6. 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
Transkrypt
6. 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 1 6. 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 6.1. Wprowadzenie Dotąd poznaliśmy dwie metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych: metodę sił i metodę przemieszczeń. Jednak przy bardzo skomplikowanych układach wieloprętowych, zastosowanie którejkolwiek z tych metod byłoby uciążliwe, ze względu na konieczność rozwiązywania układu równań z dużą liczbą niewiadomych. Ponieważ metoda sił zazwyczaj dopuszcza wiele możliwych układów podstawowych, najłatwiejsza do “skomputeryzowania” wydaje się być metoda przemieszczeń (tutaj układ podstawowy jest najczęściej ściśle określony). Dlatego też, coraz częściej, przy rozwiązywaniu układów niewyznaczalnych zastosowanie mają programy komputerowe, które opierają się właśnie na tej metodzie. Przyjrzyjmy się zatem wersji komputerowej metody przemieszczeń. Do tej pory rozwiązując układy prętowe metodą przemieszczeń zakładaliśmy nieskracalność prętów oraz pomijaliśmy wpływ sił normalnych. Komputerowa wersja pozwala nam uwzględnić te siły, dlatego rezygnujemy z zasady nieskracalności prętów. Ponadto zakładamy, że każdy węzeł układu ma własne, niezależne przemieszczenia: dwa przesuwy (pionowy, poziomy) i kąt obrotu. Zwroty przemieszczeń zakładamy zgodnie z przyjętym na potrzeby zadania globalnym układem współrzędnych xy. Równie istotna jest tutaj numeracja przemieszczeń. Ze względu na trudności, które mogą powstać przy agregacji macierzy sztywności powinna być ona ciągła w obrębie każdego węzła. Poszczególne przemieszczenia numerowane będą w następującej kolejności: przesuw poziomy, pionowy i kąt obrotu. x q9 q7 q6 y q4 q5 q8 q3 q1 q2 Rys. 6.1. Kierunki przemieszczeń węzłów w globalnym układzie współrzędnych (x, y) Podobnie jak w klasycznej metodzie przemieszczeń rozwiązanie uzyskujemy z układu równań kanonicznych, którego wymiar zależy od liczby przemieszczeń qi: r 11 Z 1 r 12 Z 2 r 13 Z 3 r 19 Z 9 r 1 P=0 r 21 Z 1 r 22 Z 2 r 23 Z 3 r 29 Z 9 r 2 P=0 r 31 Z 1 r 32 Z 2 r 33 Z 3 r 39 Z 9 r 3 P=0 ⋮ r 91 Z 1 r 92 Z 2 r 93 Z 3 r 99 Z 9 r 9 P=0 Współczynniki rij zależą od geometrii układu i parametrów fizycznych prętów, a nie od obciążenia zewnętrznego. Razem tworzą one macierz charakterystyczną zwaną macierzą sztywności [Kij]. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ [ r 11 r 21 [ K ij ]= r 31 ⋮ r 91 ] r 12 r 22 r 32 r 13 r 23 r 33 r 14 r 24 r 34 r 19 r 29 r 39 =[ r ij ] r 92 r 93 r 94 r 99 2 Niewiadome, oznaczane dotąd Zi to nic innego jak szukane przemieszczenia węzłów qi, które tworzą macierz niewiadomych przemieszczeń węzłowych [q]: [] q1 [ q]= q 2 =[ qi ] ⋮ q9 Współczynniki riP również będą tworzyły macierz – tak zwany wektor obciążeń [Pij]: [] r1 P r [ Pij ]=− 2 P =−[ r iP ] ⋮ r9 P Można zatem cały układ równań kanonicznych zapisać w postaci równania macierzowego: [ K ij ]9 ×9 ⋅ [ qi ]9 ×1=[ Pij ]9 ×1 lub ogólniej dla dowolnego układu (n to liczba niezależnych przemieszczeń węzłowych): [ K ij ]n×n ⋅ [ qi ]n×1=[ P ij ]n×1 (6.1) Rozwiązanie równania (6.1) pozwoli nam uzyskać wynik, tak jak w zadaniu klasycznym. Aby jednak móc przystąpić do obliczeń, należy utworzyć wszystkie potrzebne macierze. Każda z nich powstaje w wyniku agregacji odpowiednich macierzy elementowych (zapisanych dla pojedynczych prętów). Przyjrzyjmy się zatem pojedynczemu elementowi ramy (e). Przyjmujemy lokalny układ współrzędnych x y , taki, że oś x pokrywa się z osią pręta, a oś y jest do niej prostopadła i tworzą układ prawoskrętny (oś x obraca się w kierunku osi y zgodnie z ruchem wskazówek zegara). W takim układzie lokalnym numerujemy przemieszczenia oraz reakcje. Dla pręta obustronnie utwierdzonego trzeba określić sześć reakcji w węzłach (każdemu przemieszczeniu musi odpowiadać reakcja po tym samym kierunku). q e 6 x e q 3 y e 2 q e 1 q y e R 6 x e e R 3 e 4 q e 5 q i e R 2 e R 1 x k R R e 4 e 5 y Rys. 6.2. Lokalne kierunki przemieszczeń i reakcji Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 3 Warto zauważyć, że numery przemieszczeń nie są powiązane z numerami węzłów. Symbole z “~” oznaczają wielkości w układzie lokalnym. Tak ponumerowane przemieszczenia i reakcje łatwo można zapisać w postaci wektorów: [] [] q e 1 q e 2 e q e 3 [ q ]= e q 4 q e 5 q e 6 e R 1 e R 2 e R e 3 [ R ]= e 4 R e R 5 e R 6 Reakcje, które powstaną w utwierdzeniach, to szukane wielkości (siły przekrojowe), opisywane w metodzie przemieszczeń wzorami transformacyjnymi. Ponieważ w metodzie komputerowej dodatnie siły przywęzłowe muszą mieć zwroty zgodne z przyjętym układem współrzędnych, a w metodzie klasycznej był inny system znakowania, to zachodzą związki: R e 1 =−N ik Re 2 =−T ik R e 4 =N ki Re 5 =T ki R =M ik =M ki R e 3 (6.2) e 6 Stosując zasadę superpozycji można zapisać wzór na każdą z tych reakcji w układzie lokalnym. Jeśli użyjemy zapisu macierzowego uwzględniającego wszystkie siły otrzymamy równanie równowagi elementu (pojedynczego pręta): [ R e ]6 ×1=[ K e ]6 ×6⋅[ q e ]6 ×1[ R e 0 ]6 ×1 (6.3) gdzie: [ R e ] - wektor sił przywęzłowych (reakcje) w lokalnym układzie współrzędnych, [ K e ] - macierz charakterystyczna (sztywności) w lokalnym układzie współrzędnych, [ q e ] - wektor przemieszczeń węzłów w lokalnym układzie współrzędnych, [ R e0 ] - wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego w lokalnym układzie współrzędnych. Przekształcając równanie (6.3) możemy napisać e e ] [ P e ]=[ R e ]−[ R e 0 ]=[ K ]⋅[ q Analogicznie dla całego układu prętowego (układ globalny) można stwierdzić, że wektor obciążeń [Pij] składa się z wartości sił węzłowych i przęsłowych. Możemy zatem zapisać: [ Pij ]=[ P w ]−[ R0 ] (6.4) gdzie: [ Pw] [ R0 ] - wektor zewnętrznych sił obciążających węzły konstrukcji, - wektor sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych w układzie globalnym. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 4 6.2. Macierz sztywności elementu Macierz sztywności elementu to macierz składająca się z 36 współczynników rij wyznaczonych dla pojedynczego pręta z uwzględnieniem w obliczeniach sił normalnych. W zależności od sposobu zamocowania pręta w konstrukcji (połączenie sztywne lub przegubowe) otrzymamy różne wartości współczynników. Dla pręta obustronnie sztywno zamocowanego w konstrukcji mamy: [ EAl 2 0 0 12 EJ [ K e ]= 13 0 2 6 EJl 0 l −EAl 0 −12 EJ 0 6 EJl 0 −EAl 2 0 6 EJl 0 −12 EJ 4 EJl 2 0 −6 EJl 0 EAl 2 0 −6 EJl 0 12 EJ 2 EJl 2 0 −6 EJl 0 6 EJl 2 EJl 2 0 −6 EJl 4 EJl 2 ] (6.5) Dysponując macierzą sztywności możemy sprawdzić czy po rozpisaniu któregoś z wierszy równania (6.3) otrzymamy wzór transformacyjny. Spróbujmy zatem rozpisać trzeci wiersz tego równania zakładając, że e na pręcie nie ma obciążenia przęsłowego, czyli [ R 0 ]=[0] . Wykorzystując macierz (6.5) w równaniu (6.3) mamy: 0 q e 1 6 EJ e 4 EJ e 6 EJ e 2 EJ e e q 2 q 3 0 q e q 5 q 6 = R 3 4 − l l l2 l2 (6.6) Na podstawie zależności (6.2) wiemy, że z równania (6.6) powinniśmy otrzymać wartość Mik. 4 EJ e 2 EJ e 6 EJ e e R e q 3 q 6 2 q 2 − q 5 3 =M ik = l l l M ik = [ e q e 2 2 EJ 5 −q e 2 q e q −3 3 6 l l ] e Niewiadome q i to przemieszczenia węzłów pręta. Zgodnie z oznaczeniami z rys. 6.2 w metodzie klasycznej odpowiednie przemieszczenia mają symbole: q e q e 3 =i 6 = k e e q 2 =v i q 5 =v k v k −v i =ik l (6.7) czyli ostatecznie otrzymaliśmy wzór transformacyjny, który jest zgodny z metodą klasyczną: M ik = 2 EJ [ 2 i k −3 ik ] l Rozpiszmy teraz drugi wiersz równania (6.3). Według zależności (6.2) powinniśmy otrzymać wartość Tik. 0 q e 1 12 EJ e 6 EJ e 12 EJ e 6 EJ e e q 2 2 q 3 0 q e q 5 2 q 6 = R 2 4 − l3 l l3 l e e q 5 − q 2 6 EJ e −T ik = 2 q e 6 −2 3 q l l [ (6.8) ] Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ T ik =− [ e q e 2 6 EJ e e 5 −q q q −2 3 6 l l2 5 ] Podstawiając związki (6.7) otrzymamy poprawny wzór transformacyjny: T ik =− 6 EJ [ i k −2 ik ] l2 e Na koniec rozpiszmy jeszcze pierwszy wiersz równania (6.3), pamiętając, że R 1 =−N ik : EA e EA e e e e q 0 q e q −0 q e 3 − 6 =R 2 0 q 5 −0 q 1 l 1 l 4 (6.9) EA e EA e q − q l 1 l 4 EA e e −N ik =− q 4 −q 1 l −N ik = e e Ponieważ przemieszczenia q 1 i q 4 to przemieszczenia końców pręta wzdłuż jego osi, ich różnicę możemy nazwać wydłużeniem lub skróceniem pręta: e q e 1 = l 4 −q Ostatecznie otrzymujemy wartość siły normalnej Nik, która spełnia związki fizyczne: N ik = EA l l W ten sam sposób można rozpisać każdy z wierszy równania (6.3), otrzymując tym samym odpowiedni wzór transformacyjny metody przemieszczeń. Nie zawsze jednak mamy do czynienia wyłącznie z prętami obustronnie utwierdzonymi. Jeżeli w skład ramy wchodzą także pręty zakończone przegubem, mamy dwie możliwości postępowania. Jedna z nich polega na rozwiązywaniu układu z założeniem, że wszystkie pręty są obustronnie utwierdzone, a przegub uwzględniany jest dopiero przy modyfikacji układu ze względu na warunki podparcia. Druga metoda pozwala na uwzględnienie przegubu już na początku obliczeń przez wykonanie tak zwanej redukcji statycznej. 6.3. Redukcja statyczna e W przypadku prętów z przegubem znamy wartość jednej z reakcji R i . W miejscu przegubu wartość momentu Mik lub Mki (w zależności czy przegub jest na lewym czy prawym końcu pręta) wynosi zero (rys. 6.3). φi ≠ 0 Mik = 0 φk ≠ 0 Mki = 0 e i e k i k Rys. 6.3. Pręty z przegubem: na lewym i prawym końcu Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 6 czyli odpowiednio: R 3e=0 lub R6 e=0 Należy jednak pamiętać, że zerowa reakcja nie oznacza zerowego przemieszczenia po danym kierunku: e dla R 3 =0 e dla R6 =0 q3e≠0 q6 e≠0 Możemy dokonać redukcji macierzy sztywności elementu. Dla pręta z przegubem z lewej strony e R3 =0 przyrównujemy do zera trzeci wiersz z układu (6.3) 2 e e 2 e 6 EJ l q e 3 −6 EJ l q 5 2 EJ l q 6 =0 2 4 EJ l q Z tego warunku wynika wartość kąta obrotu w przegubie e q 3 =− 1 3 q e2 −3 q e5 l q e6 2l Po podstawieniu powyższego wyrażenia do równań równowagi (6.1) porządkujemy zapis i otrzymujemy nowe związki. Przykładowo drugie równanie będzie miało postać: [ 1 1 e e e e e e R e 2 6 EJ l⋅ −3 q 2 3 q 5 −l q 6 −12 EJ q 5 6 EJ l q 6 2 = 3 12 EJ q 2l l 1 e e e R e 2 −3 EJ q 5 3 EJ l q 6 ] 2 = 3 [ 3 EJ q l ] Zapisując wszystkie związki w formie macierzowej w trzeciej kolumnie otrzymamy same zera (żadna z e wielkości nie zależy od q 3 ). Macierz sztywności musi być symetryczna wobec tego w trzecim wierszu także zapisujemy zera. Inaczej mówiąc trzeci warunek nie wnosi nam nic do zadania i można go pominąć. [ [ EAl 2 0 0 3 EJ [ K e ]= 13 0 2 0 0 l −EAl 0 −3 EJ 0 3 EJl 0 −EAl 2 0 0 0 0 −3 EJ 3 EJl 0 0 0 0 0 EAl 2 0 0 0 0 3 EJ −3 EJl 0 0 −3 EJl 3 EJl 2 ] ] (6.10) Postępując podobnie w przypadku pręta z przegubem z prawej strony uzyskamy macierz: EAl 2 0 0 3 EJ [ K e ]= 13 0 2 3 EJl l −EAl 0 0 −3 EJ 0 0 0 −EAl 2 0 3 EJl 0 −3 EJ 3 EJl 2 0 −3 EJl 2 0 EAl 0 −3 EJl 0 3 EJ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. (6.11) AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 7 6.4. Wektor sił przywęzłowych Na wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego składają się reakcje powstałe w podporach (utwierdzeniach lub przegubach) pojedynczego pręta od sił zewnętrznych działających na jego długości. Są one zgodne z założonymi kierunkami przemieszczeń w lokalnym układzie współrzędnych (rys. 6.2) i odpowiednio ponumerowane. Mogą być wywołane obciążeniem zewnętrznym, temperaturą lub osiadaniem podpór. x e R 06 e R 03 y R e e R 02 e R 01 R x e 04 e 05 y Rys. 6.4. Lokalne kierunki reakcji od obciążeń przęsłowych Tak ponumerowane reakcje możemy zapisać w postaci wektora sił przywęzłowych: [] R e 01 R e 02 e R e [ R0 ]= e03 R 04 R e 05 R e 06 Jeżeli na pręt nie działa obciążenie przęsłowe, temperatura, ani osiadania, to wektor obciążeń jest wektorem zerowym. [ R ]=[0 ] e 0 6.4.1. Działanie sił zewnętrznych Jeżeli obciążeniem pręta są wyłącznie siły skupione lub ciągłe, to wektor sił przywęzłowych będzie składał się z reakcji pochodzących od tych obciążeń. Jeżeli na pręt działa więcej niż jedno obciążenie, wtedy możemy zastosować zasadę superpozycji a wektor sił będzie się składał z sum odpowiednich reakcji od poszczególnych obciążeń. W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego lub z przegubem z jednej strony wyznaczenie tych reakcji wymagałoby rozwiązania układu statycznie niewyznaczalnego, dlatego też wartości tych reakcji najczęściej odczytujemy z tablic (tabela 1.2). Przypomnijmy niektóre z nich zwracając uwagę na zwroty reakcji. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 8 e Tabela 6.1. Wartości reakcji R od obciążeń przęsłowych 0 Schemat belki Wartości reakcji x P Pab l2 b a Pa2 b l2 Pb 2 l2 a l3 l y 2 x Pa2 l2b l3 y q x ql2 12 ql 2 l y ql 2 12 x ql 2 x a x ql 2 0 [ R0e ]= ql0 2 0 0 y x q ql 2 l y [] [] Pb l 0 [ R0e ]= 0Pa − l 0 0 Pb l l y [] x Pa l b 0 Pb2 l 2 a − l3 Pab 2 − 2 l [ R0e ]= 0 Pa 2 l 2 b − l3 Pa 2 b 2 l 0 ql − 2 ql 2 − [ R0e ]= 012 ql − 2 ql 2 12 y P [] Wektor sił przywęzłowych ql 2 y Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. − AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ Schemat belki q Wartości reakcji Wektor sił przywęzłowych ql 2 8 x 3 ql 8 l y [] 0 3 ql − 8 0 [ R0e ]= 0 5 ql − 8 ql 2 8 x 5 ql 8 y x x q ql 2 ql 2 l y y 9 [] ql 2 0 [ R0e ]= ql0 2 0 0 6.4.2. Działanie obciążenia termicznego Wpływ temperatury rozpatrzmy w dwóch osobnych etapach: najpierw przeanalizujemy działanie temperatury t0 rozłożonej równomiernie na wysokości przekroju, a następnie wpływ nierównomiernego ogrzania Δt. Jeżeli na pręt działają oba rodzaje obciążenia termicznego, na wektor sił przywęzłowych składają się sumy odpowiednich składników wektorów pochodzących od obu typów obciążenia. W przypadku działania temperatury równomiernie rozłożonej t0 nastąpi wydłużenie lub skrócenie pręta (w pręcie wystąpią jedynie siły normalne). Trzeba pamiętać, że ogrzanie pręta spowoduje powstanie siły normalnej ściskającej, natomiast ochłodzenie wywoła siłę rozciągającą. Dzieje się tak ponieważ ogrzany pręt chce się wydłużyć a jest zablokowany podporami i nie może się odkształcić. Siła osiowa będzie miała wartość: N =± EA l l (6.12) W wyniku działania temperatury t0, wydłużenie lub skrócenie pręta opisujemy wzorem: l=t l t 0 (6.13) Po podstawieniu zależności (6.13) do wzoru (6.12) otrzymujemy wartość siły normalnej, wywołanej działaniem równomiernego ogrzania pręta: N =±EA t t 0 Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli 6.2. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 10 e Tabela 6.2. Wartości reakcji R od równomiernego ogrzania 0 Schemat belki t0 > 0 Wartości reakcji x N<0 EA αt t0 EA Wektor sił przywęzłowych [ ] [ ] x EA t t 0 0 e [ R0 ]= −EA0 t t 0 0 0 x −EA t t 0 0 e [ R0 ]= EA0 t t 0 0 0 EA αt t0 l y y t0 < 0 x N>0 EA αt t0 EA EA αt t0 l y y W wyniku działania nierównomiernie rozłożonej temperatury Δt nastąpi zginanie pręta (nie wystąpią natomiast siły normalne). Należy pamiętać, że w tym przypadku, powstały moment rozciąga włókna chłodniejsze. Jego wartość zależeć będzie od sposobu zamocowania pręta (tabela 6.3). Interpretacja jest podobna jak poprzednio, włókna zimniejsze chcą się skrócić, a przytrzymane przez podpory nie mogą. Są więc rozciągane. e Tabela 6.3. Wartości reakcji R od nierównomiernego ogrzania 0 Schemat belki tg > td Wartości reakcji x tg EJ, h td Wektor sił przywęzłowych t EJ αt Δ h t EJ αt Δ h x [ R ]= e 0 l y Δt 3 EJ αt h 2 x tg EJ, h td Δt 3 EJ αt hl 2 l y EJ t t h 0 0 −EJ t y tg > td [ ] 0 0 x Δt 3 EJ αt hl 2 y t h [ ] 0 t 3 − EJ t 2 hl 0 0 [ R0e ]= t 3 EJ t 2 hl t 3 − EJ t 2 h W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego działające od temperatury momenty równoważą się nie wywołując reakcji. Natomiast w pręcie z przegubem wystąpią też siły poprzeczne. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 11 6.4.3. Wpływ osiadania podpór Jeżeli obciążeniem są osiadania podpór, to możemy zapisać wektor sił przywęzłowych tylko dla tych prętów ramy, których węzły doznają osiadań. Gdy pręt nie łączy się z osiadającymi podporami, to lokalny wektor sił przywęzłowych jest wektorem zerowym: [ R ]=[0] e 0 W układzie lokalnym pręta można zapisać składowe wektora siły jedynie równoległe bądź prostopadłe do osi pręta. Jeżeli na pręt działa osiadanie liniowe pod kątem do jego osi trzeba je rozłożyć na składowe: równoległą i prostopadłą do osi pręta. Osiadania znakujemy i numerujemy tak samo jak przemieszczenia i reakcje węzłowe (rys. 6.2). Do zbudowania wektora sił przywęzłowych dla pręta obciążonego osiadaniami wystarczy znajomość macierzy sztywności danego pręta. Do tej pory rozpisywaliśmy równanie równowagi elementu (6.3) w celu uzyskania wzorów transformacyjnych. Jeżeli osiadania potraktujemy jako znane przemieszczenia i przemnożymy je przez macierz sztywności to otrzymamy siły przywęzłowe, które są skutkiem działania tych osiadań. Przyjrzyjmy się zatem obustronnie utwierdzonemu prętowi, którego węzeł doznaje przemieszczenia (osiadania podpory) równoległego do jego osi (rys. 6.5). x EA Δx l y Rys. 6.5. Pręt obustronnie utwierdzony obciążony osiadaniem Osiadanie Δx działa po kierunku pierwszego przemieszczenia, ale z przeciwnym zwrotem. W tym przypadku, na wektor sił przywęzłowych składać się będzie pierwsza kolumna macierzy sztywności dla pręta obustronnie utwierdzonego (6.5), pomnożona przez wartość zadanego osiadania z ujemnym znakiem. Wobec tego wektor znanych przemieszczeń węzłowych ma postać [] − x 0 e [ 0 ]= 00 0 0 Mnożenie macierzowe [ R ]=[ K ]⋅[ ] e 0 e e sprowadza się do skalarnego przemnożenia pierwszej kolumny macierzy (6.5) przez wartość osiadania: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 12 [] [ ] EA EA − x l l 0 0 e 0 [ R 0 ]= −EA ⋅− x = EA0 x l l 0 0 0 0 W tabeli 6.4 podano kilka przykładów wyznaczania wektora sił przywęzłowych od przemieszczeń (osiadań) węzłów. e Tabela 6.4. Wartości reakcji R 0 od osiadań podpór Schemat belki Wartości reakcji x EA Δx Wektor sił przywęzłowych x EA Δx l EA Δx l l y y 6 EJ Δy l2 x 6 EJ Δy l2 EJ Δy l 12 EJ Δy l3 12 EJ Δy l3 y x y Δφ 3 EJ Δφ l x EJ l y y 3 EJ Δφ l2 x 3 EJ Δφ l2 [] EA x l 0 e 0 [ R0 ]= EA x l 0 0 − [] 0 12 EJ − 3 y l 6 EJ − 2 y e l R = [ 0 ] 0 12 EJ y l3 6 EJ − 2 y l [] 0 3 EJ − 2 l 0 0 [ R0e ]= 3 EJ l2 3 EJ − l Do tej pory zapisywaliśmy macierze sztywności i wektory sił przywęzłowych dla pojedynczych prętów, w ich lokalnych układach współrzędnych. Jednak w celu rozwiązania zadania (ramy wieloprętowej) korzystamy z równania równowagi zapisanego dla całego układu (6.1). Zawiera ono macierz sztywności, wektor przemieszczeń oraz wektor obciążeń stworzony dla wszystkich prętów. Do utworzenia potrzebnych Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 13 macierzy dokonuje się agregacji poszczególnych macierzy jednostkowych (wyznaczonych dla pojedynczych prętów). Aby jednak można było zagregować macierze sztywności zapisane dla pojedynczych prętów, muszą one dotyczyć jednego, globalnego układu współrzędnych. W tym celu przeprowadza się transformację macierzy zapisanych w układach lokalnych do układu globalnego. 6.5. Transformacja układu współrzędnych Aby składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, zapisane w lokalnym układzie współrzędnych, odnosiły się do przyjętego dla całej konstrukcji, globalnego układu współrzędnych, należy je odpowiednio przetransformować. W tym celu posłużymy się macierzą transformacji [T]: [ cos sin −sin cos 0 [ T ]= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos sin 0 −sin cos 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] (6.14) gdzie kąt α jest kątem mierzonym od osi x układu globalnego do osi x układu lokalnego (rys. 6.6). Za dodatni uznajemy kąt α skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara. x α x y y Rys. 6.6. Globalny i lokalny układ współrzędnych Prawo transformacji wektora niewiadomych opisujemy wzorem: [ qe ]=[ T ]T [ q e ] [ q e ]=[T ] [ qe ] (6.15) Podobnie wygląda transformacja wektora sił przywęzłowych: [ R ]=[ T ] [ R ] e 0 T e 0 (6.16) W przypadku dwuwymiarowej macierzy sztywności posłużymy się wzorem: [ K e ]=[ T ]T [ K e ] [T ] (6.17) Jeżeli lokalny układ współrzędnych będzie się pokrywał z układem globalnym, zarówno macierz sztywności, jak i wektor sił przywęzłowych po transformacji nie powinny się zmienić: dla α = 0 [ R ]=[ R ] e 0 e e 0 e [ K ]=[ K ] Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 14 Transformacja pozwala nam uzyskać składowe macierzy sztywności i wektora sił przywęzłowych, odniesione do globalnego układu współrzędnych. Składowe wektora sił będą wyrażały teraz reakcje zorientowane zgodnie z osiami globalnego układu współrzędnych (rys. 6.7). x y R06(e) R03(e) e R05(e) R02(e) R04(e) R01(e) Rys. 6.7. Kierunki reakcji od obciążeń przęsłowych w globalnym układzie współrzędnych (po transformacji) e e Jak widać na rys. 6.7, reakcje R03 i R06 nie zmieniły kierunku. Ponieważ momenty przywęzłowe nie zależą od przyjętego układu współrzędnych, nie zmieniła się także ich wartość: e Re 03 = R 03 e R 06 = R e 06 Dysponując macierzami zapisanymi w jednolitym układzie współrzędnych możemy dokonać ich agregacji (złożenia). 6.6. Agregacja macierzy Agregacja macierzy polega na odpowiednim ułożeniu poszczególnych składników macierzy zapisanych dla kolejnych elementów w odpowiadające im pola w macierzy całkowitej (dla całej konstrukcji). Agregować można składowe wielu macierzy elementowych, pod warunkiem, że wszystkie dotyczą jednego, globalnego układu współrzędnych. Aby ułatwić sobie odnajdywanie miejsc właściwego położenia poszczególnych elementów, skorzystamy z tak zwanej tabeli alokacji (powiązań). Nie ma uniwersalnej tabeli alokacji. Trzeba sporządzić ją dla każdego zadania oddzielnie, ale korzystamy z niej zarówno do agregacji macierzy sztywności, jak i wektora obciążeń. Tworzeniu takiej tabeli przyjrzymy się agregując wektor obciążeń. 6.6.1. Agregacja wektora obciążeń Analizie poddamy ramę obciążoną siłami węzłowymi, w której obciążenie przęsłowe może być dowolne (zakładamy zerowe). Istotne jest, aby siły przyłożone w węźle pokrywały się z globalnym układem współrzędnych. Gdyby jednak działały w dowolnym kierunku, trzeba by je rzutować i w każdym węźle wyrazić jako składowe równoległe do osi globalnego układu współrzędnych. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 15 y M Py x 2 Px 1 Rys. 6.8. Przykładowa rama obciążona w węźle Ponieważ umiemy znaleźć i przetransformować wartości reakcji przywęzłowych od obciążeń przęsłowych występujące na pojedynczych prętach ramy, narysujmy je dla każdego pręta (rys. 6.9) w odniesieniu do globalnego układu współrzędnych (po transformacji). y R06(2) x R03(2) R06(1) 2 1 R05(2) R01(2) R04(1) R03(1) R04(2) R02(2) R05(1) R01(1) R02(1) Rys. 6.9. Reakcje przywęzłowe w globalnym układzie współrzędnych Pamiętając, że globalne kierunki reakcji pokrywają się z globalnymi kierunkami przemieszczeń (rys. 6.1), możemy stwierdzić, że na przykład kierunek reakcji R01(1) pokrywa się z kierunkiem pierwszego przemieszczenia q1, a kierunek reakcji R05(1) pokrywa się z kierunkiem piątego przemieszczenia q5. Podobne zależności można zapisać dla pręta drugiego, np.: kierunek reakcji R01(2) pokrywa się z kierunkiem czwartego przemieszczenia q4. Możemy zatem zestawić te wiadomości w tabeli alokacji (tabela 6.5). w pierwszym wierszu cyfry od 1 do 6 oznaczają sześć kolejnych kierunków w dowolnym elemencie, zgodnych z układem globalnym (wskaźnik i w symbolu R0i(2) ). W kolejnych wierszach podano jakim kierunkom globalnych przemieszczeń (rys. 6.1) odpowiadają one w poszczególnych elementach. Tabela 6.5. Tabela powiązań dla elementów wektora obciążeń numer reakcji R0 nr pręta 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 7 8 9 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 16 Dzięki tej tabeli wiemy, w którym wierszu macierzy globalnej umieścić wielkość wyznaczoną dla elementu. Wyrazy wektora obciążeń przywęzłowych są elementami jednoindeksowymi (R0k(e)), dlatego do określenia ich miejsca w wektorze obciążeń wystarczy zamiana k - tego indeksu na nowy, zgodnie z tabelą alokacji. I tak na przykład, reakcja R06(2) z drugiego pręta zajmie miejsce w dziewiątym wierszu w wektorze obciążeń, a reakcja R02(2) zajmie miejsce w wierszu piątym. Teraz, gdy wiemy już, które wiersze odpowiadają którym reakcjom na pojedynczych prętach, możemy przystąpić do agregacji wektora obciążeń. Zgodnie ze wzorem (6.4) na wektor obciążeń [Pij] składa się wektor sił węzłowych i wektor sił przywęzłowych. Numery wierszy, w których znajdą się składowe wektora sił przywęzłowych odczytujemy, jak to wyjaśniono powyżej, z tabeli alokacji (powiązań). Jak widać, w niektórych wierszach znajdą się po dwa składniki, np. na czwarty wiersz składać się będą reakcje R04(1) z pierwszego pręta i R01(2) z drugiego pręta. Składowe wektora sił węzłowych to wartości sił działających w węzłach konstrukcji umieszczone w odpowiednich wierszach związanych z kierunkiem ich działania. W naszym przykładzie występują trzy siły węzłowe: Px, Py, i M. Siła Px działa po kierunku czwartego przemieszczenia (reakcji), siła Py działa po kierunku przemieszczenia piątego, a moment M po kierunku przemieszczenia szóstego. I takie właśnie będą ich miejsca w wektorze sił węzłowych. Znaki, z jakimi wpiszemy wartości sił węzłowych, przyjmujemy zgodnie z globalnym układem współrzędnych. [ ][ ][ ][ ] R1 −R1 01 01 R1 0 1 R02 −R1 02 R2 0 R1 −R1 R3 03 03 0 2 1 2 R1 R P −R −R Px R4 04 01 x 04 01 2 = 1 2 = [ P ij ]= P y − R1 R5 P y −R05 −R02 05 R 02 1 2 1 2 M R6 R06 R03 M −R06 −R03 0 2 2 R7 R04 −R04 0 2 2 R8 R05 −R05 0 R9 R2 −R2 06 06 6.6.2. Agregacja macierzy sztywności Agregacja macierzy sztywności przebiega bardzo podobnie do agregacji wektora obciążeń. Posłużymy się tym samym przykładem ramy. Przyjmijmy, że elementy macierzy sztywności prętów 1 i 2 opisują symbole: [ [ K 1 ]= K 1 11 K 1 12 K 1 13 K 1 14 K 1 15 K 1 16 1 21 1 31 1 41 1 51 1 61 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 23 1 33 1 43 1 53 1 63 1 24 1 34 1 44 1 54 1 64 1 25 1 35 1 45 1 55 1 65 K 1 26 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 1 36 K 1 46 K 1 56 K 1 66 ] Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ [ [ K 2 ]= K 2 K 2 K 2 11 12 13 K 2 K 2 14 15 K 2 16 K 2 21 K 2 22 K 2 K 2 23 24 K 2 25 K 2 31 K 2 32 K 2 K 2 33 34 K 2 K 2 35 36 K 2 41 K 2 42 K 2 K 2 43 44 K 2 K 2 45 46 K 2 51 K 2 52 K 2 K 2 53 54 K 2 K 2 55 56 2 61 2 62 K K K 2 63 K 2 64 K 2 65 K 2 26 K 2 66 17 ] Każdy z elementów macierzy sztywności pojedynczych prętów [K(1)] i [K(2)] ma swoje miejsce w macierzy globalnej [Kij] o wymiarze 9 x 9 w przypadku układy z trzema węzłami. Aby ułatwić sobie znalezienie tego miejsca posłużymy się tą samą tabelą alokacji, którą wykorzystaliśmy przy agregacji wektora obciążeń. Nieco inna będzie jedynie interpretacja zależności zawartych w tabeli powiązań, gdyż dotyczyć będą one każdego indeksu dolnego poszczególnych elementów macierzy. Indeks pierwszy oznaczać będzie wiersz, w który należy wpisać element, a indeks drugi kolumnę. Tabela 6.6. Tabela powiązań dla elementów macierzy sztywności numer indeksu elementu macierzy nr pręta 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 7 8 9 Każdy element macierzy sztywności pojedynczego pręta ma oznaczenie dwuindeksowe (Kmn(e)), zatem aby znaleźć miejsce danego elementu należy zamienić oba indeksy. I tak na przykład element K11(1) dla pierwszego pręta, po zamianie indeksów będzie elementem K11 całkowitej macierzy sztywności, a element K35(2) dla drugiego pręta, po zamianie indeksów będzie elementem K68 całkowitej macierzy sztywności. Podobnie jak w przypadku wektora obciążeń, w niektórych polach znajdzie się więcej niż jeden element macierzy wyznaczony dla pojedynczego pręta. Tak będzie np. z elementem K56 całkowitej macierzy sztywności. Składać się na niego będą element K56(1) z pierwszego pręta i K23(2) z pręta drugiego. Puste pola, w które nie wpisały się żadne wartości z macierzy sztywności dla pojedynczych prętów najlepiej będzie wypełnić zerami. Zapiszmy zatem całą macierz sztywności po agregacji: [ [ K ij ]= K 1 11 K 1 12 K 1 13 K 1 14 K 1 15 K 1 16 0 0 0 1 21 1 31 1 41 1 51 1 61 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 23 1 33 1 43 1 53 1 63 1 24 1 34 1 25 1 35 1 26 1 36 0 0 0 0 0 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 0 2 K 1 46 K 13 K 2 K 2 14 15 K 2 16 2 K 1 54 K 21 2 K 1 55 K 22 2 K 1 56 K 23 K 2 K 2 24 25 K 262 = 2 K 1 64 K 31 2 K 1 65 K 32 2 K 1 66 K 33 K 2 34 K 2 35 K 2 36 0 0 0 K 2 41 K 2 42 K 2 43 K 2 44 K 2 45 K 2 46 0 0 0 K 2 51 K 2 52 K 2 53 K 2 54 K 2 55 K 2 56 0 2 61 2 62 2 63 2 64 2 65 2 66 0 0 ] 2 2 K 1 K 1 44 K 11 45 K 12 K K K K K K Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ [ K 11 K 21 K 31 K 41 = K 51 K 61 K 71 K 81 K 91 K 12 K 22 K 32 K 42 K 52 K 62 K 72 K 82 K 92 K 13 K 23 K 33 K 43 K 53 K 63 K 73 K 83 K 93 K 14 K 24 K 34 K 44 K 54 K 64 K 74 K 84 K 94 K 15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 65 K 75 K 85 K 95 K 16 K 26 K 36 K 46 K 56 K 66 K 76 K 86 K 96 K 17 K 27 K 37 K 47 K 57 K 67 K 77 K 87 K 97 K 18 K 28 K 38 K 48 K 58 K 68 K 78 K 88 K 98 K 19 K 29 K 39 K 49 K 59 K 69 K 79 K 89 K 99 18 ] Teraz, gdy wykonaliśmy agregację wszystkich macierzy potrzebnych do rozwiązania równania (6.1), możemy przystąpić do ich modyfikacji, czyli do uwzględnienia warunków podparcia rzeczywistej konstrukcji. 6.7. Warunki podparcia Jak pamiętamy, pierwszym etapem rozwiązania ramy komputerową metodą przemieszczeń było wyznaczenie i ponumerowanie kierunków przemieszczeń węzłowych. Zakładaliśmy wówczas, że każdy węzeł może mieć trzy przemieszczenia, niezależnie czy rama była w danym węźle podparta czy też nie. Obecność podpór w niektórych węzłach ogranicza swobodę ich przemieszczeń. Jeżeli wiemy, że dane przemieszczenie w podporze jest równe zero (znamy jego wartość), lub możemy je pominąć ze względu na redukcję statyczną, to musimy wyeliminować równanie równowagi układu (6.1). W tym celu zerujemy odpowiedni wiersz z wektora obciążeń oraz wiersz i kolumnę z macierzy sztywności układu. Jeżeli przemieszczenie qr jest równe zero, to przy mnożeniu macierzowym cała kolumna r będzie mnożona przez zero. Wobec tego można ją pominąć, a wiersz r będzie niepotrzebnym równaniem (zmniejsza się liczba niewiadomych). Praktycznie modyfikacja polega na wykreśleniu wiersza i kolumny o numerze kierunku, wzdłuż którego jest podpora. Ustalmy zatem, które przemieszczenia możemy uznać za zerowe, które możemy pominąć ze względu na redukcję statyczną, a których pominąć nie należy. Ułatwi to nam tabela 6.7, w której podano kilka przykładowych zamocowań prętów. Tabela 6.7. Kierunki i wartości przemieszczeń w węzłach Schemat podparcia węzła q3 Wartości przemieszczeń q1 ≠0 q 2 ≠0 q3 ≠0 q1 q2 q1 ≠0 q 2 ≠0 q4 q1 q3 q3 q2 q2 q3 ≠0 q 4 ≠0 Schemat podparcia węzła q1 q4 ≠0 q1 q2 R 3 =0 q2 red. stat. R 4 =0 R 4 =0 q1 =0 q 2 =0 q3 red. stat. red. stat. q1 =0 q 2 =0 q 3 =0 q3 q1 ≠0 q 2 ≠0 q 3 ≠0 q4 Wartości przemieszczeń q1 q3 q2 q1 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. q3 ≠0 red. stat. R 3 =0 q1 =0 q 2 =0 q 3 ≠0 AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 19 Obecność podpory sprężystej w węźle ramy uwzględniamy nieco inaczej niż obecność sztywnych podpór. Ma ona bowiem wpływ na macierz sztywności, a nie jak było do tej pory, na wektor niewiadomych przemieszczeń. Modyfikacji dokonujemy przez dodanie parametru sztywności k podpory sprężystej do odpowiadającego numerowi jej kierunku wyrazu z przekątnej macierzy sztywności układu. q3 q3 q1 k q1 Rk =q1 · k q2 q2 Rys. 6.10. Podpora sprężysta w węźle ramy W przypadku podpory sprężystej z rys. 6.10, sztywność k dodamy do wyrazu K11 w macierzy sztywności układu, ponieważ kierunek reakcji Rk w sprężynie pokrywa się z kierunkiem pierwszego przemieszczenia. Zastanówmy się zatem, które przemieszczenia będą zerowe w przykładzie z rys. 6.1. Rama ma utwierdzenia w dwóch węzłach, możemy zatem napisać, że przemieszczenia w tych węzłach są równe zero: q 1 =q 2 =q 3 =q7 =q 8 =q 9 =0 Wynika z tego, że niezerowe są tylko trzy pozostałe przemieszczenia: q 4 ≠0 q 5 ≠0 q6 ≠0 Wyzerujmy teraz w wektorze obciążeń wiersze, a w macierzy sztywności wiersze i kolumny, odpowiadające zerowym przemieszczeniom. Na przykład przemieszczenie po kierunku pierwszym jest zerowe, możemy więc “wyzerować” pierwszy wiersz w wektorze obciążeń, oraz pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę w macierzy sztywności układu. Jeżeli nie zmieniamy wymiaru macierzy (“zerowe” wiersze pozostają) to na głównej przekątnej należy wpisać jedynki. W ten sposób mnożenie pierwszego wiersza macierzy sztywności przez wektor przemieszczeń daje warunek q1 = 0. Jeśli tego nie uczynimy macierz sztywności będzie osobliwa (nie ma rozwiązań). [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K 44 K 54 K 64 0 0 0 0 0 0 K 45 K 55 K 65 0 0 0 0 0 0 K 46 K 56 K 66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ][ ] [ ] q1 0 0 q2 0 0 0 q3 0 0 R q4 4 0 ⋅ q5 = R5 0 R6 q6 0 0 q7 0 0 q8 0 1 q9 Jeżeli do rozwiązania układu równań użyjemy programu komputerowego, nie będzie miało znaczenia, jakiego jest on wymiaru. Do obliczeń ręcznych wskazane byłoby wykreślenie “wyzerowanych” wierszy i kolumn. Wtedy pozostaną tylko trzy równania: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ [ K 44 K 54 K 64 20 ][ ] [ ] K 45 K 55 K 65 K 46 q4 R4 K 56 ⋅ q5 = R 5 K 66 q6 R6 Rozwiązaniem powyższego układu jest wektor niewiadomych przemieszczeń [q]. Dysponując rzeczywistymi przemieszczeniami węzłów można określić wartości sił wewnętrznych. 6.8. Interpretacja wyników W metodzie przemieszczeń, uzyskane po rozwiązaniu układu równań kanonicznych, wartości przemieszczeń podstawialiśmy do wzorów transformacyjnych. Otrzymywaliśmy w ten sposób wartości sił przekrojowych. W wersji komputerowej, siły przekrojowe na każdym z prętów ramy, uzyskamy bezpośrednio z zależności: N ik =− R e 1 e T ik =− R 2 N ki = R e 4 e T ki = R 5 M ik = R M ki = R e 3 (6.18) e 6 Jak widać, wystarczy znaleźć wartości reakcji, jakie powstaną w utwierdzeniach prętów w układach lokalnych. Posłuży nam do tego omówione już wcześniej, równanie równowagi pojedynczego pręta w lokalnym układzie współrzędnych (6.3). Tym razem jednak, znamy już zarówno macierz sztywności [ K e ] , e jak i wektor sił przywęzłowych [ R 0 ] . Znamy też przemieszczenia węzłów, ale w układzie globalnym. Pozostaje nam wyznaczyć wektor przemieszczeń węzłów [ q e ] w układzie lokalnym każdego pręta. Wcześniej zajmowaliśmy się agregacją macierzy całego układu prętowego z macierzy elementowych. Teraz, z globalnego wektora przemieszczeń [q] musimy wydzielić wektory dotyczące poszczególnych elementów prętowych. Aby tego dokonać, ponownie posłużymy się tabelą powiązań. Przyjmijmy zatem, że dla naszej przykładowej ramy (rys. 6.1) uzyskaliśmy, po rozwiązaniu równania równowagi, wektor przemieszczeń [q]: [ ][ ] Q1 0 Q2 0 Q3 0 q4 Q4 [q]= q5 = Q 5 q6 Q6 0 Q7 0 Q8 0 Q9 Zgodnie z tabelą powiązań (tabela 6.5), elementy od pierwszego do szóstego z wektora [q], stanowią wektor przemieszczeń dla pierwszego pręta [q(1)], natomiast elementy od czwartego do dziewiątego, stanowią wektor przemieszczeń dla drugiego pręta [q(2)]. Wiemy to z analizy ostatniego wiersza tabeli 6.5 alokacji, który dotyczy drugiego pręta. Pokazuje on, które przemieszczenia globalne Qi odpowiadają kolejnym 2 przemieszczeniom pręta drugiego q i w globalnym układzie współrzędnych. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 21 [] [] Q1 Q2 Q [ q1 ]= 3 Q4 Q5 Q6 Q4 Q5 Q [q 2 ]= 6 Q7 Q8 Q9 Aby uzyskać wektory przemieszczeń [ q e ] w lokalnym układzie współrzędnych musimy skorzystać z prawa transformacji (6.15) wektora [q(e)] z globalnego do lokalnego układu współrzędnych. Tak przygotowany wektor przemieszczeń podstawiamy do równania (6.3) i na podstawie związków (6.2) wyznaczamy, a potem rysujemy siły wewnętrzne. 6.9. Sprawdzenie wyników Kontrola wyników w komputerowej wersji metody przemieszczeń wygląda bardzo podobnie jak w klasycznej metodzie przemieszczeń. Nie ma jednak potrzeby sprawdzania symetrii macierzy sztywności pojedynczych prętów (elementowe macierze sztywności są z założenia symetryczne). Warto natomiast zwrócić uwagę czy macierz sztywności całego układu również jest symetryczna. 6.9.1. Sprawdzenie kinematyczne Sprawdzenie kinematyczne pozwala ocenić poprawność wykresu momentów zginających. Kontrolę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na równaniu pracy wirtualnej: { ∑ Pi i ∑ Rk k =∑ ∫ M i i j s } M P t t NP T P ds∫ N t t ds∫ T ds EI h EA GA s s ∑ Rn R n f ∑ Bm b m P n m gdzie: MP, NP, TP - rzeczywiste siły wewnętrzne, Δi - niewiadome przemieszczenie, Pi - wirtualna siła jednostkowa, Rk - reakcja wywołana siłą jednostkową, wirtualną w podporze doznającej przemieszczenia, k - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), Rn - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej, RnP - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, bm - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) po kierunku m, Bm - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ 22 Przy wykonywaniu kontroli kinematycznej w metodzie przemieszczeń zwykle pomijaliśmy wpływ sił normalnych i poprzecznych. Ponieważ jednak, wersja komputerowa zakłada uwzględnienie sił normalnych i rezygnację z zasady nieskracalności prętów, trzeba pamiętać o uwzględniemiu wpływu sił normalnych w kontroli kinematycznej. 6.9.2. Sprawdzenie statyczne Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonego siłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (dla układu zawieszonego na reakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości: ∑ X =0 ∑ Y =0 ∑ M =0 Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater