Silnie i symbole Newtona

Podróże po Imperium Liczb
Część 11
Silnie i symbole Newtona
Andrzej Nowicki
Olsztyn, Toruń, 2011
Spis treści
Wstęp
1 Silnie
1.1 Informacje o cyfrach . . . . . .
1.2 Liczba zer na końcu . . . . . .
1.3 Ostatnia niezerowa cyfra . . .
1.4 Silnie cyfr i ich suma . . . . .
1.5 Równości z silniami . . . . . .
1.6 Nierówności z silniami . . . . .
1.7 Wyznaczniki z silniami . . . .
1.8 Silnie i część całkowita . . . .
1.9 Liczby n! i liczby kwadratowe .
1.10 Liczby n! i liczby potęgowe . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
7
8
10
11
12
14
15
16
17
2 Silnia i relacja podzielności
2.1 Twierdzenie Wilsona i jego dowód . . . . . . . .
2.2 Modyfikacje i konsekwencje twierdzenia Wilsona
2.3 Uogólnienia twierdzenia Wilsona . . . . . . . . .
2.4 Pewne zastosowania twierdzenia Wilsona . . . .
2.5 Dzielniki liczb n! . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Dzielniki liczb n!±1 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Dzielniki liczb a(n!)±1 . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Funkcja vp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Liczby n!+a
n+a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Iloczyn początkowych liczb postaci n! . . . . . .
2.11 Iloczyny kolejnych liczb całkowitych . . . . . . .
2.12 Różne fakty i zadania z silniami . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
18
20
21
22
23
25
26
27
29
31
32
33
3 Funkcja Smarandache’a
3.1 Definicja i przykłady . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Podstawowe własności funkcji Smarandache’a . .
3.3 Nierówności z funkcją Smarandache’a . . . . . .
3.4 Równości i równania z funkcją Smarandache’a .
3.5 Liczby S(n+1) - S(n) . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Granice i szeregi z funkcją Smarandache’a . . .
3.7 Różne fakty i zadania z funkcją Smarandache’a .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
36
37
37
39
40
40
.
.
.
.
.
.
.
41
41
42
44
46
47
49
51
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Wstępne informacje o symbolach Newtona
4.1 Cyfry pewnych symboli Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Splot binomialny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Przykłady funkcji odwracalnych względem splotu binomialnego .
4.4 Binomialne prawo dualności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Binomialny rozkład liczby naturalnej . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Wyznaczniki z symbolami Newtona . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Ciągi typu dwumianowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Równości i nierówności z symbolami Newtona
5.1 Elementarne równości z symbolami Newtona . . .
P
5.2 Sumy postaci nk=0 nk f (k) . . . . . . . . . . . . .
P
5.3 Sumy postaci nk=0 nk f (k)g(n − k) . . . . . . . .
Pn
n 5.4 Sumy postaci k=0 ak+r
. . . . . . . . . . . . .
5.5 Sumy z podwójnymi symbolami Newtona . . . . .
5.6 Liczby postaci 2n
n i równości . . . . . . . . . . .
5.7 Różne równości z sumami i symbolami Newtona .
5.8 Równania diofantyczne z symbolami Newtona . .
5.9 Szeregi z symbolami Newtona . . . . . . . . . . .
5.10 Nierówności z symbolami 2n
. . . . . . . . . . .
n
5.11 Różne nierówności z symbolami Newtona . . . . .
5.12 Dodatkowe fakty i zadania z symbolami Newtona
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
52
53
55
56
57
59
60
62
64
64
65
66
.
.
.
.
67
67
69
71
71
i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2n
n
.
.
.
.
.
.
72
74
76
77
77
78
81
81
83
84
86
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Symbole Newtona i podzielność
6.1 Podzielność przez liczby pierwsze . . . . . . . . . . . .
6.2 Funkcje vp , sp i symbole Newtona . . . . . . . . . . .
p−2 p−3
6.3 Symbole postaci p−1
. . . i podzielność
k , k ,
k
np−1
6.4 Symbole postaci k i podzielność . . . . . . . . .
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
Symbole
pn+1 pn
Liczby postaci
i podzielność . . . . . . . . .
Nwd i nww . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sumy z symbolami Newtona i podzielność . . . .
Iloczyny i symbole Newtona . . . . . . . . . . .
Różne fakty i zadania o podzielności i symbolach
Całkowitość pewnych liczb wymiernych . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Newtona
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Twierdzenie Lucasa i jego uogólnienia
pn n
7.1 Kongruencja pm
≡ m
. . . . . . . .
7.2 Twierdzenie Lucasa . . . . . . . . . .
7.3 Zastosowania twierdzenia Lucasa . . .
7.4 Ciągi spełniające warunek Lucasa . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Trójkąt Pascala modulo m
8.1 Trójkąt Pascala modulo 2 . . .
8.2 Trójkąt Pascala modulo 3 . . .
8.3 Trójkąt Pascala modulo 4 . . .
8.4 Trójkąt Pascala modulo 5 . . .
8.5 Trójkąt Pascala modulo m, dla
8.6 Trójkąt Pascala modulo p . . .
8.7 Trójkąt Pascala modulo ps . .
8.8 Podzielność liczby nk przez n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
. 89
. 92
. 94
. 95
. 96
. 98
. 100
. 100
. . .
. . .
. . .
. . .
m>
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
6
.
.
.
9 Liczby Apery’ego i liczby Catalana
101
9.1 Liczby Apery’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2 Liczby Catalana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
ii
10 Uogólnione symbole Newtona
105
10.1 Symbole hi1 ,i2 ,...,in i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2 Uogólnienia trójkąta Pascala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11 Symbole Newtona względem danego ciągu
11.1 Uogólniony współczynnik dwumianowy . .
11.2 Beta ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Alfa ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Liczby Mersenne’a jako alfa i beta ciągi . .
11.5 Liczby qn - 1 jako alfa i beta ciągi . . . . .
11.6 Liczby an - bn jako alfa i beta ciągi . . . .
11.7 Ciągi Fibonacciego jako alfa i beta ciągi . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
111
111
112
113
115
116
117
117
12 Permutacje, kombinacje i dodatkowe
12.1 Permutacje zbiorów skończonych . .
12.2 Permutacje i punkty stałe . . . . . .
12.3 Injekcje, surjekcje i liczby Bella . . .
12.4 Kombinatoryka . . . . . . . . . . . .
12.5 Zadania różne . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
119
122
124
124
126
fakty
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Spis cytowanej literatury
127
Skorowidz nazwisk
134
Skorowidz
138
iii