Wyznaczyć główne, centralne momenty bezwładności powierzchni

Wyznaczyć główne, centralne momenty bezwładności powierzchni przedstawionej na rysunku.
Oznaczenia:
x, y
xc, yc
–
–
xcg, ycg
A1 , A2
xc1, xc2,, yc1, yc2
xc, yc
Ix, Iy
Ixc, Iyc
Ixy
Ixcyc
Ixcg, Iycg
–
–
–
–
–
–
–
–
–
osie początkowego układu współrzędnych,
osie centralnego układu współrzędnych (czyli przechodzące przez
środek ciężkości figury), równoległe do osi układu x, y,
główne, centralne osie bezwładności,
pola powierzchni figur składowych,
współrzędne środków ciężkości pól A1, A2, A3, w układzie x, y,
współrzędne środka ciężkości całej figury w układzie x, y,
osiowe momenty bezwładności całej figury w układzie x, y,
osiowe momenty bezwładności całej figury w układzie xc, yc,
moment odśrodkowy figury w układzie x, y,
moment odśrodkowy figury w układzie xc, yc,
główne, centralne momenty bezwładności figury.
Pola powierzchni figur składowych i współrzędne ich środków ciężkości:
πr 2
1
⋅15 ⋅18 = 135 cm 2
2
xc1 = 5 cm,
2
xc 2 = 4 cm,
yc1 = 6 cm,
yc 2 = 5 cm
A1 =
A2 =
=
π ⋅ 22
2
= 6,283 cm 2
Współrzędne środka ciężkości powierzchni:
xc =
A1 xc1 − A2 xc 2 135 ⋅ 5 − 6,283 ⋅ 4
=
= 5,049 cm,
A1 − A2
128,72
yc =
A1 yc1 − A yc 2
A1 − A2
Momenty bezwładności względem osi układu x, y:
I x = I x1 − I x 2 =
I y = I y1 − I y 2

15 ⋅ 183  π ⋅ 2 4
− 
+ 52 ⋅ 6,283  = 7120 cm 4
12

 4

18 ⋅ 153  π ⋅ 2 4
=
− 
+ 4 2 ⋅ 6,283  = 4949,4 cm 4
12

 4
Moment odśrodkowy:
I xy =
152 ⋅ 182
− (0 + 4 ⋅ 5 ⋅ 6,283) = 2911,84 cm 4
24
,
=
135 ⋅ 6 − 6,283 ⋅ 4
= 6,049 cm.
128,72
Momenty bezwładności względem osi centralnych xc, yc:
Ixc = Ix – yc2⋅A = 7120 –6,0492⋅128,72 = 2410,08 cm4,
Iyc = Iy – xc2⋅A = 4949,4 – 5,0492⋅128,72 = 1668,01 cm4,
Ixcyc = Ixy – xc⋅yc⋅A =2911,84 – 5,049⋅6,049⋅128,72= –1019,35 cm4.
Kąt między układem osi głównych a układem xc, yc i główne, centralne momenty bezwładności
powierzchni:
tg 2φ =
2 ⋅ I xcyc
I yc − I xc
=
2 ⋅ (− 1019,35)
= 2,747,
1668,01 − 2410,08
2φ = 70o ,
φ = 35o ,
I xcg = I xc ⋅ cos 2 φ + I yc ⋅ sin 2 φ − I xcyc ⋅ sin 2φ =
= 2410,08 ⋅ 0,671 + 1668,01 ⋅ 0,329 − (− 1019,35 ⋅ 0,937 ) = 3121,07 cm 4 = I max ,
I ycg = I xc ⋅ sin 2 φ + I yc ⋅ cos 2 φ + I xcyc ⋅ sin 2φ =
= 2410,08 ⋅ 0,329 + 1668,01 ⋅ 0,671,+(− 1019,35 ⋅ 0,937 ) = 957,62 cm 4 = I min .