2. Wartości własne i wektory własne macierzy

2.
Wartości własne i wektory własne macierzy
2.1.
Wprowadzenie
Działania na modelach opisujących układy wielowymiarowe są zazwyczaj
prowadzone z zastosowaniem pojęć dotyczących algebry liniowej, gdzie
podstawowymi elementami są: wektor oraz macierz. Przez n-wymiarowy wektor
rozumie się układ liczb (ogólnie zespolonych) ustawionych w kolumnę (wektor
kolumnowy) lub wiersz (wektor wierszowy):
⎡ b1 ⎤
⎢b ⎥
b = ⎢ 2 ⎥ - wektor kolumnowy, c = [c1 c2 L cn ] - wektor wierszowy.
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣bn ⎦
Macierzą m×n jest tablica prostokątna zawierająca mn elementów macierzy:
⎡ a11 a12
⎢a
a22
A = ⎢ 21
⎢ M
M
⎢
⎣am1 am 2
... a1n ⎤
... a2 n ⎥⎥
.
... M ⎥
⎥
... amn ⎦
Wektory p, q o współczynnikach rzeczywistych są ortogonalne (prostopadłe) jeśli
zachodzi równość:
pTq = 0,
a ponadto są unormowane, jeśli:
pTp = 1.
Kwadratowa
macierz
ortogonalna
charakteryzuje
się
następującymi
właściwościami:
Q T Q = QQ T = I , Q −1 = Q T
(2.1)
skąd wynika, że macierz ortogonalna jest nieosobliwa.
Macierz o elementach zespolonych (macierz zespolona) może być zapisana w
następującej formie:
A = Re( A ) + j Im(A) = U + jV
(2.2)
Dla macierzy A = {aij} definiowana jest macierz sprzężona o postaci: A* = { a *ji },
gdzie symbol * oznacza operację sprzężenia zespolonego1. Macierz A jest
hermitowska jeśli zachodzi równość: A = A*.
Odpowiednikiem zespolonym macierzy ortogonalnej jest macierz unitarna:
*
Q Q = QQ * = I .
W niektórych publikacjach macierz sprzężoną oznacza się górnym indeksem
Hermite). Charles Hermite (1822-1901), francuski matematyk.
1
H
(od nazwiska
Metody numeryczne w technice
6
Suma elementów stojących na przekątnej macierzy jest nazywana jej śladem:
n
tr (A ) = ∑ aii
(2.3)
i =1
Macierzą dołączoną Aad2 macierzy kwadratowej A jest macierz powstała przez
zastąpienie każdego elementu aji macierzy transponowanej AT odpowiadającym mu
dopełnieniem algebraicznym Dji [4]:
D ji = (−1) j +i M ji
(2.4)
gdzie Mji jest minorem macierzy AT, który jest wyznacznikiem macierzy powstałej
przez wykreślenie j-tego wiersza oraz i-tej kolumny z macierzy AT.
Przykład 2.1.
Określić macierz dołączoną macierzy A:
⎡10 − 7 0⎤
A = ⎢⎢ 0 − 1 6⎥⎥ .
⎢⎣ 1
0 5⎥⎦
Wykonujemy kolejne kroki zgodnie z podaną definicją.
⎡ 10 0 1⎤
−1 0
−7 0
− 7 −1
0 1
T
A = ⎢⎢− 7 − 1 0⎥⎥ , D11 =
, D12 = −
, D13 =
, D21 = −
6 5
0 5
0
6
6 5
⎢⎣ 0 6 5⎥⎦
10 1
10 0
0 1
10 1
10
0
D22 =
, D23 = −
, D31 =
, D32 = −
, D33 =
.
0 5
0 6
−1 0
−7 0
− 7 −1
Zatem:
⎡ D11
A ad = ⎢⎢ D21
⎢⎣ D31
D12
D22
D32
D13 ⎤ ⎡− 5 35 − 42⎤
D23 ⎥⎥ = ⎢⎢ 6 50 − 60⎥⎥ .
D33 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 − 7 − 10⎥⎦
Warto przypomnieć, że z macierzą dołączoną związana jest macierz odwrotna:
A −1 =
1
A ad
det A
(2.5)
dla detA≠0.
W powyższym przykładzie detA = –92 oraz:
⎡− 5 35 − 42⎤
−1
−1 ⎢
6 50 − 60⎥⎥ .
A =
A ad =
⎢
92
92
⎢⎣ 1 − 7 − 10⎥⎦
Łatwo sprawdzić, że: AA-1 = I.
Jeśli A jest macierzą kwadratową, to operacja:
−1
Av = w
2
Od angielskiego terminu „adjoint”.
(2.6)
2. Wartości własne i wektory własne macierzy
7
może być traktowana jako przekształcenie wektora v w wektor w, przy czym, oba
wektory mają ten sam wymiar. Macierz A w tym związku pełni rolę operatora
przekształcenia. W ogólnym przypadku, wektory w i v w (2.6) różnią się kierunkiem,
zwrotem oraz długością. Ilustruje to następujący przykład.
Przykład 2.2.
Określić rezultat przekształcenia (2.6) dla następujących parametrów:
⎡ 1⎤
⎡10 − 7⎤
A=⎢
, v = ⎢ ⎥.
⎥
1⎦
⎣ 0
⎣2⎦
Łatwo sprawdzić, że w wyniku przekształcenia (2.6) otrzymamy:
⎡− 4⎤
w=⎢ ⎥.
⎣ 2⎦
Położenie obu wektorów względem początku układów jest pokazane na rys. 2.1a. Ich
wzajemna relacja wynika z operatora przekształcenia (macierzy A).
〈L〉
Rys. 2.1. Graficzna ilustracja położenia rozpatrywanych wektorów
Ważnym przypadkiem jest taki dobór wektora v, aby w rezultacie przekształcenia (2.6)
otrzymać wektor proporcjonalny:
w = λv ,
(2.7)
gdzie współczynnik proporcjonalności λ jest nazywany wartością własną, a wektor v –
wektorem własnym macierzy A, związanym z wartością własną λ [4].
W takim wypadku oba wektory w (2.6): w oraz v mają ten sam kierunek, natomiast mogą się
różnić zwrotem i długością (w zależności od znaku i wartości współczynnika λ).
Rozpatrywana macierz A ma dwa takie rozwiązania:
⎡7 / 9 ⎤
⎡10⎤
v1 = ⎢ ⎥ dla λ1 = 10 oraz v 2 = ⎢
⎥ dla λ2 = 1.
⎣ 0⎦
⎣ 1⎦
Odpowiadają im wektory w spełniające równania (2.6) i (2.7):
⎡10⎤
⎡7 / 9 ⎤
w1 = λ1 v1 = 10⎢ ⎥ oraz w 2 = λ2 v 2 = 1⎢
⎥ (rys. 2.1b).
⎣ 0⎦
⎣ 1⎦
Sposób wyznaczania wartości własnych i wektorów własnych danej macierzy
kwadratowej A oraz analiza wypływających stąd właściwości operacji (2.6) jest
głównym przedmiotem rozważań w dalszej części niniejszego rozdziału.
2.2.
Wartości własne i wielomian charakterystyczny macierzy
Przekształcenie (2.6), spełniające warunek (2.7) ma następującą formę:
Metody numeryczne w technice
8
Av = λv
(2.8)
gdzie A jest macierzą kwadratową n×n, natomiast λ jest skalarem.
Problem określenia wartości współczynnika λ oraz związanego z nim wektora v
nosi nazwę zagadnienia wektora i wartości własnej macierzy A lub krócej:
zagadnienia własnego. Przenosząc składniki równania (2.8) na jedną stronę
otrzymamy następującą jednorodną3 postać tego równania:
(A − λI )v = (λI − A )v = 0
(2.9)
Równanie to ma oczywiste (trywialne) rozwiązanie: v = 0. Nie jest to jednak
rozwiązanie ciekawe, gdyż na jego wynik nie mają wpływu pozostałe elementy
równania. Okazuje się, że nietrywialne rozwiązanie (2.9) istnieje wówczas, gdy
macierz : A – λI jest osobliwa [4], [8]:
det (A − λI ) = 0
(2.10)
Warunek (2.10) prowadzi do interesującego wniosku, że prawa strona (2.9)
pozostaje równa zeru pomimo tego, że: v ≠ 0. Pierwiastki równania (2.10) są
wartościami własnymi macierzy A, podczas gdy v jest wektorem własnym tej
macierzy. Wektor v = 0 także spełnia równanie (2.8), jednak jest to właśnie
rozwiązanie trywialne, a odpowiadający mu wektor nie jest wektorem własnym
macierzy A. Łatwo sprawdzić, że zależność (2.10) przedstawia wielomian stopnia n
względem zmiennej λ:
det (A − λI ) = p(λ ) = d n λn + d n−1λn−1 + .. + d1λ + d 0 = 0 ,
(2.11)
Jest to tzw. wielomian charakterystyczny macierzy A. Współczynniki tego
wielomianu są związane z charakterystykami macierzy A: wyraz wolny jest równy
wyznacznikowi macierzy (d0 = det(A)), natomiast współczynnik stojący przy λn-1 jest
równy śladowi macierzy (dn-1 = tr(A)). Łatwo także sprawdzić, że współczynnik
stojący przy najwyższej potędze λ jest równy 1 dla parzystego rozmiaru macierzy,
oraz –1 dla rozmiaru nieparzystego: dn = (–1)n.
W ogólnym przypadku pierwiastki wielomianu charakterystycznego mogą być
wielokrotne, co wynika z iloczynowej formy reprezentacji (2.11):
p (λ ) = (− 1) (λ − λ1 )
n
m1
(λ − λ2 )m
2
L(λ − λk )
mk
= 0,
(2.12)
przy czym: n = m1 + m2 + L + mk , mi – krotność i-tego pierwiastka.
W dalszej analizie ograniczamy rozważania do przypadków, gdy macierz
kwadratowa ma pojedyncze wartości własne. Wnioski stąd płynące dają się rozszerzyć
także na przypadek wielokrotnych pierwiastków wielomianu charakterystycznego
(2.11), jednak algorytmy obliczeniowe są bardziej złożone [6], [18].
Na podstawie (2.11) widać, że pierwiastki wielomianu charakterystycznego
macierzy są wartościami własnymi tej macierzy. Ponadto, wyznacznik macierzy A
jest równy iloczynowy jej wszystkich wartości własnych:
3
W równaniu jednorodnym po jednej stronie znaku równości występuje zero.
2. Wartości własne i wektory własne macierzy
9
n
det (A ) = ∏ λi ,
(2.13)
i =1
natomiast suma wartości własnych macierzy jest równa śladowi tej macierzy:
n
tr (A ) = ∑ λi
(2.14)
i =1
Właściwość (2.13) staje się oczywista, gdy rozpiszemy zależność (2.10):
a11 − λ
det (A − λI ) =
Przykład 2.3.
a21
M
an1
...
a1n
a22 − λ ...
a2 n
a12
M
an 2
M
...
... ann − λ
=0
(2.15)
Określić wartości własne macierzy A:
⎡10 − 7 0⎤
A = ⎢⎢ 0 − 1 6⎥⎥ .
⎢⎣ 1
0 5⎥⎦
10 − λ
Stosując (2.15) otrzymamy:
−7
0
0 −1− λ
6 = − λ3 + 14λ2 − 35λ − 92 = 0 .
1
0 5−λ
Pierwiastki otrzymanego wielomianu (a więc także wartości własne macierzy A) są
następujące:
λ1 = 8,9199 , λ2 = 6.6347 , λ3 = −1.5546 .
Można sprawdzić, że: det(A) = λ1λ2 λ3 = -92, tr(A) = λ1 + λ2 + λ3 = 14, co jest także równe
sumie elementów leżących na przekątnej oryginalnej macierzy A.
Wracając do opisu właściwości zagadnienia własnego warto zaznaczyć, że zbiór
wartości własnych danej macierzy A jest nazywany spektrum tej macierzy. Każda
macierz A, n×n ma n wartości własnych, liczonych zgodnie z ich krotnością - (2.12).
Jeśli (2.8) jest spełnione dla wartości własnej λi:
Av = λi v ,
(2.16)
to wektor v jest wektorem własnym macierzy A przynależnym do wartości własnej
λi, co tworzy parę: λi, vi. A zatem, wektor własny vi przynależny do wartości własnej
λi. spełnia równanie (2.9):
(A − λi I )v i = (λi I − A )v i = 0 ,
przy czym, odrzucamy rozwiązanie trywialne: vi = 0.
Przykład 2.4.
Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy:
3⎤
⎡ 5
A=⎢
⎥.
⎣ − 6 − 4⎦
(2.17)
Metody numeryczne w technice
10
Wartości własne obliczamy z równania:
3⎤
⎡5 − λ
det( A − λI ) = ⎢
⎥ = −(5 − λ )(4 + λ ) + 18 = 0 .
⎣ − 6 − 4 − λ⎦
Wielomian charakterystyczny ma następującą postać:
(λ − 2)(λ + 1) = 0 , λ1.=2, λ2. = –1.
Dla pierwszej wartości własnej (λ1.=2) równanie (2.10) jest następujące:
5−2
3⎤ ⎡ v1 ⎤ ⎡ 3
3⎤ ⎡ v1 ⎤
(A − λ1I )v = ⎡⎢
=⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ = 0 , skąd:
⎥
⎣ − 6 − 4 − 2⎦ ⎣v 2 ⎦ ⎣ − 6 − 6 ⎦ ⎣v 2 ⎦
3v1 + 3v2 = 0;
–6v1 –6v2 = 0;
T
Widać, że powyższe równania są spełnione dla każdego wektora v = [t − t ] , t ≠ 0. Wybór
wektora własnego nie jest więc jednoznaczny.
Podobnie, dla λ2. = –1 otrzymamy:
5 +1
3⎤ ⎡ v1 ⎤
(A − λ2 I )v = ⎡⎢
⎥ ⎢ ⎥ = 0 , skąd:
⎣ − 6 − 4 + 1⎦ ⎣v2 ⎦
6v1 + 3v2 = 0;
–6v1 + –3v2 = 0;
T
co daje: v = [− t 2t ] , t ≠ 0.
Widać, że wektory własne można określić z dokładnością do stałego czynnika.
Zazwyczaj jednak podaje się unormowaną wartość wektora, zakładając, że:
x ∞ = 1 lub x 2 = 1 ,
(2.18)
gdzie:
x ∞ = max ( xi )
1≤ i ≤ n
1/ 2
⎛ n
2⎞
- norma maksimum, x 2 = ⎜⎜ ∑ xi ⎟⎟
⎝ i =1
⎠
= xT x - norma kwadratowa
(euklidesowa).
Operacja normalizacji według normy euklidesowej przebiega zgodnie z zależnością:
v j :=
vj
(2.19)
v Tj v j
Wektory własne można także określić na podstawie macierzy dołączonej (A–λiI)ad
macierzy A–λiI (2.15): kolumny macierzy [A–λI]ad|λ = λi są wektorami własnymi
macierzy A związanymi z wartością własną λi [4]. Procedurę tę ilustruje kolejny
przykład.
Przykład 2.5.
Określić wartości własne i wektory własne macierzy:
0⎤
⎡1 0
⎢
A = ⎢0 2 − 3⎥⎥ .
⎢⎣ 1 3
2⎥⎦
Równanie charakterystyczne: det(A–λI) = (1–λ)((2–λ)2 + 9) = 0 ma następujące pierwiastki: λ1
= 1, λ2 = 2 + j3, λ3 = 2 – j3.
Wektory własne określimy przez obliczenie macierzy dołączonych:
2. Wartości własne i wektory własne macierzy
11
0
0⎤
⎡1 − 1
⎡ 10 0 0⎤
⎢
⎥
(A − λI )ad λ =λ = ⎢ 0 2 − 1 − 3⎥ = ⎢⎢− 3 0 0⎥⎥ = [v1 (λ1 ) v 2 (λ1 ) v 3 (λ1 )] .
⎢⎣ 1
3 2 − 1⎥⎦ ad ⎢⎣ − 1 0 0⎥⎦
Spośród tych trzech wektorów tylko v1(λ1) nie jest zerowy, więc v1(1) = [10 –3 –1]T.
Dla drugiej wartości własnej otrzymamy:
0
0⎤
0
0⎤
⎡ 0
⎡1 − 2 − j3
⎢
⎢
⎥
(A − λI )ad λ =λ = ⎢
0 2 − 2 − j3
− 3⎥ = ⎢− 3 − 9 + j3 − 3 − j9⎥⎥ = [v1 (λ2 ) v 2 (λ2 ) v 3 (λ2 )]
⎢⎣
3 + j9 − 9 + j3⎥⎦
1
3 2 − 2 − j3⎥⎦ ad ⎢⎣ j3
1
2
W tym przypadku każdy z wektorów może być wybrany jako wektor własny skojarzony z
wartością własną λ2.
Dla trzeciej wartości własnej mamy:
0
0⎤
0
0⎤
⎡1 − 2 + j3
⎡ 0
⎢
⎥
⎢
(A − λI )ad λ =λ = ⎢
0 2 − 2 + j3
− 3⎥ = ⎢ − 3 − 9 − j3 − 3 + j9⎥⎥ = [v1 (λ3 ) v 2 (λ3 ) v 3 (λ3 )]
⎢⎣
1
3 2 − 2 + j3⎥⎦ ad ⎢⎣− j3
3 − j9 − 9 − j3⎥⎦
3
Także w tym przypadku w charakterze wektora własnego można wybrać dowolny wektor
spośród v1(λ3), v2(λ3), v3(λ3).
Można zauważyć, że poszczególne wektory własne skojarzone z tą samą wartością własną są
takie same z dokładnością do stałej. Na przykład:
v 2 (λ3 ) = av1 (λ3 ) , gdzie a = 3 – j1;
v 3 (λ3 ) = bv1 (λ3 ) , gdzie b = 1 + j3.
Powyższe przykłady pokazują sposób rozwiązania zagadnienia własnego
macierzy A. Można go ująć w następujący algorytm:
- Określić wielomian charakterystyczny p(λ) macierzy A (2.11).
- Wyznaczyć pierwiastki wielomianu charakterystycznego: p(λ) = 0.
- Dla każdej wartości własnej wyznaczyć odpowiadający jej wektor własny,
będący nietrywialnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (2.17).
Algorytm ten można stosować jedynie do zadań o małych rozmiarach macierzy A.
Znanych jest wiele efektywnych algorytmów rozwiązywania zagadnienia własnego,
które można z powodzeniem stosować do rozwiązywania zadań o dużych
rozmiarach. Szczegółowy ich opis można znaleźć w literaturze przedmiotu [1], [5],
[6]. Odpowiadające im programy wchodzą w skład znanych pakietów
obliczeniowych [8], [10], [13].
2.3.
Diagonalizacja macierzy
Z zagadnieniem wartości własnych łączy się problem podobieństwa macierzy. Jeśli
w (2.8) wektor v zostanie zastąpiony przez wektor y =V-1v, gdzie V jest macierzą
nieosobliwą, to otrzymamy:
By = λy , B = V −1AV ,
(2.20)
przy czym wartości własne obu macierzy podobnych są jednakowe [5]. Jednocześnie,
jeśli v jest wektorem własnym przynależnym do wartości własnej λ, to wektor y = V -1v
jest wektorem własnym macierzy B przynależnym do tej samej wartości własnej λ.
Metody numeryczne w technice
12
Przekształcenie (2.20) jest nazywane przekształceniem podobieństwa, w którym
macierze A i B są podobne. Jeśli macierz V jest macierzą ortogonalną (unitarną) (2.1),
to podobieństwo (2.20) nazywamy podobieństwem ortogonalnym. Każda macierz
symetryczna może być przekształcona za pomocą podobieństwa ortogonalnego do
postaci diagonalnej (przekątnościowej), w której przekątna jest utworzona z wartości
własnych macierzy:
V −1AV = Λ = diag(λ1 , λ2 ,.., λn ) ,
(2.21)
gdzie macierz przekształcenia V (zwana także macierzą modalną) jest utworzona z
wektorów własnych macierzy A:
V = [v1 v 2 L v n ]
(2.22)
Wyłączając w (2.21) macierz A otrzymamy:
A = V Λ V −1 = [v1
v2
⎡λ1
⎢
λ2
L v n ]⎢
⎢M
M
⎢
⎣
⎤
⎥
L
⎥[v
1
O M⎥
⎥
L λn ⎦
L
v2 L vn ] ,
−1
(2.23)
co jest nazywane rozkładem macierzy A względem jej wartości własnych, przy czym
vj jest wektorem własnym macierzy A związanym z jej wartością własną λj.
Warunkiem istnienia przekształcenia (2.21) jest nieosobliwość macierzy V. Jest to
spełnione, jeśli wektory własne macierzy A są niezależne:
det(V ) = det ([v1 v 2 L v n ]) ≠ 0
(2.24)
Zależność (2.24) jest spełniona, jeśli wektory własne vj, j = 1, 2, ..., n macierzy A
przynależą do n różnych wartości własnych.
Na podstawie powyższej analizy widać, że rozkład macierzy A według jej
wartości własnych może być stosowany do określenia operatora przekształcenia tej
macierzy do postaci diagonalnej.
Przykład 2.6.
Określić operator T, który przekształca macierz A z Przykładu 2.5:
0⎤
⎡1 0
⎢
A = ⎢0 2 − 3⎥⎥ do postaci diagonalnej.
⎢⎣ 1 3
2⎥⎦
W Przykładzie 2.5 określone zostały wektory własne macierzy A. Wybierzmy następujący
komplet tych wektorów:
v1(λ1) = [10 –3 –1]T, v1(λ2) = [0 –3 j3]T, v1(λ3) = [0 –3 –j3]T.
Macierz T należy utworzyć z wymienionych wektorów własnych odpowiadających różnym
wartościom własnym. Ponieważ te wektory są określone z dokładnością do stałej, więc
można je znormalizować, co daje następującą macierz transformacji ortogonalnej:
1
0
0⎤
1 0 0⎤
⎡
⎡
1
1
⎡1
⎤ ⎢
⎥
⎢
−1
T = ⎢ v1 (λ1 )
v 1 (λ2 )
v1 (λ3 )⎥ = ⎢− 0,3 − 1 − 1⎥ , T = ⎢ − 0,15 − j0,05 − 0,5 − j0,5⎥⎥ .
3
3
⎣10
⎦
⎢⎣ − 0,1
⎢⎣− 0,15 + j0,05 − 0,5
j0,5⎥⎦
j − j⎥⎦
Można sprawdzić, że:
2. Wartości własne i wektory własne macierzy
13
0
0⎤
⎡λ1 0 0⎤ ⎡ 1
⎢
⎥
⎢
T AT = Λ = ⎢ 0 λ2 0⎥ = ⎢0 2 + j3
0⎥⎥ .
⎢⎣ 0 0 λ3 ⎥⎦ ⎢⎣0
0 2 − j3⎥⎦
Powyższe obliczenia można łatwo przeprowadzić posługując się programem MATLAB:
−1
[T,D]=eig(A);
gdzie T ↔ T, D ↔ Λ (wcześniej należy zadeklarować macierz A). W rezultacie otrzymamy
następujące macierze:
0 0⎤
0
0
0,9535⎤
⎡2 + j3
⎡
⎥
⎢
⎢
Λ=⎢
0 2 − j3 0⎥ , T = ⎢ j0,7071 − j0,7071 − 0,2860⎥⎥ .
⎢⎣
⎢⎣ 0,7071
0
0 1⎥⎦
0,7071 − 0,0953⎥⎦
Widać, że wartości własne są podane w innej kolejności, zaczynając od wartości
największych co do modułu. To spowodowało odpowiednią zmianę kolejności wektorów w
macierzy T. W stosowanej tu procedurze wektory własne są unormowane według normy
kwadratowej, co objawia się także w innych wartościach poszczególnych elementach
macierzy T (suma kwadratów współczynników poszczególnych wektorów własnych jest
równa 1). Jak widać, podstawowe relacje pozostają jednak zachowane.
Analizując wyniki Przykładu 2.6 można zauważyć, że diagonalizacja
rozpatrywanej macierzy rzeczywistej wymaga stosowania operatora w postaci
macierzy zespolonej. Wynika to stąd, że wartości własne są w tym przypadku
zespolone. Pod tym względem znacznie korzystniejsze właściwości mają
symetryczne macierze rzeczywiste. Dowodzi się, że wartości własne rzeczywistych
macierzy symetrycznych są zawsze rzeczywiste – a zatem, rozkład takich macierzy
według wartości własnych jest także rzeczywisty [4], [5]. Ponadto, wektory własne
odpowiadające różnym wartościom własnym są wzajemnie ortogonalne. W takim
wypadku można zatem stosować zależności (2.21) i (2.24).
Jeśli macierz V jest macierzą ortogonalną (unitarną) (2.1), to podobieństwo (2.20)
nazywamy podobieństwem ortogonalnym. Każda macierz symetryczna może być
przekształcona za pomocą podobieństwa ortogonalnego do postaci diagonalnej
(przekątnościowej) według (2.21), w której przekątna jest utworzona z wartości
własnych macierzy, przy czym:
V T = V −1 ,
(2.25)
co jest równoważne zależności: V T V = I .
Wektory własne tworzące macierz V są w tym przypadku ortonormalne:
v Tj v j = I oraz v Ti v j = 0 . Wyłączając w (2.21) macierz A otrzymamy:
A = V Λ V −1 = [v1 v 2
⎡ λ1 v1T ⎤
⎢ T⎥ n
λv
L v n ]⎢ 2 2 ⎥ = ∑ v j λ j v Tj
⎢ M ⎥ j =1
⎢ T⎥
⎣⎢λn v n ⎦⎥
(2.26)
Widać, że rozkład symetrycznej rzeczywistej macierzy A względem jej wartości
własnych nie wymaga odwracania macierzy przekształceń, a procedura obliczania
Metody numeryczne w technice
14
par: λj, vj jest zazwyczaj znacznie prostsza niż w przypadku macierzy
niesymetrycznych [2], [5].
Przykład 2.7.
Określić operator V, który przekształca następującą macierz A:
⎡1
A = ⎢⎢0
⎢⎣ 1
0
2
2
1⎤
2 ⎥⎥ do postaci diagonalnej.
2⎥⎦
Zauważmy, że A jest macierzą
charakterystyczne:
det(A–λI) = λ3 – 5λ2 +5λ = 0
rzeczywistą
symetryczną.
Określamy
równanie
5+ 5
5− 5
≈ 3,6180 , λ3 =
≈ 1,3820 .
2
2
Wektory własne można określić przez rozwiązanie równań (2.17) dla oddzielnych wartości
własnych, przy czym, poszukiwanymi wielkościami są wektory własne związane z tymi
wartościami.
a. λ1 = 0.
Równanie (2.17) ma następującą postać:
0
1⎤ ⎡ v1 ⎤
⎡1
⎢
( A − λ1I ) v1 = ⎢0
2
2 ⎥⎥ ⎢⎢v2 ⎥⎥ = 0 , skąd otrzymujemy:
⎢⎣ 1 2
2⎥⎦ ⎢⎣v3 ⎥⎦
Wartości własne są następujące: λ1 = 0, λ2 =
v1 + v3 = 0,
2v2 + 2v3 = 0,
v1 + 2v2 + 2v3 = 0.
Wydzielając z pierwszego równania v1, po wstawieniu do trzeciego, otrzymamy następujący
układ równań:
2v2 + 2v3 = 0,
2 v 2 + v 3 = 0.
które są sobie równoważne. Jedną z występujących tam zmiennych należy zatem wybrać
dowolnie. Zakładając v3 =
2 , otrzymamy: v2 = -1 oraz v1 = - 2 . W ten sposób
[
otrzymaliśmy wektor własny dla λ1: v1 = − 2 − 1
]
T
2 .
5+ 5
.
2
Postępujemy podobnie, jak w poprzednim punkcie:
⎤
⎡ 5+ 5
0
1⎥
⎢1 −
2
⎥ ⎡ v1 ⎤
⎢
5+ 5
⎢
0 2−
2 ⎥ ⎢⎢v2 ⎥⎥ = 0 , skąd otrzymujemy:
( A − λ2 I ) v 2 =
⎥
⎢
2
⎢
5 + 5 ⎥ ⎢⎣v3 ⎥⎦
⎥
⎢
1
2 2−
2 ⎥⎦
⎢⎣
b. λ2 =
3− 5
v1 + v3 = 0,
2
1− 5
−
v2 + 2v3 = 0,
2
−
2. Wartości własne i wektory własne macierzy
v1 + 2v2 −
15
1− 5
v3 = 0.
2
Znów, zakładając v3 =
(
)
2 , otrzymamy: v2 = – 1 + 5 oraz v1 =
(
)
3+ 5
. W ten sposób
2
T
⎡3 + 5
⎤
− 1+ 5
2⎥ .
otrzymaliśmy wektor własny dla λ2: v 2 = ⎢
⎣ 2
⎦
5− 5
.
c. λ3 =
2
Działania podobne jak w poprzednich dwóch punktach prowadzą do następującej wartości
(
)
T
⎡3 − 5
⎤
wektora własnego dla λ3: v 3 = ⎢
− 1− 5
2⎥ .
⎣ 2
⎦
W ten sposób określona została macierz transformacji V, przedstawiająca rozkład macierzy
A według wartości własnych:
3,7025 0,5402⎤
⎡− 1,4142
⎢
− 1 − 3,2361 1.2361⎥⎥ .
V = [v1 v 2 v 3 ] ≈ ⎢
⎢⎣ 1,4142
1,4142 1,4142⎥⎦
Poszczególne wektory własne w powyższych obliczeniach nie są unormowane.
Normalizacja polega na wykonaniu skalowania zgodnie z (2.19) wszystkich wektorów
własnych.
Unormowana macierz transformacji jest następująca:
0,7236 0,2764⎤
⎡ − 0,6325
⎢
V = [v1 v 2 v 3 ] ≈ ⎢− 0,4472 − 0,6325 0,6325⎥⎥ .
⎢⎣ 0,6325
0,2764 0,7236⎥⎦
Można zauważyć, że zamiana dwóch pierwszych kolumn prowadzi do symetrycznej postaci
tej macierzy, która jest z pewnością korzystniejsza. Ostatecznie otrzymujemy:
⎡ 0,7236 − 0,6325 0,2764⎤
V = [v1 v 2 v 3 ] ≈ ⎢⎢− 0,6325 − 0,4472 0,6325⎥⎥ .
⎢⎣ 0,2764
0,6325 0,7236⎥⎦
Można sprawdzić, że: V T V = I , a ponadto:
0
0⎤
⎡0
⎢
T
V AV = Λ = ⎢0 1,3820
0⎥⎥ ,
⎢⎣0
0 3,6180⎥⎦
gdzie na przekątnej występują wartości własne macierzy A.
Poniżej rozpatrywany jest podobny przykład, gdy A jest macierzą hermitowską.
Przykład 2.8.
Określić operator V, który przekształca następującą macierz A:
0
⎡1
⎢
A = ⎢0
2 1+
⎢⎣ 1 1 − j1
1⎤
j1⎥⎥ do postaci diagonalnej.
2⎥⎦
Zauważmy, że A jest macierzą
charakterystyczne:
det(A–λI) = λ3 – 5λ2 +5λ = 0,
zespoloną
hermitowską.
Określamy
równanie
Metody numeryczne w technice
16
które jest identyczne, jak dla macierzy z Przykładu 2.7 – prowadzi więc do tych samych
wartości własnych.
Skorzystajmy w tym przypadku z pomocy programu MATLAB:
A=[1 0 1;0 2 1+1i;1 1-1i 2];
[V,D]=eig(A);
Po wykonaniu tego programu otrzymamy macierz przekształceń utworzoną z wektorów
własnych:
0,6325
0,7236 -0,1954 + j0,1954⎤
⎡
⎢
-0,6325⎥⎥ .
V = [v1 v 2 v 3 ] ≈ ⎢0,3162 + j0,3162 − 0,4472 − j0,4472
⎢⎣
0,2764 -0,5117 + j0,5117 ⎥⎦
-0,6325
Jest to macierz unitarna, więc można sprawdzić, że zachodzą następujące związki:
V * V = I oraz V −1 = V * ,
a ponadto:
v1* v1 = v *2 v 2 = v *3 v 3 = I .
0
0⎤
⎡0
⎢
V AV = D = ⎢0 1,3820
0⎥⎥ , co odpowiada diagonalnej macierzy D z wartościami
⎢⎣0
0 3,6180⎥⎦
własnymi na przekątnej, otrzymanej po wykonaniu powyższego programu.
T
W różnych zastosowaniach praktycznych macierz przekształceń V w (2.21) lub
(2.26), która prowadzi do macierzy diagonalnej, jest nazywana macierzą modalną.
Jest to związane z tym, że system n wzajemnie sprzężonych równań algebraicznych
lub różniczkowych, po diagonalizacji macierzy parametrów, staje się systemem
przedstawiającym n niezależnych układów, w których nie występują wzajemne
sprzężenia. Te niezależne współrzędne nazywane są modami. Typowym
przykładem w elektrotechnice jest modalna macierz przekształcenia układu
trójfazowego we współrzędnych fazowych do składowych symetrycznych, co
prowadzi do uproszczenia modelu. Takie podejście jest powszechnie stosowane w
technice.
Zadania
Poniższe zadania wykonać posługując się jedynie podstawowymi operacjami dostępnymi w
kalkulatorze lub w pakiecie kalkulacyjnym komputera.
2.1.
Obliczyć wyznacznik:
3−λ
0
1
det(A ) =
2 1− λ
1
−4 .
0 −1− λ
Określić wartości współczynnika λ, dla których równanie Ax=0 ma nietrywialnie
rozwiązania.
2.2. Dla podanych macierzy określić:
- wielomian charakterystyczny p (λ );
- wartości własne;
- wektory własne dla każdej wartości własnej.
2. Wartości własne i wektory własne macierzy
⎡1 2⎤
a) A = ⎢
⎥
⎣3 2⎦
⎡ 1 2 1⎤
d) A = ⎢⎢ 0 1 2⎥⎥
⎢⎣− 1 3 2⎥⎦
⎡1 0 j ⎤
f) A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥
⎢⎣ j 3 2⎥⎦
⎡1
b) A = ⎢
⎣9
⎡1
⎢0
e) A = ⎢
⎢0
⎢
⎣0
6⎤
2⎥⎦
1 1 1⎤
2 2 2⎥⎥
0 3 2⎥
⎥
0 0 4⎦
⎡− 2 3 ⎤
g) A = ⎢
⎥
⎣ 3 − 2 j⎦
17
⎡− 2 1 ⎤
c) A = ⎢
⎥
⎣ 3 − 2⎦
⎡− 149 − 50 − 154⎤
e) A = ⎢⎢ 537 180 546 ⎥⎥
⎢⎣ − 27 − 9 − 25 ⎥⎦
2−
⎡ 1
h) A = ⎢
2
⎣2 − j
j⎤
⎥
⎦
⎡ 4 2⎤
i) A = ⎢
⎥
⎣1 4 ⎦
⎡0 1 1/4 ⎤
⎡0 0 − 2 ⎤
⎡0 − 2 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
j) A = ⎢0 0 − 1 / 4⎥
k) A = ⎢1 0 1 ⎥
l) A = ⎢⎢1 3 − 1⎥⎥
⎢⎣1 0
⎢⎣0 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0
1 ⎥⎦
1 ⎥⎦
2.3. Dla podanych macierzy symetrycznych/hermitowskich określić wartości własne,
wektory własne i macierz modalną. Przeprowadzić normalizację wektorów własnych w celu
uzyskania wektorów ortonormalnych. Sprawdzić, czy są spełnione warunki
ortogonalności/unitarności macierzy modalnej.
⎡ 0 1 − j⎤
j) A = ⎢
⎥
⎣− j 2 ⎦
⎡1 3⎤
A=⎢
⎥
⎣3 2⎦
⎡1 0 1 ⎤
⎢
⎥
d) A = 0 1 2
⎢
⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦
⎡1
⎣6
⎡1
⎢1
e) A = ⎢
⎢1
⎢
⎣1
b) A = ⎢
6⎤
2⎥⎦
1 1
2 2
2 3
0 0
⎡ 1 0 1 − j⎤
⎢
⎥ g) A = ⎡ − 2
f) A = 0
1
3
⎢1 + 3
⎢
⎥
⎣
⎢⎣1 + j 3 2 ⎥⎦
⎡0 2
⎡ 0 1 − j⎤
⎢
j) A = ⎢
j) A = 2 0
⎥
⎢
⎣1 + j 2 ⎦
⎢⎣1 − 1
⎡ − 2 1 + j⎤
⎥
⎣1 − j − 2 ⎦
c) A = ⎢
1⎤
0⎥⎥
0⎥
⎥
4⎦
⎡1 0 − j⎤
⎢
⎥
e) A = 0 1 2
⎢
⎥
⎢⎣ j 2 2 ⎥⎦
1 − j3⎤
2 + j⎤
⎡ 1
h) A = ⎢
⎥
2 ⎥⎦
−2 ⎦
⎣2 − j
⎡4 1 ⎤
⎥
⎣1 4 ⎦
i) A = ⎢
1⎤
j − 2⎤
⎡0
⎡ 0 −2 j ⎤
⎥
⎢
⎥
− 1⎥ k) A = ⎢ − j 0 1 ⎥ l) A = ⎢⎢− 2 3 − j⎥⎥
⎢⎣− 2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣ − j
j
1 ⎥⎦
1 ⎥⎦
Uwaga: w przypadku, gdy wielomian charakterystyczny ma stopień większy niż dwa, to
można posłużyć się funkcją programu MATLAB do znalezienia jego pierwiastków:
roots(d),
gdzie d jest wektorem współczynników wielomianu. Na przykład, w przypadku
wielomianu:
p (λ ) = −λ3 + 5λ2 − 5λ + 1 = 0
pierwiastki oblicza się następująco:
d=[-1 5 -5 1];
q=roots(d),
gdzie q jest wektorem zawierającym pierwiastki: 3,7321, 1,0, 0,2679.