Egzamin z algebry liniowej, 16 czerwca 2008 Zestaw 101 W

Egzamin z algebry liniowej, 16 czerwca 2008
Zestaw 101
W zadaniach 1–13 na każde z czterech pytań należy udzielić odpowiedzi ”tak” albo ”nie”.
1. ZaÃlóżmy, że V i W sa, przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciaÃlem, f : V −→ W jest
monomorfizmem, n dodatnia, liczba, caÃlkowita,, a v1 , . . . , vn ∈ V.
A. Czy z tego, że v1 , . . . , vn sa, liniowo niezależne wynika, że f (v1 ), . . . , f (vn ) sa, liniowo niezależne?
B. Czy z tego, że f (v1 ), . . . , f (vn ) sa, liniowo niezależne wynika, że v1 , . . . , vn sa, liniowo niezależne?
C. Czy z tego, że v1 , . . . , vn generuja, V wynika, że f (v1 ), . . . , f (vn ) generuja, W ?
D. Czy z tego, że f (v1 ), . . . , f (vn ) generuja, W wynika, że v1 , . . . , vn generuja, V ?
2. Przyjmijmy odwzorowanie R2 × R2 3 ((a, b), (c, d)) −→ 2ac + bd ∈ R za iloczyn skalarny na R2 i
rozważmy tak uzyskana, przestrzeń euklidesowa.,
A. Czy podprzestrzenie {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} i {(x, y) ∈ R2 : x − y = 0} sa, wzajemnie ortogonalne?
B. Czy wektor (1, 0) ma dÃlugość 1?
C. Czy endomorfizm R2 3 (x, y) −→ (y, 2x) ∈ R2 jest symetryczny?
D. Czy automorfizm R2 3 (x, y) −→ (y, x) ∈ R2 jest izometria?
,
3. Niech α : R3 3 (x, y, z) −→ x ∈ R, β : R3 3 (x, y, z) −→ x + y ∈ R, γ : R3 3 (x, y, z) −→ y − z ∈ R.
A. Czy α ∧ β 6= 0?
B. Czy α ∧ β i β ∧ γ sa, liniowo niezależne?
V2 3 ∗
C. Czy α ∧ β i β ∧ γ tworza, baze, przestrzeni wektorowej
R ?
V3 3 ∗
D. Czy α ∧ β ∧ γ generuje przestrzeń wektorowa,
R ?
4. Niech f : R3 3 (x, y, z) −→ (x + 2y − z, y − z) ∈ R2 .
A. Czy jeśli α : R2 3 (x, y) −→ x − 2y ∈ R, to (f ∗ (α))(x, y, z) = x + z dla wszystkich (x, y, z) ∈ R3 ?
∗
B. Czy istnieje taka forma α ∈ R2 , że (f ∗ (α))(x, y, z) = z dla wszystkich (x, y, z) ∈ R3 ?
C. Czy f ∗ jest monomorfizmem?
D. Czy f ∗ jest epimorfizmem?
5. Rozważmy przestrzeń ilorazowa, R3 /V, gdzie V = lin{(1, 2, 0)}.
A. Czy [(1, 4, 2)], [(0, 1, 1)] tworza, baze, R3 /V ?
B. Czy [(1, 4, 2)], [(0, 1, 1)] ∈ R3 /V sa, liniowo niezależne?
C. Czy przestrzenie wektorowe R3 /V i R sa, izomorficzne?
D. Czy istnieje odwzorowanie liniowe f : R3 /V −→ R takie, że f ([(x, y, z)]) = x + 2y dla wszystkich
(x, y, z) ∈ R3 ?
6. Niech
A.
B.
C.
D.
·
¸
·
¸
4 1
3 2
A=
,B=
.
1 2
2 3
Czy istnieje taka nieosobliwa macierz P ∈ M (2, 2; R), że B = P −1 AP ?
Czy istnieje taka nieosobliwa macierz P ∈ M (2, 2; R), że B = P ∗ AP ?
Czy istnieja, takie nieosobliwe P, Q ∈ M (2, 2; R), że B = P −1 AQ?
Czy istnieja, takie nieosobliwe P, Q ∈ M (2, 2; R), że B = P ∗ AQ?
7. Niech α : V 3 (x, y, z) −→ x + y ∈ R, β : V 3 (x, y, z) −→ 2x − z ∈ R, γ : V 3 (x, y, z) −→ y − z ∈ R,
gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x + y − z = 0}.
A. Czy istnieja, takie v, w ∈ V, że α(v) = 1, α(w) = 0, β(v) = 0, β(w) = 1?
B. Czy istnieja, takie v, w ∈ V, że β(v) = 1, β(w) = 0, γ(v) = 0, γ(w) = 1?
C. Czy α, β tworza, baze, V ∗ ?
D. Czy β, γ generuja, V ∗ ?
8. Przypuśćmy, że m, n to dodatnie liczby caÃlkowite, K jest ciaÃlem, A ∈ M (m, n; K), b ∈ M (m, 1; K) i
rozważmy równanie Ax = b z niewiadoma, x ∈ M (n, 1; K).
A. Czy z tego, że macierz b jest liniowo zależna od kolumn macierzy A wynika, że równanie ma rozwiazanie?
,
B. Czy z tego, że równanie ma dokÃladnie jedno rozwiazanie
i
m
=
n
wynika,
że
det
A
=
6
0?
,
C. Czy z tego, że rz A = m wynika, że równanie ma rozwiazanie?
,
D. Czy z tego, że b = 0 wynika, że rozwiazania
równania
tworza, (n − rz A)-wymiarowa, podprzestrzeń
,
przestrzeni wektorowej M (n, 1; K)?
9. Rozważmy forme, kwadratowa, f : R2 3 (x, y) −→ 3x2 − 2xy + y 2 ∈ R.
A. Czy f ma w bazie kanonicznej macierz
·
¸
3 −2
?
−2 1
B. Czy f ma w bazie (1, 1), (0, 1) macierz diagonalna?
,
C. Czy istnieje ortonormalna wzgledem
standardowego
iloczynu skalarnego baza przestrzeni wektorowej
,
2
R , w której f ma macierz diagonalna?
,
D. Czy dwuliniowa forma symetryczna stowarzyszona z f jest iloczynem skalarnym?
10. Niech V = {(x, y, z) ∈ R3 : x−2y +z = 0, x+y −z = 0, 5x−y −z = 0}, W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0}.
A. Czy dim W = 1?
B. Czy V ∩ W = {0}?
C. Czy V + W = R3 ?
D. Czy V ⊕ W = R3 ?
11. Niech f : C −→ C2 bedzie
takim odwzorowaniem liniowym przestrzeni wektorowych nad ciaÃlem C,
,
że f (1 + i) = (3 + i, 3 − i).
A. Czy f (2 + i) = (5, 5)?
B. Czy im f = {(x, y) ∈ C2 : x = y}?
C. Czy im f = {(x, y) ∈ C2 : (−1 + 2i)x + (2 − i)y = 0}?
D. Czy odwzorowanie C 3 z −→ f (z) ∈ C2 przestrzeni wektorowych nad ciaÃlem C jest liniowe?
12. Niech f : R2 3 (x, y) −→ (−x − 6y, x + 4y) ∈ R2 .
A. Czy (−2, 1) jest wektorem wÃlasnym endomorfizmu f ?
B. Czy 3 jest wartościa, wÃlasna, endomorfizmu f ?
C. Czy każde dwa wektory wÃlasne endomorfizmu f sa, liniowo zależne?
D. Czy istnieje baza przestrzeni wektorowej R2 , w której f ma macierz diagonalna?
,
13. ZaÃlóżmy, że K jest ciaÃlem, a n ≥ 2.
A. Czy (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 dla wszystkich A, B ∈ M (n, n; K)?
B. Czy dla wszystkich A, B ∈ M (n, n; K) z tego, że AB = 0 wynika, że A = 0 lub B = 0?
C. Czy dla wszystkich A, B ∈ M (n, n; K) z tego, że A 6= 0 wynika, że istnieje taka macierz C ∈ M (n, n; K),
że AC = B?
D. Niech A ∈ M (n, n; K) bedzie
taka, macierza,, że dla każdej B ∈ M (n, n; K) istnieje taka C ∈ M (n, n; K),
,
że AC = B. Czy wówczas dla każdej B ∈ M (n, n; K) istnieje taka C ∈ M (n, n; K), że CA = B?
W zadaniach 14 i 15 należy wpisać tylko wynik.
14. Znaleźć macierz Jordana endomorfizmu R3 3 (x, y, z) −→ (x − 2y + z, x + 4y − z, x + 2y + z) ∈ R3 .
15. Wykonać ortonormalizacje, Grama-Schmidta bazy (2, 3, 6), (1, 0, 2), (0, −1, 0) przestrzeni wektorowej
R3 ze standardowym iloczynem skalarnym.