od podłogi do sufitu

Matematyka dyskretna
© Andrzej Łachwa, UJ, 2013
[email protected]
5/15
Uogólniony ciąg Fibonacciego
s0=A
s1=B
sn+2=a∙sn+1+b∙sn
x2‐ax‐b=0, przy b≠0, a≠0, nazywamy charakterystycznym równaniem tej rekurencji.
Przypadek 1: a≠0, b=0
ciąg ma postać A, B, aB, a2B, a3B, …
zatem sn=an∙s1, s0=A, s1=B
Przypadek 2: b≠0, a=0
ciąg ma postać A, B, Ab, Bb, Ab2, Bb2, …
zatem mamy dwa przeplatające się ciągi geometryczne Abk, Bbk.
Przypadek 3: b≠0, a≠0 i równanie ma dwa różne pierwiastki r1, r2. Wtedy rozwiązanie rekurencji ma postać sn=c1∙r1n + c2∙r2n (udowodnić indukcyjnie!)
gdzie stałe wyznacza się z warunków brzegowych
s0=c1 + c2 s1=c1∙r1 + c2∙r2 Przypadek 4: b≠0, a≠0 i równanie ma podwójny pierwiastek r0. Wtedy rozwiązanie rekurencji ma postać sn=c1∙r0n + c2∙n∙r0n (udowodnić indukcyjnie!)
gdzie stałe wyznacza się z warunków brzegowych
s0=c1 s1=c1∙r0 + c2∙r0 Przykład – rozwiązać rekurencję
s0=1
s1=8
sn+2=4∙sn+1 ─ 4∙sn
Równanie charakterystyczne ma postać x2‐4x+4=0, więc mamy
podwójny r0=2; warunki brzegowe 1=c1 oraz 8=c1∙2 + c2∙2 , czyli c1=1, c2 =3, a zatem:
sn=2n+3n∙2n
Zadanie
s0=2
s1=─1
sn+2=2∙sn+1 + 8∙sn
Podłoga i sufit
Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0):


w układzie dziesiętnym w układzie dwójkowym log (k)+1
lg (k)+1
220 = 104857610 = 1000000000000000000002 ma 21 cyfr
220 ‐1 = 104857510 = 111111111111111111112 ma 20 cyfr
lg (1048575) = 19,9999
log (1048575) = 6,020599499
7 cyfr
342035 = 3+0+2*25+4*125+3*625 = 242810
log5 (2428) +1 = 4,843 = 5 cyfr
log 5083495,424 = 6,7061624 7log (5083495,424)+1
lg(n)
N
0
1
1,585
2
2,322
2,585
2,807
3
3,170
3,322
6,644
9,966
13,288
16,610
19,932
log(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
10000
100000
1000000
0
0,301
0,477
0,602
0,699
0,778
0,845
0,903
0,954
1
2
3
4
5
6
Lematy
Dla n całkowitej i x rzeczywistej
n n = n 
x x 1gdy x nie jest całkowita
x 1x ≤x ≤ x x 1
x  x 
x n wtw n ≤ x < n1
x n wtw x1< n ≤ x
x  n wtw n1 <x ≤ n
x  n wtw x ≤ n < x+1
x+nx+ n
x<n wtw x n
n<x wtw n < x
x≤n wtw x≤ n n≤x wtw n ≤ x
Definicja części ułamkowej
{x} = x x
Przykłady
{‐5.23} = ‐5.23 (‐6) = 0.77
{6.14} = 6.14  6 = 0.14
Twierdzenie
Dla każdej x 0 podłoga z pierwiastka z podłogi z x to podłoga z pierwiastka z x. I podobnie dla sufitu.
Dowód dla podłogi
niech m = ∣√∣x∣∣ wtedy m ≤ √∣x∣ < m+1
podnosimy do kwadratu i mamy m2 ≤x< (m+1)2
teraz stosujemy dwa lematy i mamy m2 ≤x< (m+1)2
pierwiastkujemy m ≤ √ x < m+1
i stosujemy lemat, co daje m = ∣√ x ∣
Twierdzenie możemy uogólnić na dowolne funkcje rosnące, ciągłe i spełniające zależność „jeżeli f(x) całkowita to x całkowita”.
Twierdzenie
Dla każdych x, y rzeczywistych, x ≤ y,
przedział [x, y) zawiera dokładnie yx liczb całkowitych
przedział (x, y] zawiera dokładnie yx liczb całkowitych
Udowodnić i sformułować twierdzenia dla przedziałów obustronnie domkniętych i obustronnie otwartych.
Definicja
Widmem liczby rzeczywistej x nazywamy nieskończony zbiór liczb całkowitych z powtórzeniami:
Spec(x) = { x, 2∙x, 3∙x, 4∙x, 5∙x, ...} Przykłady
Spec(⅖) = {0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, ...}
Spec( √ 2 ) = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22,...}
Spec(2+ √ 2 ) = {3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, ...}
Ciągi
Ciągiem liczb rzeczywistych s(n) nazywamy funkcję s: N  R
i oznaczamy go stosując notację z indeksami (sn)nN , albo notację informatyczną s[n];
sn nazywamy n‐tym wyrazem ciągu s.
Często definiujemy ciąg jako funkcję o dziedzinie {m, m+1, m+2, …}, gdzie m jest liczbą całkowitą. Nie ograniczamy się również do wartości rzeczywistych, np.
dn = {mZ: m jest wielokrotnością n}
n = {w*: n jest długością słowa w}
fn = k=1..n k2 , np. f10 = k=1..10 k2 = 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 = 385
Zadania różne
Uzasadnij nZ: n/2 + n/2 = n
Narysuj funkcję x x/2 + x/2 dla xR
Narysuj funkcję x x – x dla xR
Rozwiąż równania: (3x‐2)/4 = (2x‐1)/5, (3x‐4)/5 = (2x‐1)/3.
Zapisz przy użyciu symboli sumy skończonej:
1 + (1 + ½) + … + (1 + ½ + … + 1/n).
Czy suma dwóch relacji równoważności w X jest równoważnością?
Udowodnij, że ∑
i=1..n ∑
(2i‐1)2 = i=1..n 1
2
⋅n⋅(4n −1)
3
∑
(2i‐1)3 = i=1..n n 2⋅(2n 2−1)
(2i‐1) = n2 Policz NWD(2890,850).
Policz NWD(479435,8415).
Znaleźć a, b takie, że 54a+135b=NWD(54,135)
Udowodnij, że NWD(x, y)=NWD(x, y‐x) dla y>x .
Udowodnij, że NWD(kx, ky)=k∙NWD(x, y).
Wykazać, że NWD(Fn+1, Fn )=1 dla wszystkich n ( Fn – liczby Fibonacciego)
Podaj wzór zwarty i wzór rekurencyjny na i‐tą liczbę trójkątną.
Udowodnij, ze 11 dzieli 26n+1+32n+2.
Udowodnij, że ∑
i=0..n i3 = (n(n+1)/2)2 .
Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów (A\B)B=A?
Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów AB= wtw A=B?
Wyznacz obraz zbioru {‐2, ‐1, 0} przez funkcję f:RR; f(x)=x2. Czy prawdą jest, że f(AB)=f(A)f(B) oraz f‐1(AB)=f‐1(A)f‐1(B)?
Operacją n‐argumentową w zbiorze X nazywamy funkcję z Xn w X. Czy +, −, ∙ i / są 2‐argumentowymi operacjami w R? Zdefiniuj 3‐argumentową operację o przepisie xn+y2+5.
Czy to prawda, że dla dowolnych R1, R2  X2 jest (R1  R2)‐1 = R1‐1  R2‐1?