ALzG 11 Liniowa niezależność, generowanie

ALzG 11 Liniowa niezależność,
generowanie podprzestrzeni
11.9 Sprawdzić czy wielomiany 1, x, x2 , . . . , xn są liniowo
niezależne w przestrzeni wektorowej 𝕂[x]. Sprawdzić,
czy dla danego a ∈ 𝕂, wielomiany 1, x − a, (x −
11.1 Czy podany układ wektorów jest liniowo niezależnya)2 , . . . , (x − a)n są liniowo niezależne w tej samej
a) ([1, −1, 1], [−1, 1, 1], [0, 0, 2]),
przestrzeni.
b) ([1, −1, 1], [−1, 1, 1], [0, 1, 1])
c) ([1, −1, 1], [2, 1, 1], [1, 3, 1]).
11.10 Sprawdzić, czy f1 , f2 , . . . , fn są liniowo niezależne
w ℝℝ , jeśli fi (x) = |x − 1| · |x − 2| · . . . · |x − i| dla
11.2 Dla jakich wartości parametru r wektor (r, 8, 6) ∈ x ∈ ℝ, i = 1, . . . , n.
ℝ3 jest kombinacją liniową wektorów
(3, 4, 5), (1, 4, 4), (7, 4, 7).
11.11 Sprawdzić czy funkcje
1
1
1
1
x , x−1 , x−2 , . . . , x−n
są
liniowo niezależne w przestrzeni ℚ(x) wszystkich funkcji
11.3 Dla jakich wartości parametrów s, t ∈ ℝ wektory wymiernych nad ciałem ℚ.
(5, 7, s, 2), (1, 3, 2, 1), (2, 2, 4, t) w przestrzeni ℝ4 tworzą
11.12 Niech a1 ,. . .ak będzie ciągiem parami różnych
układ liniowo niezależny?
liczb rzeczywistych. Dla i = 1,. . .k niech fi : R →
11.4 Czy układ wektorów ([i, −1, 1], [2, i, 1], [1, 3, i]) R będzie funkcją zadaną wzorem f (x) = |x − a |.
i
i
przestrzeni ℂ3 jest liniowo niezależny? Przedstawić Wykazać, że układ wektorów f , . . . , f przestrzeni
1
wektor [2, 3, 1 + 2i] jako ich kombinację liniowe.
ℝℝ
k
jest liniowo niezależny.
11.5 Czy w przestrzeni ℝℝ podany układ wektorów 11.13∗ Znaleźć taki wektor [x1 , x2 , x3 ] przestrzeni Z 3 ,
2
jest liniowo niezależny
aby wektory [x1 , x2 , x3 ], [1, 0, 1], [1, 1, 1] były liniowo
a) (x + 3; (x − 3)3 ; 45 ; 3x2 ; x3 − 4),
niezależne. Ile rozwiązań ma to zadanie?
b) (x + 1; x3 + 2x; x2 − 5x + 2; 7x3 + 2x2 ),
c) ( 31 x2 + 5x; −x3 ; 2x + 1; 5x), d) (x, sin x, cos x),
11.14 Czy wektory [1, 3, 5], [2, 7, 5], [1, 1, 9] generują
11.6∗ Sprawdzić, czy układ wektorów
11.15 Dla jakiej liczby zespolonej c ∈ ℂ wektor [1, i, i]
3
e) (sin x, cos x, sin 2x, cos 2x), f){cos 2x, sin2 x, cos2 x). przestrzeń wektorową ℝ ?
A wektory [1, 4, 5], [3, 2, 1], [5, 5, 4]?
([1, 2, 3, 1], [4, 1, 5, 4], [2, 1, 3, 4], [5, 4, 2, 2]) przestrzeni jest kombinacją liniową wektorów [c, −1+i, 1+i] oraz
[i, −1, −c] przestrzeni ℂ3 ?
Z74 jest liniowo zależny.
11.16∗ Czy w Z53 zachodzi równość W1 = W2 ?
11.7 Niech v1 , .., vn - układ wektorów liniowo niezależnych.
Dla jakich a1 , .., an ∈ 𝕂 układ v1 , .., vn−1 , a1 v1 + .. + a) W1 = L([1, 3, 2], [4, 4, 3]), W2 = L([2, 2, 1], [4, 1, 0]),
an vn ∈ 𝕂 jest również liniowo niezależny?
b) W1 = L([1, 2, 4], [4, 3, 2]),
Dla jakich a1,1 , .., a1,n , .., ak,1 , ..ak,n układ a1,1 v1 +..+ W2 = L([1, 0, 2], [1, 2, 2], [3, 1, 3]).
a1,n vn , .., ak,1 v1 + .. + ak,n vn jest liniowo niezależny?
11.16 Sprawdzić, że każda dla dolnego wektora
[x1 , x2 , x3 , x4 ] ∈ L([i, 1, −i, −1], [i, −i, −1, 1], [1, 0, 0, −1])
11.8∗ Liczbę rzeczywistą a nazywamy liczbą algebraiczną,
gdy istnieje niezerowy wielomian f (x) ∈ ℚ[x] którego zachodzi x1 + x2 + x3 + x4 = 0, a nie dla każdego
zachodzi |x4 | ¬ 2.
a jest pierwiastkiem. Pokazać, że liczba a jest algebraiczna
wtedy i tylko wtedy , gdy układ (1, a, a2 , a3 , . . .) wektorów
11.17 Niech V będzie przestrzenią wektorową, A, B ⊂
z przestrzeni ℝ nad ciałem ℚ jest liniowo zależny.
V , W - podprzestrzeń V . Dowieść, że:
a) A ⊂ L(A),
b) A ⊂ W ⇒ L(A) ⊂ W ,
c) L(W ) = W ,
d) L(L(A)) = L(A),
e) A ⊂ B ⇒ L(A) ⊂ L(B).