Miary ryzyka, zasady kalkulacji składek

Miary ryzyka,
zasady kalkulacji składek
Matematyczne podstawy teorii
ryzyka i ich zastosowanie
R. Łochowski
Value at Risk
•
•
•
•
X - łączna wartość szkód z portfela ryzyk
Π ( X ) - pobrana składka
L = X − Π ( X ) - strata ubezpieczyciela
Value at Risk (VaR, wartość zagrożoną) na
poziomie α definiujemy jako
VaRα ( L ) = inf {c : P ( L > c ) ≤ 1 − α }
• zwykle α = 99.5%, 99.9%
• Zadanie: udowodnić, że dla a>0:
VaRα ( aL + b ) = aiVaRα ( L ) + b
Value at Risk, c. d.
• Jeżeli Π ( X ) = Π α ( X ) jest składką opartą na
kwantylu, wówczas
P ( L > 0) = P ( X > Πα ( X )) ≤ 1 − α
i VaRα ( L ) = inf {c : P ( L > c ) ≤ 1 − α } ≤ 0
• Wada Value at Risk: niech L1 , L2 , L3 , L4 - straty
możliwa jest sytuacja, gdy L1 ∼ L2 , L3 ∼ L4 ,
ρ S ( L1 , L3 ) = 1, L2 , L4 - niezależne, lecz
VaRα ( L1 + L3 ) < VaRα ( L2 + L4 ) !
Value at Risk, c. d.
• Zadanie*
Udowodnij, że gdy Π ( X ) = Π α ( X ) jest
składką opartą na kwantylu, wówczas zachodzi
równość
VaRα ( L ) = VaRα ( X − Π α ( X ) ) = 0
• Zadanie
Podaj przykład takich L1 , L2 , L3 , L4 jak na
poprzednim slajdzie
Value at Risk, przykład
• Niech P ( L = −5 ) = 0.98, P ( L = 100 ) = 0.02
• Niech L1 , L2 ,..., L100 - niezależne, o takim
samym rozkładzie jak L
• VaR95% (100iL ) = −500
• VaR95% ( L1 + L2 + ... + L100 ) = ?
L1 + ... + L100 = 105iS − 500, S ~ Bin (100, 0.02 )
• Stosujemy przybliżenie Poissona, i dostajemy
P ( S ≤ 4 ) ≈ e −2 (1 + 2 / 1!+ ... + 16 / 4!) ≈ 0.947
VaR95% ( L1 + ... + L100 ) = 105i5 − 500 = 25
Koherentne miary ryzyka
• Koherentną miarą ryzyka L nazywamy
charakterystykę ryzyka ρ ( L ) , którą cechują
następujące własności
• monotoniczność L ≥ 0 ⇒ ρ ( L ) ≥ 0
• podaddytywność ρ ( L + M ) ≤ ρ ( L ) + ρ ( M )
• dodatnia jednorodność a ≥ 0 ⇒ ρ ( aL ) = aρ ( L )
• niezmienniczość na przesunięcia
ρ (L + b) = ρ (L) + b
Expected shortfall
• Expected shortfall, ES, jest zdefiniowany za
pomocą formuły
ESα ( L ) = E ( L | L ≥ VaRα ( L ) )
• Jeżeli P ( L = VaRα ( L ) ) = 0, wówczas
1
ESα ( L ) = VaRα ( L ) +
E ( L − VaRα ( L ) )
+
1−α
• Zadanie: Obliczyć ES dla strat z przykładu
dotyczącego VaR
• Expected shortfall jest podaddytywny dla
zmiennych o rozkładach ciągłych
VaR i ES – różnice
• VaR99% ( L ) odpowiada na pytanie:
Jaka jest najmniejsza strata wśród
największych strat, stanowiących 1%
wszystkich przypadków?
• ES99% ( L ) odpowiada na pytanie:
Jaka jest średnia strata wśród największych
strat, stanowiących 1% wszystkich
przypadków?
ES99% ( L ) ≥ VaR99% ( L )
Estymatory Var i ES
• Niech L1 ,..., Ln - niezależne straty z pewnego
portfela ryzyk o rozkładzie ciągłym
• L1:n ≤ L2:n ≤ ... ≤ Ln:n - statystyki pozycyjne
VaRα ( L ) ≈ Lα n:n

ESα ( L ) ≈
limn → ∞

Lα n:n + ... + Ln:n


n (1 − α )
Lα n :n + ... + Ln:n


n (1 − α )
= ESα ( L )
Podaddytywność ES
• Niech L1 ,..., Ln i M1 ,..., Mn niezależne próbki
strat z dwóch portfeli ryzyk o rozkładzie
ciągłym
( L + M )α n:n + ... + ( L + M )n:n
ESα ( L + M ) ≈
n (1 − α )
≤
Lα n:n + ... + Ln:n


n (1 − α )
+
≈ ESα ( L ) + ESα ( M )
M α n :n + ... + Mn:n


n (1 − α )
Modyfikacja ES
• Expected shortfall zdefiniowany za pomocą
wzoru
ESα ( L ) = E ( L | L ≥ VaRα ( L ) )
nie jest koherentną miarą ryzyka dla strat o
rozkładzie dyskretnym
• Miara zwana tail var, zdefiniowana jako
1
TVaRα ( L ) = VaRα ( L ) +
E ( L − VaRα ( L ) )
+
1−α
jest koherentną miarą ryzyka
TVaR vs ES
• Zadanie: Obliczyć TVaR dla strat z przykładu
dotyczącego VaR
• Jeżeli L ma rozkład ciągły, wówczas TVaR = ES
• Ogólnie zachodzą równości
1


TVaRα ( L ) = infd d +
E ( L − d )+ 
1−α


1
E ( L − VaRα ( L ) )
= VaRα ( L ) +
+
1−α
1
1
=
VaRu ( L ) du
∫
1−α α
Zasady kalkulacji składek
• Składka oparta na wartości oczekiwanej
Π ( X ) = (1 + θ ) E X
• Składka oparta na wariancji
Π ( X ) = E X + α D2 ( X )
• Składka oparta na odchyleniu standardowym
Π ( X ) = EX + β D ( X )
• Składka oparta na FGK
Π (X ) =
1
η
ln E eη X
Możliwe własności składek
• (A) Addytywność
Π ( X + Y ) = Π ( X ) + Π (Y )
• (H) Dodatnia jednorodność
a ≥ 0 ⇒ Π ( aX ) = aΠ ( X )
• (T) Niezmienniczość na przesunięcia
Π ( X + b) = Π ( X ) + b
• (M) Monotoniczność
X ≥ Y ⇒ Π ( X ) ≥ Π (Y )
Możliwe własności składek, c.d.
• (Sub) Podaddytywność
Π ( X + Y ) ≤ Π ( X ) + Π (Y )
• (Sup) Nadaddytywność
Π ( X + Y ) ≥ Π ( X ) + Π (Y )
• (AI) Addytywność dla ryzyk niezależnych
• (AC) Addytywność dla ryzyk
komonotonicznych
• (SL) Zachowywanie własności stop-loss
∀d ≥ 0, E ( X − d )+ ≥ E (Y − d )+ ⇒ Π ( X ) ≥ Π (Y )
Składki i ich własności
A
(1 + θ ) EX
H
T
M
Sub
Sup
AI
AC
SL
+ +
-
+
+
+
+
+
+
E X + α D2 ( X ) -
-
+
-
-
-
+
-
-
EX + β D ( X )
-
+ +
-
-
-
-
-
-
-
-
+ +
-
-
+
-
+
1
η
ln E eη X