 M O  Fi 
dt
dK O
Jeżeli M O  0 to
 0 czyli kręt (moment pędu) jest KO  const.
dt
Zadanie 1
Człowiek o masie m1=70 [kg] porusza się po brzegu poziomej tarczy o promieniu r = 4 [m] i
masie m2 = 200 [kg], jak podano na rysunku. Podać o jaki kąt φ1 obróci się tarcza, gdy
człowiek przejdzie cały jej obwód.
m1
m2
ω
Vw
m1
m2
O
r
Tarcza obraca się wokół pionowej osi bez tarcia, kręt = 0 w chwili początkowej (nim człowiek
rozpocznie ruch) jest równy 0 w dowolnej chwili t. Człowiek porusza się względem tarczy z V w=0,
wówczas tarcza zacznie się obracać w przeciwnym kierunku z prędkością kątową ω.
Vb=Vu+Vw
Vu=ω∙r
K1=m1r∙(Vw-ω∙r) względem osi obrotu
Kręt tarczy: K2=-JzωJz= 1 m2r2
2
K1+K2=0
m1r∙(Vw-ωr)-Jzω=0
m1r∙(Vw-ωr)- 1 m2r2ω=0
2
m1r∙Vw-ω(m1r2-
1
2
m2r2)=0
m1rVw
1
m1r 2  m 2 r 2
2
m1Vw
ω
1


r  m1  m 2 
2


ω
Czas przemarszu po całym obwodzie tarczy z prędkością względną Vw=const wynosi:
2r
t1 
Vw
czyli:
5.
1  ωt1 
m1Vw
2r
4m1


 2,6 [rad]
1
2m1  m 2

 Vw
r m1  m 2 
2


Zasada d'Alamberta
W ruchu ciała (punktu materialnego) układ sił zewnętrznych równoważy się z siłą
bezwładności.
 Fi czynne   Ri reakcje  FB  0
(siły czynne (siła żywa) i bierne)
Inaczej F+(-m·a)=0
Jeżeli do punktu materialnego oprócz sił zewnętrznych (czynnych i biernych) przyłożymy
siłę bezwładności, otrzymamy układ sił pozostających w równowadze.
Wprowadzając do zadań z zakresu dynamiki siłę bezwładności, można je rozwiązywać,
stosując znane ze statyki równania równowagi, szczególnie korzystne dla określenia reakcji
więzów.
Przyjęcie sił bezwładności prowadzi do sprowadzenia zagadnień dynamiki do zagadnienia
statycznego (równowaga sił).
 Fi  FB  0
FB   Fi
m  a   Fi
Rzutując obie strony równania na trzy osie Ox, Oy, Oz, otrzymujemy
dynamiczne równania ruchu:
m  a   Fi
m  a x   Fx
m  a y   Fy
m  a z   Fz
Dla ciała – układu punktów materialnych do powyższych zależności dochodzi warunek
sumy momentów tj. można stwierdzić, iż siły czynne, siły bierne i siła bezwładności
działające na każdy punkt układu pozostają w równowadze. Muszą wobec tego spełniać
warunki równowagi układu sił.Suma geometryczna musi być równa zeru. Suma momentów
od tych sił względem dowolnie obranego bieguna musi być równa zeru.
Warunki równowagi dla układu sił działającego na każdy punktu układu:
 Fi  FB  0
 M F , F   0
o
6.
i
B
Równania Lagrange'a
Ruch w mechanice, a w szczególności drgania mechaniczne ciał stałych, opisać można za
pomącą równań różniczkowych ruchu.
Jednym ze sposobów jest opis za pomocą równania Lagrange’a II rodzaju:


d  L  L R

 Q(r )


dt  q i  q i q i


Gdzie:
L(q1 , qi , t )  E  U - energia Lagrange’a;
Q – siła zewnętrzna;
1
Energia potencjalna: U  ci x 2  mi gx i (różnica wysokości, energia zgromadzona w ciele np.
2
sprężyna, akumulator hydrauliczny itp.);
2
1
Energia rozproszenia (Rayleigh’a): R   b j x energia wytracana w układzie i rozpraszana
2
j
poprzez zamianę na ciepło, luminescencję, zużycie trybologiczne itp. procesy nieodwracalne;
Przykładowe oprogramowanie wykorzystujące do celów symulacji opis ruchu na bazie
równania Lagrange’a
Postać numeryczna równania Lagrange’a i metody całkowania – interpretacja graficzna.
Zad. 1.
Dla układu przedstawionego na rysunku wyznaczyd równanie ruchu z wykorzystaniem równania
różniczkowego Lagrange’a, Nielsena, Mangelona - Delanou i Cenowa.
Dane: m1,m2, c1, c2.
c2
z
x2
c1
x1
I. Rozwiązanie powyższego zadania za pomocą równania różniczkowego Lagrange’a:
gdzie Pi to siły zewnętrzne ( u nas Pi=0 ).
Energia kinetyczna:
E
2
2
1
1
m1 x1  m 2 x 2
2
2
Energia potencjalna:
1
1
U  C2 x 2  C1 x1  x 2 
2
2
Funkcja Lagrange’a:
LEU
 2
 2
1
1
1
1

L  m1 x 1  m 2 x 2   C 2 x 2  C1 x 1  x 2 
2
2
2
2

Pierwsza pochodna energii kinetycznej wynosi:





E  m1 x1 x1  m 2 x 2 x 2

E

 x1

 m1 x 1

E

 x2

 m2 x 2
Obliczanie kolejnych składników równania:
U
E
 C1 x 1  x 2 
0
x 1
x 1
U
E
 C1 x 2  x 1  C 2 x 2
0
x 2
x 2
Po podstawieniu różniczek do równania Lagrange’a otrzymujemy:

x  C x


 x  C x
m1 x1  C1 x1  x 2  0

m2
2
1
1
2
2
2
0
Energia i jej przemiany. Część I
Energia kinetyczna, energia potencjalna
Energia mechaniczna
Zasada zachowania energii mechanicznej
III.
1.
2.
3.
Zad. 1.
Dachówka spada z dachu przebywając drogę AB = l = 4 *m+ w czasie τ = 1 *s+ z początkową
prędkością V0 = 0, a następnie spada swobodnie z wysokości h = 5 *m+ na ziemię. Wyznaczyd
w jakiej odległości od krawędzi dachu spadnie dachówka, jeżeli współczynnik tarcia
dachówki o dach wynosi µ.
B
h
α=6
00
z=
?
I odcinek
α
N
y
a
A
µ
T
G
x B
Z dynamicznych równao równowagi:

m x  Gsinα  T

m y  N  Gcosα => N=Gcosα

przyśpieszenie y =0
bo ruch jest prostoliniowy, odbywa się wzdłuż osi x

m x  Gsinα  Gμμcos
/:m

G
x  Gsinα  Gμμcos
g
/:
T=µN
T=Gµcosα
g
G

x  gsinα  gμμcos
- całkujemy

x  gsinα  gcosα   t  C1
x  gsinα  gcos  
t2
 C1t  C 2
2
Warunki początkowe: V0=0
dla
dla

t=0
t=0
x A = 0 czyli
t=τ
x=l
xA=0
czyli
C1=0
C2=0

x  gsinα  gcosα   t
x  gsinα  gcos  
VB=(gsinα-gµcosα)·τ

t2
l  ( g sin   g cos  ) 
2
2
2
gsinα  g cos  
VB 
2l

2
 
2l
τ
2l

VB = 8 [m/s]
II odcinek
x
y
m
V
α
B
A
F
ix
0


mx  0 my  G
Całkowanie:


x  C3 y  g

x=C3t+C4 y  gt  C5
yg
t2
 C5 t  C6
2
Warunki początkowe: V0=0

dla
t=0
t=0
x = VBcosα czyli
x=0
czyli
dla
t=0
y = VBsinα
czyli
C5=VBsinα
t=0
y=0
czyli
C6=0

x  VBcosα

C3=VBcosα
C4=0

y  gt  VBsinα
yg
x=VBcosα
t2
 VBsint
2
x=VBcosα
yg
t2
 VBsint
2
2
t
x
VB cos 
y
gx 2
 xtg
2VB2 cos 2 α
y
g  x 
x
gx 2
  VBsinα
 

 tgx
2  VB cosα 
VB cosα 2VB2 cos 2 α
Szukamy x dla y = 5
g8x 2
5
 3x
2  8 2  0,5 2
x1,2=-2,82±4,93
x=2,11 [m]
Zad. 2.
Jaką drogę przebędzie klocek o masie m umieszczony na poziomej, chropowatej
powierzchni, jeżeli nada się mu prędkośd początkową V
N
mg
x
T
y
G

m x  T


m x  N - mg
y  0 (przyspieszenie w y=0, bo nie ma ruchu w tej osi oraz siła N równoważy się z siłą mg)
N=m·g
T=N·µ=m·g·µ
Vp

m x  mgμ

x  gμ Całkujemy po czasie, aby uzyskad prędkośd a potem drogę.

x  μgt  C1 Prędkośd
x  μg
t2
 C1t  C 2 Przemieszczenie
2
Warunki początkowe:
dla
t=0
V=Vp
t=0
x=0
C1=Vp
C2=0

x  μgt  Vp Prędkośd
x  μg
dla

t= τ
x =0
Vp2
x  μg
x
t2
 Vp t Przemieszczenie
2
2μ 2 g 2
 Vp
Vp
μg
0=-µgτ+Vp

Vp2
2μμ

Vp2
μg

=> τ 
Vp
μg
τ – czas, po którym klocek wyhamuje od zera
Vp2
2g
2
p
V
2g
Zad. 3.
Ciała o ciężarach G i Q połączono nicią przerzuconą przez krążek C jak przedstawiono na
rysunku. Zakładając, że masa i opory ruchu krążka są pomijalnie małe wyznaczyd naciąg nici
oraz prędkośd ciała G po przebyciu drogi h.
Całkowanie:
µ
Q
1
1dt T t  C  tdt  2 t
2
C
h1
1 1
1 3
2
t
dt

t

C
t 2dt   t 3  C


3
2
2 3
µ
N
α
y
G
x
G
x
S
a
T
Q
dla ciała G
S
G=mg => m  G dla ciała Q
Q=mg
g
F
ix
 0  Fix  0
G-S=max
S  T  Qsinα 
F
iy
Q
a
g
0
N-Qcosα = 0 => N = Qcosα
T=µN
=> T = µQcosα
S  Qcos  Qsinα 
G
Q
a
g
G
Q
 a  Q  sinα  μcosα    a
g
g
G  Q  sinα  μcosα  
G
Q
a  a
g
g
/ g
g  G  Q  sinα  μcosα   a  G  Q
a
g  G - Q  sinα  μcosα 
GQ
oraz
SG
G g  G - Q  sinα  μcosα 

g
GQ
S
GQ  G 2  G 2  GQ  sinα  μcosα 
GQ
S
GQ  (1  sinα  μcosα)
GQ
tC 
h
t
2h V =at dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
K
C
a
at 2 2h  at 2
2
2h
a
IV.
Energia i jej przemiany. Część II
ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI ENERGII KINETYCZNEJ I PRACY
Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu i układu punktów
materialnych, równa sumie energii kinetycznej oraz energii potencjalnej sił wewnętrznych i
zewnętrznych, zachowuje stałą wartość
E2+ VZ(2) + VW(2)=E1+ VZ(1)+VW(1)
Wzór wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej.
Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac
sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu
E2- E1=W
Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru,
gdyż odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie.
Zad. 1.
Walec o masie m kg i promieniu podstawy r m jest owinięty w środku cienką linką, której
koniec A przymocowano do punktu stałego. Walec zaczyna opadać bez prędkości
początkowej, odwijając się z linki. Obliczyć prędkość osi walca V w chwili, gdy oś obniżyła
się o wysokość h.
Rozwiązanie:
W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna
E2- E1=W
Zatem
stąd
Zad. 2.
Koło o masie m kg toczy się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie pochylenia α.
Współczynnik tarcia tocznego wynosi f. Stały moment M Nm jest przyłożony do koła o masie
2m i promieniu 2r, obracającego się względem osi O. Z kołem tym jest połączone koło o
masie m i promieniu r. Wyznaczyć przyspieszenie kątowe ε2. W chwili początkowej układ
znajdował się w spoczynku.
Rozwiązanie:
W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna
Zależności między prędkościami:
Wszystkie prędkości wyrażamy przez ω2
Pracę wykonują siły ciężkości oraz stały moment M i moment tarcia N·f
Zależności na drogę:
Wartość siły nacisku
Po podstawieniu do wzoru E2- E1=W otrzymamy
Po zróżniczkowaniu obu stron otrzymamy
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
Zad. 3.
Ciężarek A o masie m1 kg opada zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej linie
przeciągniętej przez bloczek B i nawiniętej na bęben o promieniu r m, na którym osadzone
sztywno koło o promieniu R, toczące się bez poślizgu po poziomym torze. Współczynnik
tarcia tocznego wynosi f. Wspólna masa koła i bębna jest równa m2 kg. Wyznaczyć
przyspieszenie kątowe ε oraz liniowe a1 i a2.
V.
CIŚNIENIE, ELEMENTY MECHANIKI PŁYNÓW
Statyka płynów
Zadanie 1
Otwarty zbiornik wypełniony jest wodą
na wysokość
h1 oraz olejem na
wysokość h2. Ciśnienie wody przy dnie
jest
mierzone
za
pomocą
piezometrycznej rurki o wysokości h.
Jaka jest gęstość oleju ρ0? Jaka będzie
wysokość
cieczy
w
rurce
piezometrycznej rurce(h’) jeśli zbiornik
będzie zamknięty a ciśnienie w
zbiorniku wzrośnie o Δp?
woda
[1]
Wyznaczyć:
Dane:
h1
=
0.2 m
h2
h
p0
=
1.2 m
=
=
v =
p 
o = ?
h
=?
1.2 m
0.10132 MPa
-3
1000 kg.m
0.01 MPa
Rozwiązanie: dla otwartego zbiornika p=p o:
dla zamkniętego zbiornika z ciśnieniem p, gdzie p=p o+Δp
Zadanie 2
Jaka jest różnica ciśnień Δp w poziomej
rurze (w której przepływa woda),
mierzonego
za
pomocą
u-rurki
wypełnionej rtęcią. Różnica poziomów
rtęci wynosi Δh.
p1
p2
h
h
v
[2]
h
 H 20
 Hg
Hg
Wyznaczyć:
Dane:
0.35 m
=
p
=?
-3
=
1000 kg.m
=
13600 kg.m
-3
Rozwiązanie:
Do samodzielnego rozwiązania:
V
h
h
p
Hg
h'
h'
Zadanie 3
Ciśnienie wody w rurze mierzy się
ururką z otwartym końcem. Różnica
poziomów rtęci w ururce wynosi Δh.
Położenie dolnego poziomu rtęci
względem osi rury jest określone za
pomocą wysokości h. Jak wielkie jest
mierzone ciśnienie p ? Zakładając stałe
ciśnienie p, jaka będzie różnica
poziomów rtęci Δh’przy zmianie h na
h’? Ciśnienie atmosferyczne wynosi p0.
[3]
h
h
h
p0
v
Dane:
0.3 m
=
1m
=
p
h 
=
1.5 m
=
0.1 MPa
=
1000 kg.m
Wyznaczyć:
=?
=?
-3
 Hg =
-3
13600 kg.m
Statyka płynów –część II
Zadanie 1
W zbiorniku wypełnionym cieczą są
zamontowane dwa tłoki o średnicach d1
oraz d2. Na pierwszy z nich działa siła
F1. Wyznaczyć ciśnienie p w cieczy oraz
siłę
F2
utrzymujący
tłoki
w
równowadze.
[4]
Dane:
d1
d2
F1
=
0.29 m
p
=
0.55 m
F2
=
1407 kN
Wyznaczyć:
=?
=?
Rozwiązanie:
Zadanie 2
Dwa cylindry o różnych wielkościach są
sztywno połączone z sobą za pomocą
pręta. Jeśli na cylinder o powierzchni S1
działa ciśnienie p1, wówczas w pręcie
pojawia się siła F1. Ta siła jest
przeniesiona na drugi cylinder o
powierzchni S2, jako daną wyjściową
uzyska się ciśnienie p2. Wyznaczyć
wartość tego ciśnienia.
S1
S2
F2
p1
p2
[5]
Wyznaczyć:
Dane:
S1
S2
p1
=
=
20 cm
2
16 cm
2
p2
=?
1 MPa
=
Rozwiązanie:
Zadanie 3
=
H
h
p0
d
Wyznaczyć:
h= ?
Dane:
D
=
d
H=
p0
D
Prętem połączone
cylindry znajdują się w
położeniu jak ukazano
na rysunku.
Wyznaczyć h jeśli dany
jest stosunek D/d oraz
H.
3
4m
-3
1000 kg.m
Napór hydrostatyczny na sztywne ściany płaskie
Zadanie 1
Wyznaczyć siłę naporu F na okrągłą
ścianę zbiornika w którym znajduje się
ciecz wypełniająca rurkę do wysokości
h. Wyznaczyć różnicę Δh pomiędzy
środkiem ciężkości a środkiem naporu.
Gęstość wody wynosi  .
h
p0
H2O
D
T
P
h
F
[6]
Dane:
Wyznaczyć:
h=
D=
=
F=?
h = ?
1.4 m
0.8 m
-3
1000 kg.m
Rozwiązanie:
Zadanie 2
p
Wyznaczyć siłę naporu
F i środek naporu hp
dla kwadratowego
wieka kanału
F
znajdującego się na
HO
głębokości hT pod
poziomem wody
(p0=const). Wyznaczyć
średnią wartość ciśnienia p na wieko.
hP
hT
0
p0
T
P
a
2
Dane:
1.6 m
hT =
1m
a=
=
1000 kg/m3
F
Wyznaczyć:
=?
hp = ?
p =?
Rozwiązanie:
F
ht

Zadanie 3
Wyznaczyć wartość siły naporu F na
okrągłe wieko zbiornika oraz położenie
środka naporu xp. Wyznaczyć składową
pionową siły naporu Fy.
xT
H2O
P
T
xP
D
[7]
Wyznaczyć:
Dane:
D
xT


F
=
1m
=
1.8 m
xp
=
40 deg
Fy = ?
?
=
=?
-3
1000 kg.m
Napór hydrostatyczny na sztywne ściany zakrzywione
Zadanie 1
Wyznaczyć wartość siły naporu F na
ścianę zakrzywioną o przekroju
walcowym wyrażonym promieniem R
oraz
szerokością
B.
Wyznaczyć
składowe Fx, Fy oraz kąt α.
R

F
H2O
Wyznaczyć:
Dane:
R=
0.8
m
B=
3
m
 =
1000
kg.m
-3
Fx =
?
Fy =
F=
=
?
?
?
Rozwiązanie:
Zadanie 2
h
Wyznaczyć siłę naporu wody F na
walcową ścianę zbiornika o szerokości
B.
F
R
S
Wyznaczyć:
Dane:
h=
R=
B=
=
0.8
0.4
m
m
4.0
m
1000 kg.m-3
Fx =
Fy =
F=
?
?
?
Rozwiązanie:
h=
R=
=
6.5 m
4m
1000 kg.m-3
R
F

Dane:
h
Zadanie 3
Wyznaczyć składowe
Fx, Fy, kąt α oraz
wypadkową siłę
naporu wody F na
ścianę w kształcie
półkuli.
Wyznaczyć:
Fx = ?
Fy = ?
F=?
= ?
Napór hydrostatyczny na sztywne ściany zakrzywione
Objętościowe natężenie przepływu wody, równanie
Bernoulliego
Zadanie 1
W zbiorniku o szerokości b i długości l poziom wody obniżył się o wielkość h w czasie t. Wyznaczyć średnie objętościowe
natężenie przepływu wody
Qv .
b=
40 m
l=
h=
t =
300 m
Qv
h
Wyznaczyć:
Dane:
=?
8m
Q
30 min
V
l
Rozwiązanie:
Zadanie 2
Ze zbiornika poprzez rurkę o średnicy d wypływa płyn o gęstości
oraz ciśnieniu
zbiorniku działa również ciśnienie atmosferyczne. Są dane
h1
h2 . Wyznaczyć objętościowe natężenie
Qv , oraz ciśnienie p1 w punkcie 1.
oraz
wypływu płynu
Wyznaczyć:
Dane:
d

p0
Qv
p1
12 cm
=
-3
=
1000 kgm
h1 =
h2 =
1m
p0 =
100000 Pa
d
0
h2
wysokości
1
p 0 . Zbiornik jest otwarty, także na płyn w
h1


=?
=?
1m
Rozwiązanie:
Równanie Bernoulliego
v = konst
0-2
2
p0
Równanie Bernoulliego
1-2
Objętościowe natężenie wypływu płynu Qv :
Zadanie 3
Woda wypływa ze zbiornika z objętościowym natężeniem
. Wyznaczyć odpowiadającą wysokość poziomu wody H, oraz ciśnienie
atmosferyczne
p0
=
=
d2 =
 =

=
200 m3.h-1
1m
Wyznaczyć:
v2 = ?
H=?
75 mm
d2 = ?
o
p1 = ?
10
w punkcie
na
1.
d2
1000 kg.m-3
p0
0
d1
1
v1
p1

2
p0
v2
d2
pod
Ciśnienie
wynosi 101325 Pa.
Dane:
Qv
l
p1
d1
H

poprzez otwór o długości l, zwężający się z
l
kątem
Qv
VI. WŁAŚCIWOŚCI MATERII. FIZYKA CZĄSTECZKOWA
6.1. Atomowa struktura materii
Doskonały kryształ składa się z uporządkowanych atomów w sieci krystalicznej, opisanej przez
trzy podstawowe wektory translacji; a, b, c , tak, że układ atomów pozostaje niezmieniony czy
obserwujemy go z punktu P(r) czy z punktu P(r’).
a
b
T
r
r’
Rys. 6.1. Część kryształu w przestrzeni dwuwymiarowej
Uporządkowanie atomów w krysztale wygląda dokładnie tak samo bez względu na to, czy
obserwujemy z punktu r’, czy r, pod warunkiem, że wektor T, który łączy r’ i r można
przedstawić jako iloczyn liczb całkowitych wektorów a i b. Relacja między wektorami r i r’ jest
następująca (dla przypadku trójwymiarowego):

 


r '  r  n1a  n2 b  n3c
gdzie: n1 , n2 , n3 są dowolnymi liczbami całkowitymi.
Zbiór punktów określonych tym równaniem dla wszystkich wartości i definiuje sieć
krystaliczną.
Sieć: jest regularnym i periodycznym układem punktów w przestrzeni. Ze strukturą krystaliczną
mamy doczynienia wówczas, gdy baza atomów jest przyporządkowana jednoznacznie do
każdego węzła sieci.
Baza: składa się z jednego atomu dla najprostszych kryształów może być również 105 atomów
lub cząsteczek np. w białkach.
Przekształcenie translacji sieci lub przekształcenie translacji kryształu definiujemy jako
przesuniecie równoległe kryształu względem siebie o wektor translacji kryształu T.



T  n1a  n2 b  n3c
Komórka prosta sieci:
Równoległościan a, b, c nazywamy komórką prostą, która jest jednym z typów komórki
elementarnej.
Komórka elementarna
stanowi przestrzeń powstałą z przekształceń translacji kryształu. Istnieje pięć sieci
dwuwymiarowych Bravais’ego, parametry sieci są przedstawione w tabeli 6.1.
Istnieje czternaście rodzajów sieci trójwymiarowych, występujących w siedmiu układach
krystalograficznych.
Tabela 6.1. Pięć sieci dwuwymiarowych Bravego
Sieć
Umowna komórka
Parametry sieciowe
elementarna
komórki elementarnej
Ukośnokątna
równoległobok
a  b;   90O
Kwadratowa
kwadrat
a = b;  = 90O
Heksagonalna
romb
a = b;  = 120O
prostokątna prosta
prostokąt
a  b;  = 90O
Prostokątna centrowana
prostokąt
a  b;  = 90O
Wiązania w krysztale
Całkowicie odpowiedzialne za spójność ciała stałego jest oddziaływanie przyciągające –
elektrostatyczne, między ujemnymi ładunkami elektronów, a dodatnim ładunkiem jąder. Siły
magnetyczne mają mały wpływ na spójność kryształu, a siły grawitacyjne można w ogóle
pominąć.
Energię wiązania kryształu można obliczyć z danych o przestrzennym rozkładzie elektronów
i jąder w krysztale (z praw mechaniki kwantowej) oraz z danych o rozkładzie ich prędkości.
W zagadnieniu spójności porównujemy całkowitą energię ciała stałego (energia kinetyczna +
potencjalna) z energia dla tej samej liczby swobodnych atomów nieskończenie odległych od
siebie.
Kryształ jest stabilny gdy jego całkowita energia jest mniejsza od całkowitej energii
swobodnych atomów i cząstek.
Energia spójności = energia swobodnych atomów – energia kryształu
Rodzaje wiązań:
a)
b)
c)
C
C
C
C
C
diament
Rys. 6.2. Podstawowe rodzaje wiązań krystalicznych: a) van der Waalsa, b) jonowe,
c) kowalencyjne
Typ wiązania
kowalentne
jonowe
metaliczne
Molekularne
(van der Waalsa)
Tabela 6.2. Typy wiązań i ich własności
Przykład
Energia wiązania
kJ/mol
diament
710.60
NaCl, LiF
752.40, 1003.20
Na, Fe
108.68, 392.92
Ar, CH4
7.52, 10.03
Charakterystyczne
własności
Twarde,
małe przewodnictwo
elektryczne
Pochłanianie w podczerwieni,
małe przewodnictwo elektronowe
w niskich temperaturach, duże
przewodnictwo
jonowe
w
wysokich temperaturach
Duże przewodnictwo elektryczne i
przewodnictwo cieplne
Niska temperatura topnienia i
wrzenia, duża ściśliwość
Wiązanie van der Waalsa - Londona:
Występuje w gazach szlachetnych (tworzą strukturę o możliwie najgęstszym
upakowaniu)
Potencjał elektrostatyczny od kulistego rozkładu ładunku elektronów znosi się na zewnątrz
obojętnego atomu z potencjałem elektrostatycznym ładunku zawartego w jądrze. Wydaje się
więc, że atomy gazów szlachetnych nie mogą tworzyć struktury krystalicznej. Wszystkie
średnie momenty elektryczne są równe zeru. Lecz ze względu na ruch elektronu wokół jądra w
pewnym momencie istnieje różny od zera elektryczny moment dipolowy.
Rys.3. Oddziaływanie van der Waalsa,
Rysunek rys.3. przedstawia oddziaływanie przyciągające dwóch atomów dla czasów ta i tb dla
których w atomie 1 występuje moment dipolowy P1. Ten moment dipolowy wytwarza pole
elektryczne E, którego linie sił obejmują atom 2 wzbudzając w nim moment dipolowy P2.
Chwilowy, dipolowy moment elektryczny P1 wytworzony w atomie pierwszym wytwarza
w środku atomu drugiego, odległego o R, pole elektryczne:
2p
E  31
R
Pole to wywołuje dipolowy moment elektryczny w atomie 2-gim:
2p
p2  E  3 1
R
gdzie:
a jest polaryzowalnością elektronową : [a]=[długość]3  [ro]3
ro jest promieniem atomowym
[p] = [ładunek][długość]  er0, gdzie e jest ładunkiem elektronu.
Energia potencjalna dipoli:
2 p1 p2
4p12


R3
R6
4e 2 rO5
U ( R)  
R6
o
10 58
U ( R )   6 dla rO  10 58 cm  1 A
R
U ( R)  
[U]=erg dla [R] w cm
C
U ( R)   6
R
gdzie stała C  10-58 erg cm6
Jest to energia
fluktuującego pola
oddziaływania
van
der
Waalsa-Londona,
czyli
energia
Występuje również oddziaływanie odpychające. Energia potencjalna tego oddziaływania
wynosi:
B
U ( R )  12 gdzie B > 0
R
Nakładanie powłok elektronowych (potencjałów) atomów o zapełnionych powłokach może
zachodzić wówczas gdy elektrony są przeniesione do stanów o większej energii, wówczas
wzrasta całkowita energia układu, co wprowadza do układu przyczynek odpychający. Wówczas
całkowita energia wynosi:
  12    6 
U ( R )  4      
 R  
 R 
gdzie:  i  są współczynnikami określonymi przez relacje: 4 6  C , 4 12  B
Energia potencjalna U(R) znana jest jako potencjał Lennarda – Jonesa.
Wiązanie jonowe
Kryształy jonowe są utworzone z dodatnich i ujemnych jonów. Jony są tak
rozmieszczone, że kulombowskie siły przyciągania pomiędzy jonami o przeciwnych
znakach są większe od sił odpychania między jonami tych samych znaków.
Zasadniczy wkład do energii wiązania kryształów jonowych daje oddziaływanie
elektrostatyczne zwane energią Madelunga.
U i  U ij
j i
gdzie:
U ij
Ui
jest energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem,
jest energią całkowitą jednego dowolnego i-tego jonu.
Całkowita energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem wynosi:
 rij  q 2
U ij   exp    
   rij
Gdzie:
q2
Człon 
jest potencjałem kulombowskim zwanym energią Madelunga, a pierwszy człon
rij
równania stanowi potencjał odpychający: wypełnione powłoki elektronowe zachowują
sztywność i przeciwdziałają nakładaniu się rozkładów elektronowych sąsiednich jonów.
 r 
 exp   ij  jest potencjałem odpychającym, który pochodzi od pola centralnego
 
,  są współczynnikami empirycznymi, wyznacza się je znając wartość stałej sieciowej
i współczynnika ściśliwości.
Wiązanie kowalencyjne
Siła wiązania jest porównywalna z wiązaniem jonowym, mimo, że wiązanie występuje między
atomami a nie jonami. Wiązanie jest izotropowe. Wiązanie tworzą dwa elektrony; po jednym z
każdego z sąsiadujących atomów. Następuje wymiana elektronów o spinach przeciwnych.
Rys. 6.3. Energia cząsteczki wodoru H2 odpowiadająca energii potrzebnej do rozdzielenie
atomów obojętnych. Ujemne wartości energii dotyczą wiązania
Krzywą N obliczono w sposób klasyczny przy położeniu gęstości ładunku dla atomu
swobodnego: A jest krzywą otrzymaną przy założeniu równoległych spinów elektronów i
uwzględnieniu zasady Pauliego, a S (stan stabilny) – przy założeniu spinów antyrównoległych.
Linki konturowe przedstawiają gęstość ładunków dla stanów A i S.
Wiązanie metaliczne
Kryształ o wiązaniu metalicznym można przedstawić jako zbiór jonów dodatnich
zanurzonych w morzu elektronów. W przypadku metali przejściowych mogą występować
dodatkowe siły wiązania wynikające z oddziaływań między wewnętrznymi powłokami
elektronowymi.
6.2. Rozkład Fermiego-Diraca (F-D):
Założenia:
- cząstki są nierozróżnialne,
- cząstki nie oddziaływują ze sobą,
- spełniony jest zakaz Pauliego: w jednym stanie energetycznym opisanym przez
zespół liczb kwantowych może znajdować się jedna cząstka (dwie ze względu na
spinową liczbę kwantową:
1
ms  
2
Rozważamy:
i – liczba poziomów (przedziałów energii),
ni – liczba cząstek na i-tym poziomie,
gi – liczba dostępnych stanów,
Ei – energia i-tego stanu,
N – całkowita liczba cząstek,
E - całkowita energia układu N cząstek w danej temperaturze T
Celem opisu statystycznego jest znalezienie odpowiedzi na pytanie, jaki jest rozkład
cząstek N między różnymi poziomami, żeby całkowita energia Ei była stała, czyli gdy
spełnione są warunki:
N   ni  const (6.1)
i
E   ni Ei  const (6.2)
i
Wyrażenie:
ni

gi
1
(6.3)
Ei  
1  exp(
)
k BT
określa prawdopodobieństwo obsadzenia Ei poziomu w temperaturze T . Dla dużych wartości
energii Ei , rozkład ten przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmannna:
ni
E
 exp(  i ) (6.4)
gi
k BT
Funkcja rozkładu opisana powyższym związkiem jest to funkcja rozkładu Fermiego
Diraca:
n
1
(6.5)
fi (E)  i 
Ei  E F
gi
1  exp(
)
k BT
gdzie EF jest to energia Fermiego.
Określimy funkcje gęstości stanów i , określa ona liczbę stanów w jednostkowym
przedziale energii:
g
 i  i (6.6)
Ei
ni  f i gi  f i ( Ei ) i Ei (6.7)
Zgodnie z zapisem we wzorze (1.1), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy:

N
 f ( E ) ( E )dE
(6.8)

Zgodnie z zapisem we wzorze (1.2), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy:

E
 f ( E ) E ( E )dE
(1.9)

Całka w granicach od -  do +  redukuje się do granic w ramach, których (E) > 0.
Interpretacja energii Fermiego; Ef
W temperaturze T =0 K jest to poziom odcięcia, oznacza to, że wszystkie poziomy o
energii mniejszej niż energia Fermiego są na pewno obsadzone: czyli dla tych poziomów
funkcja rozkładu f(E) =1, natomiast poziomy o energii większej niż energia Fermiego są
puste, dla tych poziomów funkcja rozkładu f(E) =0 .
Rys. 6.4. Funkcja rozkładu Fermirgo-Diraca F(E) dla T=0 oraz dla dowolnej temperatury T
a) przypadek E < Ef :
f (E) 
1
 1 (6.10a)
1  exp( )
f (E) 
1
 0 (6.10b)
1  exp( )
b) przypadek E > Ef :
1
2
Cząstki podlegające statystyce F-D noszą nazwę fermionów, należą do nich:
- elektrony,
- protony,
- neutrony.
Dla T >0 oraz dla E =Ef funkcja rozkładu f ( E ) 
Ogólnie, są to cząstki o spinie połówkowym (liczba kwantowa związana z ruchem
obrotowym cząstki wokół własnej osi).
6.3. Rozkład Bosego – Einsteina (B-E)
Założenia:
- cząstki są nierozróżnialne,
- cząstki nie oddziaływują ze sobą,
- nie jest spełniony zakaz Pauliego .
Funkcja rozkładu Bosego- Einsteina ma postać:
1
(6.11)
E 
exp( i
) 1
k BT
Cząstki podlegające statystyce B-E noszą nazwę bosonów, należą do nich:
- fotony,
- fonony,
- He4.
Ogólnie są to cząstki o spinie całkowitym.
f (E) 
Fale materii
Hipoteza de Broglie ( 1924) głosi, że dwoiste korpuskularno – falowe zachowanie jest
cechą nie tylko promieniowania, lecz również materii.
W przypadku materii i promieniowania całkowita energia E dowolnego obiektu
fizycznego jest związaną z częstotliwością  fali stowarzyszonej, opisującej jego ruch,
następującą relacją:
E  h (6.12)
gdzie: h=6,6×10-34 J ·s jest stałą Plancka.
Pęd tego obiektu związany jest z długością przypisanej mu fali następującą relacją:
p
h

Definiujemy:

 
h
(6.13)
p
h
2
, k
2

gdzie k jest wektorem falowym o kierunku zgodnym z kierunkiem propagacji fali o
długości . Wówczas związek (6.13) ma postać:


p  k (6.14)
Wielkości charakterystyczne dla cząstki: energia E, oraz pęd p są związane poprzez stałą
Plancka h z wielkościami charakterystycznymi dla ruchu falowego; częstotliwość , oraz
długość fali  .
h
opisuje długość fali de Broglie, czyli długość fali materii stowarzyszonej z
p
ruchem cząstki o pędzie p.
Wyrażenie  
Przykłady:
a) obiekt makroskopowy
piłka o masie m =1kg , porusza się z prędkością v =10 m/s, długość fali
de Broglie stowarzyszonej z tym obiektem wynosi:

o
h 6,6  10 34 J  s

 6,6  10 35 m  6,6  10 25 A
m
p
1,0  10kg
s
Długość fali stowarzyszonej z ruchem piłki jest tak mała, że nie istnieje układ
fizyczny, który umożliwiłby zaobserwować aspekty falowe (interferencja, dyfrakcja)
związane z tym ruchem.
b) obiekt mikroskopowy
elektron o masie m = 9,1 ×10-31kg posiada energię kinetyczną Ek =100eV.

h

p
o
h
 1,2  10 10 m  1,2 A
2mEk
 jest małe i dlatego w celu zaobserwowania falowych aspektów związanych z ruchem
elektronów należy dysponować układem o przesłonach posiadających rozmiary o
o
porównywalne z   1 A , takim układem jest sieć krystaliczna.
Doświadczenie Davissona – Germera
Rys. 6.5. Schemat doświadczenia Davissona – Germera
e (elektrony) - są przyspieszane regulowaną różnicą potencjału
Rys. 6.6. Zależność natężenia kolektora detektora od energii kinetycznej
elektronów
Kryształ powinien silnie rozpraszać wiązkę elektronów ; atomy kryształu stanowią
trójwymiarową siatkę dyfrakcyjną. W obrazie detekcyjnym widać maksimum dla = 50°.
Istnienie tego maksimum można wytłumaczyć jedynie jako wynik konstruktywnej
interferencji fal rozproszonych na periodycznie rozmieszczonych atomach tworzących
płaszczyzny kryształu.
Nie tylko elektrony, lecz wszystkie poruszające się materialne obiekty naładowane
i elektrycznie obojętne wykazują cechy falowe w warunkach charakterystycznych dla
optyki fizycznej. Np. wiązki atomów wodoru i helu ulegają rozproszeniu na monokrysztale
fluorku litu, natomiast powolne neutrony na krysztale chlorku sodu (sól kuchenna).
Cechy korpuskularne staja się bardzo wyraźne, gdy badamy zjawiska emisji lub
absorpcji.
Cechy falowe staja
i promieniowania.
się
wyraźne,
gdy
badamy
rozchodzenie
się
materii
Dwoistość falowo – korpuskularna:
Stosunek e/m (ładunek elektronu/masa elektronu) wyznaczony z eksperymentu pomiaru
śladu jonizacji wskazuje na stosowalność modelu korpuskularnego, natomiast zjawisko
dyfrakcji sugeruje model falowy.
Einstein sugerował, że średnia wartość kwadratu amplitudy fali, która w teorii
elektromagnetyzmu jest proporcjonalna do energii przypadającej na jednostkę objętości,
można interpretować, jako miarę średniej liczby fotonów znajdujących się w jednostce
objętości.
Uogólnienie hipotezy de Broglie przez Schrödingera dało początek mechanice kwantowej.
Fala de Broglie jest interpretowana przez funkcje falową, która dla przypadku
jednowymiarowego ma postać:
x
 ( x, t )  A sin 2 (  vt)  A sin(kx  t ) (1.16)

Wyrażenie (1.16) jest jest analogiczne do wyrażenia na natężenie pole elektrycznego fali
elektromagnetycznej.
E ( x, t )  EO sin(kx  t )
Zasada nieoznaczoności:
Czy można, przeprowadzając odpowiedni pomiar, jednocześnie określić zarówno pęd p
jak i położenie x materii (promieniowania)?
Nie można ich określić dokładniej niż na to pozwala zasada nieoznaczoności
Heisenberga.
Zasada ta stanowi odpowiedź daną przez mechanikę kwantową, w postaci
analitycznej jest zapisana, np. dla przypadku jednowymiarowego:

p x x  (6.17)
2
gdzie:
px - jest dokładnością pomiaru x-owej składowej pędu,
x - jest dokładnością pomiaru położenia.
Zasada ta nie jest wynikiem niedokładności przyrządów pomiarowych, ale odnosi się do
samego procesu pomiaru. Uwzględnia ona oddziaływanie miedzy obserwatorem i mierzonym
obiektem, oddziaływanie to zawsze występuje.
Zasada ta wynika z hipotezy de Broglie oraz z pewnych prostych wspólnych dla wszystkich
fal własności. Odnosi się ona również do pomiaru energii i czasu życia na danym poziomie
energetycznym:

E  (6.18)
2

p x x  (6.17)
2
gdzie:
E - jest dokładnością pomiaru energii,
 - jest dokładnością pomiaru czasy życia .
Przykład:
a) Obiekt makroskopowy; kula o masie m=50g
b) Obiekt mikroskopowy; elektron o masie m=9.1·10-28 g
Poruszają się z taka sama prędkością 300 m/s , prędkość ta jest wyznaczona z dokładnością
0,01%. Pytanie jak dokładnie możemy wyznaczyć położenie kuli i elektronu?
Ad. a) p  15kg 
x 
m
m
, p  0,0001  15  1,5  103 kg 
s
s
O

 3  1022 A
2p
wielkość ta stanowi 10-17 średnicy jądra atomowego, jest więc wielkością niemierzalną. Czyli
dla obiektów makroskopowych istnienie zasady nieoznaczoności Heisenberga nie nakłada na
procedurę pomiarową żadnych ograniczeń.
Ad. b) p  2,7  10 28 kg 
x 
m
m
, p  m  2,7  10 32 kg 
s
s
O

 0,2cm  2  107 A
2p
wielkość ta stanowi 107 średnicy jądra atomu. Dla obiektów mikroskopowych występują w
praktyce zawsze ograniczenia w procedurze pomiarowej.
6.4. Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej
Postać funkcji falowej dla fali dr Broglie (przypadek jednowymiarowy):
x
 ( x, t )  sin 2 (  vt)  sin(kx  t )

Postać ta została określona metodą zgadywania, wykorzystano twierdzenie:
Cząstka swobodna ma stały pęd p, gdyż nie działa na nią żadna siła, a zatem odpowiada jej
h
długość fali  
p
Równanie to jest znaną postacią fali bieżącej o stałej długości l. Ma ona także stałą
E
częstotliwość , której wartość otrzymuje się ze związku Einsteina   , gdzie E jest
h
energią całkowitą stowarzyszonej z falą cząstki.
Równanie falowe dla struny można wyprowadzić z równania Newtona, równanie falowe dla
fal elektromagnetycznych można wyprowadzić z równań Maxwella. Nie należy oczekiwać,
by kwantowe równanie falowe otrzymać z równań mechaniki klasycznej. Można sadzić, że
E
h
pomocne będą postulaty de Broglie oraz Einsteina:   oraz E  h   
h
p
Poszukiwane równanie kwantowe musi spełniać następujące założenia:
1. Równanie musi być zgodne z postulatami de Broglie i Einsteina
2. Równanie musi być zgodne ze związkiem na całkowita energię:
p2
E
 V pomija się energię masy spoczynkowej
2m
3. Równanie musi być liniowe względem (x, t), czyli:
1(x, t) oraz 2(x, t) są są dwoma rozwiązaniami odpowiadającymi tej samej energii
potencjalnej, wówczas dowolna kombinacja liniowa: (x, t) = c11(x, t) + c22(x, t) jest
tez rozwiązaniem.
Kombinacja nazywa się liniowa, gdyż zawiera pierwsze potęgi funkcji, dowolna, gdyż
stałe c1 i c2 mogą przyjmować dowolne wartości. Żądanie liniowości zapewnia, że
będziemy mogli dodawać do siebie funkcje falowe tworząc charakterystyczna dla fal
interferencję konstruktywną i destruktywną
4. Energia potencjalna, przedstawiona dla przypadku ogólnego: V =V ( x,t ) musi być
wielkością stałą; gdyż dla V =const to cząstka jest swobodna i wówczas fala
stowarzyszona ma stałą częstotliwość  oraz długość 
5. Całkowita energia E =h  =Ek +V , uwzględniając hipotezę de Broglie
mamy:
p2
h2
E

2m 2m2
wykorzystujemy związki:   2 , k 
2

, 
h
wówczas całkowita energia jest
2
przedstawiona równaniem:
 
2k 2
V
2m
Szukane równanie ma postać:
2
( r, t )

 ( r, t )  V ( r, t )( r, t ))  i
2m
t
Powyższe równanie jest równaniem Schrödingera.
Przykład: (F1)
Cząstka
swobodna
V ( x)=0 ,
przypadek
jednowymiarowy.
Zgodnie
z
mechaniką klasyczną cząstka swobodna porusza się ze stałym pędem p lub jest w
spoczynku. W obu przypadkach jej całkowita energia E jest stała.
Równanie Schrodingera dla takiego zagadnienia:

 2 d ( x )
 E ( x )
2m dx 2
Szukamy rozwiązania w postaci:
(x) = Aexp( x)
Rozwiązanie dla równania Schrodingera zależnego od czasu ma postać:
 E 
( r, t )   ( x ) exp   i t 
  
E
Zgodnie z postulatem Einsteina  
i wówczas rozwiązanie jest w postaci:

( x, t )   ( x) exp  it 
Ostatecznie ze otrzymujemy rozwiązanie równania stacjonarnego
( x, t )  A exp i kx  t 
lub:
( x, t )  A coskx  t   iA sinkx  t 
Jest to równanie fali bieżącej.
6.5. Podstawy Mikroskopii Elektronowej
Podstawowe zasady działania mikroskopu skaningowego.
W mikroskopach skaningowych wiązka elektronów bombarduje próbkę, skanując jej
powierzchnię linia po linii. Pod wpływem wiązki elektronów próbka emituje różne sygnały
(m. in. elektrony wtórne, elektrony wstecznie rozproszone, charakterystyczne promieniowanie
rentgenowskie), które są rejestrowane za pomocą odpowiednich detektorów, a następnie
przetwarzane na obraz próbki lub widmo promieniowania rentgenowskiego.
Mikroskop skaningowy składa się z (rys. 6.7):
 działa elektronowego, gdzie wytwarzana jest wiązka elektronów,
 kolumny, w której następuję przyspieszanie i ogniskowanie wiązki elektronów,
 komory próbki, gdzie ma miejsce interakcja elektronów wiązki z próbką,
 zestawu detektorów odbierających różne sygnały emitowane przez próbkę
 systemu przetwarzania sygnałów na obraz.
Rys. 6.7. Schemat budowy elektronowego mikroskopu skaningowego (SEM)
Wiązka elektronów jest wytwarzana przez działo elektronowe (rys.6.8) na szczycie kolumny
mikroskopu. Pole elektrostatyczne w dziale elektronowym kieruje wyemitowane z
niewielkiego obszaru na powierzchni katody elektrony do małego otworu – źrenicy elektronooptycznej.
Włókno
Napięcie katody
np. 30.0 kV
Napięcie wehneltu
np. 30.5 kV
Wehnelt
pró
ba
Źrenica elektrono-optyczna
Średni
Anoda (0 V)
ca
plamki
Elektrony
Rys. 6.8. Schemat budowy działa elektronowego
Następnie elektrony są rozpędzane (przyspieszane) w kolumnie mikroskopu, w
kierunku próbki, z energią od kilkuset do kilkudziesięciu tysięcy elektronowoltów. Jest kilka
rodzajów dział elektronowych: wolframowe, LaB6 (lanthanum hexaboride) i działa z emisją
polową. Wykonane są one z różnych materiałów i ich działanie opiera się na różnych
zjawiskach fizycznych, lecz wszystkie mają za zadanie wytworzenie wiązki elektronów o
stabilnym i wystarczającym prądzie przy możliwie małym rozmiarze.
Elektrony wydostające się z działa elektronowego tworzą wiązkę rozbieżną. Wiązka ta
zyskuje zbieżność i zostaje zogniskowana przez zestaw soczewek magnetycznych i apertur w
kolumnie. Zestaw cewek skanujących u podnóża kolumny odpowiada za przemieszczanie
wiązki w obszarze skanowania. Soczewka obiektywu ogniskuje wiązkę w możliwie małą
plamkę (spot) na powierzchni próbki.
Komora próbki jest wyposażona w ruchomy stolik umożliwiający przesuwanie próbki
w trzech prostopadłych kierunkach, jej obrót wokół osi pionowej i odchylanie od pionu.
Specjalne drzwiczki pozwalają na umieszczanie próbki w komorze. Kilka portów dostępu
umożliwia zainstalowanie różnych detektorów. Elektrony wiązki oddziaływująca z próbką
powodują emisję energii pod różnymi postaciami. Każdy rodzaj emitowanej energii jest
potencjalnym sygnałem do przetworzenia na obraz.
Zasady powstawanie obrazu w SEM
Obraz oglądany w skaningowej mikroskopii elektronowej (SEM) nie jest obrazem
rzeczywistym. To co widzimy w SEM jest obrazem wirtualnym skonstruowanym na bazie
sygnałów emitowanych przez próbkę. Dzieje się to poprzez zeskanowanie linia po linii
prostokątnego obszaru na powierzchni próbki. Obszar skanowania odpowiada fragmentowi
próby oglądanemu na obrazie. W każdym momencie czasu wiązka oświetla tylko jeden punkt
w obszarze skanowania. Przemieszczanie się wiązki od punktu do punktu wywołuje zmiany
w generowanym przez nią sygnale. Zmiany te odzwierciedlają zróżnicowanie próbki w
poszczególnych punktach. Sygnał wyjściowy jest więc serią danych analogowych, które w
nowoczesnych mikroskopach są przetwarzane na serię wartości liczbowych, z których
tworzony jest obraz cyfrowy.
Rozdzielczość
Rozdzielczość odpowiada rozmiarom najmniejszych obiektów, które jesteśmy w stanie
zobaczyć przy pomocy mikroskopu. Określa ona granicę, poza którą mikroskop nie jest w
stanie odróżnić dwóch bardzo małych sąsiadujących obiektów od pojedynczego obiektu.
Rozdzielczość jest określana w jednostkach długości, zwykle Angstremach lub nanometrach.
Lepsza rozdzielczość nazywana jest „wyższą”, mimo że określa ją liczba jest niższa. Np.
rozdzielczość 10 jest wyższa (lepsza) niż rozdzielczość 20 Å.
Wielkość spotu
Rozmiar plamki utworzonej przez wiązkę na powierzchni próbki stanawi podstawowe
ograniczenie dla rozdzielczości. SEM nie może rozróżnić elementów mniejszych niż rozmiar
spotu. Dodatkowy wpływ na rozdzielczość ma rodzaj rejestrowanego sygnału, penetracja
wiązki (obszar oddziaływania) i skład próbki.
Obszar oddziaływania
Rejestrowane sygnały powstają nie tylko na powierzchni próbki. Elektrony wiązki penetrują
próbkę na pewną głębokość i na swej drodze mogą wielokrotnie oddziaływać z atomami
próbki. Obszar, gdzie na skutek tych oddziaływań powstają różnego rodzaju sygnały, które po
wydostaniu się na powierzchnię próbki są rejestrowane przez odpowiednie detektory
nazywamy obszarem oddziaływania (wzbudzenia) – rys. 6.9. Rodzaj rejestrowanego sygnału,
skład próbki i napięcie przyspieszające decydują o rozmiarze i kształcie obszaru wzbudzenia,
a co za tym idzie wpływają na rozdzielczość. W większości przypadków obszar
oddziaływania jest większy niż spot, a więc to jego wielkość stanowi faktyczne ograniczenie
rozdzielczości.
Napięcie przyspieszające
Napięcie przyspieszające określa ilość energii przenoszonej przez elektrony wiązki (elektrony
pierwotne). Wpływa ono na rozmiar i kształt obszaru oddziaływania na kilka sposobów.
Elektrony o wyższej energii głębiej penetrują próbkę (tab. 6.4). Ponadto, mogą one
generować sygnały o wyższej energii, które mogą się wydostać z większej głębokości w
próbce. Energia elektronów pierwotnych jest również czynnikiem określającym
prawdopodobieństwo wystąpienia jakiejkolwiek interakcji. We wszystkich tych przypadkach
wzrost energii wywoła zwiększenie obszaru oddziaływania, co spowoduje spadek
rozdzielczości. Wzrost napięcia przyspieszającego może jednak również wpływać pozytywnie
na rozdzielczość, gdyż zmniejsza on aberrację soczewek w kolumnie, czego rezultatem jest
mniejszy spot. Od warunków pracy, właściwości próbki i rodzaju rejestrowanego sygnału
zależy, które wpływy będą przeważające.
Skład próbki
Skład próbki wpływa zarówno na głębokość jak i kształt obszaru penetracji. W próbkach o
większej gęstości głębokość penetracji i odległość jaką mogą przebyć elektrony pierwotne
przed zaabsorbowaniem jest mniejsza. W rezultacie w takich próbkach obszar oddziaływania
jest płytszy i ma kształt bardziej spłaszczony (zbliżony do półkuli) – tab. 6.4, rys.6.9.
Tabela. 6.4. Wielkości obszarów wzbudzenia (w μm) dla wybranych pierwiastków.
Z
4
5
11
12
13
14
15
16
19
20
22
24
25
26
27
28
29
30
32
38
40
42
46
47
48
50
56
74
76
78
79
80
82
92
SYMBOL
Be
C
Na
Mg
Al
Si
P
S
K
Ca
Ti
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ge
Sr
Zr
Mo
Pd
Ag
Cd
Sn
Ba
W
Os
Pi
Au
Hg
Pb
U
PIERWIASTEK
Beryllium
Carbon
Sodium
Magnesium
Aluminum
Silicon
Phosphorus
Sulfur
Potassium
Calcium
Titanium
Chromium
Manganese
Iron
Colbalt
Nickel
Copper
Zinc
Germanium
Strontium
Zirconium
Molybdenum
Palladium
Silver
Cadmium
Tin
Barium
Tungsten
Osmium
Platinum
Gold
Mercury
Lead
Uranium
10KV
1.5
1.2
2.9
1.6
1.0
1.2
1.5
1.4
3.2
1.8
0.6
0.4
0.4
0.4
0.3
0.3
0.3
0.4
0.5
1.1
0.4
0.3
0.2
0,3
0.3
0.4
0.8
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.1
15KV
2.9
2.4
5.6
3.1
2.0
2.2
3.0
2.8
6.2
3.5
1.2
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.6
0.8
1.0
2.2
0.8
0.5
0.4
0.5
0.6
0.7
1.5
0.3
0.2
0.2
0.3
0.4
0.5
0.3
20KV
4.9
4.0
9.3
5.2
3.4
3.7
5.0
4.7
10.4
5.8
2.0
1.3
1.2
1.2
1.0
1.0
1.0
1.3
1.7
3.6
1.4
0.9
0.7
0.9
1.0
1.2
2.6
0.5
0.4
0.4
0.5
0.7
0.8
0.5
25KV
7.2
5.9
13.6
7.5
4.9
5.5
7.2
6.9
15.2
8.5
2.9
1.8
1.8
1.7
1.5
1.5
1.5
1.8
2.4
5.3
2.0
1.3
1.1
1.3
1.5
1.8
3.8
0.7
0.6
0.6
0.8
1.0
1.2
0.7
30KV |
9.9
8.1
18.8
10.4
6,7
7.5
10.0
9.5
20.9
11.7
4.0
2.6
2.5
2.3
2.1
2.0
2.0
2.6
3.4
7.3
2.8
1.8
1.5
1.7
2.1
2.5
5.2
0.9
0.8
0.9
0.9
1.3
1.6
1.0
Rodzaj rejestrowanego sygnału
Do tego momentu rozważaliśmy uogólniony obszar oddziaływania, z którego pochodzą
wszystkie rodzaje sygnałów. Obszar ten można podzielić na strefy związane z sygnałami
każdego typu – rys.6.10.
Niska liczba atomowa
Wysoka liczba atomowa
Wysokie napięcie
Niskie napięcie
Rys. 6.9. Zależność wielkości i kształtu obszaru wzbudzenia od liczby atomowej i napięcia
Rys. 6.10. Wielkości obszarów, z których pochodzą różne rodzaje sygnałów
emitowane przez próbkę
Głębia ostrości
W mikroskopii skaningowej można otrzymać obrazy o znacznie większej głębi ostrości niż w
mikroskopii świetlnej. Głębia ostrości to zakres powyżej i poniżej płaszczyzny najlepszej
ostrości, w którym utrzymana jest dobra jakość obrazu (rys. 6.11). Przy większej głębi
ostrości mikroskop daje lepsze odwzorowanie próbek trójwymiarowych. Obrazy uzyskiwane
w SEM doskonałą jakość zawdzięczają nie tylko bardzo dobrej rozdzielczości lecz również
dużej głębi ostrości.
W mikroskopie optycznym głębia ostrości jest limitowana kątem rozwartości pomiędzy
skrajnymi promieniami wchodzącymi do obiektywu. Dla dużych powiększeń kąt ten jest
większy, a głębia ostrości mniejsza.
W mikroskopie skaningowym nie ma bezpośredniej zależności głębi ostrości i powiększenia.
Powiększenie jest zdefiniowane jako stosunek wymiarów liniowych obszaru skanowania do
wymiarów liniowych obrazu. Kąt zbieżności wiązki ma wpływ na zmianę wielkości spotu
wraz z odległością powyżej lub poniżej płaszczyzny najlepszej ostrości. Mimo, że w
mikroskopie skaningowym kąt zbieżności i rozmiar spotu zmieniają się wraz z odległością
roboczą, zawsze kąty te będą mniejsze, a głębia ostrości większa niż w mikroskopie
optycznym.
Wiązka elektronów
Powierzchnia próbki
Zakres głębii
ostrości
Płaszczyzna
najlepszej
ostrości
Obszar odwzorowywany
ostro
Rys. 6.11. Zakres głębi ostrości
Mikroanalizy
Charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie
Widmo charakterystyczne powstaje w wyniku oddziaływania elektronów wiązki
z elektronami wewnętrznych powłok atomów próbki. Normalnie powłoki K i L atomów o
liczbach atomowych większych od 10 są zapełnione. Jeśli jeden z elektronów K zostanie
usunięty, atom może doznać przejścia, w którym elektron L lub M "przeskoczy" na puste
miejsce, a wyzwolona przy tym energia potencjalna zostanie wyemitowana jako kwant
promieniowania elektromagnetycznego. Typowe wartości energii takich przejść leżą w
zakresie rentgenowskim widma promieniowania elektromagnetycznego. Energia tego
kwantu jest ściśle określona dla każdego rodzaju przejścia w danym pierwiastku i dlatego jest
cechą diagnostyczną.
Spektrometr rentgenowski rejestruje charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie.
Zadaniem spektrometru jest zliczenie impulsów promieniowania rentgenowskiego i
posegregowanie ich. Spektroskopia promieni rentgenowskich może być przeprowadzona
dwiema metodami:
metoda dyspersji energii promieniowania rentgenowskiego (Energy Dispersive
Spectrometry - EDS). Stosuje się detektory, w których natężenie sygnału wyjściowego
jest proporcjonalne do energii padających impulsów, np. liczniki scyntylacyjne,
proporcjonalne liczniki przepływowe, detektory Li/Si. W naszym mikroskopie
zainstalowany jest detektor Sapphir
- metoda dyspersji długości fali promieniowania rentgenowskiego (Wave Dispersive
Spectrometry - WDS). Stosuje się spektrometr promieni rentgenowskich z kryształem
analizującym.
Linie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego
W celu wytworzenia charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego konieczna
jest luka w wewnętrznych powłokach elektronowych atomu. W zależności od tego, na której
powłoce powstała luka, wyróżniamy odpowiednie serie linii.
Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki K to obserwowane w widmie charakterystycznego
promieniowania rentgenowskiego linie, odpowiadające emisji energii towarzyszącej przejściu
elektronu w celu uzupełnienia luki nazywamy liniami K:
 K - gdy przejście elektronu następuje z powłoki L,
 K - dla przejścia z powłoki M,
 K - dla przejścia z powłoki N.
Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki L to mamy do czynienia z liniami L:
 L - gdy przejście elektronu następuje z powłoki M,
 L - dla przejścia z powłoki N.
Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki M to obserwujemy linie M (patrz rys. 6.12)
Rys. 6.12. Powstawanie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego.
Ogólne zasady dotyczące linii charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego:
 Dla danego pierwiastka niższe linie mają wyższą energię niż linie wyższe:
EK > EL > EM
 W obrębie danej serii linie pierwiastków o niższej liczbie atomowej mają niższą energię,
np. linia K węgla ma niższą energię niż linia K tlenu
 Linie niższych serii (K) są wyraźne i mają prostą strukturę, natomiast linie serii
wyższych (L i M) mają strukturę złożoną i zachodzą na siebie.
Promieniowanie ciągłe stanowi tło linii charakterystycznego promieniowania
rentgenowskiego w mikroanalizatorze rentgenowskim. Znajomość natężenia tego tła jest
bardzo istotna przy określaniu granicy wykrywalności badanego pierwiastka.
Analizy rentgenowskie
Ze względu na słabą rozdzielczość, impulsy rentgenowskie są bardziej przydatne do celów
analitycznych niż do odwzorowywania próbki. Analiza jakościowa dąży do ustalenia czy
badany obszar próbki zawiera dane pierwiastki, w oparciu o występowanie lub brak ich
charakterystycznych pików w widmie. Celem analizy ilościowej jest ustalenie stosunków
zawartości pierwiastków na podstawie porównania intensywności odpowiednich pików tych
pierwiastków pomiędzy sobą lub porównania z wzorcami. Analiza ilościowa jest procesem
skomplikowanym, ze względu na możliwość wystąpienia różnorodnych interakcji pomiędzy
atomami próbki i charakterystycznym promieniowaniem rentgenowskim.
Literatura:
[1]
„Encyklopedia fizyki współczesnej”, Komitet Redakcyjny pod kierunkiem prof.
Andrzeja Kajetana Wróblewskiego, Warszawa 1983
[2]
Acosta V., Cowan C.L., Graham B.J.: Podstawy fizyki współczesnej, PWN, 1981.
[3]
Adamowicz L., Mechanika kwantowa, Formalizm i zastosowania.
[4]
Białynicki-Birula I., Cieplak M., Teoria kwantów, PWN, Warszawa 1991.
[5]
Bogusz W., Garbarczyk J., Krok F., Podstawy fizyki
[6]
Eisberg R., Resnik R.: „Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek i ciał stałych”, PWN,
Warszawa 1983.
[7]
Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 2003.
[8]
http://pl.wikipedia.org//wiki/ Fizyka_kwantowa
[9]
Huang K., Mechanika statystyczna
[10] Jackson J.D., Elektrodynamika klasyczna
[11] Kasas S., Dumas G., Dietler G., Catsicas S., Adrian M. Vitrification of
cryoelectronmicroscopy specimens revealed by high-speed photographic imaging.
Journal of Microscopy (2003), 211 (1) , 48–53
[12] Kruger DH, Schneck P and Gelderblom HR. Helmut Ruska and the visualisation of
viruses. The Lancet 355 (9216): 1713-1717.
[13] Nellist P. D., Chisholm M. F., Dellby N., Krivanek O. L., Murfitt M. F., Szilagyi Z. S.,
Lupini A. R., Borisevich A., Sides W. H., Pennycook Jr., S. J. Direct Sub-Angstrom
Imaging of a Crystal Lattice. Science 305 (5691): 1741.
[14] Oleś Andrzej: „Metody doświadczalne fizyki ciała stałego” – Wydanie II,
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.
[15] Rubinowicz W., Królikowski W., Mechanika klasyczna
[16] Schiff L.I., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1997
[17] Sukiennicki A., Zagórski A, Fizyka ciała stałego,
[18] Średniawa B., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1981
[19] von Ardenne M and Beischer D. Untersuchung von metalloxud-rauchen mit dem
universal-elektronenmikroskop. Zeitschrift Electrochemie (1940). 46: 270-277.
[20] Walker J., Halliday D., Resnick R.: „Podstawy fizyki” – tom II, PWN, 2003.

Zadanie 2

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zeszyt ćwiczeń do zajęć wyrównawczych z przedmiotu FIZYKA

OE wyklad 1

nas sprawdził czas

ZARZĄDZENIE Nr - Strona główna

Studia Humanistyczne 13_3 druk

SPR2006 - Biuletyn Informacji Publicznej Politechniki Śląskiej

SPR2010 - Biuletyn Informacji Publicznej Politechniki Śląskiej

Kronika 2014 - Centrum Kultury Śląskiej w Nakle Śląskim

życie politechniki 60 lat PB Granty w PB Praktyka z AIESEC

Doktoris - Uniwersytet Śląski

Karty opisu przedmiotów - Studia I stopnia

Pokaż treść! - Biblioteka Cyfrowa Politechniki Koszalińskiej