Autoreferat

Franz-Viktor Kuhlmann: Autoreferat
Strona 1
Autoreferat
Urodziłem się 12 lutego 1954 roku w Sande koło Wilhelmshaven, w Niemczech.
W roku 1972 ukończyłem szkołę średnią “Humboldtschule Wilhelmshaven” i zdałem
egzamin maturalny z wyróżnieniem. W latach 1972–1974 odbyłem Zastępczą Służbę
Wojskową pracując w placówkach opieki socjalnej. Studia wyższe w zakresie matematyki, fizyki, logiki, filozofii i historii rozpocząłem jesienią 1974 roku na Uniwersytecie Monachijskim. Po uzyskaniu Vordiplom w 1977 roku kontynuowałem studia
na Uniwersytecie w Münster. W czerwcu 1979 zdałem z wyróżnieniem Philosophicum
(egzamin z filozofii i pedagogiki). W latach 1975–1980 otrzymywałem stypendium
“Studienstiftung des Deutschen Volkes”. W styczniu 1982 roku uzyskałem dyplom
magistra matematyki (z logiką, fizyką i filozofią) z wyróżnieniem. Pracę magisterską
Zur Konstruktion von rationalen Stellen ℘–adischer und anderer bewerteter Funktionenkörper napisałem pod opieką profesora Falko Lorenza. W listopadzie 1983 roku
uzyskałem Staatsexamen (dyplom nauczycielski) z wyróżnieniem.
W roku 1982 rozpocząłem studia doktoranckie na Uniwersytecie w Heidelbergu.
W latach 1983-1984 otrzymywałem stypendium “Studienstiftung des Deutschen Volkes” dla doktorantów. W lutym 1990 roku uzyskałem stopień doktora matematyki
(Dr. rer. nat.) z wyróżnieniem (summa cum lande) na podstawie rozprawy Henselian
function fields, której promotorem był profesor Peter Roquette.
Stopień doktora habilitowanego (Habilitation) razem z Venia Legendi uzyskałem
w 1995 roku na Uniwersytecie w Heidelbergu, na podstawie rozprawy Valuation theory
of fields, abelian groups and modules.
W lutym 2015 roku uzyskałem tytuł naukowy profesora nauk matematycznych
nadany przez Prezydenta Rzeczypospolitej Polskiej.
Od kwietnia 1985 roku do marca 1990 roku byłem zatrudniony jako Forschungsassistent (asystent), a od kwietnia 1990 roku do czerwca 1996 roku jako adiunkt
(C1 Professur) na Uniwersytecie w Heidelbergu. Od stycznia do marca 1995 roku
pracowałem jako profesor wizytujący (Visiting Professor) na Chandigarh University
w Indiach. W roku akademickim 1996/97 pracowałem w Fields Institute w Toronto
jako Visiting Member. Od 1997 roku pracuję na Wydziale Matematyki i Statystyki
University of Saskatchewan w Saskatoon w Kanadzie. W roku akademickim 1997/98
odbyłem staż podoktorski (Postdoctoral Fellow) pod kierunkiem M. Marshalla, w roku 1998 otrzymałem pozycję Assistant Professor, a w roku 1999 pozycję Associate
Professor. Od 2004 roku pracuję na stanowisku profesora (Professor - tenured) w University of Saskatchewan w Saskatoon. W semestrze letnim 2010 roku oraz 2013 roku
prowadziłem wykłady jako profesor wizytujący w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Obecnie prowadzę po raz trzeci zajęcia dla doktorantów
Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego jako profesor wizytujący.
Jestem członkiem następujących organizacji i stowarzyszeń: American Mathematical Society, Canadian Mathematical Society, German Mathematical Society, European Mathematical Society, Association of Symbolic Logic, DVMLG.
Jestem żonaty i mam troje dzieci.
Franz-Viktor Kuhlmann: Autoreferat
Strona 2
Praca naukowa.
Poniżej przedstawię krótki opis mojej pracy naukowej i najważniejsze osiągnięcia. Liczby w nawiasach [] odwołują do spisu moich publikacji w wykazie osiągnięć
naukowych.
Za najważniejsze prace opublikowane po uzyskaniu stopnia doktora habilitowanego uważam następujące prace:
[16] Kuhlmann, F.-V.: Valuation theoretic and model theoretic aspects of local uniformization, Resolution of Singularities (Obergurgl, 1997), 381-456, Progr. Math. 181,
Birkhäuser, Basel 2000
[18] Kuhlmann, F.-V.: Elementary properties of power series fields over finite fields,
J. Symb. Logic 66 (2001), 771-791
[24] Kuhlmann, F.-V.: A correction to Epp’s paper “Elimination of wild ramification”,
Inventiones Math. 153 (2004), 679–681
[25] Kuhlmann, F.-V.: Places of algebraic function fields in arbitrary characteristic,
Advances in Math. 188 (2004), 399–424
[26] Kuhlmann, F.-V.: Value groups, residue fields and bad places of rational function
fields, Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), 4559–4600.
[28] Knaf, H. – Kuhlmann, F.-V.: Abhyankar places admit local uniformization in any
characteristic, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 38 (2005), 833–846
[31] Knaf, H. – Kuhlmann, F.-V.: Every place admits local uniformization in a finite
extension of the function field, Advances in Math. 221 (2009), 428–453
[34] Kuhlmann, F.-V.: Elimination of Ramification I: The Generalized Stability Theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010), 5697–5727
[35] Kuhlmann, F.-V.: A classification of Artin Schreier defect extensions and a characterization of defectless fields, Illinois J. Math. 54 (2010), 397–448
[37] Kuhlmann, F.-V.: Maps on ultrametric spaces, Hensel’s Lemma, and differential
equations over valued fields, Comm. in Alg. 39 (2011), 1730–1776
[40] Azgin, S. – Kuhlmann, F.-V. – Pop, F.: Characterization of extremal valued fields,
Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), 1535–1547
[42] Kuhlmann, F.-V. – Vlahu, I.: The relative approximation degree in valued function
fields, Mathematische Zeitschrift 276 (2014), 203–235 [46] Kuhlmann, F.-V.: The
algebra and model theory of tame valued fields, przyjęta do druku w J. reine angew.
Math.
[47] Kuhlmann, F.-V. - Kuhlmann, K. - Shelah, S.: Symmetrically complete ordered
sets, abelian groups and fields, przyjęta do druku w Israel J. Math.
Omówię teraz krótko najważniejsze wyniki w poszczególnych obszarach badań.
• Waluacje w geometrii algebraicznej. W pracy [28] udowodniłem lokalną uniformizację (lokalną formę desyngularyzacji) dla wszystkich punktów Abhyankar (punktów spełniających równość w nierówności Abhyankar) i dla ciał dowolnej charakterystyki. W publikacjach [31] i [58] udowodniłem lokalną uniformizację dla skończonych
(Galois lub purely wild) rozszerzeń ciała funkcji wymiernych na rozmaitości i dla ciał
Franz-Viktor Kuhlmann: Autoreferat
Strona 3
dowolnej charakterystyki. Wynik ten poprawia lokalną wersję rezultatu de Jonga (resolution by alteration), ponieważ dowody opierają się wyłącznie na teorii waluacji
i możliwe było uzyskanie dokładnego opisu wymaganych rozszerzeń. W pracach [28]
i [31], razem z H. Knafem, uogólniliśmy powyższe wyniki dla arytmetycznej geometrii
algebraicznej, zastępując punkty trywialne na ciele bazowym punktami dominującymi pewne lokalne pierścienie Nagaty. Moja praca pokazuje, że ważne wyniki w teorii
desyngularyzacji można otrzymać nie tylko przy użyciu klasycznej teorii pierścieni,
ale również teorii ciał. W 2006 roku zostałem zaproszony (razem z matematykami
takimi jak Hironaka, Teissier, Cutkosky and Hauser) do przedstawienia mojego podejścia do problemu desyngularyzacji na szkole letniej w Trieste. Podejście to zostało
również zaprezentowane w (często cytowanej) publikacji [16].
• Teoria modeli ciał z waluacją. W mojej pracy doktorskiej wprowadziłem i badałem ciała z łagodną waluacją (tame valued fields). W mojej pracy doktorskiej, a
później w pracy [46] pokazałem, że spełniają one zasady Ax–Kochen–Ershov Principles oraz relatywną formę rozstrzygalności. Ciała z łagodną waluacją mają dużo
bardziej skomplikowaną strukturę niż inne typy ciał z waluacją, dla których podobne
rezultaty znane były wcześniej. Uzyskane wyniki dają nadzieję, że postęp w teorii
waluacji pomoże rozwiązać znany otwarty problem: czy ciało Fp ((t)) formalnych szeregów Laurenta nad ciałem p-elementowym ma rozstrzygalną teorię. Moim wkładem
w zrozumienie problemu było udowodnienie w [18], że proste przeniesienie zupełnego
systemu aksjomatów dla ciała p-adycznego Qp na ciało Fp ((t)) nie daje kompletnej
aksjomatyzacji. Różnica spowodowana jest dodatkową strukturą indukowaną przez
wielomiany addytywne 1 dla charakterystyki dodatniej. Ważne rezultaty dotyczące
wielomianów addytywnych przedstawiłem w pracy [29]. Po opracowaniu teorii odwzorowań na przestrzeniach ultrametrycznych ([37]), byłem w stanie sformułować,
w pracy [18], system aksjomatów który opisuje elementarne własności addytywnych
wielomianów w dowolnym ciele z maksymalną waluacją. W [19] (z L.v.d. Driesem)
wprowadziłem udoskonalony system aksjomatów dla ciała Fp ((t)). Obecnie kluczowym problemem jest zbadanie, czy dodanie tego nowego systemu aksjomatów do
dobrze znanego systemu aksjomatów dla ciał henselowskich bez defektu doprowadzi
do kompletnej aksjomatyzacji Fp ((t)).
Razem z S. Basarabem, w pracy [3], wprowadziliśmy dla ciał z waluacją niezmiennik amc-structure. Jest on silniejszy niż grupa waluacji i ciało reszt oraz pozwala
klasyfikować algebraiczne rozszerzenia ciał henselowskich z dokładnością do izomorfizmu. Dla wielu ważnych klas ciał z waluacją otrzymałem eliminację kwantyfikatorów
zależną od tego niezmiennika. Klasyczne wyniki teorii eliminacji kwantyfikatorów (jak
Macintyre’s power predicates for the p-adics) są szczególnym przypadkiem wspomnianego wyniku, co pokazałem w pracy [4]. Niezmienniki amc-structures zostały później
poprawione przez innych naukowców do tak zwanych RV-structures i obecnie stanowią
preferowane narzędzie używane w eliminacji kwantyfikatorów dla ciał z waluacją.
• Defekt. Tak zwany defekt może pojawić się wtedy, gdy ciało z waluacją lub ciało reszt tej waluacji mają dodatnią charakterystykę. Ważnym osiągnięciem w mojej
pracy naukowej było pokazanie, że defekt może być znaczącą przeszkodą zarówno
1
cf. Lang, S.: Algebra, Addison-Wesley, New York (1965)
Franz-Viktor Kuhlmann: Autoreferat
Strona 4
dla lokalnej uniformizacji jak i dla teorii modeli ciał z waluacją, co zostało opisane
w pracach [16] i [36]. W pracy [36] przedstawiłem obszerną listę przykładów ciał z defektem. W [35] wprowadziłem klasyfikację rozszerzeń Artina-Schreier’a z defektem,
ważną ze względu na związek z fenomenem zaobserwowanym w geometrii algebraicznej, na przykład w pracy Cutkosky’ego i Piltanta. Klasyfikacja ta jest ważna również
z tego powodu, że pewne rodzaje defektu stanowią większą niż inne przeszkodę w lokalnej uniformizacji, co zauważył Temkin w swojej pracy dotyczącej nierozdzielczej
lokalnej uniformizacji.
• Algebraiczne ciała funkcyjne oraz ich waluacje i punkty. Tematem, który łączy lokalną uniformizację i teorię modeli ciał z waluacją jest teoria opisująca
strukturę algebraicznych ciał funkcyjnych. Do rozwiązania przedstawionych problemów konieczne jest dobre zrozumienie struktury ciał funkcyjnych i wpływu defektu.
Rezultaty, które uzyskałem w lokalnej uniformizacji i w teorii modeli ciał z łagodną
waluacją, bazują na dwóch głębokich twierdzeniach strukturalnych. Pierwsze z nich
(praca [34]) jest uogólnieniem twierdzenia Grauerta–Remmerta o stabilności i mówi,
że pewne ciała funkcyjne nie mają defektu. Drugie - to twierdzenie strukturalne dla
henselizacji ciał funkcyjnych nad ciałami z łagodną waluacją zostało udowodnione w
mojej rozprawie doktorskiej i obecnie przygotowuję artykuł na ten temat. Podczas
mojej pracy nad drugim twierdzeniem strukturalnym zauważyłem i uzupełniłem lukę
w znanym artykule H. Eppa [24].
Przestrzeń punktów algebraicznego ciała funkcyjnego, z topologią Zariskiego, jest
ważnym narzędziem nie tylko w geometrii algebraicznej. Teoria modeli ciał z waluacją znajduje zastosowanie w dowodzie twierdzenia mówiącego, że pewne podzbiory
”dobrych” punktów leżą gęsto w tej przestrzeni. Dla ciał charakterystyki 0 dowód ten
został przedstawiony w pracy [1] (wspólnej z A. Prestelem), a wynik znalazł zastosowanie w algebrze rzeczywistej (dla form kwadratowych) i w algebrze p-adycznej (the
p-adic Nullstellensatz). W [25] wykorzystałem moje wyniki z teorii modeli, aby rozszerzyć rezultat na ciała charakterystyki dodatniej. Ponadto podałem zastosowanie
w teorii modeli ciał oraz dla tak zwanych ”dużych ciał” (large fields - wprowadzonych
przez F. Popa i odgrywających ważną rolę w teorii Galois).
W pracy [26] pokazałem, że ”złe” punkty mogą pojawić się nawet w przypadku
ciała funkcji wymiernych i nawet w charakterystyce 0. Używając ich można otrzymać ”złe” porządki. W pracy [30] przedstawiłem przykład ciała funkcji wymiernych
z porządkiem, który nie ma części całkowitej.
Obecnie, razem z K. Kuhlmann, badam przestrzenie R-punktów ([38],[41]). Przestrzenie te, w przypadku ciał funkcyjnych, mają bogatą strukturę topologiczną nie do
końca jeszcze zrozumianą. Struktura ta wykazuje wiele samopodobieństw, co prowadzi
do pytania: w jaki sposób może być ona rozumiana jako fraktal? Pytanie to zostawia duże pole do przyszłych badań. Możliwe są również implikacje na inne dziedziny
matematyki.
• Niestandardowe modele liczb rzeczywistych z funkcja wykładniczą. Prace
Macintyre’a, Markera, van den Driesa, Wilkiego i innych pokazały, jak ważne jest zrozumienie struktury niestandardowych modeli liczb rzeczywistych z funkcja wykładniczą. Tę stukturę badałem wspólnie z S. Kuhlmann, używając naturalnej waluacji ciał
Franz-Viktor Kuhlmann: Autoreferat
Strona 5
uporządkowanych. W pracy [5], przetłumaczyliśmy elementarne właściwości rzeczywistej funkcji wykładniczej na język waluacji. W pracy [13] (z S. Shelahem) pokazaliśmy, że ciała szeregów formalnych nie mają funkcji wykładniczej. Z tego też powodu,
konstrukcja niestandardowego modelu jest skomplikowana. Jedna z tych konstrukcji
została przedstawiona przez Macintyre’a, Markera and van den Driesa, a druga przez
nas w pracy [55]. W pracach [22] i [53], analizowaliśmy waluacje ciał wykładniczych
Hardy’ego. Nasze metody zapoczątkowały nowe spojrzenie na wiele problemów, jak
na przykład levelled expansions of the reals (w sensie Rosenlichta, Millera i Markera).
W pracy [6] pokazałem, że struktura indukowana przez funkcje wykładniczą na grupie waluacji niestandardowego modelu ma dobre teorio-modelowe własności. W [7]
pokazałem, że jest słabo o-minimalna.
• Twierdzenia o punkcie stałym. W pracy [37] udowodniłem ogólne twierdzenie o odwzorowaniach na przestrzeniach ultrametrycznych, które jest ściśle związane
z twierdzeniami o punkcie stałym oraz o atraktorze w pracy Prieß-Crampe i Ribenboima. Twierdzenie to użyłem do wyprowadzenia różniczkowego lematu Hensela, zarówno dla ciał z różniczkową waluacją w sensie Rosenlichta jak i dla D-ciał. Te ostatnie
zostały wprowadzone przez Scanlona i zawierają ciała różniczkowe oraz różnicowe
i grają ważną rolę w teorii modeli endomorfizmów Frobeniusa.
Głównym rezultatem pracy [37] jest bardzo ogólne twierdzenie, które może być zastosowane wszędzie tam, gdzie pojawia sie ultrametryka. We wspólnej pracy z K. Kuhlmann [45], otrzymałem jeszcze ogólniejszą wersję twierdzenia o punkcie stałym, która może być zastosowana dla przestrzeni topologicznych, ultrametrycznych oraz ciał
uporządkowanych. Jest to pierwszy krok w stronę nowego kierunku badań, który wyodrębni zunifikowane zasady leżące u podstaw twierdzeń o punkcie stałym i teorii
fraktali i otworzy je na wiele zastosowań. Jednym z efektów pracy nad twierdzeniem
o punkcie stałym dla uogólnionych ”ball spaces” jest praca [47] klasyfikująca wszystkie uporządkowane ciała i grupy abelowe spełniające analog twierdzenia Banacha o
punkcie stałym.
Działalność organizacyjna.
Byłem współorganizatorem wielu konferencji i warsztatów. Byłem inicjatorem
i jednym z głównych organizatorów dwóch międzynarodowych konferencji z teorii
waluacji. Byłem również edytorem Proceedings dla tych konferencji.
Byłem inicjatorem i obecnie wciąż organizuję serię Colloquiumfest - małych konferencji niskobudżetowych.
Jestem twórcą i opiekuję się stroną internetową Valuation Theory Home Page, która jest forum dla wszystkich naukowców zainteresowanych teorią waluacji. Strona oferuje bazę danych preprintów prac, informacje o konferencjach oraz prezentuje otwarte
problemy związane z teorią waluacji (http://math.usask.ca/fvk/Valth.html).
Przez wiele lat byłem współorganizatorem (razem z P. Roquette i A. Prestelem)
seminarium z algebry i teorii modeli. Obecnie jestem współorganizatorem (razem
z M. Marshallem) seminarium z algebry i logiki na University of Saskatchewan w Saskatoon. Jestem jednym z założycieli Centre for Algebra, Logic and Computation
na Uniwersytecie w Saskatoon.
Franz-Viktor Kuhlmann: Autoreferat
Strona 6
Udział w grantach.
Od roku 1999 otrzymuję Canadian NSERC Discovery grant. Otrzymałem ponadto
uniwersyteckie granty takie jak: President’s NSERC grants oraz teaching reduction
grant. Otrzymałem również stypendium post-doktorkie PIMS dla dr K. Pal w roku
akademickim 2013/14 oraz 2014/15. Wiele konferencji, które organizowałem, otrzymało wsparcie finansowe z różnych źródeł, a ja otrzymałem granty podróżne dla moich
studentów.
Ważniejsze recenzje.
Byłem recenzentem wielu prac z teorii waluacji, teorii modeli, analizy niearchimedesowej i geometrii algebraicznej w różnych czasopismach. Pisałem również omówienia
dla Zentralblattu and Math Reviews.
Byłem zewnętrznym recenzentem prac doktorskich i magisterskich (szczegóły podam w następnym paragrafie). Ponadto recenzowałem trzy granty NSF Young Researchers Grant oraz trzy granty NSERC Discovery Grant. Byłem również recenzentem
zewnętrznym w przewodzie promocyjnym do rangi profesora (w Stanach Zjednoczonych).
Działalność dydaktyczna oraz opieka nad studentami.
Byłem promotorem w przewodzie doktorskim Josneia Antonio Novacoskiego. Przewód
został ukończony 3 września 2013r. obroną pracy doktorskiej pt. The structure of
spaces of valuations and the local uniformization problem.
Byłem promotorem w przewodzie doktorskim Anny Blaszczok, doktorantki Uniwersytetu Śląskiego. Przewód został ukończony 28 wrzesnia 2014r. obroną pracy doktorskiej pt. On the structure of immediate extensions of valued fields.
Pomagałem w opiece naukowej nad doktorantem M. Zekavatem (praca doktorska obroniona w kwietniu 2004r.), a rezultatem tej opieki była wspólna praca [20],
zawierająca wyniki z jego rozprawy doktorskiej.
Byłem promotorem pracy magisterskiej (M.Sc. 2012) Izabeli Vlahu. Wyniki tej
pracy zostały ostatnio opublikowane w Mathematische Zeitschrift [42]. Byłem również
współpromotorem dwóch innych prac magisterskich obronionych w 2002r. i 2007r.
Obecnie jestem promotorem pracy magisterskiej Fatmy Sonallach na University of
Saskatchewan w Saskatoon.
Byłem recenzentem zewnętrznym w przewodach doktorskich H. Perdry’ego (Besancon, France) i K. Aghigh (Chandigarh, India) oraz francuskiego DEA M. Autorda
(Versailles, France).
Byłem opiekunem pięciu postdoców (na University of Saskatchewan) oraz opiekunem pracy semestralnej dwóch doktorantów z Uniwersytetu Wrocławskiego w ramach
projektu „Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych”.
Organizowałem liczne konferencje i warsztaty dla młodych naukowców.
Więcej informacji o mojej pracy można znaleźć na stronie internetowej
http://math.usask.ca/∼fvk/index.html.
Tam też dostepna jest większość moich publikacji.