Metoda symboliczna Zad. 1.1 Rozwiązanie d: Wynik: a) , b) c) , d)
Transkrypt
Metoda symboliczna Zad. 1.1 Rozwiązanie d: Wynik: a) , b) c) , d)
Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Metoda symboliczna Zad. 1.1 Znaleźć zespolone wartości skuteczne następujących prądów i napięć: 7 3 a) u (t ) 12 2 sin 150t V , b) i (t ) 5 2 cos 35t A , 12 4 2 c) u (t ) 10sin 100t 20 cos 100t V , 3 2 1 d) i (t ) 5sin 2t 4 cos 2t A . 3 4 Wynik: a) U 12e 7 j 12 V , 150 rad/s , j 3 1 j 2 b) I 5e 4 5 j 5e 4 5e 3 j 4 A, 35 rad/s c) U 12, 247e 6 V, =100 rad/s , d) I 6,31e-j0,931rad A, = 2 rad/s . Rozwiązanie d: Wyznaczamy wartości skuteczne składowych napięcia 1 5 j13 5sin 2t e , 3 2 1 4 j 34 4 cos 2t e . 4 2 Wykonujemy działanie: 3 j 1 j 13 1 5 1 1 4e 4 5,328 7,159 j 8,924e-j0,931rad 5e 1 3 j 2 2 1 j 2 22 2 2 , następnie przedstawiamy wynik w postaci funkcji czasu, tzn. i (t ) 8,924sin(2t 0,931 rad) A . Mając do dyspozycji kalkulator np. CITIZEN SR-135, który ma dwa rejestry a i b oraz tryb pracy CPLX, powyższe działania można wykonać następująco (włączamy CPLX i upewniamy się czy jest włączony tryb pracy deg): 1. 5 a, 2. 60 b, 3. P R, 4. 5. 4 a, 6. 135 b 7. PR 8. 9. RP Po wykonaniu działań od 1 do 9 na wyświetlaczu powinniśmy otrzymać 8,923958373, naciskając b otrzymujemy: -53,33806606. Natomiast wykorzystując kalkulator firmy CASIO (np. fx-570MS) powyższe działania można wykonać następująco (włączony mode: CMPLX i tryb pracy D): 5 60 4 135 r . Po naciśnięciu znaku = otrzymujemy: 8.923958373, naciskając SHIFT i = otrzymujemy na wyświetlaczu -53.33806606. 1 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.2 Przedstawić jako funkcję czasu następujące prądy i napięcia: a) U 1 1 j V , 120 rad/s , c) U 3 (8e 2 j 3 1 j 4e 3 )V , 240 rad/s , Wynik: 3 a) u1 (t ) 2sin 120t V 4 2 c) u3 (t ) 4 2 sin 240t V 3 b) I 2 10 j A, 300 rad/s , d) I 4 2 j4 A, / 2 . b) i2 (t ) 10 2 sin 300t A , 2 d) i4 (t ) 2 10 sin t 2,034rad . 2 Zad. 1.3 Do węzła dopływają trzy prądy I 1 , I 2 , I 3 . Znane są moduły (wartości skuteczne) tych prądów oraz wiadomo, że faza początkowa prądu I 1 jest równa 1 . Obliczyć fazy początkowe 2 i 3 . Narysować wykres wskazowy. I1 I 1 5 A, I 2 I 2 3,5 A, I 3 I 3 7,5 A, 1 300 . Rozwiązanie: Z I prawa Kirchhoffa wynika, że I 1 I 2 I 3 0 . Równość ta będzie spełniona, jeśli odpowiednio część rzeczywista i urojona będzie równa zero, tzn. 10. I1 cos 1 I 2 cos 2 I 3 cos 3 0, 20. I1 sin 1 I 2 sin 2 I 3 sin 3 0. Aby rozwiązać powyższy układ równań należy zrobić następujące przekształcenia: 10. I1 cos 1 I 2 cos 2 I 3 cos 3 20. I1 sin 1 I 2 sin 2 I 3 sin 3 I12 I 22 2 I1 I 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 I 32 I12 I 22 2 I1 I 2 cos(1 2 ) I 32 A. 10. I1 cos 1 I 3 cos 3 I 2 cos 2 I1 sin 1 I 3 sin 3 I 2 sin 2 I12 I 32 2 I1 I 3 cos 1 cos 3 sin 1 sin 3 I 22 B. oraz 20. I12 I 32 2 I1 I 3 cos(1 3 ) I 22 . Z A i B otrzymujemy I 32 I12 I 22 cos 1 2 0.5428571430, 2 I1 I 2 cos 1 3 I 22 I12 I 22 -0.9200000000. 2 I1 I 2 2 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zatem 1 2 57.121650 , 1 3 156.926080 . Są więc dwa różne rozwiązania: 1) 2 87.121650 , 3 -126.926080 , 2) 2 -27.121650 , 3 -173.073920 . Wykres wskazowy wykonany za pomocą Matlaba (instrukcja compass)dla pierwszego rozwiązania przedstawiono poniżej (rys.1.3). Im 90 8 120 60 6 4 150 I2 30 2 I1 180 0 210 Re 330 I3 300 240 270 Rys. 1.3 Zad. 1.4 Zadany jest przebieg sinusoidalny symbolicznie f (t ) 10 j20, 2. Zapisać postać symboliczną pochodnej i całki tego przebiegu. Rozwiązanie: df (t ) j2 (10 j20) 40 j20, dt 10 j20 f (t )dt j2 10 j5. Zad. 1.5. Obliczyć impedancję i admitancję dwójników z rys.1.5 dla częstotliwości f. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej. R 50 Ω, C 5μF, L 10 mH, f 2 kHz. a) b) R R c) C L R L Rys. 1.5 C R 3 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Wynik (tylko postać algebraiczna): 1 50 1 50 j , Y 18,16 + 5,78j mS , Z C 1 1 1 b) Y j 20 j7,958 mS, Z 43,17 j17,18 , R L Y 1 1 22,73+ 621,4j mS, Z 0.0588 - 1.607j . c) Y jC R R j L a) Z R j Zad. 1.6a Dane są wartości: Rs i Cs ( Rr i Cr ) oraz częstotliwość f sygnału sinusoidalnego. Wyznaczyć wartość rezystancji Rr ( Rs ) i pojemności Cr ( Cs ) odpowiedniego dwójnika równoważnego. Rr Rs Cs Wynik: Rr Cr 4 2 Rs2Cs2 f 2 1 Cs Rr 4 2 Rr2Cr2 f 2 1 , C ; R , C s . r s 4 2 Rs Cs2 f 2 4 2 Rs2Cs2 f 2 1 4 2 Rr2Cr2 f 2 1 4 2 Rr2Cr f 2 Zad. 1.6b Dwójnik pasywny zasilany jest napięciem sinusoidalnym u (t ) . Przebieg wartości chwilowych prądu dwójnika jest i (t ) . Wyznaczyć impedancję i admitancję, impedancję zespoloną i admitancję zespoloną oraz rezystancję, reaktancję, konduktancję i susceptancję dwójnika, a także kąt przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i napięciem. a) u (t ) 220 2 sin 314t V ; b) u (t ) 100 cos(628t 2, 618) V ; i (t ) 10 cos 314t A , i (t ) 10sin(628t 0,5236) A , c) u( t ) 100 2 cos 1000t 3,142 V ; i (t ) 10 2 sin(628t Wynik: j 5 )A. a) Z X 22 2 31,11 , Y 0, 032 S , Z j 22 2 , Y 0, 032e R 0 , G 0 S , B 0, 032 S , Y 0,1e 6 2 rad ; b) Z 10 , Y 0,1 S , Z 10e S , R 5 3 8,66 , X 5 , G 0, 087 S , B 0, 05 S , 6 j j 2 6 S , , rad ; c) brak rozwiązania - przebiegi mają różną pulsację (nie są synchroniczne). Zad. 1.7 Dwójnik o impedancji zespolonej Z zasilany jest prądem sinusoidalnym i (t ) . Wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną U oraz przebieg wartości chwilowych u (t ) napięcia dwójnika. i (t ) 5cos(314t / 4) A ; a) Z (10 j 20) ; b) Z 10 e Wynik: j / 6 i (t ) 10 2 sin(500t / 2) A . ; a) U 25 j 75 79 e b) U 100 e j 3 j1,89 V , u (t ) 79 2 sin(314t 1,89) V , V , u (t ) 100 2 sin(500t / 3) V . 4 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.8 W obwodzie panuje stan ustalony (rys. 1.8). Obwód zasilany jest napięciem zmiennym. Woltomierz (V) pokazuje U = 16V (wartość skuteczna), amperomierz (A) natomiast I = 10A (również wartość skuteczna). Wyznaczyć wartość indukcyjności L. 2, R 2, C 1/ 4. Wynik: A 4 L 4 L . 7 V C L R Rys. 1.8 Rozwiązanie: Elementy R, L, C połączone są równolegle, zatem wygodnie jest opisać obwód za pomocą admitancji 1 1 . Y jC R j L I 5 Z treści zadania wynika, że Y Y . Drugiej strony U 8 2 2 2 1 1 25 1 1 1 1 1 2 Y 2 C 1 1 . R L 64 4 2 2 L 4 L 2 9 1 3 1 Zatem 1 1 . Rozwiązując równanie otrzymuje się wynik. L 4 L 16 Zad. 1.9 Jaka powinna być wartość rezystancji R aby wartość skuteczna prądu i(t) wynosiła 1A? R i(t) C e( t ) Dane: e(t ) = 4sin(2t + p ) V, C = ¼ F. Wynik: R=2 Zad. 1.10 Wyznaczyć napięcie u(t) na kondensatorze C. Narysować wykres wskazowy napięć i prądów w obwodzie. Dane: uR(t) uC(t) e(t ) 10sin(103 t 5 9 ), C 10 F, R 50 Ω. R C i(t) e( t ) 5 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Rozwiązanie Obliczymy symboliczną wartość prądu, napięcia na rezystorze oraz napięcia na kondensatorze: 10 j5 9 1 I 0, 06325e j2,8523rad A, U R RI 3,1624e j2,8523rad V, e 1 2 50 j 3 10 10 106 Wykres wskazowy pokazano na rysunku. 1 j1,2815rad UC I 6,325e V. Przebiegi czasowe prądu i napięć są następujące: j103105 i (t ) 0, 08945sin(103 t 2,8523) A, UR I u (t ) 4, 4723sin(103 t 2,8523) V, R uC (t ) 8,9449sin(103 t 1, 2815) V. UC E Zad. 1.11 Gałąź szeregową RC ( R 8 , C 530,78 F ) załączono na napięcie o wartości skutecznej U 220 V o pulsacji 314 rad/s . Obliczyć jakie będzie napięcie na kondensatorze jeżeli gałąź zostanie odłączona od zasilania: a) w chwili gdy wartość chwilowa napięcia zasilającego przechodzi przez zero: 1) rosnąc, 2) malejąc; b) w chwili gdy osiąga ona maksimum: 1) „dodatnie”, 2) „ujemne”. Wynik: a) 1) U C 149.34 V , 2) U C 149.34 V b) 1) U C -111.89 V , 2) U C 111.89 V . Zad. 1.12 W celu wyznaczania parametrów L i RL cewki rzeczywistej przeprowadzono dwa pomiary: jeden przy zasilaniu jej napięciem stałym, drugi przy zasilaniu napięciem zmiennym. Mierzono wartości prądu i napięcia, a przy zasilaniu napięciem zmiennym także częstotliwość. Otrzymano następujące wyniki: a) zasilanie napięciem stałym: Wynik: U 24 V , I 6 A , RL 4 , L 9,55 mH a) zasilanie napięciem zmiennym: U 24 V , I 4,8 A , f 50 Hz . Wyznaczyć indukcyjność L i rezystancję RL cewki. Zad. 1.13 Dla obwodu o schemacie z rys. 1.10 wyznaczyć indukcyjność Lx , jeżeli wskazanie woltomierza wynosi: U 100 V . Dane: i (t ) 20 2 sin 500t A , C 0,25 mF , L 2 mH , R 3 . Wynik i(t) u(t) R V L Lx Istnieją dwa rozwiązania : L 'x 6 mH, L ''x 22 mH. C 6 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.14 Przyrządy podłączone do dwójnika zasilanego napięciem zmiennym sinusoidalnym pokazują U 65 V, I 5 A, P 300 W (rys. 1.14). Wszystkie przyrządy są idealne (nie obciążają obwodu, a więc nie zmieniają wartości przez siebie mierzonych). Woltomierz i amperomierz mierzą wartości skuteczne. Watomierz mierzy iloczyn wartości skutecznej prądu przepływającego przez jego cewkę prądową, wartości skutecznej napięcia przyłożonego do jego cewki napięciowej i kosinusa kąta pomiędzy nimi. Wyznaczyć zespoloną impedancję Z dwójnika N w przypadku, gdy : a) arg Z 0 ; b) arg Z 0 . * * A W V N Rys. 1.14 Rozwiązanie: Moduł i argument impedancji dwójnika N wyznaczamy za pomocą wzorów: U 65 P 13 , cos 0,923 . Z I 5 U I Stąd 22,6313210 . a) arg Z 0, Z Ze j 12 j 5 , b) arg Z 0 Z Ze j 12 j 5 . Zad. 1.15 Dwójnik N z rys. 1.14 zasilono napięciem sinusoidalnym o częstotliwości f1 50 Hz. Wiemy, że dwójnik składa się z szeregowo połączonych rezystora, cewki i kondensatora. Wskazania przyrządów: U1 220 V , I1 11 A , P1 2 kW Następnie ten sam obwód zasilono napięciem o częstotliwości dwukrotnie wyższej. Wskazania przyrządów jednak wówczas nie uległy zmianie. Wyznaczyć wartości rezystancji (R), indukcyjności (L) i pojemności (C). Wynik: R 16,53 , C 141, 4 F , L 35,86 mH. Zad. 1.16 W obwodzie o schemacie z rysunku 1.14 przy częstotliwości f 50 Hz mierniki wskazują P 1000 W , U 220 V , I 5 A . Dwójnik N składa się z szeregowo połączonego rezystor i kondensatora. Wyznaczyć parametry (R i C) dwójnika N. Wyznaczyć także wskazania mierników gdy częstotliwość napięcia zasilającego wzrośnie dwukrotnie (ale wartość skuteczna napięcia pozostanie ta sama). Wynik: R 40 , C 0,174 mF, ( X C 18,33 ); gdy częstotliwość wzrośnie: I 5,36 A , P 1149, 6 W , ( X C 9,165 ) 7 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.17 Dla obwodu o schemacie z rys. 1.17 wyznaczyć wskazania przyrządów. Dane: iR (t ) 10 2 cos 1000t A , R1 1 , R2 2 , C 250 F . * * W A R1 u(t) Hz R2 C V iR(t) Rys. 1.17 Wynik: f 159,15 Hz , PW 325 W , U 30, 41 V , I 11,18 A . Zad. 1.18 Dla obwodu o schemacie z rys. 1.18 wyznaczyć wskazania przyrządów. Dane: iC (t ) 6 2 cos 628t A , R 10 , L 15,92 mH , C 159, 24 F . * * W A L u(t) Hz R C V iC(t) AR Rys. 1.18 Wynik: f 100 Hz , PW 360 W , U 60 V , I 8,48 A , I R 6 A . Zad. 1.19 Obliczyć taką wartość rezystancji rezystora R2, aby R1 = 100 , U1 U2 k . Do obliczeń przyjąć U1 1 50 , k = 0,2. C R1 R2 C U2 Rys. 1.19 8 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Rozwiązanie Obliczymy transmitancją układu 1 j C 1 R2 R2 U j C T 2 . 1 U1 R R R R C j 1 2 2 1 R2 j C R1 1 R2 j C Kwadrat modułu transmitancji R22 1 k2 . 2 2 2 ( R1 R2 ) ( R1 R2C ) R1 2 1 ( R1C ) R 2 Po rozwiązaniu równania ze względu na R2 otrzymujemy R2 R2 kR1 1 CkR k 27,91 R kR 1 CkR k 17,91. CkR1 2 2 1 2 k 2 1 1 2 CkR1 1 2 k 2 1 Zatem należy przyjąć R2 = 27,91 . Zad. 1.20 Moc chwilowa dostarczona do odbiornika ze źródła o napięciu sinusoidalnym zmienia się w przedziale 23 kVA do –5 kVA. Napisać wyrażenie na prąd i napięcie w funkcji czasu, jeżeli u(0) = 500 V, Um = 1835 V oraz częstotliwość zmian mocy wynosi fp = 100 Hz. Rozwiązanie Załóżmy, że u (t ) U m sin(t u ) oraz i (t ) I m sin(t i ) . Oznaczmy u i (prąd jest przesunięty w fazie względem napięcia o kąt ). Z treści zadania U 1835 wynika, że wartość skuteczna napięcia U m 1297,54 V. 2 2 Moc chwilowa P u (t ) i (t ) U m I m sin t u sin t i U m Im cos cos 2t u i UI cos UI cos(2t p ). 2 Z tego wzoru wynika, że moc chwilowa ma dwie składowe: U I składową stałą m m cos UI cos , 2 U I składową zmienną m m cos(2t p ) UI cos(2t p ) , gdzie p 2 u i . 2 W powyższej zależności skorzystano ze wzoru: 2sin( A)sin( B) cos( A B) cos( A B) . Moc chwilowa przy przebiegach sinusoidalnych oscyluje, sinusoidalnie z częstotliwością 2f = fp ( f 50 100 ) wokół wartości stałej UI cos , a jej amplituda wynosi UI. Moc chwilowa osiąga maksymalną wartość dla 2t k p i wynosi Pmax UI cos UI oraz wartość minimalną dla 2t p i wynosi Pmin UI cos UI . Mając te dwa równania 9 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta można wyznaczyć I oraz cos , tzn. 23 510 10.79 A, P P P Pmin 0.64285714 . I max min cos max 2 U 2 1297,54 Pmax Pmin Stąd 0,8725738534 rad . Można zauważyć, że moc czynna P UI cos 9 kW i jest P Pmin . Ponieważ u (t ) U m sin(t u ) , więc dla t = 0 równa średniej wartości max 2 500 sin(u) = , a stąd u 0, 27596917 rad (mniejsza wartość). Kąt i wyznaczamy ze 1835 wzoru i u 0,5966046865 rad . Ostatecznie, więc: u (t ) U m sin(t u ) 1835sin(100 t 0, 27596917 rad) V , 3 i (t ) I m sin(t i ) 15.25sin 100 t - 0.59660468 rad A . Zad. 1.21 U2 (rys. 1.21). Jaka musi zachodzić zależność pomiędzy U1 wartościami elementów obwodu, by T nie zależało od częstotliwości? Wyznaczyć T C1 R1 U2 C2 R2 U1 Rys. 1.21 Rozwiązanie R1 jC1 R1 R2 Oznaczymy Z 1 , Z2 . Korzystamy z dzielnika 1 1 1 j R C j R C 1 1 2 2 R1 jC1 R2 1 j R2C2 Z2 U U 1 . Stąd T 2 . Wyrażenie to nie napięcia, zatem U 2 R1 R2 Z1 Z 2 U1 1 j R1C1 1 j R2C2 będzie zależało od jeśli 1 j R2C2 1 j R1C1 , czyli R2C2 R1C1 . R2 U . Jest to tzw. dzielnik skompensowany. Wówczas T 2 U 1 R1 R2 Zad. 1.22 Jaka powinna być wartość rezystancji R3, aby prąd I2 płynący przez elementy R2 i L2 opóźniał się w fazie względem przyłożonego napięcia U o 2 (rys. 1.22). Przyjąć następujące dane: R1 = 5 , L1 = 11 , R2 = 10 , L2 = 25 . 10 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska I1 R1 L1 wersja Beta R2 R3 U L2 I2 Rys. 1.22 Rozwiązanie Oznaczmy Z 1 R1 j L1 R1 jX 1 , Z 2 R2 j L2 R2 jX 2 , Z 3 R3 . Prąd U Z 2 Z3 U U , gdzie Z we oznacza impedancję wejściową Z we Z Z 2 Z 3 Z1 Z 2 Z1 Z 3 Z 2 Z 3 1 Z2 Z3 dwójnika. Przez impedancję Z 2 płynie prąd I 2 , którego wartość wyznaczamy z dzielnika Z3 U U Z Z prądowego, tzn. I 2 , gdzie Z T Z 1 Z 2 1 2 ma I1 Z Z Z2 Z3 Z3 Z1 Z 2 1 2 Z T Z3 wymiar impedancji ale nią nie jest, można ją nazwać impedancją przejściową (transimpedancją). Prąd I 2 będzie opóźniał się względem przyłożonego napięcia U o 900, jeśli impedancja przejściowa będzie czysto urojona (znak dodatni). Wyznaczmy część rzeczywistą i urojoną tej impedancji: R jX 1 R2 jX 2 Z Z Z T Z 1 Z 2 1 2 R1 R2 j ( X 1 X 2 ) 1 Z3 R3 I1 R1 R2 X 1 X 2 R1 X 2 R2 X 1 R1 R2 j X1 X 2 . R3 R3 Część rzeczywistą powyższego wyrażenia przyrównujemy do zera X X R1 R2 11 25 5 10 R R X1 X 2 15 . Sprawdzenie, jeśli R1 R2 1 2 0 , stąd R3 1 2 R1 R2 5 10 R3 R3 15 , to Z T Z 1 Z 2 5 j1110 j 25 j 155 . Z1 Z 2 5 j11 10 j 25 Z3 15 3 Zad 1.23 Wykazać, że dla 1 wartość skuteczna prądu I płynącego przez cewkę (rys. 1.23) 2LC U dla dowolnych wartości R, natomiast argument tego prądu przy zmianie L R 0, zmienia się w odpowiednio między w przedziale , . 2 2 wynosi I 11 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta L I C U R Rys. 1.23 Rozwiązanie U 1 j RC U U . R Z we j L R 2 RLC j L 1 j RC Moduł tego prądu (wartość skuteczna) dla podanej pulsacji wynosi: Prąd I I I U 1 2 R 2C 2 R RLC 2 2 2 L2 2U 2 1 2 LC C L C 1 U . L 2 2 L Argument prądu I wyznaczamy jako (zakładamy, że argument napięcia U jest równy zero) arg I arg 1 j RC arg R 2 RLC j L 1 2 LC Z tego wyrażenia wynika, że gdy R 0 , to arg I R arctg 2 2 C L 2 arctg R , a gdy R , to arg I L C 2 . Zad. 1.24 Parametry obwodu pokazanego na (rys.1.24) są następujące: R = 40 , L = 40 , 1 20 . Wiadomo, że element o impedancji Z jest kondensatorem lub induktorem. C Znaleźć wartość reaktancji tego elementu, jeśli |U| = U = 30 V, a |I| = I = 0.75 A. I Z Wynik: R C U L Z j 24 16 6 63,1918 j (cewka) lub Z j 24 16 6 15,1928 j (kondensator) Zad. 1.25 Dwójnik N zasilany jest napięciem zmiennym. Występuje stan ustalony. Wyznaczyć moc czynną wydzieloną w dwójniku N (obwód RLC). Ta metoda pomiaru mocy nazywa się metodą trzech woltomierzy. Do obliczeń przyjąć dane: U1 100V , U 2 96 V , U 3 8V , R p 10. 12 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta V3 I Rp U1 U3 V1 V2 P=? U2 N Rys. 1.25 1 U12 U 22 U 32 36 W 2 Rp Wskazówka: Narysować poprawnie wykres wskazowy, cos cos cos sin sin oraz wzory Carnota. Wynik: P zastosować wzór na Zad. 1.26 Odbiornik energii (charakter indukcyjny) pobiera moc czynną P 2000W przy napięciu zasilającym U 230 V i cos 0, 65 , f 50 Hz . Znaleźć pojemność i moc bierną baterii kondensatorów, które włączone równolegle do odbiornika zwiększą cos w 0,9 (nadal zostanie charakter indukcyjny wypadkowego obciążenia). Co się stanie, jeśli będziemy chcieli poprawić cos 1 . Rozwiązanie Narysujmy wykres wskazowy (rys. 1.26). I w I w U IC Rys. 1.26 włączeniem kondensatora wartość skuteczna prądu wynosiła P I I 13,3779 A . Po włączeniu kondensatora płynie prąd sumaryczny Iw. Z U cos Przed rysunku 1.26 wynika, że I w cos w I cos . Stąd I w I cos 9, 6618 A . Również z cos w rys. 1.26 wynika, że I C I sin I w sin w I 1 cos 2 ( ) I w 1 cos 2 ( w ) 5,9548V . Prąd płynący przez kondensator I C jC U , zatem I C jC U I C CU . Stąd 13 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta IC 82, 4 F . Moc bierna QC I C U 5,9548 230 1369, 6War . Jeśli cos w 1 , U Zatem Tak, więc I w 8, 69 A, w 0 sin w 0. I C I sin 10,166 A. C IC 140, 7 F . Wówczas QC I C U 10,166 230 2338, 2War . Z powyższego U przykładu wynika wniosek: poprawa współczynnika cos , tak aby był on bliski jedności C wymaga znacznego zwiększenia pojemności baterii w stosunku do uzyskanych korzyści. Zad. 1. 27 Dla obwodu o schemacie zastępczym z rysunku 1.27 obliczyć całkowity współczynnik mocy cos . Odbiornik ma charakter rezystancyjno-indukcyjny. U on 220V , Pon 1, 6 kW , cos on 0, 6 , 1 40 . kondensatora: C Dane : odbiornika: Odbiornik liniowy pasywny on i(t) u(t) C Wynik: cos 0,87 Rys. 1.27 Zad. 1.28 Dwie równoległe gałęzie podłączono do źródła napięcia zmiennego (rys. 1.28). Wyznaczyć prądy I 1 , I 2 oraz I . Wyznaczyć moc czynną (P) i bierną (Q)pobieraną przez każdą gałąź oraz całego obwodu. Ponadto wyznaczyć moc zespoloną (S) i pozorną (S) dla całego obwodu. 1 Przyjąć następujące dane: U 130V , X L L 6 , X C 5 , R1 8 , R2 12 . C R1 I1 C R2 I L I2 U Rys. 1.28 14 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Rozwiązanie: I1 U U 11, 69 j 7,30 A, I 2 8, 67 j 4,33 A, R1 jX C R2 jX L 1 1 I U R jX C R jX L 2 I 1 I 2 20,35 j 2,97 A, 2 P1 I 1 R1 1519 W , P2 I 2 R2 1127 W , 2 2 Q1 I 1 X C 949 War , Q2 I 2 X L 563War , * S U I P jQ 2646 W j 386 War , S 2674 VA. Zad. 1.29 Obliczyć impedancję wejściową układu. Dane: R1 = R2 = 50 , L = 50 , = 50 , C = 0,02 S. R1 L R2 A I I U Id Ed C Zwe Rozwiązanie. W celu obliczenia impedancji wejściowej wprowadzimy dodatkowe źródło napięcia Ed i obliczymy prąd wejściowy Id. Wtedy E Z we d . Id Aby obliczyć prąd Id musimy najpierw wyznaczyć napięcie U, gdyż E I U Id d , natomiast I U j C. R2 Dla napięcia U można ułożyć równanie (I prawo Kirchhoffa dla węzła A) U E U j C U U j C d . R1 j L R2 Po podstawieniu danych otrzymujemy E E U d (1 j), I d (1 j) 3 150 i ostatecznie E E E d 50 d (1 j) d (1 j) E 150 3 I we d . 50 150 Tak więc Z we 150 Ω. 15 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.30 Obliczyć impedancję wejściową poniższego dwójnika. i(t) i (t ) L C C = 0,5, L = 2, R = 1, = 2, = 2. R Rozwiązanie. Symboliczny układ zastępczy z dołączonym dodatkowym źródłem prądowym pokazano na rysunku 1.30. Id Ud Id I I Z1 U0 Z 1 j L j4, Z 2 R j Z2 1 1 j. C Rys. 1.30 Impedancja wejściowa Zw Na podstawie rysunku obwodu Ud . Id U d U 0 I, U0 Id Z1 Z 2 U , I 0. Z1 Z 2 Z2 Tak więc Ud Id Z1 Z 2 Z1 Id . Z1 Z 2 Z1 Z 2 Ostatecznie Zw Z 1 (Z 2 ) . Z1 Z 2 Po podstawieniu danych Z w 4. 16 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad 1.31 W obwodzie panuje stan ustalony. Obliczyć prąd i(t) posługując się metodą prądów oczkowych. i(t) L1 C2 e(t) C1 R1 e(t ) 2 cos(t ), iz (t ) 2 sin(t ), L1 L2 1, C1 C2 0,5, R1 R2 1, R2 u(t) iZ (t ) u (t ) L2 0,5. Rozwiązanie. Symboliczny obwód zastępczy pokazano na rysunku 1.32. Z1 Im1 E j, I z 1, I Z 1 R1 j L1 j Im2 R2 C2 E Im4 U U L2 iZ(t) Im3 Z2 j 1 1 j, C1 1 j2, Z 3 R2 1, C2 Z 4 j L2 j. Rys. 1.31 Po wybraniu drzewa Tr (jako koniecznego warunku rozwiązalności obwodu - lina pogrubiona czerwona) można wybrać system oczek niezależnych (oczka tworzą elementy dopełniające do drzewa Tr) oraz zbiór prądów oczkowych i ułożyć układ równań metody prądów oczkowych. 1. Z 1 Z 4 I m1 Z 4 I m 2 Z 4 I m 3 E , 2. Z 2 Z 3 Z 4 I m 2 Z 4 I m1 Z 4 I m3 Z 2 I m 4 E , 3. I m 3 U 4. I m 4 I Z . Równanie sterowania: 5. U Z 3 I m 2 . Wstawiając równanie (5) do (3) otrzymujemy I m3 Z 3 I m 2 . Zatem można zapisać następujący układ równań liniowych: Z4 Z3Z4 E Z1 Z 4 I m1 . Z Z 2 Z 3 Z 4 Z 3 Z 4 I m 2 E Z 2 I Z 4 Podstawiając dane otrzymujemy: 1 j 1 2 I m1 j , j 1 j 3 I m 2 -j 2 stąd 17 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta 1 j 2 3 -j 1- j 1+ j 2 2 j2 2 I m1 I j= e 3 3 1 3 3 j 1 j 2 2 2 3 j 1- j 2 j Ostatecznie i (t ) 0,9428sin t 0,9428cos(t ). 2 Zad. 1.32 W obwodzie pokazanym na rysunku panuje stan ustalony. Obliczyć napięcie u(t) posługując się metodą symboliczną oraz metodą napięć węzłowych. e(t ) 10sin(t ) V, R1 iz (t ) 0, 05sin(t 300 ) A, L R1 100 , R2 200 , u(t) e(t) C R2 L 10, 61 mH, C 0, 2653 F, f 3 kHz. iz(t) Rozwiązanie. Symboliczny schemat zastępczy obwodu, obowiązujący w stanie ustalonym, pokazano na rysunku poniżej. A 10 0, 05 j300 E , Iz e , 2 3 103 , Z1 2 2 U Iz Z2 Z 1 R1 j L 100 j200, E Z2 1 100 j100. 1 j C R2 Dla węzła A można zapisać 1 1 1 U E I Z , Z1 Z1 Z 2 stąd E Z1 Z 2 Z1 I Z E . U 1 1 Z1 Z 2 Z1 Z 2 IZ Po podstawieniu danych 0 U 6,5054 e j21,5 . 18 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Ostatecznie u (t ) 2 6,5054sin(t 21,50 ) 8,5621sin(t 21,50 ). Zad. 1.33 Prąd i(t), o którym mowa w Zadaniu 1.31, obliczyć metodą napięć węzłowych. Rozwiązanie Symboliczny obwód zastępczy z wybranymi napięciami węzłowymi pokazanymi rysunku. Z1 I R2 V2 V1 V3 C2 E U U L2 iZ(t) Słuszny jest następujący układ równań metody napięć węzłowych: 1 1 1 1 V3 I z, 1. V 1 ( ) V 2 Z2 Z3 Z3 Z2 2. V 1 1 1 1 1 1 V 2( ) V 3 U, Z3 Z1 Z 3 Z 4 Z1 3. V 3 E. Równanie sterowania: 4. U V 2 V 1 . Po rozwiązaniu równań otrzymuje się 1 j, 3 2 1 V 2 j. 3 3 V1 Ponieważ I E V 2 , Z1 więc 2 j. 3 Przebieg czasowy prądu i(t) jest oczywiście taki sam jak w rozwiązaniu Zadania 1.31. I 19 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.34 W obwodzie występuje stan ustalony. Korzystając z metody prądów oczkowych znaleźć wszystkie zaznaczone prądy gałęziowe. i1(t) L i2(t) i5(t) R1 i3(t) e(t ) sin t , iZ (t ) cos t , C i4(t) R1 R2 1 , C 3F, iZ(t) R2 L 1/ 6 H e(t) Wynik i1 (t ) sin(t 0,9273) A, i2 (t ) 0, 2236sin(t 0, 4636) A, i3 (t ) 0,8062sin(t 0,1244) A, i4 (t ) 0, 6325sin(t 0,3218) A, i5 (t ) 1.204sin(t 0,8442) A. Zad. 1.35 W sieci panuje stan ustalony. Znaleźć prąd i0(t) metodą prądów oczkowych. C1 L1 i(t) C2 R1 C1 C2 C3 1F, i0(t) L2 L1 L2 2 H, R1 R2 1 , C3 e(t ) 2 sin t V, iZ (t ) 2 cos t A. R2 e(t) iZ(t) Wynik: i(t) i0 (t ) 2 2 sin t 2 A. Zad. 1.36 W sieci panuje stan ustalony. Znaleźć napięcie uL(t). L1 iZ1(t) C e(t ) 2 sin t V, R e(t) iZ2(t) L2 iZ 1 (t ) 2 cos t 4 A, iZ 2 (t ) 2 sin t A, R1 1, L1 L2 1H, C 1F. uL(t) 20 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Wynik Należy zastosować metodę prądów oczkowych i prawo Ohma, otrzymujemy u L (t ) sin t 4 . Zad. 1.37 Znaleźć impedancję wejściową poniższego dwójnika. L1 R1 6 , R2 2 , * * R 1 C L1 8 , L2 2 , M 4 , M L2 Zwe 1 8 . C R2 Rozwiązanie Do analizy obwodu z cewkami sprzężonymi zaleca się stosowanie metody prądów oczkowych. Sposób rozwiązywania obwodu jest taki sam, jak w przypadku obwodu bez sprzężeń. Należy tylko nieco inaczej wyznaczyć impedancje własne i wzajemne oczek. L1 Iwe Ewe C R1 * M * L2 Im1 Z we E we E we I we I m1 Im2 R2 Wybieramy oczka (w przykładzie nie wybrano celowo oczek optymalnie). Orientację oczek najlepiej przyjąć tak, aby prądy oczkowe wpływały do zacisków jednoimiennych cewek (*). Najpierw układamy równania wynikające z metody prądów oczkowych tak jak nie byłoby sprzężeń, tzn. 1 1. R1 j L1 j j L2 R2 I m1 j L2 R2 I m 2 E we , C 2. j L2 R2 I m1 j L2 R2 I m 2 0. Następnie modyfikujemy te równania zgodnie z zasadą: jeśli istnieją sprzężenia pomiędzy cewkami należącymi do tego samego oczka, to w impedancji własnej pojawi się dwukrotna wartość impedancji indukcyjności wzajemnej. Znak podwojonej impedancji indukcji wzajemnej jest + (plus) jeśli prąd oczkowy w tym oczku wpływa (wypływa) jednocześnie do (z) zacisków jednoimiennych obydwu cewek sprzężonych. jeśli istnieją sprzężenia pomiędzy cewkami to do impedancji wzajemnej należy jeszcze dodać (zwrot obu prądów oczkowych względem zacisków jednoimiennych cewek jest zgodny) lub odjąć (zwrot obu prądów oczkowych względem zacisków 21 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta jednoimiennych cewek jest przeciwny). Zatem równania 1 i 2 zostają uzupełnione w następujący sposób: 1 1. R1 j L1 j j L2 R2 j2 M I m1 j L2 R2 j M I m 2 E we , C 2. j L2 R2 j M I m1 j L2 R2 I m 2 0. Podstawiając dane, otrzymujemy 8 j10 2 + j6 I m1 E we E we 2 + j6 2 + j2 I 0 Z we I 10 4 j. m2 m1 11 W przypadku, gdy cewki sprzężone są połączone tak, że spotykają się we wspólnym węźle można zastosować układy równoważne, trzy cewki ale bez sprzężeń (4 możliwe kombinacje I, II, III i IV- rys. poniżej). A * M L1 B A * L2 * B M L1 I A L2 * L2-M L1+M A B M L2 * II C L2+M B M M C B C L1-M L1 * A B C A III * L2 L1 * -M IV C C Stosując III schemat równoważny, analizowany obwód można narysować w następujący sposób (rys. poniżej). Zatem 1 L1+M -M Z we R1 j L1 M j R1 C C L2+M Zwe R2 + j L2 M -jM R2 + j L2 M - jM R2 2 + j6 -j4 10 j4 6 j12 - j8 + 2 + j6 - j4 22 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.38 W obwodzie panuje stan ustalony. Obliczyć wartość napięcia U. R4 Im2 L1 M13 * R1 * U C1 R2 M 13 M 25 0,5, E3 L1 L2 L3 L5 1, L3 R5 Im3 E1 C2 Im1 L2 M25 C5 2 2 C1 2, C2 , C5 , 5 3 R1 R2 R4 R5 1, E1 1, E 3 2, 1. L5 Rozwiązanie. W obwodzie występują induktory sprzężone polem magnetycznym; zalecaną metodą analizy obwodu jest metoda prądów oczkowych. Można ułożyć następujące równania: 1. ( R1 j1C1 j L1 R2 j1C2 j L2 ) I m1 ( R1 j1C1 j L1 - j M 13 ) I m 2 ( R2 2. ( R1 1 j C1 1 jC2 j L2 j M 13 j M 25 ) I m 3 E1 , j L1 j M 13 ) I m1 ( R1 1 j C1 j L1 R4 j L3 2 j M 13 ) I m 2 j L3 j M 13 I m3 E 3 , 3. ( R2 1 jC2 ( R2 j L2 j M 13 j M 25 ) I m1 j L3 j M 13 I m 2 1 jC2 j L2 R5 1 jC5 j L5 j L3 2 j M 25 ) I m3 E 3 . Podstawiając dane otrzymuje się układ równań 3 -1 -1+ j 2 j 2 I 1 m1 1 1 -1 2 + j - j I m2 2 2 2 I m3 2 -1+ 3 j - 1 j 2 - 2j 2 2 Rozwiązując ten układ otrzymuje się I m1 0,8783 j0, 2368, I m 2 1, 4371 j0, 2581, I m3 0, 06882 j0, 2499. Napięcie U jest sumą trzech składowych U j L1 ( I m1 I m 2 ) j M 13 I m 2 j M 13 I m 3 . Wartość numeryczna napięcia U 0, 4908 j0.1942 0,5278e j2,765 rad . 23 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.39 Wyznaczyć wartości elementów szeregowego połączenia RZ, XZ równoważnego układowi jak na rysunku poniżej. Dane: L 10 mH, M 3mH, R 1,5 kΩ, 2 105 rd/s. M * L * L A RZ R Wynik XZ R RZ 1, 4 kΩ, X Z LZ 1,5 kΩ. Uwaga: Wykorzystać symetrię obwodu można zauważyć, że nic się zmieni, jeśli połączenie A się usunie. Zad. 1.40 Obliczyć napięcie u(t). u1(t) R1 Dane: * L1 R1 R2 1 , 1, M L1 L2 M 1H, u (t) e(t ) 2 cos(t ) V, * u1(t) R2 L2 e(t) Wynik u (t ) 20 sin t +108,40 V . 5 Zad. 1.41 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć prąd iC (t ) . R1 L C2 Dane: e1 (t ) 2,8sin t 4 V, e2 (t ) 2 10sin t V, C1 R1 1Ω, R2 2Ω, L 1H, R2 e1(t) iC(t) e2(t) C1 1 2 F, C2 1F. Wynik Stosujemy metodę napięć węzłowych ! iC (t ) 2 2sin t 2 A. 24 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.42 Znaleźć napięcie uL (t ) metodą napięć węzłowych. Dane: iZ (t ) 2 cos(2t ), iZ(t) R1 R2 1, 3, L 2, C 1/ 2. R1 C L R2 i(t) i(t) Wynik u L (t ) 5,963sin 2t 1, 249r V . Zad. 1.43 Wyznaczyć stosunek T U 1 U 2 dla poniższego układu w dwóch przypadkach 1) współczynnik wzmocnienia idealnego wzmacniacza operacyjnego k jest skończone oraz 2) gdy k . 2R Dane 2R _ k 1 . RC + C U1 U2 R Rys. 1.43a Analizowany układ _ k + U+ U UUwy + Uwy = k(U+- U-) U Rys. 1.43b Schemat równoważny idealnego wzmacniacza operacyjnego. 25 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Rozwiązanie Narysujmy układ do analizy. 2R 2R U ux U1 C U2 R U ux Zadanie rozwiążemy metodą napięć węzłowych. Do zacisków wejściowych należy dołączyć pobudzenie. Poszukiwany stosunek T U 1 U 2 nie może zależeć od wartości pobudzenia ( U 1 0 ). Układamy następujący układ równań liniowych (równania wynikające bezpośrednio z metody): 1 1. jC U jCU 1 0, R 1 1 1 1 2. U1 U 2, U 2R 2R 2R 2R oraz równanie sterowania: 3. U 2 k U U . Rozwiązując ten układ równań (z 1. wyznaczamy U+, z 2. U- i wstawiamy do 3.) otrzymujemy: k 1 j RC U k 1 j RC T 2 . U1 2 k 1 j RC 2 k 1 j RC Gdy k jest skończone, wówczas T k , otrzymujemy: T 1 RC 1 RC k 1 j U2 k j . Natomiast gdy U1 2 k 1 j 2 k j U2 1 j RC 1 j j= e 2 . U1 1 j RC 1+ j Zad. 1.44 Wyznaczyć stosunek T U 1 U 2 dla poniższego układu w przypadku gdy k . R Wynik C _ T U 2 U1 j k + U1 R 1 RC U2 26 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.45 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie U stosując metodę napięć węzłowych. R1 Dane E1 1, E 2 j3, I Z 4 j4, R1 R2 R3 R4 1, E1 C R3 R4 U IZ L E2 L 1, C 1, 1/ 2. Wynik 1 U j 2 R2 Rozwiązanie Nie można bezpośrednio zastosować metody napięć węzłowych, gdyż nie można wybrać węzła odniesienia (zgodnie z tą metodą źródła napięciowe powinny mieć wspólny węzeł). Należy zatem przekształcić obwód stosując zasadę ruchliwości źródeł. Poniżej 1 1 1 1 oraz Z 2 j pokazano sposób postępowania. Oznaczmy jako Z 1 R1 j . C L R2 Z1 R3 E1 R4 U IZ E2 E1 Z2 Z1 Inaczej przerysowany obwód. E1/R3 R3 V2 E2 Z2 R4 V3 IZ V1 E1 Napiszmy teraz równania wynikające z metody napięć węzłowych. 27 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta 1 1 1 1 1 1 1 E1 1. IZ, V 1 V 2 V 3 Z2 R3 R3 R4 Z 1 Z 2 R3 Z 1 2. V 2 E 2 , 3. V 3 E1. Oczywiście szukane U V 1 . Podstawiając dane i rozwiązując ten układ otrzymujemy : 1 U V1 j 2 Zad. 1.46 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie u (t ) . iZ(t) Dane: e(t ) sin(t 4) V, iZ (t ) cos(2t 4) A, L R1 R2 C u(t) R1 2 Ω, R2 5Ω, C 1F, L 1H. e(t) Rozwiązanie Należy zastosować zasadę superpozycji (pulsacje pobudzeń są różne). IZ L R2 L U’ C R2 U’’ E Wyznaczamy przyczynek napięcia U ' pochodzący od pobudzenia E : R2 5 15 U' E j 0, 6933e-j0,9828rad , 1 1r/s . R2 j1 L 13 26 Wyznaczamy przyczynek napięcia U ' pochodzący od pobudzenia I Z : j2 LR2 5 U '' I Z 3 7 j 1,313e j1,976rad , 2 2 r/s . R2 j2 L 29 Ostatecznie u (t ) 0,98058sin(t 0,98279) 1,857 sin(2t 1,976) V . 28 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.47 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie u (t ) . u(t) Dane: e1 (t ) 1V const, e2 (t ) 2 sin(t ) V, L1 e3 (t ) 2 sin(2t ) V, C1 1F, R1 R2 1Ω, R2 R1 L1 L2 1H. L2 C Wynik: e1(t) e2(t) u (t ) 0,5 2 sin(t ) 5 2sin 2t 1,8925 r V e3(t) Zad. 1.48 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie u (t ) . uC(t) e(t) C1 Dane: e(t ) 2 sin t V, iZ(t iZ (t ) cos 2t 4 A, uC(t) C1 C2 1F, R 1Ω, L u(t) R L 1H, 1A/V. C2 Wynik u (t ) 1, 682sin 2t 2, 65 rad 0,5sin t 2,36 rad V . Zad. 1.49 W obwodzie występuje stan ustalony. Wyznaczyć napięcie u (t ) stosując zasadę superpozycji. Dane: L1 L2 u(t) e(t) iZ(t) R1 R2 2 e(t ) sin(2t ) V, iZ (t ) sin 2t A, 3 4 1 R1 2 Ω, R2 1Ω, L1 1H, L2 H. 2 Wynik: u (t ) 2 sin 2t V. 29 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.50 Wyznaczyć schemat równoważny dwójnika AA’ (rys. 1.50a) z tw. Thevenina. e(t ) 2 cos 2t , R1 5, R2 10, 10, L 5, C 1/ 20. wynikający, R2 A e(t ) Wynik: i (t ) C L 1 8 Eg j 5 5 Z g 5 j5 i (t ) R1 A’ Rys. 1.50a Rozwiązanie: U R2 Wyznaczenie napięcia biegu luzem Eg Ip R2 A C L E j I I R1 A’ Napięcie E g U AA ' E U R2 . W obwodzie (rys. 1.50b) są dwa niezależne oczka. E I , Ip , Zatem prąd I 1 R1 j L R2 jC jC R2 E 1 8 a Eg E j . 1 jCR2 R1 j L 5 5 Rys. 1.50b Wyznaczenie zastępczej impedancji generatora Zg Wyłączając autonomiczne źródło napięciowe (w miejsce E wstawiamy zwarcie, rys 1.50b), przez gałąź R1, L nie może płynąć prąd. Zatem I = 0 oraz I = 0 tak, więc źródło sterowane jest również wyłączone. Z powyższych spostrzeżeń wynika, że R2 A L Z g Z wej C 1 R2 jC 5 5 j. 1 1 j R2C R2 jC R2 I 0 Z wej Z g R1 A’ Rys. 1.50c 30 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1. 51 Wyznaczyć schemat równoważny dwójnika AA’ (rys. 1.51a) wynikający, z tw. Nortona. Dane: iZ (t ) 10 cos 2t 450 , R 2, 2, C1 1/ 2, C2 1/ 4, , L 2. C1 C2 A iZ (t ) Wynik: i (t ) L i (t ) I g 5 j 5, 1 1 Yg j 8 8 R A’ Rys. 1.51a Rozwiązanie: Wyznaczenie prądu zwarcia IAA’ Prąd I AA ' I g I 1 I 2 (rys. 1.51b). Na gałęzi RL występuje napięcie U I , czyli prąd U I . Równość ta jest możliwa tylko dla I 0 . Zatem źródło sterowane R j L R j L jest wyłączone (stanowi zwarcie). Prąd źródła autonomicznego IZ płynie dwoma drogami, część przez kondensator C1 i część przez C2 (tzn. I2). Przez kondensator C1 płynie prąd I1, gdyż prąd I = 0. Zatem I AA ' I g I 1 I 2 5 j 5 . I C1 C2 I2 A I L I Z 5 j 5 I U I1 IAA’ R A’ Rys. 1.51b 31 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Wyznaczenie zastępczej impedancji generatora Zg I C2 C1 A L I U we I we Podłączamy do zacisków AA’ źródło prądowe o wydajności I we (rys. 1.51b), U stosunek we określa impedancję I we wejściową Z we dwójnika AA’. Prąd I I we , zatem napięcie U we I I R j L I we R j L . R A’ U we R j L , a I we 1 1 Z we R j L Tak więc Z we Rys. 1.51b Y we 1 1 1 j 4 j4 8 8 Zad. 1.52 Obliczyć prąd i(t). Zastosować twierdzenie Thevenina. i(t) L R3 C iZ(t) R1 R2 e(t) e(t ) 20sin(100 t ) V, iZ (t ) 0, 04sin(100 t ) A, R1 400 , R2 300 , R3 500 , L 6 H, C 25μF. Rozwiązanie. Zgodnie z twierdzeniem Thevenina można skonstruować obwód zastępczy pokazany na rysunku. EW ZW I SEM Ez można obliczyć przy rozwartych zaciskach kondensatora R2 E z I z ( R1 j L) E 6, 0104 j16,9706. R2 R3 Impedancja Zw to impedancja przy rozwartych zaciskach kondensatora i wyłączonych źródłach RR 1 Z w R1 j L 2 3 587,5 j200. j C R2 R3 Tak więc E I z (17,9803 j22, 7651)103. Zw Prąd jest zatem równy i (t ) 41, 03103 sin(100 t 0,9023) A. 32 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.53 Obliczyć moce wydzielone w obciążeniu o impedancji Z0. Jakie wartości winny mieć elementy R0 i C0 aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc czynna. Obliczyć wartość tej mocy. a I R E E 100 V, R 500 , R0 200 , C0 I b R0 300 , L 1H, C0 2,5μF, 103 rad/s. Rozwiązanie. Na zaciskach a,b obciążenia zastosujemy twierdzenie Thevenina. Obwód zastępczy pokazano na rysunku. I0 Ez E ZW U0 Z0 EZ j L E 92 j16. R j L R j L Impedancję Zw obliczymy w obwodzie pokazanym na rysunku poniżej. a Id I I R L Ed I Ed , I , j L j L Ed I b Ed Id Ed Ed j L . R j L Stąd Zw Ed j L R 460 j80, Id R j L 1 j C0 160 j80. Z0 1 R0 j C0 R0 Prąd i napięcie na obciążeniu Ez I0 0,1439 j0, 02581, U 0 I 0 Z 0 25,8065 j7, 7419. Zw Z0 Zespolona moc pozorna * S U 0 I 0 3, 6296 j1,8148. Moc czynna i bierna, wydzielone w obciążeniu P 3, 6296 W, Q 1,8148 VAr. Aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc czynna, impedancja obciążenia winna mieć wartość * Z 01 Z w 460 j80. Admitancja takiego obciążenia winna być równa 33 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska Y 01 wersja Beta 1 0, 0021101 j0, 000367, Z 01 skąd 1 Im{Y } 473,9 , C01 0,367 μF. Re{Y 01} Maksymalna moc czynna w warunkach dopasowania energetycznego | E z |2 Pmax 4, 7391W. 4 Re{Z w } R01 Zad. 1.54 Na rysunku pokazano schemat zastępczy pewnego rzeczywistego źródła prądowego. Jaką mocą czynna dysponuje takie źródło? L i(t) R1 iZ(t) i(t) R3 R2 v(t) C iz (t ) 5sin(314 t ), R1 100 , L 3,185 H, C =2 nF, R2 500 , R3 500 , 1k. Rozwiązanie. Znajdziemy obwód zastępczy wynikający z twierdzenia Nortona. IZW ZZ Po zwarciu zacisków wyjściowych, dla symbolicznej wartości napięcia v(t) można zapisać R1 1 1 1 V 1 ) Iz , V( R2 R1 j L R3 R1 j L R2 R3 skąd V 9, 4629 j42, 061. 1 R2 0, 05678 j0, 2523. R3 Po rozwarciu źródła prądowego można obliczyć impedancję w kierunku strzałki na rysunku R2 1169,16 j551, 45. Z w1 R2 1 R1 j L Impedancja wewnętrzna 1 ( Z w1 R3 ) j C 1670,32 j549,89. Zw 1 Z w1 R3 j C I zw V 34 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Moc dysponowana źródła Pd | I zw Z w |2 30,97 W. 4 Re( Z w ) Zad. 1.55 W celu dopasowania rezystora R0 = 100 do źródła o rezystancji wewnętrznej Rw = 200 zastosowano układ LC, pokazany na rysunku. Obliczyć jakie parametry muszą mieć kondensator oraz induktor aby w układzie wystąpiło dopasowanie. L RW E R0 C Rozwiązanie. Impedancja wejściowa układu od strony zacisków obciążenia 1 Rw j C Zw j L. 1 Rw j C W warunkach dopasowania Re{Z w } R0 , Im{Z w } L 0. Rozwiązanie pierwszego równania daje wartość pojemności kondensatora Rw 1 C 1 5μF, Rw R0 rozwiązanie drugiego równania indukcyjność induktora Rw2 C 0,1H. L 1 ( RwC ) 2 Zad. 1.56 Znaleźć strukturę i wartości elementów dwójnika N, tak aby wydzieliła się w nim maksymalna moc czynna. Obliczyć tę moc. Dane: R1 = 1 , R2 = 1 , L A L 1 H , C 12 F , R1 e(t) e(t ) 2 10 cos 2t V R2 C N B Wyniki: 4 2 Z g j , 3 3 20 E g + j10 V, 3 325 W. Pmax 12 3 3 Y g - j , 5 10 I g 7 4 j A, 35 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.57 Znaleźć strukturę i wartości elementów dwójnika N, tak aby wydzieliła się w nim maksymalna moc czynna. Obliczyć tę moc. L Dane: R1 = 1 , R2 = 1 , L 1 H , C 12 F , A R1 R2 e(t) C e(t ) 2 5cos 2t V N B Wynik 2 1 Z g j , 3 3 E g 10 j/ 3V , I g 2 4 j A, Pmax 25 W. 6 Zad. 1.58 Dobrać tak R0 i C0 by w tym dwójniku wydzieliła się maksymalna moc czynna. Wyznaczyć tę moc. Dane: e(t ) 3 2 sin 2t 4 V, A L R2 R1 R2 1 Ω, R1 C 1 4 F, L 1 2 H. e(t) C 5 6 Wynik: R0 , C0 C0 B 3 F, 10 Pmax R0 15 W. 4 Zad. 1.59 Obliczyć elementy (R0 i C0 lub R0 i L0), dwójnika N, które zapewnią dopasowanie tego dwójnika na maksymalną moc czynną. Obliczyć tę moc. L A u(t) R2 R1 e(t) N u(t) Wynik: I g 5jA, C B Y g 3 2 j S , 4 1 e(t ) 2sin t , L , 4 5 2 1 1 R1 , R2 1, , C 2. 2 2 Pmax 25 . Dwójnik N to np. równoległe 12 1 połączenie rezystora R0 oraz kondensatora C0 4 F . 3 36 Zakład Teorii Obwodów, Politechnika Wrocławska wersja Beta Zad. 1.60 Obliczyć elementy (Ro i Co lub Ro i Lo), dwójnika N, które zapewnią dopasowanie tego dwójnika na maksymalną moc czynną. Obliczyć tę moc. i (t ) C iZ (t ) i (t ) R2 N R1 1 iZ (t ) 3sin t A, 4 2 3 R1 , R2 2 , 2 1 , C 1F, 2 L 4 H. Wynik: E g 6 jV, Z g 3 j , Pmax 3W . Dwójnik N składa się np. z szeregowo połączonego rezystora R0 3 i kondensatora C0 1 F. 2 Opracował i napisał: Czesław Michalik [email protected] Instytut Telekomunikacji i Akustyki I-28 Politechnika Wrocławska Wybrzeże Wyspiańskiego 27 Mile widziane uwagi dotyczące dostrzeżonych błędów. 37