Zadania

Sprawdzian 1 do napisania w języku C++
Wariant 1
1. W nieskończonej pętli (while lub for), prosimy użytkownika o podanie liczby całkowitej
dodatniej (nazwijmy ją n).
2. Pobieramy z klawiatury liczbę n.
3. Jeśli n ¬ 0 przerywamy pętlę i kończymy program.
4. Jeśli n > 0 liczymy (w pętli po k równym od 1 lub 0 do n) sumę n wyrazów ciągu podanego
przez prowadzącego zajęcia.
5. W celu porównania wyliczamy prawą stronę równania.
6. Wyświetlamy na ekranie z odpowiednią dokładnością wartości wyliczonych sum w punktach
4 i 5.
Wariant 2
1. Dla kolejnych wartości n = 5, 10, 15, . . . , 50 (w odpowiedniej pętli for) liczymy (w pętli po
k równym od 1 lub 0 do n) sumę n wyrazów ciągu podanego przez prowadzącego zajęcia.
2. W celu porównania wyliczamy prawą stronę równania.
3. Wyświetlamy na ekranie z odpowiednią dokładnością wartości sum wyliczonych w punktach
1 i 2 wraz z informacją o aktualnej wartości n.
Ciągi liczbowe:
n
X
1 − qn
q = q + q + q + ... + q = q
1−q
k=1
k
2
n
3
n
X
1
k 2 = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n (n + 1) (2n + 1)
6
k=1
n
X
1
k 3 = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = n2 (n + 1)2
4
k=1
n
X
k 4 = 14 + 24 + 34 + . . . + n4 =
k=1
1
n (n + 1) (2n + 1) 3n2 + 3n − 1
30
n
X
1 (2k − 1)2 = 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 = n 4n2 − 1
3
k=1
n
X
(2k − 1)3 = 13 + 33 + 53 + . . . + (2n − 1)3 = n2 2n2 − 1
k=1
n
X
1
k (k + 1) = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2)
3
k=1
1
n
X
k (3k − 1) = 1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 8 + . . . + n (3n − 1) = n2 (n + 1)
k=1
n
X
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
=1−
1·2 2·3 3·4
n (n + 1)
n+1
k=1 k (k + 1)
n
X
1
1
1
1
1
n
=
+
+
+ ... +
=
1 · 5 5 · 9 9 · 13
(4n − 3) (4n + 1)
4n + 1
k=1 (4k − 3) (4k + 1)
∞
X
qk = q + q2 + q3 + . . . =
k=1
q
dla |q| < 1
1−q
∞
X
1
1
1
1
=
+
+
+ ... = 1
1·2 2·3 3·4
k=1 k (k + 1)
∞
X
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... =
1·2·3 2·3·4 3·4·5
4
k=1 k (k + 1) (k + 2)
∞
X
1
1
1
1
3
=
+
+
+ ... =
1·3 2·4 3·5
4
k=1 k (k + 2)
∞
X
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... =
1·3 3·5 5·7
2
k=1 (2k − 1) (2k + 1)
∞
X
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ... =
1 · 5 5 · 9 9 · 13
4
k=1 (4k − 3) (4k + 1)
∞
Y
2k
2k
22 44 66
π
=
·
·
· ... =
13 35 57
2
k=1 2k − 1 2k + 1
(−1)k−1
1 1 1
π
= 1 − + − + ... =
3 5 7
4
k=1 2k − 1
∞
X
∞
X
1
1
1
1
1 π
=
+
+
+ ... = −
3 · 5 7 · 9 11 · 13
2 8
k=1 (4k − 1) (4k + 1)
∞
X
1
1
1
π2
=
1
+
+
+
.
.
.
=
2
22 32
6
k=1 k
2
∞
X
1
1
1
π2
=
1
+
+
+
.
.
.
=
2
32 52
8
k=1 (2k − 1)
(−1)k−1
1
1
1
π2
=
1
−
+
−
+
.
.
.
=
k2
22 32 42
12
k=1
∞
X
∞
X
1
1
π4
1
=
1
+
+
+
.
.
.
=
4
24 34
90
k=1 k
∞
X
1
1
1
π4
=
1
+
+
+
.
.
.
=
4
34 54
96
k=1 (2k − 1)
(−1)k−1
1
1
1
7π 4
=
1
−
+
−
+
.
.
.
=
k4
24 34 44
720
k=1
∞
X
∞
Y
k=1
∞ Y
k=1
1
1−
(4k − 2)2
!
1
= 1−
4
1
1
1
1+
· 1−
= 1+
4k − 3
4k − 1
1
1
1−
36
1
1
1−
· ... = √
100
2
1
1
1−
· 1+
3
5
√
1
1−
· ... = 2
7
∞
X
xk
x2
x3
x4
=1+x+
+
+
+ . . . = ex
1·2 1·2·3 1·2·3·4
k=0 k!
(−1)k 2k+1
x 3 x5 x7
x
=x−
+
−
+ . . . = sin x
3!
5!
7!
k=0 (2k + 1)!
∞
X
(−1)k 2k
x2 x4 x6
x =1−
+
−
+ . . . = cos x
2!
4!
6!
k=0 (2k)!
∞
X
(−1)k k+1
x2 x3 x4
x
=x−
+
−
+ . . . = ln (1 + x) dla − 1 < x ¬ 1
2
3
4
k=0 k + 1
∞
X
3