KOMBINATORYKA

KOMBINATORYKA
Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie
z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą:
PERMUTACJE
Silnia. Zanim przejdę do sedna, przypomnę definicję silni. Silnią liczby naturalnej n nazywamy iloczyn
wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n. W skrócie zapisujemy to następująco:
.
Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich
elementów tego zbioru. Mówiąc obrazowo jest to każde możliwe ustawienie n elementów „po kolei”.
Liczba permutacji zbioru złożonego z elementów jest właśnie równa .
Dowód: na 1-szym miejscu możemy ustawić n elementów, na drugim n-1 elementów, wreszcie na n-tym
(
)
1 element. Zatem liczba ustawień wynosi
. Fakt ten zapisujemy:
Przykład: Z trzech danych elementów:
można utworzyć następujące permutacje:
(
)(
)(
)(
)(
)(
). Liczba ich wynosi
.
KOMBINACJE
Kombinacją k-elementową utworzoną ze zbioru n-elementowego (
) nazywamy każdy kelementowy podzbiór tego zbioru. Kombinacja, to jedna z możliwości wyboru kilku elementów z
większego zbioru, przy czym kolejność wyboru elementów nie ma znaczenia. Dwa podzbiory złożone z
tych samych elementów, a różniące się tylko ich kolejnością, stanowią tę samą kombinację.
Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się tzw. symbolem Newtona ( ).
( )
(
)
Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe
kombinacje: (
) ( ) ( ).
WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ
Wariacją k-elementową bez powtórzeń utworzoną ze zbioru n-elementowego (
) nazywamy każdy
k-wyrazowy ciąg różnych elementów z tego zbioru. Z k-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru
złożonego z n elementów mamy do czynienia, gdy k razy wybieramy bez zwracania po jednym elemencie
z danego zbioru, przy czym ma znaczenie kolejność wyboru elementów. Oczywiście n-wyrazowe
wariacje bez powtórzeń zbioru n-elementowego to po prostu permutacje tego zbioru.
Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:
(
)
Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć sześć następujących dwuelementowych
wariacji bez powtórzeń: (
)( )(
) ( ) ( ) ( ).
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI
Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg
elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Z k-wyrazowymi
wariacjami z powtórzeniami zbioru złożonego z n elementów mamy do czynienia, gdy k razy wybieramy
ze zwracaniem po jednym elemencie z danego zbioru, przy czym ma znaczenie kolejność wyboru
elementów.
1
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:
Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć osiem następujących 2-wyrazowych
wariacji z powtórzeniami: (
)( )( )(
)(
) ( ) ( ) ( ) ( ).
Warto wspomnieć, że istnieją jeszcze permutacje z powtórzeniami (zbiór ma n elementów przy czym
niektóre się powtarzają). Niech w zbiorze tym będzie elementów, które powtarzają się odpowiednio
razy.
Liczba permutacji z powtórzeniami wyraża się wzorem:
A także kombinacje z powtórzeniami (k-elementowe podzbiory zbioru n-elementowego z możliwością
powtarzania się elementów), Wówczas liczba kombinacji z powtórzeniami wyraża się wzorem:
̅
(
)
(
(
)
)
Na przykład liczba 2-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru 4-elementowego A = {a, b, c, d}
wynosi
(
)
(
)
.
Mamy tu 10 elementów: (
)( )( )(
)(
)(
) ( ) ( ) ( ) ( ).
Ot i z grubsza cała kombinatoryka z jaką będziemy mieli okazję się zetknąć. Dociekliwym polecam
dalsze zgłębianie tematu.
Przykład 1. Na ile sposobów można ustawić w szeregu 10 osób?
Tu mamy do czynienia z permutacjami (10-wyrazowy ciąg zbioru 10-elementowego). Liczba permutacji
wynosi 10!. Zatem 10 osób można ustawić na 3628800 sposobów. Niesłychane…
Przykład 2. Ile jest możliwości wylosowania 6 ponumerowanych kul z 49 (Duży Lotek)?
Wybieramy 6 kul bez zwracania przy czym kolejność oczywiście jest nieistotna. Zatem mamy do
czynienia z kombinacjami. Liczba kombinacji wynosi
(
)
Przykład 3. Ile można ułożyć 5-literowych wyrazów (z sensem czy bez) z 32-literowego alfabetu?
Litery mogą się powtarzać (losujemy „ze zwracaniem”) i liczy się ich kolejność. Zatem mamy do
czynienia z wariacjami z powtórzeniami. Liczba wariacji wynosi
. Swoją
drogą ciekawe ile z tych wyrazów ma sens…
Przykład 4. Ile różnych liczby czterocyfrowych można ułożyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 tak, aby żadna cyfra się
nie powtarzała?
Cyfry mogą się powtarzać (losujemy „bez zwracania”) i liczy się ich kolejność. Zatem mamy do
czynienia z wariacjami bez powtórzeń. Liczba wariacji wynosi
.
(
)
2
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się tzw. doświadczeniami losowymi. Są
to doświadczenia, w których nie da się dokładnie przewidzieć wyniku. Wynikiem takiego doświadczenia
jest zajście tzw. zdarzenia losowego.
ZDARZENIE LOSOWE
Zdarzeniem losowym nazywamy pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu.
Przykład: niech doświadczeniem losowym będzie rzut kostką do gry. Wynikiem tego doświadczenia
będzie pewne zdarzenie losowe, na przykład wyrzucenie parzystej liczby oczek, wyrzucenie 6-ki etc.
Niech doświadczeniem losowym będzie losowanie 1 karty z talii. Zdarzeniem losowym może być
wylosowanie kiera, wylosowanie blotki etc.
ZDARZENIE ELEMENTARNE
Najprostszy wynik doświadczenia losowego nazywać będziemy zdarzeniem elementarnym. W rzucie
kostką mamy oczywiście 6 zdarzeń elementarnych ponieważ może wypaść 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek. Przy
losowaniu karty z talii liczba zdarzeń elementarnych wynosi 52, zaś w rzucie monetą tylko 2 (orzeł,
reszka). Zdarzenia elementarne (gdy jest ich na przykład k oznaczamy
. Zbiór wszystkich
zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego oznaczamy .
ZDARZENIE
Zdarzeniem będziemy nazywać każdy podzbiór zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych. I tak na
przykład w przypadku jednokrotnego rzutu kostką zbiór zdarzeń elementarnych ma 6 elementów:
„wypadła 1-ka”, „wypadła 2-ka”, „wypadła 3-ka”. „wypadła 4-ka”, „wypadła 5-ka” i „wypadła 6-ka”.
Gdy określimy zdarzenie A w rzucie kostką jako „wypadła parzysta liczby oczek”, wówczas
, zaś zdarzenie B jako „wypadła liczba >3”, wówczas
itd. Zdarzenie elementarne,
które należy do zbioru reprezentowanego przez zdarzenie nazywamy zdarzeniem sprzyjającym danemu
zdarzeniu. I tak zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A to „wypadła 2-ka”, „wypadła 4-ka”, „wypadła 6-ka”,
zdarzenia sprzyjające zdarzeniu B to „wypadła 4-ka”, „wypadła 5-ka”, „wypadła 6-ka”. Zdarzenie
nazywamy zdarzeniem pewnym jeśli zbiór zdarzeń sprzyjających jest równy . Zdarzenie nazywamy
zdarzeniem niemożliwym jeśli zbiór zdarzeń sprzyjających jest pusty. Na przykład jeśli dla rzutu kostką
określimy zdarzenie jako „wypadła liczba oczek <7”, wówczas będzie to zdarzenie pewne. Jeśli zaś
określimy zdarzenie jako „wypadła liczba oczek >6” wówczas będzie to zdarzenie niemożliwe.
DZIAŁANIA NA ZDARZENIACH
Ponieważ zdarzenia są po prostu zbiorami możemy na nich wykonywać działania. I tak:

to zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A lub zajdzie zdarzenie B.

to zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A i zajdzie zdarzenie B.

to zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A i nie zajdzie zdarzenie B.
 Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczają się) jeśli
.
 Zdarzenia A i A' są przeciwstawne jeśli
.
 Zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B jeśli
.
3
Pojęcie prawdopodobieństwa
Definicja aksjomatyczna.
Prawdopodobieństwo P jest funkcją określoną na zbiorze zdarzeń losowych A, spełniającą 3 warunki:
( )
1.
( )
2.
(
)
( )
3.
( ) jeśli
Definicja klasyczna.
Jeżeli składa sie z n jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo
zdarzenia A składającego sie z k zdarzeń elementarnych wyraża sie wzorem:
( )
Właśnie z tą definicją będziemy mieli do czynienia najczęściej.
Własności prawdopodobieństwa
Niech będzie zbiorem zdarzeń elementarnych,
tym zbiorze. Wówczas:
( )
1.
( )
2.
jeżeli
to ( )
3.
dla każdego
zachodzi nierówność ( )
(
)
(
)
4.
(
)
( )
( )
(
)
5.
a P prawdopodobieństwem określonym na
Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech będzie zbiorem zdarzeń elementarnych,
a P prawdopodobieństwem określonym na
W wielu przypadkach, zajście zdarzenia B ma pewien wpływ na prawdopodobieństwa zdarzenia A.
Zdarzenie A pod warunkiem, że B oznaczamy | . Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia
A pod warunkiem zajścia zdarzenia B:
(
( | )
)
( )
Prawdopodobieństwo całkowite
Jeżeli zdarzenia
oraz ( )
są parami wykluczające się czyli
dla
dla wszystkich i, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi:
( )
( |
) (
)
( |
) (
)
Niezależność zdarzeń
Zdarzenia A oraz B są niezależne jeżeli:
(
Fakt ten równoważny jest zależnościom:
4
)
( | )
( )
( )
( ), ( | )
( )
Twierdzenie Bayesa (prawdopodobieństwo przyczyny)
Często stykamy się z zagadnieniami, w których znamy skutek zdarzenia, a chcemy oszacować
prawdopodobieństwa różnych możliwych jego przyczyn.
Do wyznaczania takich właśnie prawdopodobieństw służy wzór Bayesa. Jeżeli zdarzenia
są
parami wykluczające się oraz
( )
dla wszystkich i, to dla każdego zdarzenia
(
| )
( |
( |
) ( )
) (
)
( |
) (
)
Ot z grubsza i wszystko co trzeba wiedzieć z rachunku prawdopodobieństwa. Lecz czymże by była teoria
bez zastosowań praktycznych? Jak policzyć prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia. A oto przykłady
ilustrujące powyższe „suche” wzory.
PRZYKŁADY OBLICZANIA PRAWDOPODOBIEŃSTW
Przykład 1. Wybieramy losowo jedną literę z wyrazu MATEMATYKA. Oblicz prawdopodobieństwo, że
będzie
to
litera
M?.
Rozwiązanie:
Określmy
przestrzeń
zdarzeń
elementarnych.
Liczy on 10 elementów, zatem
. Zbiór zdarzeń sprzyjających
Liczy on 2 elementy, zatem
Czyli na mocy klasycznej definicji prawdopodobieństwa
( )
Przykład 2. Rzucamy trzema monetami. Podaj prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów.
Nietrudno stwierdzić, że przestrzeń zdarzeń elementarnych. liczy 8 elementów (
).
Zbiór zdarzeń sprzyjających liczy elementów 3 (orzeł może paść na
( )
sposoby). Czyli na
mocy klasycznej definicji prawdopodobieństwa ( )
Przykład 3. Z talii 52 kart losujemy 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano dokładnie 2 walety.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych liczy
( )
elementów. Pozostaje policzyć
liczbę elementów zbioru zdarzeń sprzyjających. W tym celu należy obliczyć na ile sposobów można
wylosować 2 walety z 4 oraz na ile sposobów można wylosować 7 pozostałych kart, a następnie
pomnożyć uzyskane wyniki. Zatem A liczy
elementów.
Zatem ( )
.
Przykład 4 (niezależność zdarzeń). Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną
liczbę. Zdarzenie A polega na wylosowaniu liczby o różnych cyfrach. Zdarzenie B polega na
wylosowaniu liczby, której suma cyfr wynosi 6. Zbadaj niezależność zdarzeń A i B. Rozwiązanie:
Doświadczenie polega na wylosowaniu jednej liczby spośród 90 liczb, ponieważ tyle jest liczb
naturalnych dwucyfrowych, zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych
liczy 90 elementów. Aby
obliczyć liczbę elementów zbioru A (ile liczb naturalnych dwucyfrowych ma różne cyfry) należy od
ilości wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych odjąć ilość liczb naturalnych dwucyfrowych o takich
samych cyfrach. Jest ich 9: (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Tak więc prawdopodobieństwo
wylosowania jednej z tych liczb wynosi
Liczby naturalne dwucyfrowe, których suma cyfr wynosi 6, to: 15, 24, 33, 42, 51, 60. Jest ich 6, więc
prawdopodobieństwo wylosowania jednej z tych liczb wynosi
Zdarzenie
zajdzie, gdy wylosujemy liczbę naturalną dwucyfrową o różnych cyfrach i o sumie cyfr
równej 6. Zdarzeniu temu sprzyjają następujące liczby: 15, 24, 42, 51, 60. Jest ich 5, więc
prawdopodobieństwo wylosowania jednej z tych liczb wynosi
)
( ) ( )(
Wniosek: zdarzenia nie są niezależnie gdyż (
)
Przykład 5 (prawdopodobieństwo całkowite). W urnie A znajduje się 6 białych i 4 czarne kule, a w urnie
B 3 białe i 3 czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B, a następnie z urny B losujemy
jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała.
5
Rozwiązanie: Z urny A do urny B można przełożyć 2 kule białe lub 2 kule czarne lub 1 kulę białą i 1
czarną. Od zestawu kul, które zostaną przełożone zależy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z
urny B.
Oznaczmy zdarzenia:
- wylosowanie kuli białej z urny B,
- przełożenie z urny A do urny B dwóch kul białych,
- przełożenie z urny A do urny B dwóch kul czarnych,
- przełożenie z urny A do urny B 1 kuli białej i 1 kuli czarnej,
| - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule białe,
| - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule czarne,
| - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 1 kulę białą i 1 kulę czarną.
Zdarzenia B1, B2, B3 spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (są parami
wykluczające się,
oraz mają niezerowe prawdopodobieństwa).
( | ) ( )
( | ) ( )
( | ) ( )
Zatem ( )
Policzmy zatem wszystkie te prawdopodobieństwa. Na początku przekładamy 2 kule z urny A.
Mamy zatem ( ) możliwości przełożenia kul o dowolnych kolorach. Możliwości przełożenia 2 kul
białych jest ( ) dwóch czarnych jest ( ) zaś 1 białej i 1 czarnej jest ( ) ( ).
Zatem (
( )
)
( )
, (
)
( )
(
( )
)
( )( )
( )
Podobnie można wyliczyć prawdopodobieństwa warunkowe. Pokażę to na przykładzie ( | ).
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli gdy przełożyliśmy 2 białe jest równe stosunkowi liczby kul
( | )
( | )
białych (obecnie 5) do wszystkich kul (obecnie 8). Zatem ( | )
.
Ostatecznie zatem ( )
Przykład 6 (wzór Bayesa). W każdej z trzech urn jest 20 losów, przy czym w pierwszej jest 8 losów
wygrywających, w drugiej 10, a w trzeciej 16. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jeśli suma oczek jest
mniejsza od 5, to losujemy jeden los z urny pierwszej, jeśli suma oczek jest równa 5, z urny drugiej, jeśli
suma oczek jest większa od 5, z urny trzeciej. Jeśli w wyniku opisanego doświadczenia uzyskamy los
wygrywający, to jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie on pochodził z urny 3? Rozwiązanie:
Oznaczmy A – zdarzenie „los wygrywa”, U1 – zdarzenie „losujemy z urny 1”, U2 – zdarzenie „losujemy z
urny 1”, U3 – zdarzenie „losujemy z urny 3”.
( |
(
)
)
( |
(
)
)
( |
(
)
)
Zatem szukane prawdopodobieństwo to (
6
| )
( |
) (
)
( |
( |
) (
) (
)
)
( |
) (
)
ELEMENTY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna n liczb (próby), to po prostu suma tych liczb podzielona przez n. Fakt ten
zapisujemy bardziej naukowo:
̅
Średnia arytmetyczna ważona
Średnia ważona liczb
z których każda określona ma przypisaną nieujemną wagę
wyraża się wzorem nieco bardziej złożonym:
̅̅̅̅
Mediana
Uporządkujmy w ciąg n liczb w kolejności rosnącej. Medianą n liczb będziemy nazywali liczbę dzielącą
ów ciąg na dwie części liczące tyle samo liczb. W przypadku gdy n jest parzyste mediana będzie średnią
arytmetyczną dwóch liczb środkowych. Przykład: medianą liczb 2, 4, 5, 8, 10 jest oczywiście 5, ale
medianą liczb 3, 5, 10, 12 jest 7.5 (dlaczego?)
Dominanta
Dominanta to po prostu wartość występująca w próbie najczęściej. Oczywiście w zbiorze n liczb może
być więcej niż jedna dominanta – jeśli każda z tych liczb jest inna, dominantą jest każda z nich!
Wariancja
Wariancję
liczb
o wartości średniej ̅ obliczamy ze wzoru:
(
̅)
(
̅)
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe oznacza średnie odchylenie od średniej arytmetycznej. Odchylenie standardowe
to po prostu pierwiastek z wariancji (teraz nie dziwi już ten kwadrat we wzorze.
(
√
̅)
(
̅)
Zmienna losowa
Zmienna losowa, to funkcja, która zdarzeniom losowym przypisuje liczby. Na przykład, losując z pewnej
grupy jednego osobnika przypisujemy mu jego iloraz inteligencji IQ. Niech będzie zbiorem wszystkich
możliwych wyników dwukrotnego rzutu kostką – zbiór ten składa się z 36 par postaci (i j) gdzie
ij
. Następujące funkcje są zmiennymi losowymi: "iloczyn liczby oczek wyrzuconej za
pierwszym i drugim razem", "suma liczby oczek wyrzuconej za pierwszym i drugim razem, "liczba oczek
wyrzuconych za pierwszym razem".
7
Rozkład zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej określa z jakim prawdopodobieństwem zmienna losowa przyjmuje
poszczególne wartości. Przypuśćmy, że zmienna losowa X przyjmuje wartości
z
prawdopodobieństwami
Rozkład zmiennej losowej to zbiór uporządkowanych par
.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Jest to wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Jeśli mamy zmienną losową o
danym rozkładzie (patrz wyżej) to jej wartość oczekiwana EX oblicza się ze wzoru:
( )
Wariancja zmiennej losowej
Wariancja to w statystyce miara zmienności. Wariancję
( )
(
)
( ) obliczamy z wzoru:
( ( ))
Odchylenie standardowe zmiennej losowej
Oznaczane , to po prostu pierwiastek kwadratowy z wariancji.
√ (
( ( ))
)
Na koniec przykłady, w końcu bez nich to wszystko to czarna magia.
Przykład 1 (średnia ważona). Ponieważ obliczanie średniej arytmetycznej jest tak proste, że aż wstyd je
przytaczać, obliczmy średnią ważoną. Zapytano trzy grupy osób o to jak długo spały w ciągu ostatniej
nocy. Pierwsza grupa licząca 10 osób spała 6 godzin. Druga grupa licząca 20 osób spała 7 godzin, a
trzecia licząca 15 osób spała 8 godzin. Aby uzyskać rzetelne informacje jaka jest średnia „senność”
należy policzyć właśnie średnią ważoną. Wartości zmiennej to liczby przespanych godzin (6, 7, 8), wagi
to
liczby
osób
(10,
20,
15).
Zatem ̅̅̅̅
Przykład 2 (odchylenie standardowe). Oceny z jakiegoś przedmiotu to 2, 5, 1, 3. Średnia arytmetyczna
tych ocen to 2,75.
√(
)
(
)
(
)
(
)
Przykład 3 (wartość oczekiwana zmiennej losowej). Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową
oznaczamy jako liczbę uzyskanych orłów. Określmy przestrzeń zdarzeń elementarnych
(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
).
oznacza zmienną losową
wyrażającą liczbę wyrzuconych orłów. W doświadczeniu można otrzymać 0, 1, 2 lub 3 orły. 0 orłów
można wyrzucić na 1 sposób, 1 orła na 3 sposoby, 2 orły na 3 sposoby i 3 orły na 1 sposób. Zatem
prawdopodobieństwa wyrzucenia 0, 1, 2, 3 orłów wynoszą odpowiednio
. Zatem ( )
Wynik dziwny choć nie za bardzo…
Przykład 4 (rozkład, wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej).
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Niech
oznacza zmienną losową wyrażającą sumę
uzyskanych oczek. Wyznacz rozkład tej zmiennej, jej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie
standardowe. Rozwiązanie:
Zmienna losowa może przyjmować wartości ze zbioru:
Należy obliczyć,
z jakim prawdopodobieństwem uzyskuje się powyższe sumy oczek. przestrzeń zdarzeń elementarnych
) (
liczy 36 elementów (
) . Wypiszmy mozolnie zdarzenia sprzyjające dla poszczególnych
sum. Sumie 2 sprzyja zdarzenie (
) sumie 3 sprzyjają zdarzenia (
)(
), sumie 4 sprzyjają
zdarzenia (
)(
)(
), sumie 5 sprzyjają zdarzenia (
)(
)(
)(
), sumie 6 sprzyjają
zdarzenia
(
)(
)(
)(
)(
),
sumie
7
sprzyjają
zdarzenia
(
)(
)(
)(
)(
)(
) sumie 8 sprzyjają zdarzenia (
)(
)(
)(
)(
)
8
sumie 9 sprzyjają zdarzenia (
)(
)(
)(
), sumie 10 sprzyjają zdarzenia (
)(
)(
sumie 11 sprzyjają zdarzenia (
)(
) i wreszcie sumie 12 sprzyja zdarzenie (
). Oznaczmy
jako prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie k oczek (
).
Zatem
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Rozkład zmiennej losowej jest następujący:
{(
) (
) (
) ( ) (
) ( ) (
Wartość oczekiwana rozważanej zmiennej wynosi:
) (
( )
Wariancja rozważanej zmiennej wynosi:
( )
( ) ( ( ))
( )
Odchylenie standardowe rozważanej zmiennej wynosi zatem:
√
9
) (
) (
) (
)}
)
,
ZADANIA SPRAWDZAJĄCE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
10
Ile można utworzyć -kolorowych flag mając 7 kolorów? Flaga ma mieć pionowe identycznej
szerokości pasy
W szafie jest
różnych par butów Na ile sposobów można je założyć?
Na ile sposobów można wybrać trzy osobowa delegację z grupy
osób?
Ile jest różnych liczb 4-cyfrowych? (oczywiście liczba z na początku nie jest 4-cyfrowa)
Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można ułożyć z wyrazu TOK?
Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można ułożyć z wyrazu BABA?
Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać
kart tak aby był wśród nich dokładnie jeden
as?
Na ile sposobów można ustawić na półce sześć książek tak aby dwie wybrane książki stały
obok siebie?
Spotkało się
osób Ile nastąpi powitań?
Na turnieju szachowym (w systemie każdy z każdym) rozegrano 42 partie Ilu było graczy?
Pewien wielokąt ma w sumie
boków i przekątnych Jaki to wielokąt?
Z talii liczącej 52 karty wyciągnięto jedną Jakie jest prawdopodobieństwo że jest to figura?
Rzucamy razy monetą Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia pod rząd identycznych
stron.
Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 7 oczek rzucając 2 kostkami do gry
Sześcian pomalowano a następnie pocięto na
jednakowych sześcianików Oblicz
prawdopodobieństwo że losowy sześcianik będzie miał pomalowane 2 ściany i
prawdopodobieństwo że ściany
Rzucamy 2 kostkami. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie parzystej liczby oczek na
każdej z kostek czy wyrzucenie co najmniej jednej szóstki?
Rzucono
razy kostką Oblicz prawdopodobieństwo że wylosowane liczby tworzą ciąg
arytmetyczny.
Losujemy
wierzchołki sześcianu Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trójkąta
równobocznego?
Losujemy 4 wierzchołki sześcianu Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania prostokąta?
Do windy na parterze wsiadły 4 osoby Oblicz prawdopodobieństwo że każda wysiądzie na
innym piętrze jeśli dom ma 5 pięter
Z sześciu odcinków o długościach
5
7 9 wybieramy trzy Oblicz prawdopodobieństwo
że uda się z nich zbudować trójkąt
W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne Losujemy dwie kule (jednocześnie) Oblicz
prawdopodobieństwo że obie będą białe
7 ponumerowanych kul wrzucono losowo do 7 ponumerowanych szuflad. Oblicz
prawdopodobieństwo że każda kula trafi do innej szuflady
Spośród n różnych punktów prostej wybrano losowo dwa punkty Jakie jest
prawdopodobieństwo że nie są to punkty sąsiednie?
*W szafie jest 5 par butów Wyciągamy losowo 4 buty Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
że nie wyciągniemy ani jednej pary