Ciagi liczbowe

Ciągi liczbowe
Matematyka
Studium doktoranckie KAE SGH
Semestr letni 2008/2009
R. Łochowski
Liczby naturalne, całkowite i
wymierne
Zbiór liczb naturalnych to = {1,2, 3,...}
•
• Zbiór liczb całkowitych to
= {0,1, −1,2, −2, 3, −3...}
• Zbiór liczb wymiernych to zbiór liczb, które
można przedstawić jako iloraz liczby całkowitej
i naturalnej = {p / q : p ∈ , q ∈ }
• Aksjomat Archimedesa: dla każdej liczbyw ∈ +
i każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba
naturalna m, że m ⋅ w > n
Ciągi liczb wymiernych i ich granice
• Ciągiem liczb wymiernych (wn )n ∈ nazywamy
przyporządkowanie (funkcję), które każdej
liczbie naturalnej przyporządkowuje pewną
liczbę wymierną
∋ n wn ∈ • Liczbę wymierną w 0 nazywamy granicą ciągu
(w )
n n ∈
, co zapisujemy limn →∞ wn = w 0 , jeżeli
∀ε ∈ +∃n ε ∈ ∀n ∈ {n ε , n ε + 1,...} rn ∈ (w 0 − ε, w 0 + ε)
Ciągi liczb wymiernych, c. d.
• Własności granic:
limn →∞ (an + −× bn ) = limn →∞ an + −× limn →∞ bn
• Jeżeli na dodatek an , limn →0 an ≠ 0 to również
limn →∞ (an ÷ bn ) = limn →∞ an ÷ limn →∞ bn
• Uwaga – nie każdy ciąg liczb wymiernych,
„który powinien mieć granicę” ma granicę
wymierną, przykład:
1 
2 
a1 = 1, an = an −1 +
, n = 2, 3, 4,...
2 
an −1 
Liczby rzeczywiste
• Jakie ciągi liczb wymiernych „powinny mieć
granicę”? – ciągi spełniające warunek
{
}
∀ε ∈ +∃n ε ∈ ∀n, m ∈ n ε , n ε + 1,... wn − wm < ε
• Liczby rzeczywiste definiujemy jako granice
ciągów liczb wymiernych spełniające powyższy
warunek
Porządki
• W zbiorze liczb wymiernych istnieje naturalny
porządek:


p
p
w = 1 ≤ w = 2 ⇔ p q ≤ p q 
q
,
q
>
0
⇒
( 1 2 )  1 q
2
1 2
2 1

q


1
2
• W zbiorze liczb rzeczywistych porządek
definiujemy następująco:
r ≤s
⇔ (∃wn , vn ∈ , wn ≤ vn , r = limn →∞ wn , s = limn →∞ vn )
Twierdzenie o trzech ciągach,
twierdzenie o ciągach
ograniczonych i monotonicznych
• Jeżeli ∀n ∈ an ≤ bn ≤ cn oraz
limn →∞ an = limn →∞ cn = g
to również limn →∞ bn = g
• Jeżeli ciąg liczb rzeczywistych (rn ) jest
ograniczony i monotoniczny (malejący lub
rosnący), to ma granicę
Nierówność Bernoulliego
• Jeżeli r > −1, n ∈ , to
n
(1 + r )
≥1 +r ⋅ n
Dowód – indukcja matematyczna
n


1
• Zadanie: udowodnić, że ciąg en = 1 +  jest
n 

rosnący
n+1


1

• Zadanie: udowodnić, że ciąg fn = 1 +  jest
n 

malejący
Liczba e
• Z twierdzenia o ciągach ograniczonych i
monotonicznych wynika, że ciągi (en ), ( fn ) mają
wspólną granicę, która nazywa się liczbą e:
n


1
limn →∞ 1 + 
n 

n +1


1
= limn →∞ 1 + 
n 

=: e ≈ 2, 718281828....
Uogólnienie
• Jeżeli limn→∞ an = 1 oraz limn→∞ (an − 1) ⋅ bn = g
to
bn
n→∞ n
lim
a
g
=e
• Zastosowanie: procent składany – ile wyniosą
odsetki od 1 zł na koniec roku, jeżeli
oprocentowanie wynosi p% w skali roku i
oprocentowanie jest dokonywane w sposób
ciągły?
Ciąg arytmetyczny
• Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg
dla którego zachodzi warunek
∃r ∈ ∀n ∈ (an+1 −an = r )
• Zachodzi an = a1 + (n − 1) r
• Mamy również
a1 + a2 + ... + an =
=
a1 + an
a1 + a1 + (n − 1) r
2
2
n
n = a1 ⋅ n +
n (n − 1)
2
n
Ciąg geometryczny
• Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg
dla którego zachodzi warunek
a


∃q ∈ ∀n ∈  n+1 = q

 an
• Zachodzi an = a1qn−1
• Dla q ≠ 1 mamy również
1 −q n
a1 + a2 + ... + an = a1
1 −q
Zastosowanie – obliczanie raty
kredytu
• Wartość pieniądza w czasie
– Wartość obecna 1 zł przy stopie procentowej
i
−n
wpłaconej za n lat wynosi (1 + i )
– Wartość obecna strumienia równych rat w
wysokości r, wpłacanych na koniec najbliższych n
lat wynosi
−1
−n
r (1 + i ) + ... + r (1 + i ) = ?
– Ile wyniesie rata r (tzw. rata annuitetowa) jeżeli
mamy w ciągu najbliższych n lat spłacić pożyczony
w chwili obecnej kapitał K ?
Szeregi
• Szeregiem (∑an ) o wyrazach (an ) nazywamy
ciąg sum częściowych sn = a1 + a2 + ... + an
• Sumą szeregu (∑an ) nazywamy (o ile istnieje)
∞
jego granicę
∑a
n
= limn→∞ sn
n=1
• Szeregi harmoniczne
– Szeregiem harmonicznym rzędu p nazywamy
−p
n
szereg ∑
– Szereg harmoniczny jest zbieżny wtw. p>1
(
)