Zadania z Algebry Liniowej (lista 3) 1. Znaleźć wartości własne i
Transkrypt
Zadania z Algebry Liniowej (lista 3) 1. Znaleźć wartości własne i
Zadania z Algebry Liniowej (lista 3) 1. Znaleźć wartości własne i wektory własne następujących przekształceń liniowych a) f : R2 → R2 , f ([x1 , x2 ]) = [x1 − x2 , x1 + x2 ]; b) g : C2 → C2 , g([x1 , x2 ]) = [x1 − x2 , x1 + x2 ]; c) h : R3 → R3 , h([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 + 2x2 + 2x3 , 2x2 + x3 , −x1 + 2x2 + 2x3 ]. 2. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne endomorfizmów liniowych 4 −5 2 pewnej bazie przestrzeni V = C3 przez macierze: a) A = 5 −7 3 , 6 −9 4 4 −5 7 2 − 2 0 1 3 , b) B = 1 −4 9 , c) C = 5 −3 d) D = −4 4 −4 0 5 −1 0 −2 −2 1 danych w 0 0 . 2 3. Zbadać, które z podanych macierzy można sprowadzić do postaci diagonalnej przez przejście do innej bazy na ciałem R lub nad ciałem C: 1 1 1 1 −1 3 −1 4 −5 2 1 1 −1 −1 , c) C = −3 5 −1 , a) A = 5 −7 3 , b) B = 1 −1 1 −1 −3 3 1 6 −9 4 1 −1 −1 1 4 7 −5 0 . d) D = −4 5 1 9 −4 4. Wykazać, że przekształcenie f : R2 → R2 dane wzorem f (x) = [x1 cos α − x2 sin α, x1 sin α + x2 cos α], gdzie 0 < α < π nie ma podprzestrzeni niezmienniczej różnej od R2 i {0}. 5. Wykazać, że jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to macierze AB i BA mają jednakowe wielomiany charakterystyczne. 6. Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie trójwymiarowej przestrzeni liniowej V = R3 , które są niezmiennicze względem endomorfizmu liniowego o macierzy −1 1 1 2 0 2 . A= 4 −2 2 7. Wykazać, że w n-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb zespolonych, każdy endomorfizm liniowy ma n − 1 wymiarową podprzestrzeń niezmienniczą. 8. Niech λ1 , λ2 . . . , λn będą pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A Wyznaczyć wartości własne: (1) przekształcenia liniowego f (X) = AXAT w przestrzeni Mn (R); (2) przekształcenia liniowego f (X) = AXA−1 w przestrzeni Mn (R), gdzie macierz A jest nieosobliwa. 9. Wykazać następujące własności endomorfizmów liniowych: (1) jądro oraz obraz endomorfizmu liniowego f są niezmiennicze względem f ; (2) każda podprzestrzeń zawierająca obraz przekształcenia f jest niezmiennicza względem f ; 1 (3) jeśli podprzestrzeń W jest niezmiennicza względem f , to jej obraz i przeciwobraz też są niezmiennicze względem f ; (4) jeśli f jest automorfizmem, to podprzestrzeń niezmiennicza względem f jest również niezmiennicza względem f −1 . 10. Niech λ0 ∈ K oraz λ0 1 0 0 0 λ0 0 0 . A= 0 0 λ0 1 0 0 0 λ0 Wyznaczyć krotność algebraiczną ka (λ0 ) oraz krotność geometryczną kg (λ0 ). 11. Znaleźć warunek konieczny i wystarczający na to by macierz A= a b c d ∈ M2 (C) była diagonalizowalna. 12. Wyznaczyć wartości własne macierzy AT A, gdzie A jest macierzą o jednym wierszu A = [a1 a2 . . . an ]. 13. Wykazać, że wszystkie wartości własne macierzy A są różne od zera wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest odwracalna. 14. Wykazać następujące własności wielomianu charakterystycznego (1) współczynniki wielomianu det(A + tI) = tn + c1 tn−1 + · · · + cn−1 t + cn są sumami minorów głównych odpowiedniego stopnia macierzy A; (2) suma i iloczyn wartości własnych macierzy A są równe odpowiednio jej śladowi i wyznacznikowi, (3) każdy wielomian stopnia n o najwyższym współczynniku (−1)n jest wielomianem charakterystycznym pewnej macierzy stopnia n. 15. Wykazać, że jeśli f : V → V jest endomorfizmem liniowym i λ2 jest wartością własną endomorfizmu f 2 , to λ lub −λ jest wartością własną f . 16. Niech f1 , f2 , . . . , fn będą endomorfizmami skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem C takimi, że f◦ fj = fj ◦ fi dla dowolnych i, j. (1) Wykazać, że istnieje wektor własny wspólny wszystkim przekształceniom fi ; (2) Istnieje baza przestrzeni V w której macierze endomorfizmów fi są górno-trójkątne. 2