BADANIE REZONANSU W SZEREGOWYM OBWODZIE LC

BADANIE REZONANSU
W SZEREGOWYM OBWODZIE LC
NALEŻY MIEĆ ZE SOBĄ: kalkulator naukowy, ołówek, linijkę, papier milimetrowy.
PYTANIA KONTROLNE
1.
2.
3.
4.
Równanie różniczkowe drgań wymuszonych
Postać równania drgań wymuszonych dla prądu w szeregowym układzie LC
Warunek rezonansu w szeregowym układzie LC,
Pojęcie rezonansu, częstotliwość rezonansowa, szerokość połówkowa krzywej rezonansowej,
przesunięcie fazowe prądu względem napięcia wymuszającego.
5. Dobroć układu drgającego, dobroć układu LC
POMIARY
1. Ustalić indukcyjność cewki dekadowej L.
2. Wybrać teoretyczną częstotliwość rezonansową fT tak, by nie przypadała pomiędzy zakresami
generatora.
3. Z warunku rezonansu obliczyć pojemność kondensatora, jaka jest konieczna do wystąpienia
rezonansu i ustawić tę wartość na kondensatorze dekadowym.
4. Ustawić na generatorze częstotliwość rezonansową fT.
5. Ustawić wartość napięcia wejściowego U0 = 2 V.
6. Zmierzyć wstępnie maksymalną wartość prądu Imax w obwodzie. Wyznaczyć opór obwodu.
7. Obliczyć teoretyczną dobroć układu rezonansowego QT. Dobroć powinna być większa od 2, żeby
można było wykonać resztę ćwiczenia. Jeżeli dobroć jest niższa, należy powtórzyć czynności 1-6
dla innych wartości.
8. Obliczyć teoretyczną szerokość połówkową krzywej rezonansowej ∆fT.
9. Notować wskazania mierników dla różnych częstotliwości napięcia wymuszającego w zakresie od
fT – 2∆fT do fT + 2∆fT . W obszarze częstotliwości rezonansowej zagęścić pomiary.
C = ................ nF,
L = ................ mH,
U0 = .............. V
fR = ................ Hz,
R = ................ Ω,
QT = ................
f, Hz
I, mA
UL, V
UC, V
-> Podczas pomiarów należy kontrolować wartość napięcia wejściowego U0, w razie potrzeby skorygować do
założonej wartości 2 V.
10. Zapisać dokładności mierników użytych w pomiarach
Woltomierz UL:
typ:
__________, niepewność pomiaru: ________________
Woltomierz UC:
typ:
__________, niepewność pomiaru: ________________
Miliamperomierz:
typ:
__________, niepewność pomiaru: ________________
Częstotliwościomierz:
typ:
__________, niepewność pomiaru: ________________
Napięcie wymuszające U0:
typ:
__________, niepewność pomiaru: ________________
OPRACOWANIE WYNIKÓW
1. Sporządzić wykresy zależności częstotliwościowej (na wspólnym arkuszu):
a. natężenia prądu I = f(f),
b. napięcia na cewce UL = f(f)
c. napięcia na kondensatorze UC =f(f)
zaznaczając na wykresie słupki niepewności dla kilku punktów pomiarowych.
2. Odczytać z wykresu częstotliwość rezonansową fR.
3. Ocenić niepewność u(fR).
4. W sposób formalny ocenić zgodność fR z założoną na początku ćwiczenia częstotliwością
teoretyczną fT.
5. Metodą szerokości połówkowej krzywej rezonansowej obliczyć dobroć badanego układu
rezonansowego
f
Q= R.
Δf
6. Korzystając z prawa propagacji niepewności obliczyć niepewności Q oraz QT i zapisać wyniki
w odpowiednim formacie.
7. W sposób formalny ocenić zgodność otrzymanych wyników dla QT i Q.
8. Odczytać z wykresu wartość maksymalną natężenia prądu Imax.
9. Obliczyć teoretyczną wartość natężenia prądu w rezonansie I0 (wraz z niepewnością) i ocenić
jej zgodność z wartością zmierzoną Imax.
10. Obliczyć przesunięcie fazowe natężenia prądu względem napięcia wymuszającego.
11. Skomentować wszystkie wyniki eksperymentu pod kątem zgodności z teorią.
DODATEK
Literatura: Zygmunt Kleszczewski, Fizyka klasyczna, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej
Napięcie na oporniku
U = RI = R
Napięcie na cewce
UL = L
Napięcie na kondensatorze
UC =
dQ
dt
d2 Q
dt 2
Q
C
Równanie Kirchhoffa dla obwodu:
UL + U + UC = U0 cosΩt
Po podstawieniu
L
d2 Q
dQ Q
+R
+ = U0 cosΩt
2
dt C
dt
d2 Q R dQ Q U0
+
+
=
cosΩt
L
dt 2 L dt LC
Po zróżniczkowaniu otrzymuje się równanie drgań wymuszonych dla prądu w obwodzie
UΩ
d2I R dI I
+
+
= 0 sinΩt
2
L dt LC
L
dt
Poszukuje się rozwiązania w postaci
I(t) = I0 cos(ω t - ϕ).
Stosując przekształcenia podane w literaturze otrzymuje się:
Warunek rezonansu w szeregowym układzie LC:
ωL =
Teoretyczna częstotliwość rezonansowa:
fT =
1
ωC
1
2π LC
I0 =
Teoretyczna amplituda prądu w rezonansie:
U0
1 

R +  ωL −

ωC 

2
Średnia moc pobierana przez układ w jednym okresie drgań
T
< P >=
1
1
U(t) I(t) dt = I20R
∫
2
T0
Szerokość krzywej rezonansowej zatem odczytuje się na wysokości
Przesunięcie fazowe
R
cosϕ =
1 

R 2 +  ωL −

ωC 

ωL −
tgϕ =
R
1
ωC .
2
, lub
Imax
.
2
2
Zróżniczkowawszy drugi raz i przekształciwszy → równanie dla UL
Po przekształceniach
d2Uc
dU
LC 2 + RC C + Uc = U0 sinΩt
dt
dt
→ równanie dla UC
2
d Uc R dUC 1
U0
+
+ Uc = sinΩt
dt 2 L dt LC
LC
Warunek rezonansu w szeregowym układzie LC (z grubego Kleszcza)
ωL =
1
ωC
Ustalamy L, ustalamy pożądaną częstotliwość f w Hz, liczymy ω, liczymy konieczne do rezonansu C
C=
1
.
(2π f )2 L
Krzywa rezonansowa
Częstotliwość rezonansowa
fR =
1
2π LC
- zbadać zgodność ze zmierzonym.
Średnia moc pobierana przez układ w okresie
T
< P >=
Napięcie:
U(t) = U0 cos(ω t)
Prąd:
I(t) = I0 cos(ω t - ϕ )
1
U(t) I(t) dt
T ∫0
i ostatecznie
1
< P >= I20R .
2
I0
odczytuje z wykresu szerokość krzywej rezonansowej w Hz.
2
Bierze się krzywą prądową i na wysokości
Przesunięcie fazowe:
R
cosϕ =
1 

R +  ωL −

ωC 

2
2
ωL −
albo
Prąd w rezonansie:
tgϕ =
I0 =
1
ωC
R
U0
1 

R 2 +  ωL −

ωC 

2
- zbadać zgodność ze zmierzonym.