x - Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

Opracowanie danych
doświadczalnych
część 1
Jan Kurzyk
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
wersja z 15.10.2010
Pomiar to zespół czynności, których celem jest uzyskanie
miary danej wielkości fizycznej, czyli liczby określającej ile razy
wartość mierzonej wielkości fizycznej mieści się w wartości
wielkości tego samego typu przyjętej za wartość jednostkową
(jednostkę miary) tej wielkości fizycznej.
Nie istnieją pomiary dokładne
KaŜdy pomiar obarczony jest niepewnością dlatego wynik
pomiaru musi zawierać nie tylko liczbę określającą wartość
zmierzonej wielkości, ale równieŜ niepewność tego pomiaru.
2
Wielkości fizyczne, które mierzymy są (zwykle) wielkościami
mianowanymi, tzn. wielkościami, którym przypisano
odpowiednie jednostki miar. Dlatego kompletny wynik pomiaru
musi zawierać jednostkę miary, w której podano zarówno
oszacowaną wartość zmierzoną oraz jej niepewność.
Pomiar wyznacza przedział wartości, w
jednostkach miary mierzonej wielkości,
w którym z określonym prawdopodobieństwem (tzw. poziomem ufności) moŜemy
spodziewać się usytuowania wartości
wielkości mierzonej.
3
Przykładowy wynik pomiaru napięcia elektrycznego
U = (230,0±0,1) [V]
oznacza, Ŝe wartość zmierzonego napięcia mieści się w przedziale
od 229,9 V do 230,1 V z prawdopodobieństwem zaleŜnym od
sposobu określenia niepewności pomiaru.
Zapis wartości prędkości światła w próŜni wzięty z tablic fizycznych
c = 299 792,458 km/s
oznacza, Ŝe z duŜym prawdopodobieństwem (bliskim jedności)
prędkość światła nie róŜni się od podanej o więcej niŜ ±0,001 km/s.
4
Pomiar moŜe być wykonywany bezpośrednio lub pośrednio.
Pomiarem bezpośrednim jest pomiar wielkości fizycznej za
pomocą przyrządu pomiarowego wyskalowanego bezpośrednio
w jednostkach mierzonej wielkości, np. pomiar napięcia
elektrycznego woltomierzem, pomiar grubości blachy śrubą
mikrometryczną itp.
Wykonując pomiar pośredni danej wielkości fizycznej
wykonujemy pomiary bezpośrednie innych wielkości fizycznych,
takich które według znanej nam zaleŜności matematycznej
wiąŜą się z wielkością fizyczną, którą chcemy zmierzyć.
Przykłady pomiarów pośrednich:
- mierząc długość i okres wahań wahadła prostego moŜemy
wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego,
- mierząc średnicę i wysokość walca moŜemy zmierzyć jego
objętość itp.
5
Animacja pomiaru za pomocą suwmiarki (źródło: Wikipedia).
6
7
Śruba mikrometryczna wskazuje 18 + 0,5 + 0,03 = 18,53 mm
8
9
Źródła niepewności pomiarów
• niedoskonała definicja wielkości mierzonej
• niedoskonała realizacja definicji wielkości
• klasa dokładności przyrządów pomiarowych
• błędy odczytu wskazań przyrządów wynikające np. z
niedoskonałości ludzkich zmysłów
• stosowanie przybliŜonych wzorów, przybliŜonych wartości
stałych matematycznych i niepewności innych wielkości
fizycznych mających wpływ na wynik pomiaru pośredniego
• niedoskonałość metody pomiarowej
• niepełna wiedza o wpływie otoczenia na pomiar
10
Charakter niepewności pomiarowych sprawia, Ŝe zarówno
definicja jak i sposób obliczania niepewności pomiarowych nie
jest jednoznacznie określony. Dlatego teŜ sposoby określania
niepewności pomiarowych jak i sama terminologia zmieniają
się. Rezultatem międzynarodowych, aktualnie zalecanych
uzgodnień w tym zakresie jest dokument Guide to Expression
of Uncertainty in Measurement opublikowany w 1995 roku
przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną ISO
(International Organization for Standardization) w
porozumieniu z szeregiem światowych organizacji naukowo
technicznych (zob. http://physics.nist.gov/Uncertainty).
Oficjalnym tłumaczeniem tego dokumentu na język polski jest
dokument WyraŜenie Niepewności Pomiaru. Przewodnik.
Warszawa, Główny Urząd Miar 1999 r.
11
Lista instytucji i organizacji, które brały udział w opracowaniu
dokumentu Guide to Expression of Uncertainty in Measurement
• ISO – International Organization for Standardization
(Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna),
• BIMP – Bureau International des Poids et Measures
(Międzynarodowe Biuro Miar),
• IEC – International Electrotechnical Commission
(Międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna),
• IFCC – International Federation of Clinical Chemistry
(Międzynarodowa Federacja Chemii Klinicznej),
• UIPAC – International Union of Pure and Applied Chemistry
(Międzynarodowa Unia Chemii Czystej i Stosowanej),
• UIPAP - International Union of Pure and Applied Physics
(Międzynarodowa Unia Fizyki Czystej i Stosowanej),
• OMIL – International Organization of Legal Metrology
(Międzynarodowa Organizacja Metrologii Prawnej),
• NIST – National Institute of Standards and Technology
(Narodowy Instytut Standardów i Technologii)
12
Wszystkie osoby wykonujące profesjonalne
pomiary powinny stosować nazewnictwo,
symbolikę, sposoby wyliczania niepewności i
zapisu wyników pomiarów zgodne z zaleceniami tego dokumentu. Dotyczy to nie tylko
pomiarów wykonywanych przez fizyków, gdyŜ
teoria niepewności pomiarowych dotyczy
wszelkiego rodzaju pomiarów we wszystkich
naukach doświadczalnych.
13
W dokumencie WyraŜenie Niepewności Pomiaru. Przewodnik
niepewność pomiaru jest zdefiniowana następująco:
Niepewność pomiaru jest związanym z rezultatem
pomiaru parametrem, charakteryzującym rozrzut
wyników, który moŜna w uzasadniony sposób
przypisać wartości mierzonej.
Z definicji wynika, Ŝe nie ma jednoznacznej miary niepewności, czyli
Ŝe moŜliwe są róŜne miary niepewności. Najczęściej posługujemy
się niepewnością standardową, której miarą jest odchylenie
standardowe (zdefiniujemy je później) oraz niepewnością
maksymalną.
Niepewność maksymalna wraz z wartością zmierzoną określa
przedział, w którym z prawdopodobieństwem graniczącym z
pewnością mieści się rzeczywista wartość mierzonej wielkości.
Odchylenie standardowe określa ten przedział z
14
prawdopodobieństwem ok. 0,68.
Oprócz tych typów niepewności moŜna uŜywać niepewności
charakteryzujących się innymi poziomami ufności.
UWAGA:
W dokumencie WyraŜenie Niepewności Pomiaru. Przewodnik
wyróŜnia się dwa typy niepewności: niepewność standardową
oraz niepewność rozszerzoną. Przy czym niepewność
rozszerzoną wylicza się mnoŜąc niepewność standardową
przez współczynnik rozszerzenia o wartości mieszczącym się
w przedziale między 2 a 3.
15
x0
x
x0 -S x
x0 - ∆x
x0 +S x
x +∆x
Przykład rozrzutu pomiarów wielkości x wokół wartości
rzeczywistej x0 i dwie miary niepewności: standardowa u(x)
i maksymalna ∆x.
16
Niepewność podajemy w tych samych jednostkach, w których
podajemy wartość zmierzoną. Tego typu niepewność nazywamy
niepewnością bezwzględną. MoŜemy równieŜ podawać
niepewność względną.
Niepewność względną definiujemy jako stosunek niepewności
bezwzględnej i wartości zmierzonej
∆x
uw =
.
x
Niepewność względną często podajemy w procentach
∆x
uw =
⋅100
x
Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową. Dzięki
temu moŜemy jej uŜywać do porównywania dokładności
pomiarów róŜnych wielkości fizycznych.
17
Przykłady
L.p.
Wynik pomiaru
niepewność względna
procentowa
1
L = (8520 ± 21) mm
0,25%
2
d = (11,5 ± 0,6) µm
5,2%
3
t = (554,56 ± 0,07) s
0,013%
4
U = (230,1 ± 0,5) V
0,22%
5
m = (0,00733 ± 0,00017) kg
2,3%
Z powyŜszych pomiarów najdokładniejszy jest pomiar 3, a
najmniej dokładny pomiar 2. Pomiary 1 i 4 wykonano z
porównywalną dokładnością. Porównywalną dokładność mają
równieŜ pomiary 2 i 5.
18
Przyglądając się podanym wyŜej wynikom pomiarów i ich
niepewności względnej warto zwrócić uwagę na fakt, Ŝe czym
dokładniejszy pomiar tym więcej tzw. cyfr znaczących zawiera
wynik pomiaru.
Cyfry znaczące - są to wszystkie cyfry danej liczby poza
początkowymi zerami. Na przykład liczba 120,0 ma 4 cyfry
znaczące, a liczba 0,00071 ma 2 cyfry znaczące.
Wartość zmierzoną musimy podawać tak, aby dopiero ostatnia
cyfra znacząca lub co najwyŜej dwie ostatnie cyfry znaczące były
cyframi niepewnymi
Wartości zmierzone w przykładach 1 i 4 z poprzedniej tabeli mają
4 cyfry znaczące i mają porównywalną niepewność względną.
Wartości zmierzone w przykładach 2 i 5 mają 3 cyfry znaczące i
porównywalna niepewność względną, która jest jednocześnie o
rząd wielkości większa od niepewności względnej pomiarów 1 i
4. Wartość zmierzona w przykładzie 3 ma 5 cyfr znaczących i ten
pomiar jest najdokładniejszy spośród pomiarów z powyŜszej
19
tabeli.
Oprócz niepewności w procesie pomiarowym mogą występować
błędy. Zasadniczą róŜnicą między błędami a niepewnoś-
ciami jest fakt, Ŝe błędy, w przeciwieństwie do niepewności, moŜemy wyeliminować (niepewności występują
zawsze). Błędy mogą wynikać np. z niesprawności przyrządu
pomiarowego, złej metody pomiarowej lub pomyłki osoby
mierzącej. Szczególnym rodzajem błędu, najprostszym do
zauwaŜenia i usunięcia jest tzw. błąd gruby (pomyłka). Przykładem
takiego błędu moŜe być odczyt z niewłaściwej skali przyrządu
pomiarowego lub zły zapis wyniku pomiaru (np. wpisanie do
arkusza liczby 89,5 zamiast 98,5).
Teoria niepewności pomiarowych nie obejmuje problemów
wynikających z błędów pomiarowych. Błędy pomiarowe naleŜy
wyeliminować. Czasami nie jest to proste, gdyŜ pewnych błędów
moŜemy być nieświadomi.
20
Wyniki pomiarów masy spoczynkowej elektronu w latach 1920-1975. (źródło:
A.K.Wróblewski, J.A.Zakrzewski, Wstęp do fizyki, tom 1)
21
Wyniki pomiarów prędkości światła w latach 1920-1975. (źródło: A.K.Wróblewski,22
J.A.Zakrzewski, Wstęp do fizyki, tom 1)
Oprócz grupy błędów grubych błędy moŜemy podzielić na
błędy systematyczne i przypadkowe.
Błędy systematyczne w tych samych warunkach zawsze w
ten sam sposób wpływają na wynik pomiaru. Źródłem takiego
błędu moŜe być np. niewyzerowany przed pomiarem przyrząd
pomiarowy, śpieszący lub spóźniający stoper, obserwator (np.
odczytujący wskazania pod niewłaściwym, ale zawsze takim
samym kątem – paralaksa), zła metoda pomiarowa. Błędy
przypadkowe mogą powstawać np. na skutek przypadkowo
zmieniających się warunków pomiaru.
23
Niepewności pomiarowe, podobnie jak błędy, mogą mieć równieŜ
charakter systematyczny i przypadkowy.
Niepewności systematyczne moŜemy bardzo często ograniczyć do
niepewności wynikających z własności przyrządu pomiarowego
oraz zdolności obserwatora do oceny połoŜenia wskazówki między
działkami skali.
Na niepewność systematyczną pomiaru bezpośredniego składają
się:
1. ∆dx – niepewność wynikająca ze skończonego odstępu
pomiędzy działkami skali lub połoŜenia dziesiętnego ostatniej
cyfry na wyświetlaczu przyrządu cyfrowego
2. ∆kx – niepewność wynikająca z niepewności wzorcowania
(klasy) przyrządu podawanej przez producenta
3. ∆0x – niepewność odczytu połoŜenia wskazówki wynikająca
z jej szerokości
4. ∆ex – niepewność pomiaru wynikająca z drgań wskazówki
lub zmieniających się wartości na wyświetlaczu mierników
cyfrowych
24
ad 1.
W sytuacji, gdy moŜemy dokonać odczytu pośredniego
pomiędzy dwiema najbliŜszymi działkami skali przyrządu
niepewność wynikająca ze skończonego odstępu między
działkami skali będzie zaleŜała od szerokości tego odstępu
oraz zdolności obserwatora do określenia połoŜenia
wskazówki w ułamkach działki. Umownie przyjmujemy, Ŝe
kaŜdy obserwator moŜe tego dokonać z dokładnością do
połowy odstępu między działkami skali. Czyli jeśli np.
mierzymy długość L blachy za pomocą taśmy mierniczej, na
której działki skali są w odległości 1 mm, przyjmujemy, Ŝe
∆dL = 0,5 mm.
25
ad 1. c.d.
W niektórych przypadkach odczytanie wartości pomiędzy
działkami skali jest niemoŜliwe. Jest tak np. w przypadku
stopera mechanicznego. Skala takiego stopera ma działki co
0,2s ale wskazówka nie porusza się płynnie lecz
przeskakuje co 0,2s i dlatego ∆dt = 0,2s, a nie 0,1s.
Podobnie jest gdy uŜywamy mierników cyfrowych. ZałóŜmy,
Ŝe ostatnia cyfra na wyświetlaczu cyfrowego woltomierza
pokazuje setne części wolta, wówczas przyjmujemy, Ŝe ∆dU
= 0,01 V, a nie 0,005 V.
26
ad 2.
Niepewność wynikająca z klasy przyrządu dotyczy m.in. mierników
elektrycznych. Klasa przyrządu podawana jest zwykle w postaci
liczby określającej niepewność w procentach. Pokazany powyŜej
woltomierz ma klasę 0,5. Oznacza to, Ŝe niepewność pomiaru
wynikająca z cechowania tego woltomierza wynosi 0,5%, czyli
0,5/100 wybranego zakresu pomiarowego (np. podczas pomiarów
na zakresie 750V, ∆kU = 0,5·750V/100 = 3,75V .
Niepewność tego typu liczymy według wzoru
k ⋅Z
∆k x =
100
gdzie k – klasa przyrządu (w procentach), Z – zakres pomiarowy.
27
ad 3.
Jeśli szerokość wskazówki jest znacząca w porównaniu z
odstępem między działkami skali, to ocena połoŜenia wskazówki
jest utrudniona co wprowadza dodatkową niepewność.
Przyjmujemy, Ŝe wartość tej niepewności jest równa szerokości
wskazówki wyraŜonej jednostkach skali przyrządu. Np. jeśli
wskazówka ma szerokość równą połowie odstępu między
działkami, który w jednostkach skali wynosi 5g, to ∆0m = 2,5g.
ad 4.
Jeśli wskazówka wykonuje drgania (lub ostatnie cyfry na
wyświetlaczu cyfrowego przyrządu zmieniają się), to niepewność
odczytu wynikający z tego faktu szacujemy podając zakres tych
zmian.
28
Maksymalna niepewność systematyczna jest sumą wymienionych
wyŜej niepewności
∆x s = ∆ d x + ∆ k x + ∆ 0 x + ∆ e x.
Najczęściej jednak mamy do czynienia z pierwszym z tych
przyczynków do niepewności systematycznej, pozostałe nie
występują lub są znikomo małe w porównaniu z pierwszym.
Niepewność systematyczną traktujemy jak niepewność o
charakterze maksymalnym, czyli przypisujemy jej poziom ufności
równy 1.
29
KaŜdy pomiar bezpośredni rozpoczynamy od wykonania
krótkiej serii (trzech do pięciu) pomiarów. Dalsze postępowanie
będzie zaleŜało od wyników tych pomiarów. W najprostszej
sytuacji wszystkie wyniki serii próbnej będą identyczne. Będzie
tak wówczas, gdy niepewności systematyczne będą
dominowały nad niepewnościami przypadkowymi ze względu
na małą dokładność uŜytego przyrządu pomiarowego (małą w
porównaniu z niepewnościami przypadkowymi).
30
Przykłady próbnych serii pomiarów średnicy monety o nominale 2 zł
wykonanych przyrządami o róŜnej dokładności
1. przy pomocy przymiaru kreskowego z podziałką milimetrową
21,5 mm; 21,5 mm; 21,5 mm
2. przy pomocy suwmiarki o dokładności 0,1 mm
21,5 mm; 21,5 mm; 21,5 mm
3. przy pomocy suwmiarki o dokładności 0,05 mm
21,50 mm; 21,50 mm; 21,50 mm
4. przy pomocy śruby mikrometrycznej o dokładności 0,01 mm
21,51 mm; 21,54 mm; 21,51 mm; 21,53 mm; 21,52 mm
31
W przypadkach 1, 2 i 3 o niepewności pomiaru decydują niepewności
systematyczne związane z rodzajem zastosowanego przyrządu (jego
dokładnością). Wyniki pomiarów 1, 2 i 3 są następujące:
1. D = (21,5 ± 0,5) mm
2. D = (21,5 ± 0,1) mm
3. D = (21,50 ± 0,05) mm
W trzecim przypadku musimy na wynik pomiaru wpływają nie tylko
niepewności systematyczne, ale równieŜ przypadkowe i ocena
niepewności pomiaru wymaga stosowania innych metod, które
poznamy w dalszej części wykładu.
32