Ścinanie i skręcanie

Transkrypt

Ścinanie i skręcanie
Ścinanie i skręcanie
dr hab. inż. Tadeusz Chyży
1
Ścinanie proste
•Ścinanie czyste
•Ścinanie techniczne
2
Ścinanie


Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na
czterech ścianach prostopadłościennej kostki
występują jedynie naprężenia styczne
Prawo Hooke’a przy ścinaniu:


G

przy czym:
E
G
2 1  
3
Ścinanie

Ścinanie techniczne (technologiczne) zachodzi, gdy
naprężeniom tnącym towarzyszą znacznie od nich
mniejsze naprężenia normalne.)
4
Ścinanie

W obliczeniach zagadnień ścinania technicznego uśrednia
się naprężenia tnące w całym przekroju ścinanym (=sr);
warunek wytrzymałościowy ma wówczas postać:
T
 sr   k t
A

Przy wielu przekrojach ścinanych zakłada się jednakowe
obciążenie wszystkich tych przekrojów np. w połączeniach
nitowych:
T
 sr 
2
d 
n

 4 
 kt
5
Ścinanie

Tok obliczeń połączeń (spawanych, nitowych itp.) na ogół
zawiera:
 sprawdzenie elementów łączonych (blach itp.) na rozciąganie,
 sprawdzenie elementów łączonych na ścinanie (np. wycięcie
ucha przez sworzeń),
 sprawdzenie elementów złącznych (nitów, kołków itp.) lub spoin
na ścinanie,
 sprawdzenie połączenia na docisk(naciski powierzchniowe):
P
 d   kd
A
6
Ścinanie ze zginaniem
Zginanie poprzeczne
7
Naprężenia styczne
8
Uśrednione naprężenia styczne xz
9
Wzór Żurawskiego
10
Uśrednione naprężenia styczne xy
11
12
13
Przykład przekrój prostokątny
14
Przykład przekrój kołowy
15
Przykład przekrój dwuteowy
16
Przykład przekrój dwuteowy
17
Skręcanie prętów o przekroju kołowym


Skręcanie powodują dwie pary sił, działające w
dwu różnych płaszczyznach prostopadłych do osi
pręta (wału); momenty tych par sił to momenty
skręcające (Ms)
Moment skręcający jest dodatni, gdy wektor
momentu jest zwrócony na zewnątrz wycinka wału
(wektor Ms pozornie „rozciąga” wał)
Ms
Ms
18
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
Analiza odkształceń pręta poddanego skręcaniu
Rozwiązanie wg Saint-Venanta

19
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
Analiza
odkształceń pręta
poddanego skręcaniu
Naprężenia styczne są  do
promieni w przekrojach
poprzecznych wału i rosną
liniowo od zera w osi wału do
maks na jego powierzchni,
zgodnie z zależnością:
ρ
 maks


r
20
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
21

Szczegółowa analiza naprężeń i odkształceń w pręcie
skręcanym
21
Skręcanie prętów o przekroju kołowym


Szczegółowa analiza naprężeń i odkształceń w pręcie
skręcanym
Z „plasterka” dx wycina się myślowo elementarny fragment o
grubości d (i długości dx) położony w odległości  od osi
wału, zawierający punkty E, F1 i F
22
Skręcanie prętów o przekroju kołowym


Szczegółowa analiza naprężeń i odkształceń w pręcie
skręcanym
Na zakreskowanych ściankach elementu występują
naprężenia styczne   kąt odkształcenia postaciowego 
wynosi:
ρ
ρ 
G

wynika, że:
i stąd
d  ρ

dx  G
23
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
24


Naprężenia maksymalne i
kąt skręcenia pręta
naprężenia  działające na
 małym fragmencie dA
pola przekroju
poprzecznego wału dają
elementarny moment dM
względem osi wału:
dM   ρ dA  
24
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
25


Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta
Z warunków równowagi pręta (Mix) wynika, że
suma momentów elementarnych dM w całym
przekroju wału musi równoważyć zewnętrzny
moment skręcający Ms:
M s   dM    ρ dA
A

ale:
 ρ  maks


r
(*)
A
,
stąd
 ρ   maks

r
25
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
26 Naprężenia

maksymalne i kąt skręcenia pręta
podstawiając dwa ostatnie wzory do (*) otrzymuje się:
M
s


A

m aks
 m aks
2
dA 
r
r

2
dA
A
ostatnia całka jest funkcją wyłącznie wymiarów
przekroju poprzecznego wału (pewną charakterystyką
geometryczną), którą nazwano biegunowym
momentem bezwładności przekroju:
2
I O    dA
A
26
Skręcanie prętów o przekroju kołowym


Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta
Wyrażenie na maksymalne naprężenia tnące
przyjmuje postać:
 maks
Ms  r

IO
27
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
28

Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta
Ponadto:

Ale: d

 maks  ρ M s
 
r
 IO
ρ

dx  G
stąd:
d M s

dx GI O
28
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
29


Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta
Kąt skręcenia (inaczej: kąt obrotu przekroju, np.
całkowity kąt skręcenia lub kąt skręcenia pewnego
odcinka pręta):
l
Ms
   d  
dx
GI O
l
0

przy Ms=const
M sl

GI O
29
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
30

Naprężenia maksymalne i kąt skręcenia pręta
Przy Ms=const

Jednostkowy kąt skręcenia wału:

M sl

 rad 
GI O
 M s  rad 
 


l GI O  m 
30
Skręcanie prętów o przekroju kołowym


Biegunowy moment
bezwładności przekroju
kołowego
Z definicji: I O    2 dA
A

Niech pole elementarne dA
będzie pierścieniem o
szerokości d, którego
punkty leżą w jednakowej
odległości  od środka O
przekroju:
31
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
32


Biegunowy moment bezwładności przekroju
kołowego
Wtedy:
r
4 r
r

dA  2  d  , I O    dA    2 d   2   d   2
4
A
0
0
2
2
4

Ostatecznie:
3
4
r
d
IO 

2
32
32
0
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
33

Obliczenia wytrzymałościowe na skręcanie
 maks


r Ms Ms
 Ms


I O I O WO
r
IO
WO 
r
stąd
WO jest to wskaźnik wytrzymałości przekroju na
skręcanie
w przypadku przekroju kołowego pełnego:
3
3
r d
WO 

2
16
33
Skręcanie prętów o przekroju kołowym

Powyższe wzory są słuszne także w przypadku przekrojów rurowych,
przy czym inne są wyrażenia na IO i WO, tzn.:
IO  I
(1)
O
I
(2)
O
 D4 d4


32
32

4
4
IO =
D

d


32
IO

WO 

D4  d 4 

0,5D 16 D

Uwaga: dodawanie/odejmowanie wskaźników (W) jest
niedopuszczalne! Addytywne są tylko momenty bezwładności (I).
(1)
O
WO  W
(2)
O
W
34
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
35



Warunek wytrzymałości na skręcanie
 maks
Ms

 ks
WO
Uwaga: dodatkowo należy sprawdzić warunek
dostatecznej sztywności skrętnej:
   dop

Przykładowo dop=0,25deg/m=0,00436rad/m
35
Skręcanie – przekroje niekołowe
36
Skręcanie – przekroje niekołowe
37
Skręcanie – przekroje niekołowe
r
38
Skręcanie – przekroje niekołowe
39
Skręcanie – przekroje niekołowe
40
Skręcanie – przekroje niekołowe
41
Skręcanie – przekroje niekołowe
42
Skręcanie – przekroje niekołowe
Użyteczne definicje
•Trajektorie naprężeń stycznych
•Deplanacja przekroju
43

Podobne dokumenty