wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła
Transkrypt
wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła
Sprawozdanie z laboratorium Imię i nazwisko: Wydział: Nr ćwiczenia: Data 101 21.10.2009 Joanna Skotarczyk Prowadzący: Informatyki i Zarządzania Przygotowanie: Semestr: III Wykonanie: Grupa: I5.1 Nr lab.: 1 Ocena: dr Tomasz Runka WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO I MATEMATYCZNEGO Wiadomości teoretyczne: Pod wpływem siły ciężkości wahadła fizyczne i matematyczne wykonują ruch drgający, który w zakresie niewielkich amplitud jest ruchem harmonicznym. Okres tego ruchu zależy od właściwości wahadła oraz przyspieszenia ziemskiego. Wahadło fizyczne – każde ciało sztywne mogące się wahać wokół osi poziomej, na które w momencie wychylenia z położenia równowagi działa moment siły ciężkości, który przyczynia się do zmniejszenia wychylenia. = − = I – moment bezwładności ciała względem punktu zawieszenia – przyspieszenie kątowe – kąt wychylenia z położenia równowagi L – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości ciała Na podstawie powyższego równania można zauważyć, że ruch wahadła fizycznego w ogólnym przypadku nie jest ruchem harmonicznym (przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do sinusa kąta wychylenia, a nie do samego kąta). Biorąc pod uwagę te założenia, oraz przyjmując, że dla małych amplitud sin = otrzymujemy zależność określającą okres wahadła fizycznego: =2 mgL – moment kierujący Wahadło matematyczne – w jego przypadku masa układu skupiona jest w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości. Połączenie pomiędzy środkiem ciężkości a punktem zawieszenia interpretuje się jako nieważką nić. Okres wahadła matematycznego wynosi: =2 l – długość wahadła Długość zredukowana wahadła fizycznego – długość wahadła matematycznego dobrana w sposób, aby jego okres był równy wahadłu fizycznemu. Można ją wyznaczyć przyrównując okresy drgań obu wahadeł: = Wyznaczenie długości zredukowanej ułatwia wahadło rewersyjne zwane także odwracalnym. Przebieg ćwiczenia: 1. Wprowadzenie w szczelinę czujnika fotoelektrycznego kulki wahadła matematycznego. Uregulowanie jego długości tak, aby kreska na kulce była na jednym poziomie z kreską zaznaczoną na czujniku. Odczytania długości wahadła. 2. Wychylenie wahadła o niewielki kąt oraz trzykrotne zmierzenie czasu 10 wahnięć. Obliczenie okresu T wahań wahadła matematycznego. 3. Powtórzenie pomiarów dla innych wartości długości wahadła. 4. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego. 5. Wyliczenie średniej wartości przyspieszenia ziemskiego oraz odchylenia standardowego średniej. 6. Umocowanie ostrz A i B w pobliżu końców wahadła i zmierzenie ich odległości. Umocowanie soczewki S2 na zewnątrz ostrzy, w pobliżu ostrza B. 7. Umocowanie soczewki S1 między ostrzami w pobliżu ostrza A. 8. Zmierzenie czasu około 10 wahnięć wahadła zawieszonego na ostrzu A. Obliczenie okresu TA. 9. Zmienianie położenia soczewki S1 w całym zakresie pomiędzy ostrzami i powtórzenie pomiarów TA. 10. Odwrócenie wahadła. 11. Zmienianie położenia soczewki S1 w całym zakresie pomiędzy ostrzami i powtórzenie pomiarów TB. 12. Wykonanie wykresów okresów TA i TB w funkcji położenia soczewki S1. 13. Oszacowanie błędu odczytu punktu przecięcia na wykresie oraz błędu wyznaczania okresu. 14. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego g. 15. Obliczenie błędu g. 16. Zestawienie wyników i ich błędów. Wyniki pomiarów: Wahadło matematyczne: L.p. Długość wahadła [ ] 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0,15 0,2 0,42 Liczba wahnięć Czas wahnięć 10 10 10 10 10 10 10 10 10 [ ] 7,813 7,800 7,812 8,983 8,969 8,995 12,961 12,969 12,993 Wahadło rewersyjne: Położenie ostrza A [ ] 0,09 Położenie ostrza B [ ] 1,01 Położenie soczewki nr 2 [ ] 1,20 L.p. Położenie soczewki nr 1 [ ] 0,14/0,191 0,24 0,34 0,44 0,49 0,54 0,64 0,74 0,84 0,94 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Ilość wahnięć Czas ruchu (oś obrotu A) Czas ruchu (oś obrotu B) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 [ ] 20,551 19,842 19,185 18,628 18,410 18,246 18,161 18,630 20,185 24,479 [ ] 19,709 19,569 19,223 19,021 18,977 18,956 19,002 19,143 19,367 19,661 Obliczenia: Wahadło matematyczne: Dokonano obliczeń: ∑ Wartości średniej czasu ruchu (na podstawie średniej arytmetycznej): ̅ = . Okresu ruchu wahadła: Przyspieszenia ziemskiego dla poszczególnych długości wahadła: Średniej arytmetycznej przyspieszenia ziemskiego: ̅ = = . ∑ . . Wyznaczono wartości błędów pomiarowych: Wahadła matematycznego z dokładnością do milimetrów (zgodnie z miarką zamieszczoną na wahadle). Średniej długości czasu ruchu: ∆ ̅ = Okresu ruchu wahadła:∆ = ∆ .̅ Przyspieszenia ziemskiego (z zastosowaniem różniczki logarytmicznej): ∆ = ∆ + −2 ∆ ∑( ( ̅) ) . . Odchylenia standardowego średniej arytmetycznej: ∆ ̅ = ∑( ( ) ) . Błąd długości wahadła ∆[ ] 0,01 1 Długość wahadła Średni czas ruchu Błąd czasu ruchu Okres ruchu Błąd okresu ruchu [ ] 0,15 0,2 0,42 ̅[ ] 0,78083 0,8982 1,2883 ∆ ̅[ ] 0,00015 0,0002 0,0018 [ ] 0,78083 0,8982 1,2883 ∆ [ ] 0,00015 0,0002 0,0018 Położenie soczewki nr 1 dla osi obrotu A: 0,14m, dla osi obrotu B: 0,19m Błąd Przyspieszenie przyspieszenia ziemskie ziemskiego [ ] ∆ [ ] 9,71 0,66 9,8 0,5 9,99 0,27 Średnia przyspieszenia ziemskiego ̅[ ] 9,83 Błąd przyspieszenia ziemskiego ∆ ̅[ ] 0,09 Wahadło fizyczne: Dokonano obliczeń: | | Odległości pomiędzy ostrzami: = Okresu ruchu wahadła wobec osi obrotu A oraz wobec osi obrotu B: Przyspieszenia ziemskiego dla różnych wartości położenia soczewki nr 1: . = . Wyznaczono wartości błędów pomiarowych: Położenia ostrza A, ostrza B, soczewki nr 1 oraz soczewki nr 2 z dokładnością do milimetrów (zgodnie z miarką zamieszczoną na wahadle). Odległości pomiędzy ostrzami: ∆ = Okresu ruchu wahadła (z zastosowaniem różniczki zupełnej): ∆ = Przyspieszenia ziemskiego (z zastosowaniem różniczki logarytmicznej): ∆ = ∆ + −2 ∆ ∆ + ∆ . ∆ . . Wykonano wykres: Okresów TA i TB w funkcji położenia soczewki S1. Na tej podstawie wyznaczono jednakowy okres T dla obu zawieszeń, a także oszacowano błąd odczytu punktu przecięcia na wykresie. Błąd położenia ostrza A, ostrza B, soczewki nr 1 i soczewki nr 2 ∆ ,∆ ,∆ ,∆ [ ] 0,01 Odległość pomiędzy ostrzami Błąd odległości pomiędzy ostrzami [ ] 0,92 ∆[ ] 0,02 Błąd czasu ruchu (oś obrotu A) ∆ [ ] 0,001 Położenie soczewki nr 1 [ ] 0,14/0,19 0,24 0,34 0,44 0,49 0,54 0,64 0,74 0,84 0,94 Okres według osi A [ ] 2,0551 1,9842 1,9185 1,8628 1,8410 1,8246 1,8161 1,8630 2,0185 2,4479 Błąd czasu ruchu (oś obrotu B) ∆ [ ] 0,001 Błąd okresu według osi A ∆ [ ] 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 Okres według osi B [ ] 1,9709 1,9569 1,9223 1,9021 1,8977 1,8956 1,9002 1,9143 1,9367 1,9661 Błąd okresu według osi B ∆ [ ] 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 . 2,45 2,4 2,35 2,3 2,25 Okres [s] 2,2 2,15 2,1 według osi A 2,05 według osi B 2 1,95 1,9 1,85 1,8 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Położenie soczewki [m] Błąd Wartość wartości okresu okresu Błąd Położenie Odległość położenia soczewki pomiędzy soczewki nr 1 soczewkami nr 1 Błąd odległości pomiędzy soczewkami [ ] ∆ [ ] [ ] ∆ [ ] [ ] ∆[ ] 1,925 0,005 0,33 0,79 0,01 0,01 0,87 0,41 0,02 0,02 Błąd Przyspieszenie przyspieszenia ziemskie ziemskiego ∆ 9,27 - 0,27 - Dyskusja błędów: Wyniki otrzymane poprzez dokonanie pomiarów za pomocą wahadła matematycznego pozwalają w miarę dokładnie wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego. Również wyniki uzyskane za pomocą wahadła rewersyjnego nie odbiegają zbyt znacząco od oczekiwanych. Przy pomiarach dotyczących wahadła rewersyjnego, z wyników otrzymanych poprzez odczytanie odpowiednich wartości z wykresu, przy dalszej analizie odrzucono ten, którego środek ciężkości soczewek znajduje się pośrodku ostrzy. Na fakt, iż uzyskane pomiary nie są idealne, wpływ mają przede wszystkim warunki, w jakich doświadczenie zostało przeprowadzone. Wszystkie wyniki obarczone są pewnym błędem pomiarowym, jednak z łatwością można zauważyć, że w przypadku wahadła matematycznego błąd ten maleje wraz z wydłużaniem wahadła. W związku z tym można by go zminimalizować wykonując pomiary dla dużo większych długości wahadła. Wówczas jednak otrzymany pomiar byłby mniej dokładny. Podczas obliczeń pominięto rozciągliwość nici oraz siły oporu działające na wahadła. Wnioski: Ogólnie przyjęto, iż za wartość przyspieszenia ziemskiego przyjmuje się 9,80665 . Przeprowadzone doświadczenie pokazały jak korzystając z wahadeł, w łatwy sposób można ową wartość wyznaczyć. Na podstawie obserwacji wyników można stwierdzić, że wynik uzyskany za pomocą wahadła matematycznego jest dokładniejszy od tego otrzymanego poprzez użycie wahadła rewersyjnego. Wpływ ma na to przede wszystkim bardziej skomplikowana budowa oraz praca tego drugiego. Uzyskane podczas ćwiczenia wyniki są dość satysfakcjonujące. Aby otrzymać jeszcze dokładniejsze pomiary należałoby skorzystać z idealnie skonstruowanych wahadeł znajdujących się w odpowiednich warunkach (tak aby nić była nierozciągliwa, a na wahadło działała tylko siła grawitacji).