Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką
Transkrypt
Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką
Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką. Zestaw 2 1. Przedstaw w postaci a + bi liczbę zespoloną (1+3i)(8−i) . (2+i)2 2. Oblicz in , gdzie n ∈ Z. 3. Udowodnić, że (1 + i)8n = 24n , gdzie n ∈ Z. 4. Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone: √ √ 1, −1, i, −i, 1 + i 3, 3 − i, 1 − cos α + i sin α, gdzie α ∈ (0, 2π). √ √ 3+i 30 5. Obliczyć (1 + i)10 , (1 + i 3)150 , ( 1−i ) . 6. Dla n ∈ Z wykazać prawdziwość tożsamości: n 1 + i tg φ 1 + i tg(nφ) = . 1 − i tg φ 1 − i tg(nφ) 7∗ . Udowodnić, że dowolna liczba zespolona z 6= 1, taka że |z| = 1 może być przedstawiona w następującej postaci: z= 1 + ti . 1 − ti 8. Pokazać, że z1 + z2 = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 , zz = |z|2 . 9. Wyrazić w postaci wielomianów od sin α i cos α funkcje sin 4α oraz cos 4α. 10. Rozwiązać poniższe równania: (a) z 2 = 5 − 12i, (b) z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0, (c) z 2 − 4z + 13 = 0, (wyprowadzić wzory na pierwiastki drugiego stopnia dowolnej liczby zesp.). 11. Rozwiązać poniższe równania: (a) x3 − i = 0, (b) x3 = 2 − 2i, (c) x6 + 27 = 0, (d) x6 − 1 = 0 - wskazać pierwiastki pierwotne. 12. Obliczyć sumę oraz iloczyn wszystkich pierwiastków stopnia n z jedynki. 13∗ . Rozwiązać równanie (z + 1)n − (z − 1)n = 0. 14. Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór S, gdzie (a) S = {z ∈ C; |z + 3| = |z − 2i|}, (b) S = {z ∈ C∗ ; | arg z| < π6 }, (c) S = {z ∈ C; −1 < Re(iz) < 0}. 15. Udowodnić, że jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba z też jest pierwiastkiem tego wielomianu. Czy jest tak dla wielomianów o współczynnikach zespolonych?