lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność

lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ
ROK XLVII NR 1 (164) 2006
Tadeusz Dąbrowski
LOKALNY UKŁAD ORIENTACJI
ŻYROSKOPU LASEROWEGO
I JEGO DOKŁADNOŚĆ
STRESZCZENIE
W artykule przedstawiono koncepcję kinematycznego układu orientacji w przestrzeni.
Kinematyczny lokalny układ orientacji nie jest układem absolutnym w ujęciu Newtonowskim. Jest
natomiast związany z ruchem obrotowym bryły Ziemi.
WSTĘP
Definicja współcześnie obowiązującego w geodezji i nawigacji układu odniesienia oraz definicja powierzchni odniesienia stanowiąca przybliżony kształt
Ziemi ściśle związana jest z polem siły ciężkości Ziemi.
Siła ciężkości jest wypadkową siły grawitacji i siły odśrodkowej i w geodezji umożliwia definiowanie powierzchni poziomych i wysokości oraz orientowanie
przestrzeni.
Podstawowymi układami odniesienia stosowanymi w geodezji są: lokalny
układ horyzontalny, wyznaczony za pomocą osi i płaszczyzn skalibrowanych instrumentów obserwacyjnych, układ współrzędnych naturalnych (globalnych astronomicznych) oraz układ współrzędnych globalnych.
Układ współrzędnych naturalnych określony jest przez wartość chwilowego
kierunek położenia osi ziemskiej w przestrzeni, która to oś przechodzi przez środek
mas Ziemi oraz płaszczyzny południka i równika astronomicznego. W układzie tym
dokonuje się obserwacji astronomicznych dla wyznaczenia współrzędnych pozycji
punktu na powierzchni Ziemi.
Układ współrzędnych globalnych, nazywany umownym układem ziemskim
(konwencjonalnym), (CTS – Conventional Terrestial System lub TRS – Terrestial
Reference System) ma swój początek w środku mas Ziemi a oś Oz tego układu
43
Tadeusz Dąbrowski
pokrywa się ze średnią osią obrotu Ziemi i skierowana jest w kierunku północy
rzeczywistej (ruch bieguna śledzony jest przez międzynarodowe służby IERS –
International Earth Rotation Service). Płaszczyzny południka i równika astronomicznego wyznaczone są tutaj poprzez płaszczyzny średniego południka i równika
ziemskiego.
Wprowadzona płaszczyzna odniesienia modelująca kształt Ziemi jest elipsoidą obrotowa spłaszczoną. Parametry elipsoidy (GRS’80) zostały określone definicjami Geodezyjnego Systemu Odniesienia 1980 i przyjęte na XVII Zgromadzeniu
Centralnym Międzynarodowej Unii Geodezji i Geofizyki w Canberze (grudzień
1979 r.
Opracowana na zlecenie US Departament of Defence przez DMA – Defence
Mapping Agency, elipsoida WGS-84 wykorzystywana dla potrzeb systemu GPS
różni się w tak niewielkim stopniu od elipsoidy GRS’80, że uznano je tożsame. Dokładność takiego modelu sięga ± 0,1 m wyznaczenia wysokości geoidy. Wprowadzenie następnych modeli przybliżających kształt Ziemi związane jest z dalszym
modelowaniem pola ciężkości w skali lokalnej dla poszczególnych państw [1].
Przy obliczeniach wykorzystujących elipsoidę GRS’80/GPS-84 należy pamiętać, że satelitarne metody wyznaczenia spłaszczenia Ziemi α i dużej półosi a
elipsoidy, aproksymującej geoidę na obszarze całej Ziemi, zgodnie z Geodetic Reference System 1980, Moritz, 1984 [1], pozwoliły na następujące wyznaczenie dokładności parametrów elipsoidy:
duża półoś elipsoidy = 6378137 m ± 3 m
−
a
−
α spłaszczenie biegunowe = 298,257 ± 5 ⋅ 10 −6 .
Możliwość pomiaru pola siły ciężkości umożliwiło poznanie przybliżonego
kształtu Ziemi już ponad 200 lat temu a podwaliny do tego stworzył Newton formułując prawo powszechnej grawitacji oraz Cavendish wyznaczając stałą grawitacji
w 1798 r.
Czy istnieje zatem możliwość wyznaczenia współrzędnych pozycji i wektora ruchu jednostki w przestrzeni, w układzie, który nie jest związanym z polem siły
ciężkości Ziemi (którego model jest bardzo skomplikowany do wyznaczenia), czyli
w układzie niezwiązanym z modelem elipsoidy jako powierzchni odniesienia? I czy
zasadne jest definiowanie takiego układu?
44
Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność
UKŁAD ORIENTACJI W PRZESTRZENI I JEGO DOKŁADNOŚĆ
Układ orientacji układu współrzędnych związany ze środkiem mas Ziemi
jest w pewnym sensie układem Newtonowskim opierającym się na wyznaczeniu
przestrzeni absolutnej i czasu absolutnego. Równaniem matematycznym wiążącym
przestrzeń i czas jest równanie drogi obiektu:
∆s = v ⋅ ∆t
(1)
zdefiniowane przez Galileusza. Miarą ruchu obiektu jest jego prędkość:
v=
∆s
.
∆t
(2)
Aby równanie (2) było określone z matematycznego punktu widzenia wymagane jest określenie drogi ∆s , po której przemieszcza się obiekt. Zdefiniowanie
określonego odcinka drogi ∆s wymaga ustalonego układu odniesienia wraz z określeniem początku układu o współrzędnej zerowej. Określenie prędkości przemieszczającego się obiektu jest zatem obciążone dodatkowym błędem wynikającym
z dokładności przyjętego układu współrzędnych (przemieszczania się początku
układu w czasoprzestrzeni).
Koncepcja czasu absolutnego upadła w momencie, w którym okazało się, że
prędkość światła jest wartością skończoną. Konsekwencją tego zjawiska jest (zgodnie z postulatami Einsteina) istnienie czasu lokalnego i brak układu odniesienia absolutnego. Zamiany współrzędnych pomiędzy różnymi układami odniesienia
dokonuje się za pomocą wzorów transformacyjnych Lorentza.
Dzisiejszy stan wiedzy pozwolił na wprowadzenie definicji długości 1 metra, czyli odcinka drogi ∆s , którego wyznaczenie nie wymaga zdefiniowania układu
odniesienia. Jeden metr jest to droga jaką przebywa fala elektromagnetyczna
w próżni, w czasie ∆t =
1
s – według Recommendation CI-1997.
299798458
Oznacza to że możliwe jest wyznaczenie odległości dwóch punktów w przestrzeni
bez definiowania bezwzględnego układu odniesienia względem którego wyznacza
się odległość tych punktów. Albo innymi słowy: istnieje możliwość zdefiniowania
dowolnego układu lokalnego, którego początkiem jest dowolnie obrany (a nie
wyznaczony np. środkiem mas Ziemi) punkt pozycji obiektu i możliwe jest zatem
wyznaczenie współrzędnych pozycji i ruchu jednostki w tym układzie. Jeżeli obiekt
1 (164) 2006
45
Tadeusz Dąbrowski
będzie przemieszczał się po powierzchni Ziemi to możliwe jest odtworzenie rzeczywistego kształtu Ziemi w tym układzie z dokładnością nieobciążoną potrzebą
lokalizowania punktu środka mas Ziemi i błędów związanych z jego wyznaczeniem.
DOKŁADNOŚĆ ŻYROKOMPASU LASEROWEGO
Nawigacja na przestrzeni wieków pełniła zawsze funkcję integracyjną osiągnięć podstawowych dyscyplin naukowych takich jak: matematyka, fizyka, geodezja, itp. Osiągnięcia wieku XX pozwalają na wykorzystanie postulatów Einsteina
dotyczących propagacji fali elektromagnetycznej w próżni a właściwie zdefiniowanie tej prędkości jako stałej fizycznej. Zgodnie z tymi postulatami prędkość propagacji fali elektromagnetycznej ma wartość stałą i nie zależy od prędkości źródła ani
od prędkości obserwatora.
Powyższe postulaty stanowiły podstawę do zdefiniowania założeń do budowy urządzenia pomiarowego, żyroskopu laserowego dwuczęstotliwościowego
z transformacją Lorentza. Budowa urządzenia i zasada działania opisana została m.
in. w [4], [5]. Określenie pozycji obiektu, według założeń teoretycznych, wyznaczone na podstawie pomiaru zmiany częstotliwości fali elektromagnetycznej przemieszczającego się układu pomiarowego określana będzie z dokładnością co
najmniej 10 −11 sekundy kątowej.
Dla urządzeń pomiarowych charakteryzujących się możliwością wyznaczania przesunięć kątowych obiektów rzędu 10 −11 sekundy kątowej dokładność wyznaczania modelu Ziemi jakim jest elipsoida WGS-84 jest niewystarczająca a same
urządzenia pomiarowe mogą służyć raczej do weryfikacji (kontroli i aktualizacji)
wartości parametrów określających model Ziemi jakim jest wspomniana elipsoida.
Taka dokładność wyznaczania przesunięć kątowych obiektu pozwala na
zdefiniowanie kinematycznego, lokalnego układu orientacji w przestrzeni [2], [3].
Lokalnego, dlatego że początek układu może zostać zdefiniowany w dowolnym
punkcie na powierzchni Ziemi. Kinematycznego, dlatego że opiera się na kinematyce bryły sztywnej, za którą w założeniach służących do zdefiniowania układu uznano Ziemię.
Nawet jeżeli dokładności pozycji obiektu uzyskiwane za pomocą układu
pomiarowego żyroskopu laserowego dwuczęstotliwościowego [4], [5], które w oparciu o stworzoną teorię zostaną potwierdzone eksperymentalnie podczas badań prototypu urządzenia, są być może za duże dla realizacji podstawowych zadań
46
Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność
wykonywanych przez okręty w morzu, to jeden zasadniczy aspekt ma tutaj znaczenie
niepodważalne. Układ pomiarowy żyroskopu laserowego jest urządzeniem w pełni
autonomicznym. Z pewnością wykorzystanie go w nawigacji zapoczątkuje proces,
w którym zastosowanie żyroskopu w innych dziedzinach wiedzy, w tym przede
wszystkim w geodezji, okaże się daleko bardziej uzasadnione. Niemniej jednak,
wykorzystanie tego typu urządzeń w nawigacji morskiej może praktycznie wyeliminować człowieka (w sensie popełnianych przez niego błędów) z procesu prowadzenia
nawigacji precyzyjnej, jak: manewrowanie w portach, na akwenach ograniczonych
czy ścieśnionych, nie wspominając całej gamy zastosowań militarnych.
LOKALNY UKŁAD ORIENTACJI ŻYROSKOPU LASEROWEGO
Wprowadźmy lokalny układ orientacji współrzędnych jak na rysunku 1.
zK
ωZ
rK
xK
PK
yK
R
MZ
Rys. 1. Lokalny układ orientacji współrzędnych
Zgodnie z oznaczeniami dla czasu t K – moment kalibracji układu pomiarowego żyroskopu laserowego:
•
ωZ
MZ
•
PK
punkt chwilowego środka mas Ziemi, przy założeniu, że przechodzi przez niego chwilowe położenie osi Ziemi;
punkt na powierzchni Ziemi, punkt kalibracji układu pomiaro-
(x K ,
wego żyroskopu laserowego – początek lokalnego układu
współrzędnych;
osie lokalnego układu współrzędnych;
•
•
chwilowe położenie osi Ziemi;
yK , zK )
1 (164) 2006
47
Tadeusz Dąbrowski
•
rK
odległość punktu kalibracji PK (początku lokalnego układu współrzędnych) od osi Ziemi - ω Z ;
•
R
wartość chwilowej odległości pomiędzy punktem środka mas Ziemi
M Z a punktem kalibracji układu pomiarowego żyroskopu laserowego PK .
Oś PK z K jest równoległa do osi Ziemi ω Z i leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez oś Ziemi ω Z i punkt kalibracji układu pomiarowego PK .
Oś PK y K leży w płaszczyźnie równoleżnikowej Ziemi jest prostopadła do
osi PK z K oraz do osi PK x K .
Oś PK x K wyznaczona jest przez przecięcie płaszczyzn: równoleżnikowej
Ziemi PK y K oraz płaszczyzny wyznaczonej przez oś Ziemi i punkt PK - PK z K .
Współrzędne punktu kalibracji układu pomiarowego żyroskopu laserowego
w lokalnym układzie orientacji wynoszą PK = (0, 0, 0) . Współrzędne te w układzie
współrzędnych prostokątnych związanych w z układem WGS-84 mają następującą
postać: PK (0, 0, 0 ) = PK ( x E , y E , z E ) . Współrzędne punktu kalibracji układu
pomiarowego możemy wyznaczyć w układzie elipsoidy WGS-84, dokonując następującej transformacji współrzędnych:
zE
PK
OE ϕ
λ
xE
zE
yE
xE
yE
Rys. 2. Układ współrzędnych prostokątnych i geocentrycznych
48
Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność
x E = ( N + H ) cos B cos L
y E = (N + H ) cos B sin L ,
( (
)
(3)
)
z E = N 1 − e 2 + H sin B
gdzie: ( x E , y E , z E ) – współrzędne punktu kalibracji układu pomiarowego w ukła-
B , L, H
dzie współrzędnych prostokątnych;
– współrzędne geodezyjne punktu kalibracji układu pomiarowego.
Wzory redukcyjne współrzędnych pozycji obserwowanych wyznaczone
metodami astronomii geodezyjnej ϕ ' , λ ' i ich transformację na elipsoidę WGS-84
możemy wyrazić jako [1]:
B = ϕ '+δ ϕ + δ B
L = λ '+δ λ + δ L
,
(4)
gdzie: δ B = −(ξ gr + ∆ξ ) ;
δ L = −(η gr + ∆η ),
gdzie: ξ gr ,η gr , ∆ξ , ∆η – grawimetryczne i względne odchylenia pionu;
ϕ = ϕ '+δ ϕ
,
λ = λ '+δ λ
gdzie: δ ϕ , δλ
ϕ ', λ '
– parametry uwzględniające krzywiznę linii pionu;
– współrzędne obserwowane przy wykorzystaniu metod astronomii geodezyjnej;
1 (164) 2006
H = PK − PE
– wysokość normalna otrzymywana przy wykorzy-
N = PG − PE
staniu wzoru (4);
– wysokość geoidy nad elipsoidą.
49
Tadeusz Dąbrowski
(ϕ , λ ) (ϕ ' , λ ')
(B, L)
linia pionu
W = const.
ε
Θ
PK
H
Θ = ξ 2 +η2
geoida
fizyczna
powierzchnia
Ziemi
PG
N
PE
elipsoida
odniesienia
Rys. 3. Współrzędne pozycji układu pomiarowego [1]
WNIOSKI
Wykorzystanie urządzeń pomiarowych charakteryzujących się możliwością
wyznaczania przesunięć kątowych obiektów rzędu 10 −11 sekundy kątowej umożliwia zdefiniowanie niezależnego od pola siły ciężkości Ziemi układu lokalnego do
wyznaczania współrzędnych pozycji i ruchu jednostki. O ile taka dokładność określania współrzędnych pozycji i wektora ruchu jednostki jest zbyt wysoka dla
klasycznych zadań realizowanych w nawigacji morskiej, to może się sprawdzić
w zadaniach nawigacji precyzyjnej, jak manewrowanie w portach, na akwenach
ograniczonych czy ścieśnionych, oraz w całej gamie zastosowań militarnych, gdzie
pierwszoplanowe znaczenie ma autonomiczność systemu.
Dokładność wyznaczania pozycji w takim układzie może służyć do weryfikacji (kontroli i aktualizacji) wartości parametrów określających model Ziemi, jakim
jest elipsoida WGS-84.
50
Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność
Pełne wykorzystanie możliwości, jakie stworzyły systemy satelitarne, rozłożyło się na dziesiątki lat. Eksperymentalne potwierdzenie założeń teoretycznych
wyznaczania pozycji z określoną dokładnością ( 10 −11 sekundy kątowej) przez wykorzystanie do tego celu żyroskopu laserowego dwuczęstotliwościowego stworzy
zupełnie nowe możliwości wykorzystania systemu.
Począwszy od zastosowań w nawigacji precyzyjnej: nawodnej, podwodnej,
lądowej i powietrznej, żyroskop laserowy będzie można wykorzystać do zastosowań
geodezyjnych: badań ruchów tektonicznych, pływów kontynentalnych, parametrów
określonych modeli matematycznych Ziemi itp., a także telekomunikacyjnych, górnictwa i dla zabezpieczenia ogólnie pojętej bezpiecznej działalności człowieka na
lądzie, w powietrzu, na i pod wodą.
BIBLIOGRAFIA
[1]
Czarnecki K., Geodezja współczesna w zarysie, „Wiedza i Życie”, 1996,
Warszawa.
[2]
Dąbrowski T., Influence of a reference system on the accuracy of a ship’s
position, VIII International Maritime Conference: Safety of Surface, Subsurface and Flight over the Sea Aspects, Gdynia 2005, „Polish Journal of Environmental Studies”, 2005, Olsztyn, pp. 26 – 29.
[3]
Kowalski H., Galiński J., Dąbrowski T., Accuracy of the fix-further prospect,
VIII International Maritime Conference: Safety of Surface, Subsurface and
Flight over the Sea Aspects, Gdynia 2005, „Polish Journal of Environmental
Studies”, 2005, Olsztyn, pp. 59 – 63.
[4]
Kowalski H., Galiński J., Transducer of a linear velocity with Lorentz
Transformation, patent protection No P 349 142.
[5]
Kowalski H., Galiński J., Two-frequency laser light-guide gyroscopes, patent
protection No P 366 324.
[6]
www.cbk.waw.pl
[7]
www.physics.berkeley.edu/research
[8]
www.wettzell.ifag.de
1 (164) 2006
51
Tadeusz Dąbrowski
ABSTRACT
The paper presents a concept of a kinematic orientation system in space. Kinematic local orientation system is not an absolute notion in Newton depiction. It is connected with rotational
movement of the earth.
Recenzent prof. dr hab. inż. Andrzej Felski
52
Zeszyty Naukowe AMW