Pobierz - Instytut Matematyczny PAN

Rozmaito±ci siecznych i rangi tensorów w
geometrii algebraicznej
Jarosªaw Buczy«ski
21 sierpnia 2014
A
A.1
Podstawowe informacje
Imi¦ i nazwisko
Jarosªaw Buczy«ski
A.2
Stopnie naukowe
2008 Doktorat
obroniony na Wydziale Matematyki Uniwersytetu War-
szawskiego (z wyró»nieniem); praca doktorska: Algebraic Legendrian varie-
2003 Magisterium
ties, promotor: Jarosªaw Wi±niewski.
na Uniwersytecie Warszawskim, Kolegium MISMaP,
kierunek matematyka, obronione z wyró»nieniem; praca magisterska: Podrozmaito±ci legendrowskie w zespolonej przestrzeni rzutowej opiekun: Jarosªaw Wi±niewski.
A.3
Historia zatrudnienia
wrz 2011 sie 2018
Adiunkt,
stanowisko
wspólne:
Instytut
Matema-
tyczny PAN, Warszawa oraz Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego
wrz 2008 sty 2012
Stypendium Marie Curie International Outgoing Fellowship; zatrudniony przez Instytut Fouriera, Grenoble, Francja: cz¦±¢ wyjazdowa na Uniwersytecie Texas
A&M, College Station, TX, USA; cze±¢ powrotna w
Instytucie Fouriera
1
kwi 2011 cze 2011
Wizyta naukowa w Institut Mittag-Leer w Sztokholmie (Szwecja) w ramach programu Algebraic Geometry with a view towards applications
sty 2011 kwi 2011
Urlop z powodów rodzinnych
wrz 2008 sie 2010
Asystent Badawczy na Uniwersytecie Texas A&M
wrz 2007 sie 2008
Asystent Badawczy na Uniwersytecie Kent w Canterbury, Wielka Brytania
pa¹ 2003 lut 2008
Studia doktoranckie na Uniwersytecie Warszawskim
wrz 2003 lip 2004
Stypendium Marie Curie na Uniwersytecie Warwick,
Wielka Brytania
A.4
Publikacje tworz¡ce habilitacj¦
Tre±¢ niniejszej rozprawy habilitacyjnej stanowi¡ nast¦puj¡ce artykuªy:
(1) Secant varieties to high degree Veronese reembeddings,
catalecticant matrices and smoothable Gorenstein
schemes,
(wspóªautorzy: W. Buczy«ska) Journal of Algebraic Geometry 23 (2014),
63-90.
Wkªad J. Buczy«skiego byª nieco wi¦kszy ni» wspóªautorki. Artykuª
powstaª w wyniku licznych intensywnych rozmów i wymiany my±li.
Dowody ksztaªtowaªy si¦ stopniowo, kolejne wersje coraz silniejszych
twierdze« powstawaªy w miar¦ post¦pu prac. Ostateczny ksztaªt pierwszej wersji artykuªu byª w wi¦kszym stopniu dzieªem Buczy«skiego, ale
byªo to zbudowane na wcze±niejszych wersjach roboczych wypracowanych wspólnie. Korekta artykuªu po pierwszej recenzji byªa opracowana
wspólnie. Nie jest wi¦c mo»liwe dokªadne rozdzielenie, które pomysªy
lub dowody pochodz¡ od kogo. Szacowany udziaª procentowy: 60%.
(2) Determinantal equations for secant varieties and the
Eisenbud-Koh-Stillman conjecture,
(wspóªautorzy: A. Ginensky, J. Landsberg)
Journal of London Mathe-
matical Society, 88(1):1-24, 2013.
Równie» ten artykuª jest w wi¦kszym stopniu autorstwa Buczy«skiego,
ni» wspóªpracowników.
W uproszczeniu, wkªad do pierwszej wersji
artykuªu (umieszczonej na serwerze arxiv 1wszego lipca 2010) byª porównywalny.
Natomiast pó¹niej artykuª podlegaª modykacjom, po-
prawkom, a wyniki byªy wzmocnione.
W szczególno±ci Lemat 2.8 i
jego dowód jest pomysªem Buczy«skiego, co przyczynia si¦ do dowodu
2
Twierdzenia 1.1 w peªnej ogólno±ci. Prace redakcyjne byªy wykonane
wspólnie. Szacowany udziaª procentowy: 40%45%.
(3) Ranks of tensors and a generalization of secant varieties,
(wspóªautorzy: J. Landsberg)
Linear Algebra and Its Applications 438
(2013), pp. 668-689 (Special Issue "Tensors and Multilinear Algebra").
Artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnych rozmów w biurze
Landsberga podczas pobytu Buczy«skiego w Texas A&M University.
Wymiana my±li byªa pó¹niej kontynuowana drog¡ e-mailow¡ oraz przez
telefon po opuszczeniu Teksasu przez Buczy«skiego. Nie jest wi¦c mo»liwe rozdzielenie, które pomysªy lub dowody pochodz¡ od kogo. Szacowany udziaª procentowy: 50%.
(4) On the third secant variety,
(wspóªautorzy: J. Landsberg)
Journal of Algebraic Combinatorics, 40
(2014), pp. 475-502.
Analogicznie do poprzedniego artykuªu.
W rzeczy samej, pierwotna
wersja poprzedniego artykuªu zawieraªa cz¦±¢ wyników z tego artykuªu
i dopiero pó¹niej, wyniki zostaªy rozdzielone, ze wzgl¦du na ich obj¦to±¢. Tak»e te» ten artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnych
rozmów w biurze Landsberga podczas pobytu Buczy«skiego w Texas
A&M University.
Wymiana my±li byªa pó¹niej kontynuowana drog¡
e-mailow¡ oraz przez telefon po opuszczeniu Teksasu przez Buczy«skiego. Nie jest wi¦c mo»liwe rozdzielenie, które pomysªy lub dowody
pochodz¡ od kogo. Szacowany udziaª procentowy: 50%
(5) Waring decompositions of monomials,
(wspóªautorzy: W. Buczy«ska, Z. Teitler) Journal of Algebra 378 (2013),
pp. 45-67.
Artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnych rozmów rozpocz¦tych w Leuven i Djursholm.
Wymiana my±li byªa pó¹niej kontynu-
owana, cz¦±ciowo drog¡ e-mailow¡ oraz przez telefon.
Nie jest wi¦c
mo»liwe rozdzielenie, które pomysªy lub dowody pochodz¡ od kogo.
Szacowany udziaª procentowy: 35%
(6) Secants of Lagrangian Grassmannians,
(wspóªautorzy: A. Boralevi)
Annali di Matematica Pura ed Applicata
(2011), Volume 190, Number 4, 725-739.
Artykuª powstaª w wyniku licznych i intensywnych rozmów podczas
pobytu wspóªautorów w Teksasie 2009-2010.
3
Nie jest wi¦c mo»liwe
rozdzielenie, które pomysªy lub dowoyu pochodz¡ od kogo. Szacowany
udziaª procentowy: 50%
Wyniki skªadaj¡ce si¦ na rozpraw¦ habilitacyjn¡ s¡ opisane w rozdziale B.
A.5
Inne wyniki naukowe
Inne publikacje napisane po doktoracie:
(1) Maps of toric varieties in Cox coordinates,
(wspóªautorzy: G. Brown) Fundamenta Mathematica, 222 (2013), 213267
Artykuª oparty jest na pomysªach Buczy«skiego, wi¦kszo±¢ pracy zostaªa wykonana przez niego. Wszystkie stwierdzenia i lematy byªy przestawiane wspóªautorowi, który w wielu przypadkach wniósª cenne (cz¦sto krytyczne) uwagi, wskazywaª problemy oraz analizowaª przykªady.
Szacowany udziaª procentowy: 60%70%.
(2) On the graph labellings arising from phylogenetics,
(wspóªautorzy: W. Buczy«ska, K. Kubjas, M. Michaªek) Central European Journal of Mathematics, 2013, 11(9), 1577-1592 .
Wkªad Buczy«skiego jest niedu»y: spora cz¦±¢ pracy redakcyjnej, przeprowadzenie niektórych oblicze« komputerowych, oraz niewielki udziaª
w dyskusjach, które ostatecznie doprowadziªy do dowodu Twierdzenia 1.1. Szacowany udziaª procentowy: 15%20%.
(3) Contact Moishezon threefolds with second Betti number
one,
(wspóªautorzy: T. Peternell)
Archiv der Mathematik (2012), Volume
98, Number 5, Pages 427-431
Ten krótki artykuª jest wynikiem intensywnej wspólnej pracy podczas
krótkiej wizyty naukowej Buczy«skiego w Bayreuth oraz pó¹nieszej
emailowej wymiany my±li.
Dowód gªównego Twierdzenia i Lematów
powstaª wspólnie, a praca redakcyjna byªa przeprowadzona na zmian¦.
Szacowany udziaª procentowy: 50%.
(4) Duality and integrability on contact Fano manifolds,
Documenta Math. 15 (2010), 821841 .
Artykuª napisany samodzielnie. Udziaª procentowy: 100%.
Te wyniki w skrócie opisaªem w rozdziale C.
4
B
Streszczenie wyników skªadaj¡cych si¦ na habilitacj¦
Przedstawiana rozprawa dotyczy geometrii algebraicznej. Dokªadniej, omawiamy w niej wªasno±ci rozmaito±ci siecznych do rzutowych rozmaito±ci,
rangi ogólnych i symetrycznych tensorów oraz ich minimalne rozkªady. Jest
to dziedzina, w której pracuj¡ wybitni matematycy z ró»nych stron ±wiata:
Pierre Comon (Université de Grenoble), David Eisenbud (University of California, Berkeley), Joseph Landsberg (Texas A&M University), Laurent Manivel (Université de Montréal), Bernard Mourrain (INRIA Sophia Antipolis),
Giorgio Ottaviani (Università di Firenze), Kristian Ranestad (Universitetet i
Oslo), Bernd Sturmfels (University of California, Berkeley), and Jerzy Weyman (University of Connecticut).
B.1
Wst¦p
W naukach ±cisªych i in»ynierii naukowcy analizuj¡
aby wyizolowa¢ stosunkowo
proste
skomplikowane
dane,
zjawiska, które maj¡ kluczowe znaczenie
w badanej sytuacji.
Jako przykªad wyobra¹my sobie kilka osób rozmwi¡zj¡cy przez telefon
komórkowy w tym samym momencie. Stacja-odbiornik musi rozªo»y¢
plikowan¡
fal¦ elektromagnetyczn¡ na
proste
skom-
pojedyncze sygnaªy, z których
ka»dy przenosi jedn¡ rozmow¦.
Nast¦pny przykªad pochodzi ze spektroskopii uorescencyjnej.
Jest to
metoda sªu»¡ca do analizowania st¦»enia zwi¡zków chemicznych w próbkach roztworu. Ka»da próbka jest prze±wietlana ±wiatªem o ró»nych dªugo±ciach fali i badane s¡ dªugo±ci fal ±wiatªa emitowanego. Zebrane dane mog¡
by¢
skomplikowane
i poszukiwany jest sposób rozªo»enia danych na
proste
skªadniki pochodz¡ce od pojedynczych zwi¡zków chemicznych wchodz¡cych
w skªad roztworu.
Problemy tego rodzaju s¡ wszechobecne w nauce i stanowi¡ motywacj¦
dla naszych bada« nad
rozmaito±ciami siecznych
oraz nad powi¡zanymi po-
j¦ciami: rang¡, rang¡ brzegow¡ i rozkªadem minimalnym.
W nad ciaªem
C oraz podzbiór X̂ ⊂ W rozpinaj¡cy W , jako przestrze«
liniow¡. Niech p ∈ W . Deniujemy X̂ -rang¦ p jako najmniejsz¡ liczb¦
caªkowit¡ r = rX̂ (p), tak¡, »e
Rozwa»my sko«czenie wymiarow¡ przestrze« wektorow¡
liczb zespolonych
p = λ1 x̂1 + λ2 x̂2 + · · · + λr x̂r
Równowa»nie
gdzie
hRi
r
dla pewnych
x̂i ∈ X̂
jest minimaln¡ liczb¡ caªkowit¡ tak¡, »e
λi ∈ C.
p ∈ hx̂1 , x̂2 , . . . , x̂r i,
R.
oznacza przestrze« liniow¡ rozpi¦t¡ przez zbiór
5
i
My±limy o
zbiorze
V
prostych
jak o zbiorze wszystkich mo»liwych stanów, za± o
stanów, oraz o
p
jak o
skomplikowanym
X̂
jak o
przypadku, który
chcemy rozªo»y¢. Wobec tego ranga powinna by¢ liczb¡ prostych skªadników,
na które mo»na rozªo»y¢ nasz wybrany skomplkowany stan.
W powy»szych przykªadach, w optymalnych warunkach, ranga jest liczb¡
rozmów przez komórk¦, lub liczb¡ substacji chemicznych w roztworze. Oczywi±cie kilka wa»nych problemów mo»e stanowi¢ przeszkod¦:
je±li skªadni-
ków/rozmów jest du»o ranga mo»e nie by¢ pomocna. Nietrudno wyobrazi¢
sobie, »e gdy prowadzonych jest zbyt wiele rozmów jednocze±nie na jednym
odbiorniku, to nie jest mo»liwe oddzielenie pojedynczej rozmowy.
Podob-
nie gdy mamy niewiele pomiarów ±wiatªa w porównaniu z liczb¡ skªadników
roztworu, to nie b¦dziemy potrali ich zidentykowa¢. Inny wa»ny problem
to
zakªócenia,
(dane z odbiornika s¡ nieco znieksztaªcone). Istniej¡ metody
radzenia sobie z zakªóceniami, nie jest to jednak przedmiotem tej rozprawy.
Rozwa»my teraz kilka bardziej matematycznych przykªadów.
B.1.1 Mno»enie macierzy
Mno»enie macierzy jest dwuliniowym odwzorowaniem
Cf g × Cgh → Cf h .
Mo»na wi¦c my±le¢ o nim jako tensorze
Mf,g,h ∈ (Cf g )∗ ⊗ (Cgh )∗ ⊗ Cf h = A ⊗ B ⊗ C = W.
Najprostszy, naiwny algorytm tego mno»enia potrzebuje
f gh
mno»e« liczb
zespolonych i zapisuje si¦ w postaci tensorowej jako:
Mf,g,h =
X
aij ⊗ bjk ⊗ cik .
i,j,k
f gh prostych tensorów
X̂ := Ŝeg(A × B × C) ⊂ W b¦dzie
Jest to rozkªad na sum¦
Niech
postaci
a ⊗ b ⊗ c.
zbiorem tensorów prostych.
rX̂ (Mf,g,h ) ≤ f gh.
2 × 2 mo»na pomno»y¢ u»ywaj¡c
jedynie 7 mno»e« liczb zespolonych (zamiast 2 · 2 · 2 = 8 mno»e«) [Stra69]:
a1 a2
b1 b2
a1 b 1 + a2 b 3 a1 b 2 + a2 b 4
·
=
a3 a4
b3 b4
a3 b 1 + a4 b 3 a3 b 2 + a4 b 4
I + IV − V + V II
III + V
=
II + IV
I + III − II + V I
Wypisany powy»ej rozkªad daje oszacowanie na rang¦
Strassen udowoniª, »e dwie macierze
6
gdzie:
I
III
V
V II
:=(a1 + a4 )(b1 + b4 )
:=a1 (b2 − b4 )
:=(a1 + a2 )b4
:=(a2 − a4 )(b3 + b4 )
II :=(a3 + a4 )b1
IV :=a4 (−b1 + b3 )
V I :=(−a1 + a3 )(b1 + b2 )
co w zapisie tensorowym przekªada si¦ na:
M2,2,2 =(a1 + a4 ) ⊗ (b1 + b4 ) ⊗ (c1 + c4 )
+(a3 + a4 ) ⊗ b1 ⊗ (c3 − c4 )
+a1 ⊗ (b2 − b4 ) ⊗ (c2 + c4 )
+a4 ⊗ (−b1 + b3 ) ⊗ (c1 + c3 )
+(a1 + a2 ) ⊗ b4 ⊗ (−c1 + c2 )
+(−a1 + a3 ) ⊗ (b1 + b2 ) ⊗ c4
+(a2 − a4 ) ⊗ (b3 + b4 ) ⊗ c1
Zatem
rX̂ (M2,2,2 ) ≤ 7
(a tak naprawd¦
X -ranga
jest równa
7).
Je±li zasto-
sujemy ten algorym wielokrotnie do macierzy blokowych, dostaniemy nowy
sposób na pomno»enie dwóch f × f macierzy kwadratowych u»ywaj¡c okoªo
f log2 7 ' f 2.81 mno»e« liczb zespolonych. T¦ dyskusj¦ mo»na podsumowa¢ w
Ranga mno»enia maªych macierzy mo»e dawa¢ asymptotyczne ograniczenie górne na zªo»ono±¢ obliczeniow¡
mno»enia du»ych macierzy.
nast¦puj¡cym zdaniem:
Mno»enie macierzy jest tylko przykªadem odwzorowania wieloliniowego,
istniej¡ te» inne bardzo wa»ne tego typu odwzorownia, które mo»emy bada¢
w analogiczny sposób.
B.1.2 Ewaluacja wielomianów
W := S d Cn b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ wielomianów jednorodnych
n
d
stopnia d w n zmiennych. Oznaczmy przez X̂ := v̂d (C ) ⊂ W zbiór l po
n
wszystkich l ∈ C , czyli zbiór d-tych pot¦g form linowych. Zauwa»my, »e
Niech
ewaluacja formy linowej w punkcie jest operacj¡ do±¢ tani¡. Maj¡c dan¡
p = ld oraz n-tk¦ liczb zespolonych a = (a1 , . . . , an ), mo»emy podstawi¢ l(a)
d
bd/2c
i kolejno wyliczy¢ l(a) = l(a)
· l(a)dd/2e . To oznacza, »e stopie« skom-
∼ n log2 d w tym przypadku. Zatem
wynosi co najwy»ej ∼ rX (p) · n log2 d.
plikowania ewaluacji jest co najwy»ej
ranga wielomianu mierzy obliczeniow¡ zªo»ono±¢
ewaluacji wielomianów.
zªo»no±¢ ewaluacji wielomianu
p
W tym duchu,
7
Warto wspomnie¢, »e w przypadku wielomianów jednorodnych ranga jest
równie» nazywana
rang¡ Waringa
w hoªdzie matematykowi E. Waringowi,
który w XVIII wieku zajmowaª si¦ przedstawianiem liczb caªkowitych jako
sumy pot¦g, zobacz prac¦ przegl¡dow¡ [VW02].
B.1.3 Rozmaito±ci siecznych i ranga brzegowa
We wszystkich zastowaniach wymienionych wy»ej zbiór
X̂
jest niezmienniczy
ze wzgl¦du na przeskalowania i jest rozmaito±ci¡ aniczn¡, czyli zbiorem
domkni¦tym w
W,
który mo»na opisa¢ równaniami wielomianowymi.
Z tych dwóch zaªo»e« wynika, »e
rozmaito±ci
X ⊂ PW ,
X̂
jest sto»kiem aniczym rzutowej
z któr¡ jest znacznie wygodniej pracowa¢, gdy» ma
wªasno±ci zwartej przestrzeni topologicznej.
Od tej pory b¦dziemy rozwa»a¢ rozmaito±¢ rzutow¡
X ⊂ PW ,
a notacja
i sformuªowania twierdze« b¦d¡ w wersji rzutowej. Czytelnik nie przyzwyczajony do geometrii algebraicznej mo»e mie¢ na uwadze wy»ej opisane przykªady: zbiór tensorów prostych oraz zbiór pot¦g form liniowych lub podobne
podprzestrzenie przestrzeni tensorów.
Mo»emy zastosowa¢ denicj¦
jest minimaln¡ liczb¡ caªkowit¡
xi ∈ X .
Tu
hRi
X -rangi równie» do p ∈ PW ,
r, tak¡, »e p ∈ hx1 , . . . , xr i
a wi¦c
rX (p)
dla pewnych
oznacza rozpi¦cie rzutowej przestrzeni liniowej, czyli najPk ⊂ PW zawieraj¡cej R. Na razie R ⊂ PW jest
mniejszej podprzestrzeni
sko«czonym zbiorem, lecz mo»e by¢ równie» rozmaito±ci¡ rzutow¡ lub podschematem przestrzeni rzutowej.
Deniujemy
r-t¡ rozmaito±¢ siecznych
rozmaito±ci
X
sumy wszystkich podprzestrzeni linowych rozpi¦tych przez
σr (X) :=
[
jako domkni¦cie
r
punktów z
X:
{hx1 , . . . , xr i : xi ∈ X} ⊂ PW.
Rozmaito±¢ siecznych jest wi¦c domkni¦ciem zbioru punktów rangi co najwy»ej
r.
W szczególno±ci proste styczne do
X
s¡ granicami prostych siecznych,
zatem punkty zanurzonej przestrzeni stycznej do
wieraj¡ si¦ w
σ2 (X),
X
w gªadkim punkcie za-
jednak zwykle punkty tam»e maj¡ rang¦ wy»sz¡ ni»
2.
Wobec tego stratykacja
W
przez rang¦ mo»e by¢ bardzo skomplikowana.
Jest to motywacj¡ dla przyj¦cia nast¦puj¡cej denicji. Niech
p ∈ PW
(lub
p∈
rX (p) jako X -rang¦ brzegow¡ punktu p, czyli minimaln¡
r, taka, »e p ∈ σr (X) (lub [p] ∈ σr (X), gdzie [p] ∈ PW jest
klas¡ p ∈ W w przestrzeni rzutowej; przyjmujemy, »e rX (p) = rX (p) = 0, gdy
p = 0, lecz nie b¦dziemy tego u»ywa¢ w niniejszej rozprawie). Innymi sªowy,
X -ranga brzegowa punktu p to najmniejsza liczba natularna r taka, »e p
W ).
Deniujemy
liczb¦ naturalna
8
przybli»a si¦ przez kombinacje liniowe r punktów z X . Zawsze rX (p) ≤ rX (p).
W wielu zastosowaniach wystarczaj¡cy jest przybli»ony wynik, wi¦c ranga
brzegowa jest interesuj¡c¡ i wa»n¡ wielko±ci¡.
Jako przykªad wró¢my do
mno»enia macierzy: dobre ograniczenie na rang¦ brzegow¡ mo»e posªu»y¢ do
szybkiego pomno»enia macierzy z dowolnie zadan¡ dokªadno±ci¡.
W mojej pracy zajmowaªem si¦ szczególnymi przypadkami czterech problemów:
(i) Wyznaczy¢
X -rang¦ i X -rang¦
brzegow¡ punktów.
(ii) Znale¹¢ rozkªad minimalny.
(iii) Znale¹¢ równania opisuj¡ce rozmaito±ci siecznych.
(iv) Policzy¢ wymiary rozmaito±ci siecznych.
B.2
Przegl¡d wyników rozprawy
B.2.1 Równania deniuj¡ce rozmaito±ci siecznych do zanurze« Veronese
Niech
X ⊂ PV
b¦dzie rozmaito±ci¡ rzutow¡. Niech
vd : PV → P(S d V ) b¦dzie
odwzorowaniem Veronese zdeniowanym nast¦puj¡cym wzorem:
vd ([`]) := [`d ].
vd (X) ⊂ P(S d V ), czyli zanurzenie Veronese X . Badamy równania
deniuj¡ce rozmaito±¢ siecznych σr (vd (X)), gdy d jest wystarczaj¡co du»e,
wzgl¦dem r oraz niezmienników X . Wa»nym, interesuj¡cym nas szczególnym
przypadkiem jest X = PV wtedy przedmiotem bada« jest rozmaito±¢
Rozwa»my
siecznych rozmaito±ci Veronese.
By rozwi¡za¢ ten problem w ogólno±ci potrzebujemy metod otrzymywania
równa« rozmaito±ci siecznych u»ywaj¡c wªasno±ci
X.
Wspomnijmy trzy z
nich:
0
{0} Je±li rozmaito±¢ Y ⊂ PW jest zawarta w podprzestrzeni liniowej PW ,
0
to σr (Y ) ⊂ PW dla wszystkich r . Innymi sªowy, je±li w ideale rozma-
Y
σr (Y ).
ito±ci
{1} Je±li
jest równanie liniowe, to to samo równanie nale»y te» do ideaªu
X ⊂ Y ⊂ PW ,
to
σr (X) ⊂ σr (Y ).
M , której wyrazy s¡ formami liniowymi
2 × 2 minory M zeruj¡ si¦ na Y (czyli dowolny
{2} Przypu±cmy, »e istnieje macierz
z
W,
oraz wszystkie
9
y ∈ Y ma rang¦ co najwy»ej 1: rk(M (y)) ≤ 1) , wtedy wszystkie
(r + 1) × (r + 1) minory macierzy M zeruj¡ si¦ σr (Y ) (czyli dowolny
punkt p ∈ σr (Y ) ma rang¦ co najwy»ej r : rk(M (p)) ≤ r ).
punkt
X 6= PV .
d rozmaito±¢ vd (X) jest zawarta w pewnej
d
podprzestrzeni linowej hvd (X)i ⊂ P(S V ), równej zbiorowi zer wielomianów
stopnia d zeruj¡cych si¦ na X .
d
∗
d
∗
1
d
∗
U»ywamy tutaj naturalnego izomorzmu S (V ) ' (S V ) = S (S V ) ,
a wi¦c faktu, »e formy stopnia d na przestrzeni otaczaj¡cej X s¡ formami
liniowymi na przestrzeni otaczaj¡cej vd (X). Oprócz tego, vd (X) ⊂ vd (PV ),
wi¦c ka»de równanie σr (vd (PV )) prowadzi do równania σr (vd (X)). Ideaª
wielomianów zeruj¡cych si¦ na vd (PV ) jest generowany przez 2 × 2 minory
i-tej macierzy katalektycznej Mi , dla dowolnego i ∈ 1, . . . , d − 1. Macierze
Niech
Dla du»ych
katalektyczne s¡ macierzami form liniowych, wi¦c mo»na stosowa¢ {2}. W
efekcie stosuj¡c {0}, {1}, i {2} otrzymujemy:
σr (vd (X)) ⊂ Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi )) ∩ hvd (X)i.
Tu
(B.1)
Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi )) oznacza zbiór zer (r + 1) × (r + 1) minorów Mi ,
czyli macierzy katalektycznej.
David Eisenbud zastanawiaª si¦ czy zawieranie (B.1) jest równo±ci¡:
Pytanie B.2
.
(Eisenbud) Czy dla ustalonego X i r , o ile d 0, powy»sze równania wystarczaj¡ do wyznaczenia rozmaito±ci siecznych σr (vd (X))?
Czyli czy zawieranie (B.1) jest równo±ci¡?
W artykule [BGL13, Ÿ1.2] znajdziemy histori¦ i motywacj¦ problemu oraz
jego oryginaln¡ (mocniejsz¡) wersj¦.
Hipoteza autorstwa Eisenbuda, Koha
i Stillmana postawiona w artykule [EKS88] dotyczy przypadku krzywych
rzutowych i postuluje odpowied¹ pozytywn¡ w tym przypadku. W pracach
[BGL13] i [BB14] udaªo nam si¦ otrzyma¢ peªn¡ odpowied¹, jednak z ograniczeniem do równa« teorio-zbiorowych. W szczególno±ci udowodnili±my
Twierdzenie B.3
. Niech X ⊂ PV b¦dzie rozmaito±ci¡
([BB14, Cor. 1.9])
rzutow¡, a r ≥ 1 liczb¡ naturaln¡. Mówimy, »e (?) zachodzi je±li
(?) ka»dy zerowymiarowy podschemat Gorensteina w X dªugo±ci co najwy»ej r, jest wygªadzalny w X .
Zaªó»my, »e (?) zachodzi. Wtedy istnieje liczba caªkowita d0 = d0 (r, X), taka,
»e dla dowolnego d ≥ d0 oraz r ≤ i ≤ d − r zachodzi nast¦puj¡ca równo±¢
zbiorów:
σr (vd (X)) = Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi )) ∩ hvd (X)i.
10
I odwrotnie: je±li (?) nie zachodzi, to dla dowolnego d ≥ 2r − 1 mamy teoriozbiorowo
σr (vd (X))
hvd (X)i ∩
d−1
\
Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi )).
i=1
d0 w tym twierdzeniu mo»na wyznaczy¢ znaj¡c r oraz wielomian
Hilberta X . Jest ona równa max {2r, Got(hX ) + r − 1}, gdzie Got(hX ) jest
liczb¡ Gotzmanna wielomianu Hilberta X (patrz [BGL13, Prop. 2.1.2]). Warunek (?) zale»y jedynie od wewn¦trznej geomtrii X i nie zale»y od wybranego
zanurzenia X ⊂ PV . Dokªadniej, zale»y jedynie od r , dim X oraz osobliwo±ci X . Je±li X jest gªadkie (na przykªad X = PV ), to (?) zachodzi je±li
dim X ≤ 3 lub r ≤ 10 (a wªa±ciwie r ≤ 13, wobec ostatnich wyników autorLiczb¦
stwa Gianfranco Casnati, Joachima Jelisiejewa i Roberto Notari, [CJN14]).
dim X ≥ 4 i r jest dostatecznie du»e (r ≥ 14 wystarczy
dim X ≥ 6), wtedy (?) nie zachodzi. Podobnie, gdy X jest osobliwe to
Z drugiej strony, je±li
o ile
warunek ten cz¦sto nie zachodzi.
W szczególno±ci, w pracy [BGL13] konstruujemy przykªady osobliwych
krzywch nie speªniaj¡cych
(?)
dla »adnego
r ≥ 2.
Powinni±my tu zwróci¢ uwag¦, »e szczególne przypadki Twierdzenia B.3
byªy znane wcze±niej, oraz w niektórych przypadkach mo»na powiedzie¢
znacznie wi¦cej.
Przypadek
r = 1
(gdy rozwa»amy po prostu zanurzenie
Veronese lub bardziej ogólnie zanurzenie przez dostatecznie szeroki system liniowy) jest obiektem intensywnych bada« od czasów Mumforda, patrz [SS09],
gdzie znajduj¡ si¦ wspóªczesne wyniki na ten temat. Przypadek krzywych
dim X = 1
stanowi hipotez¦ autorstwa Eisenbud, Koh i Stillman [EKS88],
a dowód przypadku gªadkiego mo»na znale¹¢ w [Ravi94] i jego wzmocnienie
w [Gine10]. Wcze±niej rozwi¡zany problem w przypadku
r=2
i
X = PW
zostaª wzmocniony do wesji ideaªowej w [Raic10].
W ksi¡»ce [IK99], znajdziemy negatywn¡ odpowied¹ na pytanie B.2, (wynika ona równie» z naszego twierdzenia B.3) lecz dowód opiera si¦ na pracy
[CI12], która zostaªa opublikowana na serwerze arxiv dopiero po internetowym udost¦pnieniu prac [BGL13] i [BB14].
We wst¦pie pracy [BGL13]
omawiamy t¦ tematyk¦ dokªadniej.
Nasze podej±cie do pytania B.2 dzieli si¦ na dwa nast¦puj¡ce zgadnienia.
Pytanie B.4. Czy dla ustalonego podzbioru X ⊂ PW oraz r, je±li d 0,
zachodzi równo±¢ zbiorów
σr (vd (X)) = hvd (X)i ∩ σr (vd (PW ))?
11
Pytanie B.5. Czy dla ustalonych n,r oraz d 0, zachodzi równo±¢ zbiorów
przy pewnym i:
σr (vd (Pn )) = Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi ))?
Je±li odpowied¹ na pytania B.4 i B.5 jest pozytywna, to w rezultacie
otrzymujemy pozytywn¡ odpowied¹ na B.2. Z drugiej strony, je±li którakolwiek z nich ma negatywn¡ odpowied¹, to równie» negatywna jest odpowied¹
na B.2. Pytanie B.4 jest gªównym tematem [BGL13], podczas gdy B.5 rozwa»amy w [BB14]. Twierdzenie B.3 zostaªo otrzymane jako wynik prac na
tymi dwoma pytaniami. Omówimy teraz krótko u»yte przez nas metody.
W [BGL13, Thm 1.1] dowodzimy, »e odpowied¹ na B.4 jest pozytywna,
o ile
X
jest gªadkie.
Twierdzenie B.6. Niech X ⊂ P
b¦dzie gªadk¡ podrozmaito±ci¡ i niech
r ∈ N. Dla dowolnego d ≥ r − 1 + Got(hX ), prawdziwa jest równo±¢ zbiorów
n
σr (vd (X)) = σr (vd (Pn )) ∩ hvd (X)i
red
,
gdzie (·)red oznacza zredukowanie schematu.
Najwa»niejszym pomysªem w dowodzie jest poni»szy lemat.
Lemat B.7
. Niech X ⊂ P
b¦dzie podschematem, d ≥
zerowymiarowym schematem dªugo±ci co najwy»ej
r. Wtedy hvd (R)i ∩ hvd (X)i = hvd (R ∩ X)i.
([BGL13, Lem. 1.2])
r−1+Got(hX )
R ⊂ Pn
, za±
n
Stosujemy powy»szy lemat do dowodu twierdzenia B.6 w nast¦puj¡cy
n
r−1
Niech p ∈ σr (vd (P )) ∩ hvd (X)i nale»y do siecznej P
rozpi¦n
tej przez r ró»nych punktów z vd (P ). Oznaczmy przez R zerowymiarowy
n
schemat skªadaj¡cy si¦ z r punktów rozwa»anych w P , a wi¦c p ∈ hvd (R)i.
t−1
Wtedy z lematu B.7, mamy p ∈ hvd (R ∩ X)i, czyli p jest na siecznej P
do
sposób.
vd (X),
gdzie
t = #(R ∩ X) ≤ r.
Wi¦cej pracy wymaga przypadek, gdy p nie le»y na wªa±ciwej siecznej
r−1
P , lecz pomysª w swojej naturze jest ten sam. Pojawiaj¡ si¦ problemy
zwi¡zane z
wygªadzalno±ci¡
schematów sko«czonych, i pokazujemy, »e w
twierdzeniu B.6 potrzebujemy zaªo»enia o gªadko±ci
Twierdzenie B.8
.
X.
([BGL13, Thm 1.3]) Dla dowolnego q oraz r ≥ 2, istnieje
nieprzywiedlna, osobliwa rozmaito±¢ X ⊂ PV taka, »e
σr (vd (X)) 6= σr (vd (Pn )) ∩ hvd (X)i red
jako zbiory, za± σr (vd (X)) nie jest zdeniowane przez równania stopnia co
najwy»ej q jako zbiór, dla wszystkich d ≥ 2r − 1.
12
W pracy [BGL13] podali±my konkretne przykªady osobliwych krzywych
speªniaj¡cych tez¦ Twierdzenia B.8, tym samym dowodzimy, »e hipoteza
Eisenbuda-Koha-Stillmana jest nieprawdziwa dla krzywych osobliwych.
Celem znalezienia odpowiedzi na pytanie B.5, w pracy [BB14] wprowa-
r-t¡ rozmaito±¢ kaktusow¡ rozmaito±ci X ⊂ PW , oznaczan¡ Kr (X).
Rozmaito±¢ kaktusowa Kr (X) jest domkni¦ciem sumy przestrzeni liniowych
rozpinanych na R w sposób schemato-teoretyczny, gdzie R przebiega wszystkie zerowymiarowe podschematy X dªugo±ci co najwy»ej r .
dzili±my
Ta rozmaito±¢ zawiera rozmaito±¢ siecznych i jest zawarta zbiorze zer
minorów:
σr vd (PV ) ⊂ Kr (vd (PV )) ⊂ Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi )).
Zatem w naturalny sposób badanie zawierania (B.1) dla
X = PV
mo»na
podzieli¢ na dwa kroki. Nast¦puj¡ce twierdzenie wyja±nia jaka jest zale»no±¢
pomi¦dzy równo±ci¡
σr vd (X) = Kr (vd (X))
rowych schematów Gorensteina
Twierdzenie B.9
([BB14, Thm 1.4])
a wygªadzalno±ci¡ zerowymia-
. We¹my X ⊂ PV rozmaito±¢ rzutow¡
oraz r ≥ 1 pewna liczba naturalna. Niech warunek (?) b¦dzie taki jak w
twierdzeniu B.3. Wtedy
(i) Je±li (?) zachodzi, to σr (X) = Kr (X).
(ii) Je±li σr vd (X) = Kr (vd (X)) zachodzi dla pewnego d ≥ 2r − 1, to (?)
jest prawdziwe.
(?) nie zale»y od zanurzenia X , to w sytuacji (i), równie» σr vd (X) =
Kr (vd (X)) dla dowolnego d.
Skoro
Nast¦pnym krokiem jest zrozumienie, kiedy
Kr (vd (PV )) = Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi ))
jako zbiory.
Twierdzimy, »e dla wystarczaj¡co du»ych
zawsze prawdziwa.
Twierdzenie B.10
d,
ta równo±¢ jest
.
([BB14, Thm 1.5]) Niech d ≥ 2r i r ≤ i ≤ d − r . Wtedy
Kr (vd (PV )) = Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi )) jako zbiory.
Dowód tego twierdzenia jest efektywny w tym sensie, »e maj¡c dany
[p] ∈ Z(M inors(r+1)×(r+1) (Mi )), mo»emy wyznaczy¢ jedyny, najmniejschemat R ⊂ PV , taki, »e [p] ∈ hvd (R)i. Patrz [BB14, Thm 1.6].
punkt
szy
13
B.2.2 Ranga i ranga brzegowa
W tym rozdziale streszcz¦ dwa artykuªy napisane wspólnie z Josephem Landsbergiem.
Du»a cz¦±¢ pierwszej pracy [BL13] ma charakter przegl¡dowy,
nale»y zauwa»y¢, »e zestawia wyniki wielu ró»nych zespoªów badawczych.
Przedstawimy krótko zawarto±¢ pracy [BL13], nast¦pnie dokªadniej omówimy
wyniki z [BL14].
W artykule [BL13] podajemy nowe ograniczenie górne na maksymaln¡
rang¦ tensora.
Jako wniosek otrzymujemy nowe ograniczenie górne na
X-
rang¦ w ogólno±ci, patrz [BL13, Prop. 3.3 and Cor. 3.5].
n
n
n
Pokazujemy na przykªad, »e maksymalna ranga tensora w C ⊗ C ⊗ C
2
jest nie wi¦ksza ni» n − n + 1. (Niestety przez literówk¦ w [BL13] podali±my,
2
»e ograniczenie wynosi n − n − 1, lecz jest ono zbyt mocne). Do tego czasu
2
najlepszym znanym ograniczeniem byªo n . Oprócz tego udaªo nam si¦ udowodni¢, »e hipoteza Comona w wersji dla cz¦±ciowo symetrycznych tensorów
2
b
b
zachodzi w C ⊗ C ⊗ C .
2
b
c
Dla tensorów w C ⊗ C ⊗ C , gdy b ≤ 3, dziaªanie GL2 × GLb × GLc
ma tylko sko«czenie wiele orbit.
Dla punktów w ka»dej orbicie podajemy
geometryczn¡ interpretacj¦, wyznacamy jego rang¦ i rang¦ brzegow¡.
Ju» Terracini wprowadziª poj¦cie
rangi brzegowej podprzestrzeni.
Zde-
niowali±my analogiczne poj¦cie rangi podprzestrzeni, wymieniamy znane
wyniki z ni¡ powi¡zane i dowodzimy podstawowych wªasno±ci. Kluczem
2
b
c
do badania tensorów w C ⊗ C ⊗ C jest posta¢ normalna Kroneckera dla
p¦ku macierzy, któr¡ omawiamy jak wst¦p do dowodu twierdzenia GrigorievJa'Ja'-Teicherta dotycz¡cego rangi p¦ków.
To twierdzenie uogólnili±my na
przypadek p¦ków macierzy symetrycznych [BL13, Thm 7.1].
W pracy [BL14] badamy szczegóªowo trzeci¡ rozmaito±¢ siecznych produktu Segre przestrzeni rzutowych i innych rozmaito±ci jednorodnych. Jako
motywacj¦ przytoczmy nast¦puj¡cy fakt.
Stwierdzenie B.11
([BL14, Prop. 1.1])
. Niech X = Seg(PA ×· · ·×PA ) ⊂
1
n
P(A1 ⊗ · · · ⊗ An ) b¦dzie rozmaito±ci¡ Segre. Postaci normalne dla punktów
x ∈ σ̂2 (X) s¡ nast¦puj¡ce
(a) x = a11 ⊗ · · · ⊗ an1 dla punktu z X , który ma rang¦ 1,
(b) x = a11 ⊗· · ·⊗an1 +a12 ⊗· · ·⊗an2 dla punktu na prostej siecznej X (wymagamy by co najmniej dwa ai2 byªy liniowo niezale»ne od odpowiadaj¡cych
im ai1 ), który ma rang¦ 2,
(c) oraz dla ka»dego J ⊆ {1, . . . , n}, |J| > 2, posta¢ normalna
x=
X
⊗ aj2 ⊗ aj+1
⊗ · · · ⊗ an1
a11 ⊗ · · · ⊗ aj−1
1
1
j∈J
14
(B.12)
gdzie ka»dy aj2 nie jest zale»ny od odpowiadaj¡cych aj1 . W tym przypadku
ranga wynosi |J|.
W szczególno±ci, wszystkie liczby od 1 to n wyst¦puj¡ jako rangi elementów
σ2 (X).
Gªównym wynikiem pracy [BL14] jest analogiczna klasykacja punktów
na trzeciej rozmaito±ci siecznych do produktu Segre.
Twierdzenie B.13
.
([BL14, Thm 1.2]) Zaªó»my n ≥ 3 i niech X := Seg(PA1 ×
· · · × PAn ). Przyjmijmy p = [v] ∈ σ3 (X) \ σ2 (X). Wtedy v jest wektorem
jednej z nast¦puj¡cych postaci:
(i) v = x + y + z , gdzie [x], [y], [z] ∈ X ,
(ii) v = x0 + y , gdzie [x], [y] ∈ X oraz x0 ∈ T̂[x] X , zanurzonej przestrzeni
stycznej [x],
(iii) v = x0 + x00 , gdzie [x(t)] ⊂ X jest krzyw¡ oraz x0 = x0 (0), x00 = x00 (0),
lub
(iv) v = x0 + y 0 , gdzie [x], [y] ∈ X s¡ ró»nymi punktami le»¡cymi na jednej
prostej zawartej w X , a x0 ∈ T̂[x] X oraz y 0 ∈ T̂[y] X .
Punkty typu (i) zawieraj¡ otwarty podzbiór Zariskiego w σ3 (X) \ σ2 (X). Je±li
dim Ai ≥ 3, to punkty typu (ii) maj¡ kowymiar jeden w σ3 (X), te typu (iii)
s¡ zawarte w domkni¦ciu tych o typie (ii) i maj¡ kowymiar dwa w σ3 (X),
natomiast punkty typu (iv) zawieraj¡ si¦ w domkni¦ciu zbioru punktów typu
(iii) i maj¡ kowymiar cztery w σ3 (X). Istnieje n ró»nych skªadowych punktów
typu (iv). Ogólny punkt dowolnego typu nie jest punktem »adnego innego
typu.
Gdy
n = 2, wszystkie punkty w σ3 (Seg(PA1 ×PA2 ))\σ2 (Seg(PA1 ×PA2 ))
s¡ typu (i).
Nast¦pnie ograniczamy zbiór osobliwy trzeciej rozmaito±ci siecznych. Jest
to umotywowane nast¦puj¡cym wynikiem dla drugiej rozmaito±ci siecznych:
Twierdzenie B.14
([BL14, Thm 1.3])
tzn. punkt o normalnej postaci
PB × PC)). W szczególno±ci
. Ogólny punkt τ (Seg(PA×PB×PC)),
(B.12)
, jest gªadkim punktem σ2 (Seg(PA ×
codim(σ2 (Seg(PA × PB × PC))sing , σ2 (Seg(PA × PB × PC))) ≥ 2.
Dla trzeciej rozmaito±ci siecznych mamy:
15
Twierdzenie B.15
.
([BL14, Thm 1.4]) Niech p ∈ σ3 (Seg(PA × PB ×
PC)). Jesli p jest ogólnym punktem typu (ii) lub (iii), lub ogólnym punktem którejkolwiek skªadowej punktów postaci (iv), to p jest gªadkim punktem
σ3 (Seg(PA × PB × PC)). Co wi¦cej, je±li dim A, dim B, dim C ≥ 3, oraz p
jest ogólnym punktem w zbiorze punktów zawartych w jakiej± P(C2 ⊗C3 ⊗C3 ),
to p jest gªadkim punktem σ3 (Seg(PA × PB × PC)) i podobnie dla zmienionej
kolejno±ci A, B , C .
W szczególno±ci codim(σ3 (Seg(PA × PB × PC))sing , σ3 (Seg(PA × PB ×
PC))) ≥ 2.
Formy normalne dla Twierdzenia B.13, gdy
(i)
(ii)
n = 3,
s¡ nast¦puj¡ce:
a1 ⊗ b 1 ⊗ c 1 + a2 ⊗ b 2 ⊗ c 2 + a3 ⊗ b 3 ⊗ c 3
a1 ⊗ b 1 ⊗ c 2 + a1 ⊗ b 2 ⊗ c 1 + a2 ⊗ b 1 ⊗ c 1 + a3 ⊗ b 3 ⊗ c 3
(iii)
a1 ⊗b2 ⊗c2 +a2 ⊗b1 ⊗c2 +a2 ⊗b2 ⊗c1 +a1 ⊗b1 ⊗c3 +a1 ⊗b3 ⊗c1 +a3 ⊗b1 ⊗c1
(iv)
a2 ⊗ b 1 ⊗ c 2 + a2 ⊗ b 2 ⊗ c 1 + a1 ⊗ b 1 ⊗ c 3 + a1 ⊗ b 3 ⊗ c 1 + a3 ⊗ b 1 ⊗ c 1 .
Dla typu (iv) s¡ dwie inne formy normalne, w których rola
piona przez rol¦
b i c.
Tutaj
aj , bj , cj
a
jest zast¡-
nie musz¡ by¢ niezale»nymi wektorami.
W [BL14, (1.2)(1.5)] wypisujemy równie» formy normalne dla wszystkich
warto±ci
n.
Z tych form normalnych wynika:
Wniosek B.16
.
([BL14, Cor. 1.6]) Istnieje wyª¡cznie sko«czenie wiele orbit
dziaªania GL(A1 ) × · · · × GL(An ) na σ3 (Seg(PA1 × · · · × PAn )).
W przypadku o trzech czynnikach jest dokªadnie
39
orbit, które wypisu-
jemy i opisujemy dokªadnie w [BL14, Ÿ6]. Tam równie» wyznaczamy rangi
punktów na
σ3 (Seg(PA × PB × PC)).
Dodatkowo, w [BL14, Thm 1.11] pokazujemy analog Twierdzenia B.13
dla trzeciej rozmaito±ci siecznych pewnej klasy rozmaito±ci jednorodnych,
tzw. generalized cominuscule varieties. Klasa ta zawiera Grassmanniany i
rozmaito±ci spinorowe.
B.2.3 Rozkªady jednomianów
Niech
wolne
F ∈ C[x0 , . . . , xn ] b¦dzie jednorodnym wielomianem stopnia d. Dod
d
wyra»enie F = `1 + · · · + `r takie, »e r = rvd (Pn ) (F ) nazywamy
rozkªadem Waringa.
1
1
1
2
2
Na przykªad, xy = (x + y) − (x − y) oraz xyz =
(x + y + z)3 −
4
4
24
1
1
1
3
3
3
(x + y − z) − 24 (x − y + z) + 24 (x − y − z) . Podobne rozkªady mo»na
24
wskaza¢ dla dowolnego jednomianu. Nie s¡ one jednoznaczne, gdy» mo»na
16
pozamienia¢ zmienne oraz przeskalowa¢ je: dla xy , podstawmy za (x, y) wy1
1
ra»enie (sx, y) a dla xyz , podstawmy za (x, y, z) wyra»enie (sx, ty, z).
s
st
d0
d
Dla dowolnego jednomianu F = x0 · · · xnn , mo»na przeskalowa¢ zmienne xi
Q di
u»ywaj¡c λi takich, »e
λi = 1. Nie zmienia to jednomianu, ale wpªywa
na rozkªad Waringa. St¡d pojawia si¦ naturalne pytanie, czy wszystkie rozkªady Waringa powstaj¡ w ten sposób. Innymi sªowy, czy rozkªad Waringa
jednomianu jest jednoznaczny z dokªadno±ci¡ do przeskalowania zmiennych.
Wcze±niejsze badania rozkªadów Waringa rozwa»aªy problem jednoznaczno±ci, w szczególno±ci XIX wieczne Twierdzenie Sylvestera o Pi¦ciok¡cie, oraz
bardziej wspóªcze±nie [RS00], [Mell09]. Gªównie koncentrowaªy si¦ na wªa±ciwej jednoznaczno±ci (a nie z dokªadno±ci¡ do przeskalowa«) rozkªadów
F ∈ C[x0 , . . . , xn ] jedd oraz r = rvd (X) (F ), rozmaito±¢ sum pot¦g
VSP(F ) jest domkni¦ciem w Hilbr (Pn ) zbioru VSP◦ zredukowanych schemad
d
tów sko«czonych {[`1 ], . . . , [`r ]} takich, »e F = `1 + · · · + `r . Okazuje si¦, »e
Waringa ogólnej formy.
W wi¦kszej ogólno±ci, dla
norodnego wielomiany stopnia
s¡ to interesuj¡ce rozmaito±ci, zobacz [Muka92], [RS00], [IR01].
W pracy [BBT13] opisujemy
F = xd00 · · · xdnn
VSP(F )
i wyznaczamy jej wymiar, gdy
jest jednomianem. Odpowiadamy na pytanie o jednoznacz-
no±¢ rozkªadu Waringa z dokªadno±ci¡ do przeskalowa« zmiennych, które
◦
sprowadza si¦ do wyznaczenia czy dziaªanie torusa na VSP (F ) jest transytywne.
d
Zarówno [RS11] jak i [CCG12] zauwa»yli, »e rozkªad Waringa F = `1 +
d
· · · + `r mo»na otrzyma¢ z {[`1 ], . . . , [`r ]}, które jest zupeªnym przeci¦ciem.
Pokazali±my, »e w rzeczy samej ka»dy rozkªad Waringa F jest zupeªnym
przeci¦ciem pewnej postaci.
Twierdzenie B.17
. Zaªó»my, »e F ∈ C[x , . . . , x ] jest
([BBT13, Thm 1])
d0
x0 · · · xdnn
0 < d0
+ `r d
r = rvd (X) (F )
0
n
jednomianem F =
, gdzie
≤ · · · ≤ dn , d = d0 + · · · + dn ,
oraz F = `1 d + · · ·
dla
. Niech I ⊂ C[α0 , . . . , αn ] b¦dzie
jednorodnym ideaªem funkcji znikaj¡cych na Q = {[`1 ], . . . , [`r ]} ⊂ Pn . Wtedy
I jest zupeªnym przeci¦ciem stopni d1 + 1, . . . , dn + 1, generowanym przez:
α1 d1 +1 − φ1 α0 d0 +1 , . . . , αn dn +1 − φn α0 d0 +1
dla pewnych jednorodnych wielomianów φi ∈ C[α0 , . . . , αn ] stopni di − d0 .
Z tego twierdzenia i z pewnych dodatkowych wªasno±ci wielomianów
φi
wyliczamy wymiar rozmaito±ci sum pot¦g dla jednomianu.
Twierdzenie B.18
. Zaªó»my, »e
∈ C[x0 , . . . , xn ] jest
jednomianem F =
, dla którego
· · · ≤ dn . Niech h
b¦dzie funkcj¡ Hilberta
. Wtedy VSP(F ) jest
nieprzywiedlne oraz dim VSP(F ) = h(d1 − d0 ) + · · · + h(dn − d0 ).
([BBT13, Thm 2])
F
d0
dn
x 0 · · · xn
0 < d0 ≤
d1 +1
C[x0 , . . . , xn ]/(x1 , . . . , xdnn +1 )
17
Ostatecznie odpowiadamy na pytanie o jednoznaczno±¢.
Twierdzenie B.19
.
([BBT13, Thm 4]) Zaªó»my, »e F ∈ C[x0 , . . . , xn ] jest
jednomianem F = xd00 · · · xdnn , dla którego 0 < d0 ≤ · · · ≤ dn . Niech
(C∗ )n+1 dziaªa na C[x0 , . . . , xn ] przez skalowanie
Dziaªanie nQ dzmiennych.
i
wymiarowego podtorusa T = {(λ0 , . . . , λn ) | λi = 1} na VSP◦ (F ) jest
tranzytywne wtedy i tylko wtedy, gdy d0 = · · · = dn .
B.2.4 Wymiary rozmaito±ci siecznych do Grassmannianów Lagran»owskich
Od dawna matematycy staraj¡ si¦ zrozumie¢ i wyliczy¢ wªasno±ci siecznych
do pewnych rozmaito±ci, w szczególno±ci do rozmaito±ci jednorodnych w ich
jednorodnych zanurzeniach.
Wymiar jest bodaj najprostsz¡ z tych bada-
nych wªasno±ci, jednak»e nawet dla najprostszych przestrzeni jednorodnych
wyliczenie wymiaru rozmaito±ci siecznych jest trudne i powi¡zana z tym literatura jest bardzo obszerna. Sªynna klasykacja defektywnych siecznych do
n
zanurze« Veronese P zostaªa uko«czona w serii prac Alexandera i Hirschowitza [AH95]. Istniej¡ hipotetycznie peªne listy defektywnych siecznych do
n
n
produktów Segre P 1 ×· · ·× P k [AOP09] oraz do zwykªych Grassmannianów
G(k, n)
(zobacz [AOP12], [CGG05] i [BDdG07]), natomiast dla rozmaito±ci
Segre-Veronese nie istnieje nawet hipotetyczna klasykacja (zobacz [AB09] i
liczne odno±niki tam»e).
W pracy [BB11] podj¦li±my badania wymiarów rozmaito±ci siecznych do
Grassmannianów Lagran»owskich
LG(n, 2n)
w ich najmniejszych zanurze-
niach jednorodnych. S¡ to rozmaito±ci rzutowe parametryzuj¡ce izotropowe
podprzestrzenie wymiaru
miaru
n
w symplektycznej przestrzeni wektorowej
V
wy-
2n.
Twierdzenie B.20. Przypu±¢my, »e n ≥ 4 oraz r = 3 or r = 4. Wtedy:
• Je±li n = 4, r = 3, to dim σ3 (LG(4, 8)) = 31 = (3 ∗ 11 − 1) − 1.
• Je±li n = 4, r = 4, to dim σ4 (LG(4, 8)) = 39 = (4 ∗ 11 − 1) − 4.
• Je±li n ≥ 5, to σ3 (LG(n, 2n)) i σ4 (LG(n, 2n)) zawsze maj¡ spodziewany
wymiar, a konkretnie r(d + 1) − 1, gdzie d = dim LG(n, 2n) = n+1
2
Przypadki, gdy
n ≤ 3
lub
r = 2,
jednak»e byªy one znane wcze±niej.
18
równie» s¡ przedstawione w [BB11],
B.3
Zastosowania i dalsze prace nad rozmaito±ciami siecznych
Habilitant i jego wspóªpracownicy kontynuuj¡ prace w tematyce rozmaito±ci
siecznych i rang. Dwa kolejne artykuªy s¡ ju» gotowe [BB13b], [BBKT13], a
kilka projektów jest w trakcie realizacji.
Zastosowania rozprawy habilitacyjnej obejmuj¡ mi¦dzy innymi geometri¦ algebraiczn¡, algebr¦ i zyk¦ teoretyczn¡.
Artykuªy [BGL13] i [BB14]
zainspirowaªy wiele bada« innych grup naukowców. Gªówny sukces tych artykuªów bierze si¦ z wprowadzenia i podkre±lenia roli metod teorii schematów
sko«czonych i ich wygªadzalno±ci w pracach nad rozmaito±ciami siecznych i
rozmaito±ci kakrangi kaktusowej, które s¡ obecnie s¡ intensywnie badane i wy-
rozkªadami wielomianów. Prowadzi to naturalnie do poj¦¢
tusowej
and
korzystywane zobacz na przykªad [BR13], [RS11], [BJMR12], [BBM12],
[CI12]. Jako przewag¦ rangi kaktusowej (a tak»e jej wygªadzalnego analogu)
wymienimy wzgl¦dn¡ ªatwo±¢ jej badania, oraz to, »e zadaje ona ograniczenia
na rang¦ i rang¦ brzegow¡. Równie» artykuª badawczy [BL14] oraz opracowanie [BL13] wpªyn¦ªy na wspóªczesne badania w tej tematyce. Poza zastosowaniami w geometrii algebraicznej, zainspirowaªy one wspóªprace matematyka
i zyka [ST13] oraz nowe pomysªy w Fizyce Matematycznej [HLT14].
C
Badania naukowe Buczy«skiego nie zawarte
w habilitacji
Pozostaªe badania naukowe Buczy«skiego dotycz¡ dwóch tematów: rozmaito±ci kontaktowych i geometrii torycznej.
W [Bucz10] konstruujemy dywizory na rozmaito±ciach kontaktowych Fano,
które mog¡ si¦ przyczyni¢ do klasykacji tych rozmaito±ci. Wedle hipotezy
LeBruna-Salamona rozmaito±ci kontaktowe Fano s¡ zawsze przestrzeniami
jednorodnymi.
U»ywaj¡c tych dywizorów budujemy fragmenty struktury
przestrzeni jednorodnej na tych rozmaito±ciach.
W [BP12] robimy krok w
kierunku klasykacji kontaktowych rozmaito±ci Moishezona wymiaru
kazujemy, »e takie rozmaito±ci o drugiej liczbie Bettiego równej
3
izomorczne z P .
1
3.
Po-
s¡ zawsze
W [BB13a] pokazujemy jak opisa¢ odwzorowania wymierne mi¦dzy dwoma
rozmaito±ciami torycznymi w terminach wspóªrz¦dnych Coxa. Metoda ta zostaªa zaimplementowana w ramach pakietu do oblicze« w geomterii torycznej [BBKa, BBKb] w systemie Magma [BCP97].
W [BBKM13] opisujemy
stopnie generatorów pewnych póªgrup z gradacj¡, które s¡ wa»ne dla logenetyki i teorii bloków konforemnych.
19
Literatura
[AB09]
Hirotachi Abo and Maria Chiara Brambilla. Secant varieties of
m
n
Segre-Veronese varieties P × P embedded by O(1, 2).
Experi-
ment. Math., 18(3):369384, 2009.
[AH95]
J. Alexander and A. Hirschowitz.
several variables.
[AOP09]
Polynomial interpolation in
J. Algebraic Geom., 4(2):201222, 1995.
Hirotachi Abo, Giorgio Ottaviani, and Chris Peterson. Induction
for secant varieties of Segre varieties.
Trans. Amer. Math. Soc.,
361(2):767792, 2009.
[AOP12]
Hirotachi Abo, Giorgio Ottaviani, and Chris Peterson.
defectivity of Grassmannians of planes.
Non-
J. Algebraic Geom.,
21(1):120, 2012.
[BB11]
Ada Boralevi and Jarosªaw Buczy«ski.
Grassmannians.
[BB13a]
Ann. Mat. Pura Appl. (4), 190(4):725739, 2011.
Gavin Brown and Jarosªaw Buczy«ski. Maps of toric varieties in
Cox coordinates.
[BB13b]
Secants of Lagrangian
Fund. Math., 222:213267, 2013.
Weronika Buczy«ska and Jarosªaw Buczy«ski. On dierences between the border rank and the smoothable rank of a polynomial.
arXiv:1305.1726, to appear in Glasgow Mathematical Journal,
2013.
[BB14]
Weronika Buczy«ska and Jarosªaw Buczy«ski. Secant varieties to
high degree Veronese reembeddings, catalecticant matrices and
smoothable Gorenstein schemes.
J. Algebraic Geom.,
23:6390,
2014.
[BBKa]
Gavin Brown, Jarosªaw Buczy«ski, and Alexander Kasprzyk.
Chapter
book,
111:
Toric
Geometry.
In
The Magma Hand-
page 35133584. University of Sydney.
Available from
http://magma.maths.usyd.edu.au/.
[BBKb]
Gavin
sprzyk.
Brown,
Jarosªaw
Chapter:
Buczy«ski,
Convex
The Magma Handbook.
polytopes
and
Alexander
Ka-
and
polyhedra.
In
University of Sydney.
http://magma.maths.usyd.edu.au/.
20
Available from
[BBKM13] Weronika Buczy«ska, Jarosªaw Buczy«ski, Kaie Kubjas, and Mateusz Michaªek. On the graph labellings arising from phylogenetics.
[BBKT13]
Cent. Eur. J. Math., 11(9):15771592, 2013.
Weronika Buczy«ska, Jarosªaw Buczy«ski, Johannes Kleppe, and
Zach Teitler. Apolarity and direct sum decomposability of polynomials. arXiv:1307.3314, 2013.
[BBM12]
Alessandra Bernardi, Jérôme Brachat, and Bernard Mourrain.
A comparison of dierent notions of ranks of symmetric tensors.
arXiv: 1210.8169, 2012.
[BBT13]
Weronika Buczy«ska, Jarosªaw Buczy«ski, and Zach Teitler. Waring decompositions of monomials.
[BCP97]
Wieb Bosma,
John Cannon,
J. Algebra, 378:4557, 2013.
and Catherine Playoust.
Magma algebra system. I. The user language.
Comput.,
24(3-4):235265, 1997.
number theory (London,
The
J. Symbolic
Computational algebra and
1993). Available for use on-line at
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/.
[BDdG07]
Karin Baur, Jan Draisma, and Willem A. de Graaf. Secant dimensions of minimal orbits: computations and conjectures.
riment. Math., 16(2):239250, 2007.
[BGL13]
Expe-
Jarosªaw Buczy«ski, Adam Ginensky, and J. M. Landsberg. Determinantal equations for secant varieties and the Eisenbud-KohStillman conjecture.
[BJMR12]
J. Lond. Math. Soc. (2), 88(1):124, 2013.
Alessandra Bernardi, Joachim Jelisiejew, Pedro Macias Marques,
and Kristian Ranestad. Computing the cactus rank of a general
form. arXiv: 1211.7306, 2012.
[BL13]
Jarosªaw Buczy«ski and J.M. Landsberg.
and a generalization of secant varieties.
Ranks of tensors
Linear Algebra Appl.,
438(2):668689, 2013.
[BL14]
Jarosªaw Buczy«ski and J.M. Landsberg.
variety.
[BP12]
J Algebr Comb, 40:475502, 2014.
On the third secant
Jarosªaw Buczy«ski and Thomas Peternell. Contact Moishezon
threefolds with second Betti number one.
98(5):427431, 2012.
21
Arch. Math. (Basel),
[BR13]
Alessandra Bernardi and Kristian Ranestad. On the cactus rank
of cubics forms.
[Bucz10]
Jarosªaw Buczy«ski. Duality and integrability on contact Fano
manifolds.
[CCG12]
J. Symbolic Comput., 50:291297, 2013.
Doc. Math., 15:821841, 2010.
Enrico Carlini, Maria Virginia Catalisano, and Anthony V. Geramita. The solution to the Waring problem for monomials and
the sum of coprime monomials.
[CGG05]
J. Algebra, 370:514, 2012.
M. V. Catalisano, A. V. Geramita, and A. Gimigliano.
cant varieties of Grassmann varieties.
Se-
Proc. Amer. Math. Soc.,
133(3):633642 (electronic), 2005.
[CI12]
Young Hyun Cho and Anthony Iarrobino. Inverse systems of
n
zero-dimensional schemes in P .
, 366:4277, 2012.
[CJN14]
Gianfranco Casnati, Joachim Jelisiejew, and Roberto Notari. Ir-
J. Algebra
reducibility of the Gorenstein loci of Hilbert schemes via ray families. arXiv:1405.7678, 2014.
[EKS88]
David Eisenbud, Jee Koh, and Michael Stillman. Determinantal
equations for curves of high degree.
Amer. J. Math., 110(3):513
539, 1988.
[Gine10]
Adam Ginensky.
A generalization of the Cliord index and
determinantal equations for curves and their secant varieties.
arXiv:1002.2023, 2010.
[HLT14]
Frédéric Holweck, Jean-Gabriel Luque, and Jean-Yves Thibon.
Entanglement of four qubit systems: A geometric atlas with polynomial compass i (the nite world).
Physics, 55(1), 2014.
[IK99]
Journal of Mathematical
Power sums, Gorenstein
algebras, and determinantal loci, volume 1721 of Lecture Notes
in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1999. Appendix C by
Anthony Iarrobino and Vassil Kanev.
Iarrobino and Steven L. Kleiman.
[IR01]
Atanas Iliev and Kristian Ranestad.
K3
surfaces of genus 8 and
varieties of sums of powers of cubic fourfolds.
Soc., 353(4):14551468, 2001.
[Mell09]
Trans. Amer. Math.
Massimiliano Mella. Base loci of linear systems and the Waring
problem.
Proc. Amer. Math. Soc., 137(1):9198, 2009.
22
[Muka92]
Fano 3-folds. In Complex projective geometry
(Trieste, 1989/Bergen, 1989), volume 179 of London Math. Soc.
Lecture Note Ser., pages 255263. Cambridge Univ. Press, Cam-
Shigeru Mukai.
bridge, 1992.
[Raic10]
Claudiu Raicu.
3×3
minors of catalecticants. arXiv:1011.1564,
2010.
[Ravi94]
M. S. Ravi. Determinantal equations for secant varieties of curves.
[RS00]
Comm. Algebra, 22(8):31033106, 1994.
Kristian Ranestad and Frank-Olaf Schreyer. Varieties of sums of
powers.
[RS11]
J. Reine Angew. Math., 525:147181, 2000.
Kristian Ranestad and Frank-Olaf Schreyer.
symmetric form.
[SS09]
On the rank of a
J. Algebra, 346:340342, 2011.
Jessica Sidman and Gregory G. Smith.
Linear determinantal
equations for all projective schemes. arXiv:0910.2424v3, 2009.
[ST13]
A. Sawicki and V. V. Tsanov. A link between quantum entanglement, secant varieties and sphericity.
J. Phys. A, 46(26):265301,
20, 2013.
Gaussian elimination is not optimal.
Numer.
[Stra69]
Volker Strassen.
[VW02]
R. C. Vaughan and T. D. Wooley. Waring's problem: a survey.
Math., 13:354356, 1969.
In
Number theory for the millennium, III (Urbana, IL, 2000),
pages 301340. A K Peters, Natick, MA, 2002.
23