docZadania z programowania liniowego
download 
Reklamacja Transkrypt
Zadania z programowania liniowego
Zadania z programowania liniowego Jakub Mućk 19 stycznia 2017 Zadanie 1. Pan Aleksander chce zainwestować swoje oszczedności. Ponadto, Pan Aleksander , nie lubi ryzyka i uważa, że co piata z lotówka powinna być ulokowana w obligacjach skarbo, wych i nie wiecej niż 70 proc. oszcz edności w akcje oraz nowe spó lki. Oczekiwana rentowność , , dostepnych aktywów zostala zestawiona w tabeli 1: , Tabela 1: Oczekiwana rentowność aktywów Aktywo Oczekiwany zysk obligacje 5 lokata 6 akcje 7,5 nowe spólki 11 i) Jaka jest optymalna alokacja inwestycyjna Pan Aleksandra? ii) Pan Aleksander stwierdzil, że średnie ryzyko portfela nie powinno przekroczyć 4 p. proc. Zauważaono, że ryzyko lokaty wynosi 2 p.proc, akcji 5,5 p.proc, a nowych spólek 7 p.proc. Z kolei, obligacje sa, uznawane za aktywo pozbawione ryzyka. Czy przy tych informacjach zmieni sie, optymalna alokacja portfela inwestycyjnego Pana Aleksandra? Zadanie 2. Zgodnie z nowymi przepisami firma budowalna Burz i buduj musi zagwarantować swoim pracownikom wyżywienie. Na rynku sa, dostepne jedynie trzy skladniki: marchewki, wolowina oraz wata cukrowa, które odpowiednio można nabyć po cenie 6, 13 oraz 10 jednostek pienieżnych. Racje żywnościowe powinny zostać tak skomponowane, aby gwarantowaly 150 jednostek bialka, 550 weglowodanów oraz przynajmniej 2300 kalorii. Wartości odżywcze waty , cukrowej, marchewek oraz wolowiny zostaly zawarte w tabeli 2. Tabela 2: Wartości odżywcze produktów bialko weglowodany , kalorie marchewki 10 200 100 wolowina 70 175 350 wata cukrowa 0 0 500 i) Zapisz postać zadania programowania liniowego zakladajac, że firma Burz i buduj chce , minimalizować koszty wyżywienia dla każdego pracownika. ii) Jaka jest optymalna racja żywnościowa? Ile wynosi wówczas koszt wyżywienia jednego pracownika? iii) Czy zmiana któregokolwiek z wymogów zwiazanych z minimalna, ilościa, skladników odżyw, czych (bialko, weglowodany, kalorie) spowoduje zmiane, decyzyji optymalnej? , Zadanie 3. Przedsiebiorstwo Beton dla każdego chce ustalić plan transportu komponentów , cementu pomiedzy magazynami a zakladami produkcyjnymi. Produckja firmy odbywa sie, w , 4 zakladach. Moce produkcyjne wynosza, odpowiednio: 500, 750, 650 oraz 600. Beton dla każdego posiada również 3 punkty skladujace komponent cementu. I tak, w każdym z nich jest , odpowiednio 700, 800 oraz 1000 jednostek budulca cementu. Oszcacowany koszt transportu pomiedzy magazynami oraz punktami produkcji zostal zawarty w tabeli 3. , 1 Tabela 3: Jednostkowe koszty przewozu firmy Beton dla każdego komponentów betonu pomiedzy magazynami a , zakladami produkcyjnymi Magazyn 1 Magazyn 2 Magazyn 3 Zaklad 1 23 12 15 Zaklad 2 11 24 12 Zaklad 3 13 14 8 Zaklad 4 19 23 21 i) Zapisz problem firmy Beton dla każdego jako zadanie programowania liniowego. Jakie sa, zmienne decyzyjne? ii) Czy zadanie transportowe, którym można opisać problem decyzyjny firmy Beton dla każdego, jest zbilansowane? iii) Jaki jest optymalny plan przewozów? Jakie wtedy ponosi koszty firma Beton dla każdego? iv) Jak sie, zmieni optymalny plan przewozów oraz koszty firmy Beton dla każdego, jeżeli ilość dostepnych jednostek komponentów cementu wyniesie w każdym magazynie 1000? , Zadanie 4. Firma α chce ustalić roczny plan produkcji oraz sprzedaży swoich produktów. Wiadomo, że poziom zapasów na poczatku roku wyniesie 500 jednostek, a na koniec ma być , nie mniejszy niż 300 jednostek. W tabeli 4 zestawiono szacunki odnośnie cen sprzedaż, kosztów wytworzenia, kosztów magazynowania, mocy produkcyjnych oraz popytu w poszczególnych kwartalach. Tabela 4: Szacunki kosztów produkcji, mocy produkcyjnych, ceny, popytu oraz kosztu magazynowania Kwartal 1 2 3 4 Koszt produkcji 1,5 2,2 2,6 2,1 Moc produkcyjna 2000 3000 2100 3000 Cena 2 3 3,5 2,2 Maksymalny popyt 1400 1700 1900 2300 Magazynowanie 0,03 0,05 0,08 0,09 i) Zakladajac, , że firma chce maksymalizować zysk, zapisz zadanie programowania liniowego odpowiadajace , problemowi wielookresowego planu produkcyjnego firmy α. Jakie sa, zmienne decyzyjne? ii) Jaki jest optymalny wielookresowy plan produkcyjny firmy α? iii) Jak zmieni sie, decyzja optymalna oraz wielkość zysku, jeżeli firma α bedzie chciala zaspokoić , popyt na rynku w każdym kwartale? Zadanie 5. Firma kurierska chce zmniejszyć koszty zatrudnienia pracowników i zdecydowano, że przyjmie studentów. Jednakże studenci sa, pracownikami o specyficznym tygodniu pracy, który trwa cztery dni, po czym sa, trzy dni przerwy, czyli np. zaczynajac , prace, w poniedzialek – kończa, w czwartek. Dobierz odpowiednia, liczbe, studentów potrzebnych do obslugi zleceń. Dane historyczne o liczbie potrzebnych pracowników w poszczególne dni tygodnia zostaly zawarte w tabel 5. Tabela 5: Średnia liczba pracowników potrzebnych do obslugi zamówień w poszczególnych dniach tygodnia Pn 32 Wt 22 Śr 26 Czw 32 Pt 20 Sb 46 Nd 12 i) Ustal harmonogram prac oraz liczbe, studentów, tak aby firma ponosila jak najmniejsze koszty. Przyjmij, że każdy pracownik (student) jest oplacany wedlug takie samej stawki. Ilu studentów musi zatrudnić firma? 2 ii) W które dni tygonia firma kurierska zatrudnia za dużo studentów? iii) Jak sie, zmieni odpowiedź na dwa poprzednie podpunkty, jeżeli liczba dni pracy w tygodniu studentów zostanie zmniejszona z 4 do 3? Zadanie 6. Trener Najlepszy musi wybrać wyjściowy sklad drużyny KS Ogień przed kluczowym meczem pucharowym. Do dyspozycji jest 12 zawodników i każdy z nich może grać na każdej pozycji. W wyjściowym skladzie jest miejsce dla jednego rozgrywajacego, libero oraz atakujacego , , i dwóch środkowych bloku oraz przyjmujacych. Umiej etności zawodników na poszczególnych , , pozycjach zostaly zawarte w tabeli. Ze wzgledów marketingowych, w skladzie powinien pojawić , sie, jedna z dwóch najwiekszych gwiazd drużyny (odpowiednio zawodnicy 4 oraz 5), gdyż zabieg , ten pozwoli przyciagn , ać , kibiców. Jednym z zalożeń taktycznych jest silna zagrywka, której średnia predkość wśród graczy grajacych na skrzydlach (atakujacy oraz przyjmujacy nie może , , , , być niższa niż 90 km na godzine. Trener Najlepszy chce wystawić najmocniejszy sk lad, a wiec , , taki, którego suma umiejetności zawodników na poszczególnych pozycjach b edzie najwi eksza. , , , Zawodnik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ROZ PKT 9 1 4 2 5 1 3 1 7 4 7 0 ŚRB PKT 0 9 2 7 3 1 8 8 4 3 2 0 PRZ PKT 2 2 10 2 7 6 2 3 9 8 5 4 ATT PKT 0 6 4 5 3 1 4 6 8 6 2 1 LIB PKT 3 1 8 1 5 8 2 2 5 3 6 9 Zagrywka km na h 84 112 93 108 70 56 102 92 60 80 45 70 Atak % 40 68 60 71 56 30 45 59 80 87 18 54 Blok cm 315 329 310 312 333 302 317 356 332 300 307 300 Oznaczenia: ROZ – rozgrywajacy, ŚRB – środkowy bloku, PRZ – przyjmujacy, ATT - ata, , kujacy oraz LIB – libero. , i) Zapisz problem optymalizacyjny trenera Najlepszego, zmienne decyzyjne oraz warunki ograniczajace. , ii) Rozwiaż , zadanie PL w MS Solver. iii) Jak sie, zmieni zadanie PL, jeżeli trener Najlepszy bedzie chcial wprowadzić kolejne zalożenie , taktyczne w myśl którego średnia skuteczność zawodników mogacych atakować (wszyscy , oprócz libero oraz rozgrywajacego) przekroczy la 50%? Zmodyfikuj zadanie PL oraz rozwiaż , , w MS Solver. Zadanie 7. W pewnej gospodarce istnieja, trzy sektory: (a) morski, (b) leśny oraz (c) górski. Produkt globalny w tych sektorach wynosi odpowiednio 80, 100 i 200. Sektor morski wykorzystuje 40 jednostek materialów wlasnej produkcji do produkcji globalnej oraz 20 jednostek z sektora górskiego. Z kolei sektor leśny potrzebuje do dotychczasowej produkcji globalnej 10 jednostek z sektora morskiego i aż 40 jednostek wytworzonych w ramach sektora leśnego. Ostatecznie sektor górski wykorzystuje 100 jednostek z wlasnej produkcji i po 10 jednostek z pozostalych sektorów. Wiadomo też, że amortyzacja wyniosla odpowiednio 2 , 8 i 15 jednostek, a koszty pracy sa, równe odpowiednio 10, 30 i 45 jednostek. i) Skonstruuj tabele, przeplywów galeziowych opisujac , , a, powyższa, gospodarke. , ii) Wyznacz produkcje, finalna, w każdym sektorze. iii) Wyznacz zyski uzyskane w każdym sektorze. 3 iv) Który sektor charakteryzuje sie, najwyższa, materialochlonnościa? , v) Który sektor charakteryzuje sie, najniższa, rentownościa? , vi) O ile zwiekszy sie, produkcja finalna, jeżeli produkcja globalna wzrośnie o jednostke, w każ, dym sektorze? A jaki bedzie efekt dla jednostkowego wzrostu produkcji końcowej w każdym , z sektorów osobno? vii) O ile musi wzrosnać la sie, o jednostke, , produkcja globalna, aby produkcja końcowa zwiekszy , w każdym sektorze? 4
