[ ]1|1 - INFONA

PAK 6/ 2 0 0 6

51
Mariusz K R A J E W S K I
UNIWERSYTET ZIELONOGÓ RSK I, INSTYTUT M ETROLOGII ELEK TRYC ZNEJ
Analiza właściwości filtru Kalmana w pomiarze zespolonego
stosunk u napię ć
s t os u nku napię ć s inu s oid al ny c h o niez m ienny c h param et rac h .
Z aproponow ano m od y f ikac j ę f il t ru w t aki s pos ób , ab y m ożl iw y m
b y ł o ot rz y m anie j ak naj w ię ks z ej d okł ad noś c i es t y m ac j i m od u ł u
i argu m ent u z es pol onego s t os u nku napię ć . B ad ania prz eprow ad z ono s y m u l ac y j nie oraz d okonano d oś w iad c z al nej w ery f ikac j i
w y ników .
Mgr inż. Mariusz K R A J E W S K I
A b s o lw e n t W y d z ia łu
Z ie lo n o g ó rs k ie j (2 0 0
a s y s te n t w
In s ty tu
U n iw e rs y te tu
Z ie lo n
k o m p u te ro w e s y s te m
s y g n a łó w
i d o ś w ia d
s y m u la c ji.
E le k try c z n
1 ). O d
p a
c ie
M e tro lo
o g ó rs k ie g o .
y p o m ia ro w
c z a ln a w e ry
e g o
ź d z
g ii
Z a
e ,
fik a
P
ie rn
E
in te
p rz
c ja
o lite c
ik a
le k try
re so w
e tw a r
w y n
h n ik i
2 0 0 1
c z n e j
a n ia :
z a n ie
ik ó w
2 . F il t r K al man a
e-m a i l : M . K r a j ew s k i @ i m e. u z . z g o r a . p l
S tr e s z c z e n ie
W p rac y p rz e d s t aw i o n o an al i z ę w ł aś c i w o ś c i f i l t ru Kal m an a z as t o s o w an e g o w p o m i arz e z e s p o l o n e g o s t o s u n k u n ap i ę ć s i n u s o i d al n y c h . An al i z o w an o
w p ł y w w y b ran y c h p aram e t ró w p rz e t w arz an i a an al o g o w o -c y f ro w e g o o raz
p aram e t ró w al g o ry t m u n a d o k ł ad n o ś c i e s t y m ac j i m o d u ł u i arg u m e n t u
z e s p o l o n e g o s t o s u n k u n ap i ę ć s i n u s o i d al n y c h . W ł aś c i w o ś c i f i l t ru Kal m an a
p o ró w n an o z w ł aś c i w o ś c i am i m e t o d y n aj m n i e j s z y c h k w ad rat ó w ( M N K) .
Prz e d s t aw i o n o w y n i k i s y m u l ac j i k o m p u t e ro w y c h i b ad ań d o ś w i ad c z al n y c h .
A n al y sis o f K al man f il t e r p ro p e rt ie s
o n c o mp l e x v o l t ag e rat io me asure me n t
F il t r K al m ana s t os ow any j es t m ię d z y inny m i d o es t y m ac j i
c h w il ow y c h w art oś c i c z ę s t ot l iw oś c i [ 3 ] , c z y c h w il ow y c h w art oś c i
f az y [ 4 ] . W
niniej s z ej prac y ad opt ow any z os t ał d o es t y m ac j i
m od u ł u i argu m ent u z es pol onego s t os u nku napię ć s inu s oid al ny c h .
P od s t aw ą anal iz y s ą c ią gi prób ek d l a d w óc h s y gnał ów s inu s oid al ny c h u1(t) i u2(t) , kt óre w ogól ny m prz y pad ku m ożna z apis ać
w pos t ac i:
(2 )
u n = U m ⋅ sin(ω ⋅ (n − 1) ⋅ ∆t + ψ ) , n=1 , ..N,
gd z ie: Um – am pl it u d a s y gnał u , ω = 2 ⋅ π ⋅ f - pu l s ac j a, f – c z ę s t ot l iw oś ć s y gnał u , ∆t - okres prób kow ania, N – l ic z b a prób ek.
D l a s y gnał u s inu s oid al nego prz y j ę t o:
- w ekt or s t anu
A b str a c t
I n t h e p ap e r an al y s i s o f Kal m an f i l t e r p ro p e rt i e s o n c o m p l e x v o l t ag e rat i o
m e as u re m e n t are p re s e n t e d . I n f l u e n c e o f
c h o s e n an al o g t o d i g i t al
c o n v e rs i o n p aram e t e rs an d al g o ri t h m p aram e t e rs o n e s t i m at e ac c u rac y o f
t h e m ag n i t u d e an d arg u m e n t o f c o m p l e x
s i n u s o i d al v o l t ag e rat i o i s
an al y s e d . Kal m an f i l t e r p ro p e rt i e s are c o m p are d w i t h l e as t s q u are m e an
( L S M ) al g o ri t h m s p ro p e rt i e s . S i m u l at i o n e n d e x p e ri m e n t al re s u l t s are
d e s c ri b e d .
1 . W st ę p
X n = [U m ψ
ω ]T ,
(3 )
gd z ie [ ..] T – m ac ierz t rans ponow ana,
- m ac ierz s t anu
F = [1 0 0; 0 1 ∆t ; 0 0 1] .
O kreś l ono w aru nki poc z ą t kow e d l a n=0 :
- m ac ierz w arianc j i es t y m at ora proc es u
W y z nac z enie z es pol onego s t os u nku napię ć (1 ) j es t m ied z y inny m i prz y d at ne w prec y z y j ny c h pom iarac h im ped anc j i, prz ekł ad ni
d z iel ników , c z y b ad aniu c h arakt ery s t y k w z m ac niac z y . P om iary t e
m ogą b y ć w y kony w ane w oparc iu o m et od y c y f row e, gd z ie na
d okł ad ne w y z nac z enie z es pol onego s t os u nku napię ć m a w pł y w
prz et w arz anie anal ogow o-c y f row e j ak i al gory t m
c y f row ego
prz et w arz ania s y gnał ów .
KU =
U 1 U 1 j (ψ 1 −ψ 2 )
=
⋅e
= K U ⋅ e jϕ ,
U 2 U2
(1 )
gd z ie: ψ1, ψ2 – ką t y f az ow e napię ć s inu s oid al ny c h U 1 i U 2 ,
K U - m od u ł z es pol onego s t os u nku napię ć , ϕ - argu m ent z es pol onego s t os u nku napię ć .
N aj c z ę ś c iej s t os ow any m i w prec y z y j ny c h pom iarac h s ą al gory t m y opart e o m et od ę naj m niej s z y c h kw ad rat ów (M N K ) oraz
d y s kret ne prz eks z t ał c enie F ou riera (D F T ) [ 1 , 2 ] . Z as t os ow anie
t y c h al gory t m ów w pom iarac h im ped anc j i u m ożl iw ia es t y m ac j ę
s kł ad ow y c h im ped anc j i z b ł ę d em kil ku ppm . C el ow y m w y d aj e s ię
pos z u kiw anie al gory t m ów , kt óre u m ożl iw ią j es z c z e d okł ad niej s z e
w y z nac z enie z es pol onego s t os u nku napię ć . W prac y d okonano
s praw d z enia, j akie d okł ad noś c i m ożna ot rz y m ać d l a al gory t m u
opart ego o niel iniow y f il t r K al m ana, w porów naniu z M N K . F il t r
t en u m ożl iw ia, w s pos ób reku renc y j ny , es t y m ac j ę param et rów
s y gnał ów z m ienny c h w c z as ie [ 3 , 4 , 5 ] . N at om ias t w prac y anal iz ow ane s ą w ł aś c iw oś c i t ego al gory t m u w pom iarz e z es pol onego
(5 )
[
P0|0 = P0 = varu
gd z ie v a r
u,
v a r
ψ
0 0; 0 varψ
]
0; 0 0 0 ,
(6 )
– w arianc j a es t y m at ora proc es u am pl it u d y i f az y ,
- w ekt or s t anu ob iekt u
T
X 0|0 = [0 0 ω ] ,
(7 )
- w arianc j a z akł óc eń R.
W d al s z y m
c z ane s ą :
et apie kol ej no, c y kl ic z nie od n=1 d o n=N w y z na-
- es t y m at or m ierz onego s y gnał u :
uˆ n = h[ Xˆ n−1 ] = X n(1−)1 ⋅ sin( X n(3−1) ⋅ ∆t + X n( −21) ) ,
(4 )
gd z ie X ni −1 - i-t a s kł ad ow a w ekt ora s t anu w (n-1 ) m om enc ie c z as u ,
- m ac ierz w y j ś c ia
H=
[
]
∂h ˆ
X n −1|n −1 ,
∂X
(8 )
gd z ie ind eks n-1| n-1 oz nac z a, że j es t t o es t y m at a w c h w il i (n-1 ) , na
pod s t aw ie w y ników pom iarów z eb rany c h d o c h w il i (n-1 ) ,
52

- p rog noza s t anu
Xˆ n|n −1 = F ⋅ Xˆ n −1|n −1 ,
(9 )
- p rog noza k ow arianc j i s t anu:
Pn|n −1 = F ⋅ Pn −1|n −1 ⋅ F T ,
(10 )
- w zmoc nienie:
K = Pn|n −1 ⋅ H T ⋅ [ H ⋅ Pn|n −1 ⋅ H T + λ ⋅ R] −1 ,
(11)
g d zie λ - w s p ó ł c zy nnik zap ominania ( λ ≤ 1 ) ,
- b ł ą d p rog nozy p omiaru, d la p ró b k i s y g nał u un:
∆u = u n − uˆ n ,
(12 )
- k orek c j a p rog nozy s t anu – now a es t y mat a s t anu:
Xˆ n|n = Xˆ n|n −1 + K ⋅ ∆ u ,
(13 )
nie b ezw zg lę d ne arg ument u ∆ϕ i od c h y lenie s t and ard ow e mod uł u
σK i arg ument u σϕ zes p oloneg o s t os unk u nap ię ć .
B ad ana s y mulac y j ne i d oś w iad c zalne w y k onano d la s y g nał ó w
s inus oid alny c h
o amp lit ud ac h
Um1=Um2=1V, c zę s t ot liw oś c i
f = 1k H z , c zę s t ot liw oś c i p ró b k ow ania f p=16 k H z i lic zb ie zb ierany c h p ró b ek d la ob u k anał ó w N=8 0 . O t rzy mane w s t ę p nie w y nik i
b ad ań s y mulac y j ny c h d la s y g nał ó w s inus oid alny c h z s zumem
i ró żny c h p aramet ró w f ilt ru (λ, P0, R) w y k azał y , że b ard zo d uży
w p ł y w na d ok ł ad noś ć es t y mac j i zes p oloneg o s t os unk u nap ię ć ,
z zas t os ow aniem f ilt ru K almana, ma w s p ó ł c zy nnik zap ominania
λ. N a ry s . 2 . p rzed s t aw iono w y b rane w y nik i s y mulac j i d la s y g nał u
z s zumem o rozk ł ad zie ró w nomierny m, o amp lit ud zie A=0 ,0 1V
i zad anej f azie mied zy s y g nał ami ϕ=6 0 °. D la p oró w nania p rzed s t aw iono t ak że w y nik i b ad ań d la met od y naj mniej s zy c h k w ad rat ó w o znanej c zę s t ot liw oś c i (M N K ) [ 6 ] . Z analizy t y c h rezult at ó w
b ad ań w y nik a, że d la λ b lis k ieg o 1 nas t ę p uj e b ard zo d uży w zros t
b ł ę d ó w es t y mac j i f ilt ru K almana. W y nik a t o z f ak t u, że w s p ó ł c zy nnik zap ominania od p ow ied zialny j es t za t o ile os t at nic h w y nik ó w p omiaru uw zg lę d niany c h j es t w ob lic zeniac h es t y mat oró w .
D la λ b lis k ieg o 1 p amię t any j es t t ak że p oc zą t k ow y w ek t or s t anu
ob iek t u, k t ó ry ma w art oś c i zerow e d la amp lit ud y i f azy s y g nał u,
c o p ow od uj e b ard zo d uże b ł ę d y es t y mac j i.
a )
- k orek c j a p rog nozy k ow arianc j i s t anu:
Pn|n = [ Pn|n −1 − K ⋅ H ⋅ Pn|n −1 ] / λ .
PAK 6/ 2 0 0 6
(14 )
O s t at ec znie es t y mat ory amp lit ud y i f azy ok reś lone s ą d la n = N
zależnoś c iami:
(15 )
Uˆ m = X N(1|)N ,
ψˆ = X N( 2|N) − ( N − 1) ⋅ ∆t ⋅ ω .
(16 )
b )
N at omias t es t y mat or mod uł u i arg ument u zes p oloneg o s t os unk u
nap ię ć u1(t) i u2(t) można zap is ać :
Uˆ
Kˆ = m1 ,
Uˆ m 2
ϕˆ = ψˆ 1 −ψˆ 2 .
(17 a, 17 b )
3. W y n i k i b a d a ń
A naliza w ł aś c iw oś c i f ilt ru K almana w p omiarze zes p oloneg o
s t os unk u nap ię ć p rzep row ad zona zos t ał a w op arc iu o uk ł ad p omiarow y p rzed s t aw iony na ry s .1. B ad ania p rzep row ad zono s y mulac y j nie i d oś w iad c zalnie. P omiary w y k onano z zas t os ow aniem
w olt omierza p ró b k uj ą c eg o, op rog ramow aneg o w
ś rod ow is k u
L ab W ind ow s , k t ó ry p ró b k ow ał s ek w enc y j nie s y g nał y z d w ó c h
g enerat oró w . G enerat ory p rac ow ał y w t ry b ie s y nc h ronic zny m,
a s y g nał s y nc h ronizac j i g enerat ora od nies ienia (g enerat or 1) s t erow ał p rzeł ą c znik iem P i w olt omierzem.
R y s. 2 .
F ig . 2 .
B ł ę d y e s t y m a cj i z e s p ol one g o s t os u nk u na p i ę ć w
a ) B ł ą d w z g l ę d ny obci ą ż e ni a i od ch y l e ni e s t a nd
K a l m a na δK_FILTR, σK_FILTR i M N K δK_M N K, σK_M N
obci ą ż e ni a i od ch y l e ni e s t a nd a r d ow e a r g u m e nt u
∆ϕ_FILTR, ∆ϕ_FILTR i M N K ∆ϕ_M N K, ∆ϕ_M N K
E s t i m a t e e r r or s of com p l e x v ol t a g e r a t i o a s a f u
a ) r e l a t i v e bi a s e r r or a nd s t a nd a r d d e v i a t i on of m
f i l t e r δK_FILTR, σK_FILTR a nd L S M δK_M N K, σK_M N K;
s t a nd a r d d e v i a t i on of a r g u m e nt f or K a l m a n f i l t e
L S M ∆ϕ_M N K, ∆ϕ_M N K
f u nk cj i w
a r d ow e m
K; b) B ł ą d
d la filtru
s p ó ł cz y nni k a λ:
od u ł u d l a f i l t r u
be z w z g l ę d ny
K a l m a na
nct i on of coe f f i ci e nt λ:
a g ni t u d e f or K a l m a n
a ) a bs ol u t e bi a s e r r or a nd
r ∆ϕ_FILTR, ∆ϕ_FILTR a nd
P oniew aż w p ł y w p oc zą t k ow eg o w ek t ora s t anu j es t is t ot ny , aut or
w c elu p op raw y d ok ł ad noś c i es t y mac j i zap rop onow ał zas t os ow anie p od w ó j nej f ilt rac j i f ilt rem K almana d la t y c h s amy c h p ró b ek
s y g nał ó w . D ział anie p od w ó j nej f ilt rac j i p oleg a na w y k onaniu
d w ó c h et ap ó w es t y mac j i zes p oloneg o s t os unk u nap ię ć . W p ierw s zy m et ap ie w y k ony w any j es t alg ory t m z f ilt rem K almana d la
0
T
X 0|0 = [0 0 ω ] , λ = λ0 , varu = varu0 , varψ = varψ , R= R0, w y niR y s. 1 .
F ig . 1 .
U p r os z cz ony s ch e m a t u k ł a d u p om i a r ow e g o
S i m p l i f i e d d i a g r a m of t h e m e a s u r i ng ci r cu i t
P rzep row ad zone b ad ania d ot y c zy ł y w p ł y w u p aramet ró w f ilt ru
K almana, s zumu, niep op raw nej znaj omoś c i c zę s t ot liw oś c i s y g nał ó w s inus oid alny c h i s zerok oś c i ok na p omiarow eg o na d ok ł ad noś ć
es t y mac j i zes p oloneg o s t os unk u nap ię ć . J ak o miarę nied ok ł ad noś c i p rzy j ę t o ob c ią żenie w zg lę d ne es t y mat ora mod uł u δK, ob c ią że-
k iem k t ó reg o s ą es t y mat ory Uˆ m0 , ψˆ 0 . W d rug im et ap ie w y k ony w any j es t p onow nie t en s am alg ory t m, d la t y c h s amy c h p ró b ek
s y g nał ó w ,
ale
d la
inny c h
w arunk ó w
p oc zą t k ow y c h
T
1
1
0
0
ˆ
X 0|0 = U m ψˆ − ∆t ⋅ ω ω , λ = λ , varu = varu , varψ = varψ1 ,
R= R1. W w y nik u ot rzy muj e s ię es t y mat ory Uˆ 1 , ψˆ 1 . O s t at ec znie
[
]
m
es t y mat or mod uł u i arg ument u można zap is ać w p os t ac i:
PAK 6/ 2 0 0 6

1
1
Uˆ 1
Kˆ = 1m1 , ϕˆ = ψˆ 1 − ψˆ 2 .
ˆ
U m2
K
r ytm
w c z
w ar
ol ej ne b adania p r z ep r
u z p odw ó j ną f il tr ac
eś niej . N a p ods taw ie
unk i p oc z ą tk ow e:
53
a)
( 18 a, 18 b )
ow adz ono anal iz uj ą c w ł aś c iw oś c i al g oj ą . P ar am etr y s yg nał ó w b ył y tak ie j ak
anal iz w yb r ano os tatec z nie nas tę p uj ą c e
varu0 = varψ0 = R 0 = 0,0001V ,
λ0=0 ,8 ,
varu1 = varψ1 = 0,0001V , R1=0 ,0 0 0 0 1V. N a r ys . 3 . p r z eds taw iono
w ynik i b adań s ym ul ac yj nyc h ob c ią ż enia es tym ator ó w m oduł u
i f az y or az odc h yl enia s tandar dow e tyc h es tym ator ó w w f unk c j i
w s p ó ł c z ynnik a z ap om inania λ1. W ynik i p or ó w nane z os tał y
z w ynik am i otr z ym anym i dl a M N K . N a p ods taw ie otr z ym anyc h
w ynik ó w m oż na w yw nios k ow ać , ż e naj l ep s z e w ynik i es tm ac j i
z es p ol oneg o s tos unk u nap ię ć otr z ym uj e s ię dl a λ1=1. P oz a tym
w ynik i dl a λ1=1 s ą niem al identyc z ne j ak dl a M N K . R ó ż nic e s ą
p om ij al nie m ał e. P otw ier dz one to z os tał o tak ż e doś w iadc z al nie.
b)
a)
R y s. 4 .
F ig . 4 .
b)
B ł ę d y es t y m acj i zes p o l o n eg o s t o s u n k u n ap i ę ć w f u n k cj i R1 d l a ∆f=-1 H z,
λ1=1 : a) B ł ą d w zg l ę d n y o b ci ą ż en i a i o d ch y l en i e s t an d ard o w e m o d u ł u
d l a f i l t ru K al m an a δK _ F I L T R , σK _ F I L T R i M N K δK _ M N K , σK _ M N K ; b ) B ł ą d
b ezw zg l ę d n y o b ci ą ż en i a i o d ch y l en i e s t an d ard o w e arg u m en t u d l a
f i l t ru K al m an a ∆ϕ_ F I L T R , ∆ϕ_ F I L T R i M N K ∆ϕ_ M N K , ∆ϕ_ M N K
E s t i m at e erro rs o f co m p l ex v o l t ag e rat i o as a f u n ct i o n o f R1: a) rel at i v e b i as
erro r an d s t an d ard d ev i at i o n o f m ag n i t u d e f o r K al m an f i l t erδK _ F I L T R , σK _ F I L T R
an d L S M δK _ M N K , σK _ M N K ; a) ab s o l u t e b i as erro r an d s t an d ard d ev i at i o n o f
arg u m en t f o r K al m an f i l t er ∆ϕ_ F I L T R , ∆ϕ_ F I L T R an d L S M ∆ϕ_ M N K , ∆ϕ_ M N K
K ol ej ne anal iz y dotyc z ył y w p ł yw u s z er ok oś c i ok na p om iar ow eg o na dok ł adnoś c i es tym ac j i z es p ol oneg o s tos unk u nap ię ć .
P r z ep r ow adz ono b adania s ym ul ac yj ne i doś w iadc z al ne, z m ieniaj ą c s z er ok oś ć ok na p om iar ow eg o p op r z ez z m ianę l ic z b y p r ó b ek
w z ak r es ie N=7 2 ..8 8 . O s tatec z nie s tw ier dz ono, ż e w ynik i dl a f il tr u
K al m ana i M N K s ą tak ż e p odob ne do s ieb ie dl a R1<v a r u=v a r ψ
i λ1=1.
4. P o d s u m o w a n i e
R y s. 3 .
F ig . 3 .
B ł ę d y es t y m acj i zes p o l o n eg o s t o s u n k u n ap i ę ć w f u n k cj i w s p ó ł czy n n i k a λ1
d l a R1=0 , 0 0 0 0 1 V: a) B ł ą d w zg l ę d n y o b ci ą ż en i a i o d ch y l en i e s t an d ard o w e
m o d u ł u d l a f i l t ru K al m an a δK _ F I L T R , σK _ F I L T R i M N K δK _ M N K , σK _ M N K ;
b ) B ł ą d b ezw zg l ę d n y o b ci ą ż en i a i o d ch y l en i e s t an d ard o w e arg u m en t u
d l a f i l t ru K al m an a ∆ϕ_ F I L T R , ∆ϕ_ F I L T R i M N K ∆ϕ_ M N K , ∆ϕ_ M N K
E s t i m at e erro rs o f co m p l ex v o l t ag e rat i o as a f u n ct i o n o f co ef f i ci en t λ1
f o r R1=0 , 0 0 0 0 1 V: a) rel at i v e b i as erro r an d s t an d ard d ev i at i o n o f m ag n i t u d e
f o r K al m an f i l t erδK _ F I L T R , σK _ F I L T R an d L S M δK _ M N K , σK _ M N K ; a) ab s o l u t e
b i as erro r an d s t an d ard d ev i at i o n o f arg u m en t f o r K al m an f i l t er ∆ϕ_ F I L T R ,
∆ϕ_ F I L T R an d L S M ∆ϕ_ M N K , ∆ϕ_ M N K
N as tę p ne b adania dotyc z ył y anal iz y w p ł yw u odc h ył k i c z ę s totl iw oś c i nom inal nej s yg nał ó w na dok ł adnoś c i es tym ac j i z es p ol oneg o s tos unk u nap ię ć . B adania s ym ul ac yj ne i p om iar y w yk onano
dl a c z ę s totl iw oś c i f, p r z yj ę tej do ob l ic z eń , ob ar c z onej b ł ę dem ∆f.
N a r ys . 4 . p r z eds taw iono w yb r ane w ynik i, otr z ym ane na p ods taw ie p om iar ó w r z ec z yw is tyc h , b ł ę dó w es tym ac j i z es p ol oneg o
s tos unk u nap ię ć w f unk c j i R1, dl a λ1=1 i ∆f=-1H z . N a p ods taw ie
otr z ym anyc h w ynik ó w w yw nios k ow ano, ż e na dok ł adnoś ć es tym ac j i w p ł yw m a tak ż e w p r ow adz ana do al g or ytm u w ar toś ć w ar ianc j i z ak ł ó c eń R1. M oż na z auw aż yć , ż e naj l ep s z e dok ł adnoś c i
es tym ac j i z es p ol oneg o s tos unk u nap ię ć otr z ym uj e s ię dl a
R1<v a r u=v a r ψ. W odw r otnym p r z yp adk u odc h yl enie s tandar dow e
es tym ator a m oduł u i ar g um entu m al ej e, al e k os z tem ob c ią ż enia
es tym ator ó w . P oz a tym naj l ep s z e w ynik i es tym ac j i s ą p odob ne do
w ynik ó w dl a M N K . P oniew aż b adania p r z ep r ow adz ono dl a odc h ył k i od c z ę s totl iw oś c i nom inal nej w yw nios k ow ano, ż e odc h ył k a
m a j ednak ow y w p ł yw na dok ł adnoś c i es tym ac j i M N K i al g or ytm u
z f il tr em K al m ana, dl a R1<v a r u=v a r ψ i λ1=1. O tr z ym ane w ynik i
p om iar ó w b ył y p otw ier dz eniem w ynik ó w s ym ul ac j i.
P r z ep r ow adz one b adania s ym ul ac yj ne i doś w iadc z al ne w s k az uj ą , ż e naj l ep s z e w ynik i dl a f il tr u K al m ana, z as tos ow aneg o
w p om iar z e z es p ol oneg o s tos unk u nap ię ć , s ą p odob ne do w ynik ó w otr z ym anyc h p r z y z as tos ow aniu m etody naj m niej s z yc h k w adr ató w ( M N K ) . O tr z ym ane b ł ę dy es tym ac j i p od w p ł yw em z ak ł ó c eń , odc h ył k i c z ę s totl iw oś c i nom inal nej i s z er ok oś c i ok na p om iar ow eg o dl a al g or ytm u op ar teg o o f il tr K al m ana, o naj l ep s z yc h
j eg o p ar am etr ac h , s ą p or ó w nyw al ne z otr z ym anym i dl a M N K .
5 . L ite r a tu r a
[1] G . R a m m , H . M os e r : F r om t h e C a l c u l a b l e A C R e s i s t or t o C a p a c i t or
D i s s i p a t i on F a c t or D e t e r m i n a t i on on t h e B a s i s of T i m e C on s t a n t s .
IEEE T r a n s . O n In s t r . A n d M e a s . ; v ol . 5 0 , n r 2 , 2 0 0 1.
[2 ] U. P og l i a n o: P r e c i s i on M e a s u r e m e n t of A C V ol t a g e B e l ow 2 0 H z a t
IEN . IEEE T r a n s . O n In s t r . A n d M e a s . , v ol . 4 6 , n r 2 , 19 9 7 .
[3 ] D a s h , P . K . ; J e n a , R . K . ; P a n d a , G . ; R ou t r a y , A . : A n e x t e n d e d c om p l e x
K a l m a n f i l t e r f or f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t of d i s t or t e d s i g n a l s . IEEE
T r a n s . O n In s t r . A n d M e a s . ; v ol . 4 9 , n r 4 , 19 9 7 .
[4 ] J . G a j d a , R . S r oka : P om i a r y ką t a f a z ow e g o – m e t od y – u kł a d y –
a l g or y t m y . W y d z i a ł El e kt r ot e c h n i ki , A u t om a t y ki , In f or m a t y ki
i El e kt r on i ki A G H , K r a kó w 2 0 0 0 .
[5 ] T . P . Z i e l i ń s ki : C y f r ow e p r z e t w a r z a n i e s y g n a ł ó w – od t e or i i d o
z a s t os ow a ń . W K Ł , W a r s z a w a 2 0 0 5 .
[6 ] M . K r a j e w s ki : P or ó w n a n i e w ł a ś c i w oś c i D F T i M N K w p om i a r z e
z e s p ol on e g o s t os u n ku n a p i ę ć . K on g r e s M e t r ol og i i . W r oc ł a w 2 0 0 4 .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Artykuł recenzowany