Wyznaczanie geoidy grawimetrycznej metodą LSMSA

Wyznaczanie geoidy grawimetrycznej metodą LSMSA

Wyznaczanie geoidy grawimetrycznej metodą LSMSA
Joanna Kuczyńska-Siehień, Adam Łyszkowicz, Monika Biryło
Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej, UWM w Olsztynie
Wprowadzenie
Metoda LSMSA
Modelowanie geoidy stanowi kluczowe wyzwanie w rozwoju nauk o Ziemi. Znajomość precyzyjnego modelu
geoidy przyczynia się do badań wnętrza Ziemi, długotrwałych procesów geofizycznych i wykorzystywana jest w
oceanografii. Dokładny regionalny model geoidy pozwala również na zastąpienie tradycyjnych technik
pomiarów wysokości przez szybszą i bardziej ekonomiczną niwelację satelitarną.
W Polsce na przestrzeni lat, opierając się na różnych metodach, obliczono szereg modeli geoidy/quasi-geoidy.
Brak jest jednak modeli powstałych przy zastosowaniu metody LSMSA (Least Squares Modification of Stokes
formula with Additive corrections) - modyfikacji wzoru Stokesa metodą najmniejszych kwadratów z
dodatkowymi poprawkami. Metoda ta jest rozwijana przez Prof. Larsa Sjöberga w Royal Institute of Technology
(KTH) w Szwecji. Została ona wykorzystana do wyznaczenia szeregu regionalnych modeli geoidy, m. in. dla
Szwecji, Litwy, Łotwy, Estonii, Iranu, Zambii i Etiopii.
Na wysokość geoidy 𝑁 wyznaczaną metodą LSMSA składają się wysokość geoidy 𝑁0obliczona na
𝑇𝑜𝑝𝑜
podstawie zmodyfikowanego wzoru Stokesa oraz poprawki: topograficzna 𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏 , redukcji 𝑁𝐷𝑊𝐶,
𝑎
atmosferyczna 𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏
i elipsoidalna 𝑁𝑒 :
𝑁=𝑁 +
0
𝑇𝑜𝑝𝑜
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏
+ 𝑁𝐷𝑊𝐶 +
𝑎
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏
+ 𝑁𝑒
gdzie:
𝑀
𝑐
𝑁 =
2𝜋
𝑆𝐿  D𝑔𝑑 + 𝑐
0
𝑏𝑛 ∆𝑔𝑛𝐸𝐺𝑀
𝑛=2
𝜎0
𝑏𝑛 = 𝑄𝑛𝐿 + 𝑠𝑛 , 𝑐 = 𝑅/(2𝛾)
Metody LSMS wyznaczania geoidy/quasi-geoidy
∆𝑔𝑛𝐸𝐺𝑀
Metody LSMS opierają się na wyznaczaniu wysokości geoidy na podstawie zmodyfikowanego
równania Stokesa:
𝑐
𝑁=
2𝜋
𝐺𝑀 𝑎
= 2
𝑎 𝑟
𝑛 +2
𝐶𝑛𝑚 𝑌𝑛𝑚
𝑀
𝑆𝐿  D𝑔𝑑 + 𝑐
𝐿
𝑏𝑛 ∆𝑔𝑛
𝑆𝐿  = 𝑆  −
𝑛=2
𝜎0
𝑛=2
Wybrane metody LSMS wraz z ich parametrami modyfikującymi zestawiono w tabeli:
Parametr modyfikujący
Metoda
𝑠𝑛
2𝑛 + 1
𝑠𝑘 𝑃𝑘 cos 
2
gdzie a to duża półoś elipsoidy odniesienia, r to promień wodzący obliczanego punktu, GM jest to
geocentryczna stała grawitacyjna, Cnm są w pełni znormalizowanymi współczynnikami harmonik
sferycznych potencjału grawitacyjnego, a Ynm to powierzchniowe harmoniki sferyczne.
Współczynniki obcięcia (truncation coefficients) obliczone mogą być ze wzoru:
∞
𝑏𝑛
𝑄𝑛𝐿
= 𝑄𝑛 −
𝑛=2
𝑠𝑛
Mołodenski
Vaníček-Kleusberg
𝑛−1
𝑚 =−𝑛
gdzie bn oraz sn są parametrami modyfikującymi.
Wong-Gore
𝑛
2𝑘 + 1
𝑠𝑘 𝑒𝑛𝑘
2
𝜋
𝑆  𝑃𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑑
𝑄𝑛 =
2
𝑛−1
𝑄𝑛𝐿 + 𝑠𝑛
2
+ 𝑡𝑛
𝑛−1
𝑄𝑛𝐿 + 𝑠𝑛
Do oszacowania wariancji stopnia sygnału (signal degree variance) i wariancji błędu stopnia anomalii
grawimetrycznych (error anomaly degree variance) wykorzystywane są następujące wzory:
𝑄𝑛𝐿 + 𝑠𝑛
Dla GGM:
𝐿
LSMSA (KTH)
𝑎𝑘𝑛 𝑠𝑛 = ℎ𝑘
0
𝐺𝑀
𝑐𝑛 =
𝑎4
2
(𝐺𝑀)
𝑑𝑐𝑛 =
𝑎4
2
𝑛=2
Założenia praktyczne
W metodzie LSMSA do obliczenia wysokości geoidy wykorzystywane są następujące dane:
 Wolnopowietrzne anomalie grawimetryczne (Dg), które mogą być pozyskane m. in. z: naziemnych
pomiarów grawimetrycznych, globalnych modeli geopotencjału, danych altimetrycznych;
 Numeryczny Model Terenu (Digital Elevation Model, DEM);
 Globalny model geopotencjału (GGM, EGM).
Do obliczenia lokalnej geoidy grawimetrycznej dla obszaru Polski proponuje się wykorzystanie:
 Anomalie grawimetryczne: zbiór średnich anomalii Faye’a z obszaru Polski i rejonów otaczających
Polskę;
 Numeryczny Model Terenu: SRTM 90 m Digital Elevation Data;
 Globalny model geopotencjału: EGM2008.
Zalety metody LSMSA
Metoda LSMSA niesie za sobą szereg zalet, pozwalających na podniesienie dokładności wyznaczanego
modelu geoidy:
1. Metoda łączy w optymalny spektralnie sposób dwa źródła danych grawimetrycznych: anomalie
grawimetryczne z pomiarów naziemnych i globalne modele geopotencjale (GGM), wykorzystując metodę
najmniejszych kwadratów, w oparciu o błąd anomalii grawimetrycznych i wariancję błędu stopnia sygnału
GGM.
𝑛−1
2
2
2
𝐶𝑛𝑚
+ 𝑆𝑛𝑚
𝑚 =0
𝑛
𝑛−1
𝑑𝐶2𝑛𝑚 + 𝑑𝑆2𝑛𝑚
2
𝑚 =0
Dla terenowych anomalii grawimetrycznych:
𝜎2
𝜎𝑛𝑚,∆𝑔 =
𝑀𝑁 + 1
2
2𝑛 + 1
−4
Poprawka topograficzna (topographic correction)
Poprawka topograficzna zawiera zarówno wpływ bezpośredni jak i pośredni:
𝑇𝑜𝑝𝑜
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏
= 𝑁𝑑𝑖𝑟 + 𝑁𝑑𝑖𝑟 ≅ −
2𝜋𝐺𝜌
𝛾𝑖
2
𝐻 +
2
3𝑅
𝐻3
gdzie  to średnia gęstość mas topograficznych.
Poprawka redukująca na powierzchnię geoidy (DWC, downward continuation correction)
W metodzie LSMSA poprawka ta liczona jest w następujących krokach:
𝑁𝐷𝑊𝐶 (P) =
(1)
𝑁𝐷𝑊𝐶
2. Wszystkie niezbędne poprawki do danych grawimetrycznych (topograficzne, atmosferyczne,
elipsoidalne) są dodawane osobno do geoidy wstępnie oszacowanej przy użyciu całki Stokesa. Procedura
taka upraszcza obliczenia, a także sprawia, że łatwiej użytkownikowi uniknąć ewentualnych niespójności w
obliczaniu skutków bezpośrednich i pośrednich.
(1)
𝑁𝐷𝑊𝐶 (P)
+
𝐿1,𝐹𝑎𝑟
𝑁𝐷𝑊𝐶 (P)
= 𝐻𝑃
𝐿1,𝐹𝑎𝑟
𝑁𝐷𝑊𝐶
=𝑐
𝑠𝑛∗ + 𝑄𝑛𝐿
𝑛=2
𝐿2
𝑁𝐷𝑊𝐶
𝑐
=
2𝜋
𝐿2
+ 𝑁𝐷𝑊𝐶
(P)
∆𝑔(𝑃)
𝑁𝑃0
1 𝜕∆𝑔
+3
−
𝛾
𝑟𝑃
2𝛾 𝜕𝑟
𝑀
3. W przypadku pojawienia się ulepszonych danych, każda poprawka może być dodawana lub
aktualizowana, bez ponownego obliczania pozostałych etapów metody LSMSA.
Ograniczeniem metody LSMSA jest to, że jest ona optymalna do obliczeń geoidy globalnej, tzn. tylko
globalnie kwadrat błędu średniego wynosi minimum. Na przykład jakość modelu EGM08 nie jest globalnie
jednorodna i fakt ten nie jest uwzględniany w obliczeniach. Istnieją jednak metody pozwalające na
optymalizację lokalną.
𝑛
𝜎0
𝑅
𝑟𝑃
𝜕∆𝑔
𝑆𝐿 ()
𝜕𝑟
𝑃
𝑃
𝐻𝑃
𝑛+2
− 1 ∆𝑔𝑛 (𝑃)
𝐻𝑝 − 𝐻𝑄 𝑑𝜎𝑄
Poprawka elipsoidalna (ellipsoidal correction)
Poprawka elipsoidalna do sferycznej aproksymacji geoidy całką Stokesa przyjmuje postać:
𝑅
𝑁𝑒 𝑃 =
2𝛾
Literatura
Kiamehr, R. (2006). Precise Gravimetric Geoid Model for Iran Based on GRACE and SRTM Data and the
Least-Squares Modification of Stokes’ Formula: with Some Geodynamic Interpretations, PhD Thesis, Royal
Institut of Technology, Stockholm, Sweden
Sansò, F., Sideris, M.G. (2013). Geoid Determination. Theory and Methods. Lecture Notes in Earth System
Sciences, ISBN 978-3-540-74700-0
Sjöberg, L.E. (2004). A spherical harmonic representation of the ellipsoidal correction to the modified
Stokes formula, Journal of Geodesy, 78(3) 1432-1394
Sjöberg, L.E. (2014). The KTH Approach to Modelling the Geoid – Extended Lecture Notes
∞
𝑛=2
2
− 𝑠𝑛∗ − 𝑄𝑛𝐿
𝑛−1
𝑎 − 𝑅 𝐸𝐺𝑀
𝑎
∆𝑔𝑛
𝑃 + 𝛿𝑔𝑒
𝑅
𝑅
𝑛
Poprawka atmosferyczna (atmospheric correction)
Ze względu na pominięte masy atmosferyczne na zewnątrz wyznaczanej powierzchni geoidy obliczana jest
poprawka atmosferyczna:
𝑎
𝑁𝑐𝑜𝑚𝑏
2𝜋𝑅𝜌0
𝑃 =−
𝛾
𝑀
𝑛=2
2
2𝜋𝑅𝜌0
𝐿
− 𝑠𝑛 − 𝑄𝑛 𝐻𝑛 𝑃 −
𝑛−1
𝛾
∞
𝑛 =𝑀+1
2
𝑛+2 𝐿
−
𝑄𝑛 𝐻𝑛 (𝑃)
𝑛 − 1 2𝑛 + 1
gdzie 0 jest gęstością atmosferyczną na powierzchni morza.
Seminarium „Realizacja Osnów Geodezyjnych a Problemy Geodynamiki”, Wydział Geodezji i Kartografii Politechniki Warszawskiej oraz Komitet Geodezji PAN, Grybów, 25-27 września 2014