Przykładowe testy konkursowe z poprzednich edycji

„Kraj bez matematyki nie wytrzyma
współzawodnictwa z tymi krajami,
które matematykę uprawiają”
Hugo Steinhause
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE
1.Przykładowe testy konkursowe z poprzednich edycji
I. Polecenie: Test jest testem jednokrotnego wyboru. Zaznacz krzyżykiem
„X” poprawną odpowiedź w pustych kolumnach a, b, c. Za poprawną
odpowiedź otrzymasz 1 punkt.
Zad
Treść zadania
1 Jeśli długości podstaw trapezu wzrosną o 20%, a
długość wysokości zmaleje o 10%, to pole trapezu
a)nie zmieni się b)wzrośnie o ponad 10%
c)wzrośnie o 8%
2
Z kwadratowej kartki o boku 40 cm wycięto trójkąt
równoboczny o boku 40 cm. Jaki procent pola kartki
stanowi pole pozostałych ścinków?
a)mniejszy nią 50% b)większy niż 55% c)równy 30%
3
Suma wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100
włącznie, które zaczynają się cyfrą 1, to
a) 246 b) 146 c) 27
4
Które zdanie jest prawdziwe:
a)suma dwóch dowolnych liczb niewymiernych jest
liczbą niewymierną
b)różnica dwóch dowolnych liczb naturalnych jest
liczbą naturalną
c)każda liczba wymierna jest ilorazem dwóch liczb
wymiernych
a b
c
Pkt.
5
Jeśli pole koła opisanego na kwadracie jest równe 2π,
to pole koła wpisanego w kwadrat jest równe:
a) ½ π b) π c) ¾ π .
6
Ostatnią cyfrą zapisu dziesiętnego liczby 22002 jest
a) 2 b) 4 c) 8
7
Trójkąt o bokach 5, 12, 13 a) jest ostrokątny
b) jest rozwartokątny c) ma pole równe 30
8
Suma wszystkich liczb podzielnych przez 3 z
przedziału domkniętego < 7,111> wynosi
a) 2100 b)2106 c)2046
9
Który z podanych wielokątów ma 14 przekątnych
a) pięciokąt wypukły b) siedmiokąt wypukły
c) ośmiokąt wypukły
Jeżeli suma dwóch liczb pierwszych a i b jest równa
99, to iloczyn ab wynosi a) 194 b) 558 c) 957
10
11 Liczba 2004 jest iloczynem a) trzech b) czterech
c) pięciu liczb pierwszych
12 Trzech pracowników może zebrać 100 kg owoców w
dwa dni. Ilu pracowników trzeba zatrudnić, żeby
zebrać 1000 kg owoców w jeden dzień
a) 20 b) 30 c) 60
13 Równanie | 2x-1| =| x+1| a) ma dokładnie jeden
pierwiastek b) ma dokładnie dwa pierwiastki
d) nie ma pierwiastków
14 Suma trzech kolejnych liczb całkowitych
a) jest zawsze podzielna przez trzy b) jest zawsze
podzielna przez 5 c) jest zawsze parzysta
15 W turnieju szachowym bierze udział 20 zawodników.
Każdy gracz gra z każdym tylko jeden raz. Liczba
rozegranych partii wynosi a) 2000 b) 190 c)180
16 W zbiorze liczb całkowitych równanie x2-1=xy
a) ma jedno rozwiązanie b) ma dwa rozwiązania
c) nie ma rozwiązań
II. Polecenie: Test jest testem jednokrotnego wyboru. Zaznacz krzyżykiem
„X” poprawną odpowiedź w pustych kolumnach a, b, c. Za poprawną
odpowiedź otrzymasz 1 punkt.
Zad
Treść zadania
1
Jeśli długości boków trójkąta równobocznego wzrosną o
20%, to pole trójkąta wzrośnie dokładnie o:
a) 20% b) 44% c) 60 %
2
Resztą z dzielenia liczby (2754755)2 przez 4 jest:
a) 0 b) 1 c) 2
3
Suma dwóch liczb pierwszych :
a) może być liczba pierwszą b) musi być liczbą
pierwszą c) musi być liczbą parzystą
4
Jeden promil jednego miliona to:
a) tysiąc b) 10 tysięcy c) 100 tysięcy
5
Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych
jest zawsze:
a)nieparzysta b) podzielna przez 3 c) podzielna przez 8
6
Jeśli towar pięciokrotnie staniał o 20% to, teraz : a) jest
rozdawany za darmo b) kosztuje więcej niż 0,25
początkowej ceny c) kosztuje mniej niż 0,4 początkowej
ceny
7
Trójkąt o bokach 5, 12, 13 a) jest ostrokątny
b) jest rozwartokątny c) ma pole równe 30
8
Suma 1-4+ 7-10+13-16+…+2008-2011 jest liczbą
a) ujemną b) dodatnią c) niepodzielną przez 3
a
b
c
Pkt.
9
10
Który z podanych wielokątów ma 20 przekątnych
b) pięciokąt wypukły b) siedmiokąt wypukły
e) ośmiokąt wypukły
Dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c :
a) jeżeli liczba abc jest parzysta, to liczba a+b+c jest
parzysta b) jeżeli liczba a+b+c jest parzysta, to liczba abc
jest parzysta c) jeżeli liczba a(b+c) jest parzysta, to liczba
abc jest parzysta
11 W kwadrat i trójkąt równoboczny o tym samym polu
wpisano koło. Wtedy:
a) koło wpisane w kwadrat ma większe pole b) koło
wpisane w trójkąt ma większe pole c) oba koła mają ten
sam obwód
12 Liczba 12345678 jest:
a) podzielna przez 4 i przez 9 b) podzielna przez 3 c)
niepodzielna ani przez 4, ani przez 9
13
Równanie | 2x-1| =| 1-5x| a) ma dokładnie jeden
pierwiastek b) ma dokładnie dwa pierwiastki
f) nie ma pierwiastków
14 Pole największego trójkąta zawartego w kwadracie o
boku 1 wynosi:
a) 0,375 b) 16-8 3 c) 0,5
Powodzenia 
2.Przykłdowe zadania konkursowe otwarte
1.Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych
8 (x4+y4)-4(x2+y2)+1=0
2. Rozpatrzmy wszystkie prostokąty, w których długości boków wyrażają się
liczbami naturalnymi. Znaleźć te prostokąty, których liczba wyrażająca pole
prostokąta jest równa liczbie wyrażającej jego obwód.
3. Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeżeli punkt styczności okręgu
wpisanego w ten trójkąt dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach a i
b.
4. Pewien bogaty handlowiec wybudował basen prostokątny o głębokości
jednego metra. Do wyłożenia basenu użyto płytek kwadratowych o szerokości
10 centymetrów. Okazało się, że na ściany boczne zużyto tyle płytek, ile było
potrzeba na wyłożenie dna, a płytek nie trzeba było przecinać. Stosunek
długości do szerokości basenu jest liczbą możliwie najbliższą liczbie 3. Jakie
były wymiary basenu w metrach? Ile płytek zużyto?
5. Rozwiąż równanie w zbiorze liczb rzeczywistych
x2+y2+z2+2 2 x+2 3 y+2 5 z+10=0
6. Iloczyn pewnych trzech liczb pierwszych równa się ich trzykrotnej sumie. Co
to za liczby?
7. Funkcja liniowa f spełnia dla każdej liczby rzeczywistej x warunki:
f(2x)=2f(x)-1 i f(x+2)=4+f(x). Rozwiąż nierówność: │f(x)│≤ 3.
8.Trójkąt ABC przecięto prostą MN tak, że punkt M należy do AC, a punkt N
należy do BC. Powstałe wielokąty maja takie same pola i obwody. Udowodnij,
że MN zawiera środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
9.Liczba 24 po podzieleniu przez sumę swoich cyfr daje w wyniku cyfrę
jedności tej liczby (24:6=4). Ile jest liczb dwucyfrowych o takiej własności?
Podaj te liczby.