Optymalizacja kształtu podpory pod półkę hybrydowym algorytmem

Optymalizacja kształtu podpory pod półkę hybrydowym algorytmem

Optymalizacja kształtu podpory pod półk˛e
hybrydowym algorytmem heurystycznym.
Anna Bekus1 , Robert Bieda2
1 Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek Informatyka, Rok IV
2 Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek Informatyka, Rok IV
{anna.bekus,robert.bieda}@gmail.pl
Abstract
Założeniem pracy jest optymalizacja kształtu podpory pod półk˛e. Celem optymalizacji jest minimalizacja maksymalnego napr˛eżenia wyst˛epujacego
˛
w badanym
modelu. Maksymalne napr˛eżenie wyznaczane jest jako napr˛eżenie zast˛epcze (von
Misesa) za pomoca˛ analizy statycznej wykonanej w pakiecie COSMOS/M. Obj˛etość
podpory nie może przekroczyć określonej na wst˛epie wartości. Podpora obcia˛żona
jest ciśnieniem rozłożonym na górnej powierzchni. Kształt optymalizowanej podpory opisany jest za pomoca˛ zestawu parametrów, z których dziesi˛eć podlega optymalizacji. Wartości pozostałych parametrów sa˛ ustalane na poczatku
˛
i nie zmieniaja˛ si˛e podczas całego procesu optymalizacji. Maksymalne napr˛eżenie jest funkcja˛
dziesi˛eciu zmiennych. Do wyznaczenia minimum tej funkcji zastosowany został algorytm hybrydowy bazujacy
˛ na algorytmie przeszukiwania lokalnego. Algorytm ten
został rozszerzony o pewne elementy algorytmu symulowanego wyżarzania. Wykorzystana została również, stosowana mi˛edzy innymi w algorytmach genetycznych,
selekcja metoda˛ koła ruletki.
1
Wst˛ep
Minimalizacja napr˛eżenia jest jednym z głównych aspektów optymalizacji kształtu konstrukcji w wielu zagadnieniach inżynierskich. Celem niniejszej pracy jest zaprezentowanie
metody optymalizacji kształtu z wykorzystaniem pakietu COSMOS/M. Metoda ta zaprezentowana została na przykładzie optymalizacji kształtu podpory pod półk˛e. Celem
optymalizacji jest minimalizacja napr˛eżeń w podporze obcia˛żonej ciśnieniem przy założonej maksymalnej obj˛etości układu. W klasycznych metodach optymalizacji opartych
na metodzie elementów skończonych współrz˛edne w˛ezłów sa˛ traktowane jako zmienne
opisujace
˛ geometri˛e [4][7]. W [8] kształt zaokraglenia
˛
optymalizowany w celu minimalizacji napr˛eżenia opisany został poprzez obecność lub nieobecność elementów siatki.
Joong Jae Kim i Heon Young Kim w [3] podczas optymalizacji kształtu elementu mocujacego
˛
silnik opisali geometri˛e za pomoca˛ zbioru parametrów. Podobne rozwiazanie
˛
zostało zastosowane w niniejszej pracy. Kształt podpory został opisany poprzez zestaw
1
parametrów (długość, grubość, promienie zaokragleń
˛
itp.) pozwalajacych
˛
na utworzenie
geometrii układu w pakiecie COSMOS/M. Takie rozwiazanie
˛
sprawia, że optymalizacja
kształtu sprowadza si˛e do poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych.
σmin = f (p1 , p2 , ...)
(1)
Na parametry tej funkcji nałożone sa˛ dodatkowe ograniczenia, których zadaniem jest zagwarantowanie, iż dany zestaw parametrów pozwala na utworzenie poprawnej geometrii.
2
Model geometryczny
Prezentowany w niniejszej pracy układ to podpora pod półk˛e. Podpora jest elementem
konstrukcyjnym mocowanym na ścianie.
Analizowany element można podzielić
na dwie cz˛eści:
• katownik
˛
• wewn˛etrzny wspornik układu
Kształt katownika
˛
opisany jest za pomoca˛
nast˛epujacych
˛
parametrów:
• długości H i L
• grubości D1 i D2
• szerokość G
• promienie zaokragleń
˛
R1 i R2
• półosie elipsy E1 i E2
Wewn˛etrzny wspornik opisany jest parametrami:
• grubość D3
• szerokość G1
Położenie wewn˛etrznego wspornika określone
jest poprzez wysokość X oraz kat
˛ nachylenia (alfa) wspornika wzgl˛edem poziomu.
Dodatkowymi parametrami opisujacymi
˛
geometri˛e układu sa˛ promienie zaokragleń
˛
pomi˛edzy wspornikiem oraz katownikiem
˛
Rys. 1: Geometia analizowanego układu
(R3, R4, R5, R6).
Model układu utworzony został w pakiecie symulacyjnym COSMOS/M. Podpora
utwierdzona został poprzez odebranie wszystkich sześciu stopni swobody na tylnej
powierzchni katownika.
˛
Dla potrzeby analizy układ został obcia˛żony ciśnieniem
rozłożonym o wartości 0.3 MPa na górnej powierzchni katownika.
˛
Podczas symulacji
2
przyj˛eto, iż wspornik wykonany jest z materiału Aluminum 3003 znajdujacego
˛
si˛e w bibliotece materiałów pakietu COSMOS/M. W celu analizy układu w pakiecie COSMOS/M
zostało utworzone macro przyjmujace
˛ dziesi˛eć parametrów opisujacych
˛
kształt układu.
Ze wzgl˛edu na ograniczenia pakietu COSMOS/M (maksymalna liczba parametrów przyjmowanych przez macro) pozostałe parametry zostały ustalone na stałe.
Parametry podlegajace
˛ optymalizacji to:
• wysokość (X) określajaca
˛ punkt, w
którym środek wspornika jest styczny
z pionowa˛ cz˛eścia˛ katownika,
˛
• kat
˛ nachylenia (alfa) wspornika do osi
poziomej
• grubość wspornika (D3)
• cztery promienie zaokragleń
˛
wspornika
(R3, R4, R5, R6)
• długości półosi elipsy wzmacniajacej
˛
katownik
˛
(E1, E2)
• szerokość wspornika (G1)
Rys. 2: Warunki brzegowe i obcia˛żenie
3
Na powyższe parametry zostały nałożone
odpowiednie ograniczenia pozwalajace
˛ na
utworzenie poprawnej geometrii.
Kryterium optymalizacji
Celem optymalizacji kształtu jest zmniejszenie maksymalnego napr˛eżenia wyst˛epujacego
˛
w obcia˛żonym układzie. Napr˛eżenie to miara sił wewn˛etrznych powstajacych
˛
w ciele
odkształcanym pod wpływem obcia˛żenia zewn˛etrznym oddziaływaniem. Maksymalne
napr˛eżenie zostało wyznaczone zgodnie z opisana˛ w [1] hipoteza˛ Hubera-Misesa-Hencky’ego,
b˛edaca
˛ podstawowym prawem teorii plastyczności. Na podstawie tej hipotezy można
wyznaczyć wartość zredukowana˛ napr˛eżenia korzystajac
˛ z poniższego wzoru:
1 q
(2)
(σx − σy )2 + (σy − σz )2 + (σz − σx )2 + 6(τ2xy + τ2xz + τ2yz )
σred = √
2
gdzie:
σ− napr˛eżenia normalne w danym kierunku (działajace
˛ prostopadle do rozpatrywanej płaszczyzny)
τ− napr˛eżenia styczne w danym kierunku (działajace
˛ wzdłuż rozpatrywanej płaszczyzny)
4
Przeszukiwanie lokalne
Przeszukiwanie lokalne to jedna z najstarszych metod optymalizacji. Algorytmy przeszukiwania lokalnego możemy podzielić na dwie grupy najwi˛ekszego spadku i pierwszego
ulepszenia. Pierwsza z tych metod przeszukuje całe otoczenie bieżacego
˛
rozwiazania
˛
oraz
3
zast˛epuje bieżace
˛ rozwiazanie
˛
najlepszym znalezionym rozwiazaniem.
˛
Operacja ta powtarzana jest dopóki żadne przekształcenie z dost˛epnego zestawu nie polepsza bieżacego
˛
rozwiazania
˛
[5]. Strategia ta jest trudna do zrealizowania w zagadnieniach, gdzie optymalizowane parametry nie sa˛ zmiennymi dyskretnymi. Metoda pierwszego ulepszenia
zast˛epuje bieżace
˛ rozwiazanie
˛
pierwszym znalezionym rozwiazaniem,
˛
które jest lepsze
w świetle funkcji oceny [9]. Operacja ta wykonywana jest dopóki nie zostanie spełnione
określone na wst˛epie kryterium. Kryterium tym może być na przykład maksymalna liczba
iteracji lub osiagni˛
˛ ecie wymaganej wartości funkcji oceny. Zastosowana w niniejszej
pracy metoda łaczy
˛ w sobie obie opisane powyżej strategie. Na bazie bieżacego
˛
rozwiaza˛
nia, za pomoca˛ funkcji sasiedztwa,
˛
wyznaczany jest zbiór rozwiazań.
˛
Każdy element tego
zbioru oceniany jest poprzez funkcj˛e oceny. Na tej podstawie za pomoca˛ metody selekcji
wybierane jest rozwiazanie,
˛
które staje si˛e nowym rozwiazaniem
˛
bazowym.
4.1
Funkcja sasiedztwa
˛
Funkcja sasiedztwa
˛
generuje nowe rozwiazanie
˛
poprzez wprowazenie losowych zmian
w rozwiazaniu
˛
bazowym. W opisywanej metodzie optmalizacji zbiór rozwiazań
˛
generowanych na bazie bieżacego
˛
rozwiazania
˛
składa si˛e z dziewi˛eciu elementów. Każdy z
nich powstaje poprzez modyfikacj˛e jednego z optymalizowanych parametrów układu. Ostatni z optymalizowanych parametrów (szerokość wspornika G1) jest za każdym razem
dobierany tak, aby obj˛etość modelu nie przekraczała maksymalnej dopuszczalnej obj˛etości. Zmodyfikowane wartości parametrów wyznaczane sa˛ ze wzoru:
p0 = p + m · rand · p
(3)
gdzie:
p− aktualna wartość modyfikowanego parametru
m− parametr określajacy
˛ maksymalna˛ możliwa˛ zmian˛e wartości
rand− liczba losowa z przedziału h0, 1i
5
Selekcja metoda˛ koła ruletki
Zadaniem funkcji selekcji jest wybranie jednego spośród zbioru rozwiazań.
˛
W przedstawionej metodzie selekcja została zrealizowana poprzez wyszukiwanie liniowe na tarczy
ruletki wykalibrowanej proporcjonalnie do wskaźników przystosowania poszczególnych
rozwiazań
˛
[2]. Ruletk˛e taka˛ konstruuje si˛e w nast˛epujacy
˛ sposób [6]:
• wyznaczenie wskaźnika przystosowania dla każdego z rozwiazań
˛
vi (i = 1, 2, ...)
• wyznaczenie całkowitego dopadowania zbioru F = ∑ vi
• wyznaczenie dystrybuanty dla każdego elementu qi = ∑ij=1
• wygenerowanie liczby losowej r z zakresu h0, 1i
(operacja ta symuluje zakr˛ecenie kołem ruletki)
• wybranie i-tego elementu, dla którego qi−1 < r ≤ qi
4
vj
F
5.1
Wyznaczenie wskaźnika przystosowania
Wartości wskaźnika przystosowania wyznaczane sa˛ na podstawie funkcji oceny. Wartości
funkcji oceny zostały przeskalowane liniowo do przedziału h0, 1i [6]. W wyniku tej operacji wskaźnik przystosowania dla układu o najmniejszej wartości napr˛eżenia był równy
0, natomiast dla rozwiazania
˛
o najwi˛ekszej wartości napr˛eżenia równy 1.
vi =
min
1.0
f (si ) −
max − min
max − min
(4)
gdzie:
si − element zbioru
min− minimalna wartość funkcji oceny w danym zbiorze
max− minimalna wartość funkcji oceny w danym zbiorze
Ponieważ rozważanym zagadnieniem jest minimalizacja, konieczne jest takie przekształcenie wskaźnika, aby dla najlepszego rozwiazania,
˛
czyli rozwiazania
˛
o najmniejszej
wartości napr˛eżenia, był on równy 1, a dla najgorszego 0. Przekształcenie to opisuje
wzór:
v0i = 1 − vi
(5)
Aby zmniejszyć prawdopodobieństwo
wyboru rozwiazań
˛
słabej jakości, wartości
wskaźników zostały dodatkowo przeskalowane
za pomoca˛ funkcji wykładniczej. Zastosowana funkcja to:
v0i =
2c·vi − 1
2c − 1
(6)
gdzie:
c− dodatni parametr określajacy
˛
stopień wypukłości funkcji
Funkcja ta charakteryzuje si˛e tym, iż nie
zmienia wskaźnika przystosowania dla najlepszego oraz najgorszego rozwiazania.
˛
Wykres funkcji w dla różnych wartości
Rys. 3: Wykres funkcji wykładniczej w za- parametru c przedstawia Rysunek 3.
leżności od parametru c
6
Chłodzenie układu
Najwi˛eksza˛ wada˛ metody przeszukiwania lokalnego jest przedwczesna zbieżność do lokalnych
ekstremów zależnych od poczatkowego
˛
punktu poszukiwania. Aby zapobiec takiej sytuacji do przedstawionego algorytmu optymalizacji wprowadzony został parametr temperatury. Rozwiazanie
˛
to zostało zaczerpni˛ete z algorytmu symulowanego wyżarzania. Wartość
temperatury poczatkowo
˛
równa jest 1, a nast˛epnie w kolejnych iteracjach stopniowo obniżana jest do zera. Parametr temperatury wpływa na kalibracj˛e tarczy ruletki w metodzie
selekcji. Wartość wykorzystywanego podczas skalowania parametru c wyznaczana jest
ze wzoru:
c = 1.0 + (1 − temp) · cmax
5
(7)
gdzie:
temp− temperatura układu
cmax − parametr określajacy
˛ maksymalna˛ wartość c
Schładzanie układu (obniżanie temperatury) powoduje wzrost parametru c. Wpływa to na
kształt funkcji wykładniczej użytej do generowania wskaźników przystosowania. Niska
temperatura układu powoduje, iż funkcja ta jest bardziej wypukła. Skutkiem tego jest zmniejszenie prawdopodobieństwa wybrania rozwiazania
˛
słabszej jakości (o niższej wartości
współczynnika dopasowania). Wprowadzenie czynnika chłodzacego
˛
pozwala na unikni˛ecie wpadni˛ecia w lokalne minimum funkcji. W poczatkowym
˛
etapie poszukiwania prawdopodobieństwo wybrania rozwiazania
˛
słabej jakości jest duże. W końcowej fazie poszukiwań prawdopodobieństwo to maleje prawie do zera.
Temperatura układu stosowana jest również do modyfikacji parametru m wykorzystywanego w funkcji sasiedztwa.
˛
Wartość parametru m wyznaczana jest jako iloczyn poczatkowej
˛
wartości tego parametru oraz temperatury.
m = temp · minit
(8)
gdzie:
temp− temperatura układu
minit − poczatkowa
˛
wartość parametru m
Wraz z obniżaniem si˛e temperatury maleje wartość parametru m. W skutek tego w kolejnych iteracjach funckja sasiedztwa
˛
generuje rozwiazania
˛
coraz mniej różniace
˛ si˛e od
rozwiazania
˛
bazowego.
7
Przykład optymalizacji
W celu zademonstrowania działania algorytmu wykonana została optymalizacja przykładowej podpory pod półk˛e wykonanej z aluminium. Poczatkow
˛
a,˛ ustalona˛ w sposób losowy,
geometri˛e układu przedstawia Rys. 4a. Maksymalne napr˛eżenie wyst˛epujace
˛ w przedstawionym modelu wynosi 138MPa. Już po 30 iteracjach wartość maksymalnego napr˛eżenia zmniejszyła si˛e do 22MPa. Geometri˛e modelu po 30 iteracjach przedstawia rysunek
Rys. 4b. Najmnijsza wartość napr˛eżenia jaka˛ udało si˛e uzyskać to 20MPa. Geometria ta
(przedstawiona na Rys. 4c) została uzyskana po 80 iteracjach.
Rys. 4: Geometria analizowanego układu dla a) 1 iteracji b) 30 iteracji c) 80 iteracji
6
Parametry opisujace
˛ kształt modelu dla powyższych przypadków przedstawione zostały
w Tabeli 1.
Tab. 1: Parametry układu dla kolejnych iteracji
Nr iter.
1
30
80
X[mm]
110.00
130.00
150.00
D3[mm]
10.00
8.39
8.39
alfa
45.00
40.40
33.52
E1[mm]
90.00
113.89
113.89
E2[mm]
90.00
92.56
92.56
R3[mm]
10.00
4.26
3.92
R4[mm]
100.00
2.70
2.70
R5[mm]
10.00
26.80
26.80
R6[mm]
100.00
78.59
78.59
G1[mm]
29.70
27.35
26.28
Wartości napr˛eżeń w kolejnych krokach iteracji przedstawia poniższy wykres (Rys. 5).
Rys. 5: Wartości napr˛eżeń w kolejnych krokach iteracji
8
Podsumowanie
Zaprezentowany w niniejszej pracy algorytm hybrydowy pozwolił na znaczne (prawie
siedmiokrotne) zmniejszenie maksymalnego napr˛eżenia w prezentowanym modelu. Wprowadzone do algorytmu elementy symulowanego wyżarzania oraz selekcja metoda˛ koła ruletki
zapobiegaja˛ przedwczesnemu zbieganiu si˛e algorytmu do lokalnego miniumum. Uzyskane
wyniki pokazuja,˛ że metody tego typu ta moga˛ być z powodzeniem stosowane do optymalizacji kształtu. Wykorzystanie komercyjnego pakietu (COSMOS/M) do wyznaczenia
maksymalnego napr˛eżenia pozwala na zmniejszenie nakładu pracy koniecznego do wykonania optymalizacji. Zaprezentowana metoda może być również stosowana do innych
rodzajów optymalizacji. Kryterium optymzalizacji może być dowolna wartość wyznaczana
przez pakiet symulacyjny (np. maksymalne przemieszczenie lub odkształcenie).
7
References
[1] Z. Dylag,
˛ A. Jakubowicz, Z. Orłoś, Wytrzymałość materiałów. Tom I, Wydawnictwa
Naukowo Techniczne, Warszawa 2003r.
[2] David E. Goldberg, Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, Wydawnictwa
Naukowo Techniczne, Warszawa 2003r.
[3] Joong Jae Kim, Heon Young Kim, Shape Design of an Engine Mount by a Method
of Parameter Optimization, Computers & Structures, Vol. 65. No 5 (1997)
[4] E.S. Kristensen, N.F. Madsen, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 10, 1007 (1976)
[5] Z.Michalewicz, D.B.Fogel How to solve it: Modern Metaheuristics, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg 2000r
[6] Zbigniew Michalewicz, Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy
ewolucyjne, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 1996r.
[7] P.Pedersen and C.L. Laursen, Journal of Structural Mechanics, 10(4), 375 (1982)
[8] Qing Li, Grant P. Steven, Osvaldo M. Querin Y.M. Xie, Evolutionary Shape Optimization for Stress Minimization, Mechanics Reasearch Communications, Vol 26,
No. 6. (1999)
[9] Sadiq M. Sait, Habib Youssef, Iterative Computer Algorithms with Applications in
Engineering. Solving Combinatorial Optimization Problems, IEEE Computer Society, California 1999r
8